旅行商问题
旅行商问题(TSP)
iS jS
除起点和终点外，各边不构成圈
xij
0, 1
(7 1) (7 2) (7 3)
5
0 8 5 9 12 14 12 16 17 22
8
0
9 15 17
8
11
18
14
22
5 9 0 7 9 11 7 12 12 17
9 15 7 0
lingo解决旅行商问题 model: sets: city/1..6/:u; link(city,city):dist,x; endsets data: dist=99999,702,454,842,2396,1196,
702,99999,324,1093,2136,764, 454,324,99999,1137,2180,798, 842,1093,1137,99999,1616,1857, 2396,2136,2180,1616,99999,2900, 1196,764,798,1857,2900,99999; enddata
C=v1,v2,…,vi,vj,…,vj-1,vi+1,vj+1,…,vm,v1 （3）C0C,重复步骤（2），直到条件不满足为止，最后得 到的C即为所求。
例对下图的K6,用二边逐次修正法求较优H圈.
较优H圈: 其权为W(C3)=192
分析: 这个解的近似程度可用最优H圈的权的下界与
其比较而得出.即利用最小生成树可得最优H圈的一个下界.
设C是G的一个最优H圈，则对G的任一顶点v, C-v是
G-v的生成树.如果T是G-v的最小生成树,且e1是e2与v关联
的边中权最小的两条边,则w(T)+w(e1)+w(e2)将是w(C)
智能优化-TSP-旅行商问题
智能优化实验报告基于遗传算法的TSP问题求解研究一、问题描述1、TSP问题的概述旅行商问题 (Traveling Salesman Problem，简称 TSP) 是一个经典的组合化问题。
它可以描述为：一个商品推销员要去若干个城市推销商品，从一个城出发需要经过所有城市后回到出发地，应如何选择行进路线以使总行程短。
从图论的角度看，该问题实质是在一个带权完全无向图中找一个权值最的小回路。
在寻找最短路径问题上，有时不仅要知道两个指定顶点间的最短路径，还需要知道某个顶点到其他任意顶点间的最短路径。
旅行商问题也是经典的组合数学的问题，生活中随处可见这类组合数学问题。
例如，计算下列赛制下的总的比赛次数:n个球队比赛，每队只和其他队比赛一次。
在纸上画一个网络，用铅笔沿着网络的线路走，在笔不离开纸面且不重复线路的条件下，一笔画出网络图。
一个邮递员从邮局出发，要走完他所管辖的街道，他应该选择什么样的路径，这就是著名的“中国邮递员问题”。
一个通调网络怎样布局最节省?美国的贝尔实验室和IBM公司都有世界一流的组合数学家在研究这个问题，这个问题直接关系到巨大的经济利益。
库房和运输的管理也是典型的组合数学问题，怎样安排运输使得库房充分发挥作用，进一步来说，货物放在什么地方最便于存取。
上述的这些例子中，其中一部分就和旅行商问题有关系。
2、TSP问题研究意义解决旅行商问题有着极其重要的理论和现实意义。
从理论层面来讲，解TSP不仅为其他算法提供了思想方法平台，使这些算法广泛地应用于各种组合优化问题；而且经常被用来测试算法的优劣，如模拟退火算法、禁忌搜索、神经网络、进化算法等，都可用旅行商问题来测试。
从实际应用层面来讲，旅行商问题作为一个理想化的问题，尽管多数的研究成果不是为了直接的应用，但却被广泛地转化为许多组合优化问题，最直接的就是其在交通、物流和大规模生产中的应用。
3、TSP问题的解决TSP问题是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式。
关于旅行商问题的数学模型
关于旅行商问题的数学模型旅行商问题（TravelingSalesmanProblem，TSP）是著名的组合优化问题，它的目标是找到一条路径，使得一个旅行商可以经过所有给定的城市，路径总长度最短。
这个问题在实际生活中有着广泛的应用，例如物流配送、电路板布线、DNA序列比对等领域。
本文将介绍旅行商问题的数学模型和解法。
1. 问题描述假设有n个城市，它们的位置分别为(xi,yi)，i=1,2,...,n。
旅行商要从一个城市出发，经过所有城市恰好一次，最后回到出发城市。
城市之间的距离可以用欧几里得距离表示：d(i,j) = sqrt((xi-xj)^2 + (yi-yj)^2)旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。
2. 数学模型2.1 定义变量我们定义变量xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择，如果被选择则xij=1，否则xij=0。
例如，x12表示从城市1到城市2的路径是否被选择。
2.2 目标函数旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。
因此，我们可以定义目标函数为：minimize ∑i∑j d(i,j)xij其中，i,j表示城市的编号，d(i,j)表示城市i和城市j之间的距离，xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择。
2.3 约束条件旅行商需要经过所有城市恰好一次，因此我们需要添加以下约束条件：1. 每个城市只能被经过一次：∑j xij = 1, i=1,2,...,n2. 每个城市离开后只能到达一个城市：∑i xij = 1, j=1,2,...,n3. 不能出现子回路：∑i∈S ∑j∈S xij ≤ |S|-1, S{1,2,...,n}, |S|≥2其中，第一个约束条件表示每个城市只能被经过一次，第二个约束条件表示每个城市离开后只能到达一个城市，第三个约束条件表示不能出现子回路。
3. 解法旅行商问题是一个NP难问题，没有多项式时间算法可以求解。
因此，我们需要使用一些启发式算法来求解这个问题。
简述哈密顿的周游列国问题及其解答
哈密顿的周游列国问题及其解答介绍哈密顿的周游列国问题，又称为旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP），是一个著名的组合优化问题。
该问题要求找到一条路径，使得从起始点出发经过所有给定的城市后，最终回到起始点，并且路径总长度最短。
TSP在理论计算机科学和运筹学中具有重要意义，它被广泛应用于路线规划、电路布线、物流配送等领域。
虽然TSP是一个NP-hard问题，即没有已知的多项式时间算法可以解决它，但是许多启发式算法和近似算法已经被提出来寻找接近最优解的解答。
本文将介绍哈密顿的周游列国问题的定义、历史背景以及一些常见的解答方法。
问题定义哈密顿的周游列国问题可以形式化地定义为：给定一个有n个城市的图G=(V,E)，其中V表示城市集合，E表示城市之间的连接边。
每个城市之间都有一个非负权重表示距离或成本。
问题要求找到一条路径P=(v1,v2,…,vn,v1)，使得路径上经过所有城市且不重复，且路径长度最小。
历史背景哈密顿的周游列国问题得名于爱尔兰数学家William Rowan Hamilton。
在1859年，Hamilton提出了这个问题，并给出了一个图论中的经典问题：寻找一个无向图中的哈密顿回路，即经过图中每个节点一次且仅一次的回路。
TSP问题在20世纪50年代引起了广泛的研究兴趣。
美国数学家Dantzig和Fulkerson于1954年提出了第一个解决TSP的数学模型，并使用线性规划方法进行求解。
此后，许多研究者提出了各种启发式算法和近似算法来寻找TSP问题的解答。
解答方法1. 穷举法穷举法是一种简单但是计算量巨大的解答方法。
它通过枚举所有可能的路径来找到最优解。
对于n个城市，总共有(n-1)!条路径需要考虑。
因此，当n较大时，穷举法变得不可行。
2. 最近邻插入法最近邻插入法是一种贪心算法，它从一个起始点开始，并在每一步选择最近邻城市加入到当前路径中。
具体步骤如下：1.选择一个起始城市作为路径的起点。
数学建模经典问题旅行商问题
TSP在图论意义下又常常被称为最小Hamilton圈问题， Euler等人最早研究了该问题的雏形，后来由英国的 Hamilton爵士作为一个悬赏问题而提出。但这个能让普通人 在几分钟内就可理解的游戏之作，却延续至今仍未能完全解 决，成了一个世界难题。
TSP有着明显的实际意义，如，邮局里负责到各信箱开 箱取信的邮递员，以及去各分局送邮件的汽车等，都会遇到 类似的问题。有趣的是，还有一些问题表面上看似乎与TSP 无关，而实质上却可以归结为TSP来求解。已经证明，TSP 是个NP难题，除非P = NP，否则不存在有效算法。
通过对下界b2进行改进，可以得出一个求对称 型TSP更好的下界b3。
在求b2的过程中，只有当与每一结点关联的边 中长度最小的两条边都出现在最优TSP回路中时， 等号才成立，下面就来分析如何提高这个下界。
26
对结点i而言，设e (i)1与e (i)2分别为与结点i关联 的边中长度最小的两条边，其长度分别为dmin (i, 1) 和dmin (i, 2)。
8
从严格的数学意义而言，瓶颈TSP（简称BTSP）并 没有降低问题的难度，也未能提供任何特殊的解决办 法。
瓶颈TSP的数学模型与标准TSP类似，仅目标函数 不同：
m in Z m a xd ijx ij i,j V
由于目标函数为瓶颈值，故求得的最佳巡回路 线与标准TSP的往往截然不同。
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(2) 最小比率TSP 最小比率TSP（简称MRTSP）是从经典TSP引
申出来的另一个变形问题，假定从一个城市走到另 一个城市可得到某种收益（记为），则MRTSP的目 标就是确定最佳行走路线，使得回路的总行程与总 收益之比最小。这种优化目标的思想类似于人们日 常生活中经常使用的费用效益比，与单纯的总行程 最短相比，往往更具实际意义。
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP，即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的最短路线。
其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A 为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。
旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，⋯，n）；2）非对称旅行商问题（dij≠dji，ϖi，j=1，2，3，⋯，n）。
非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。
若对于城市V={v1，v2，v3，⋯，v n}的一个访问顺序为T={t1，t2，t3，⋯，t i，⋯，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，⋯，n），且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL=。
TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。
因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。
二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。
但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略2.1模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略——路径编码。
2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SW AP）；②逆序操作（INV）；③插入操作（INS）。
3）SA状态接受函数的设计：min{1，exp（-△/t）}>random[0，1]准则是作为接受新状态的条件最常用的方案，其中△为新旧状态的目标值差，t为”温度”。
基于图论的旅行商问题求解算法研究
基于图论的旅行商问题求解算法研究1. 引言旅行商问题（Traveling Salesman Problem，简称TSP）是计算机科学中的经典问题，属于组合优化问题的范畴。
其基本思想是在给定的一组城市以及它们之间的距离或成本数据的情况下，找到一条最短的路径，使得路径经过每个城市且仅经过一次，最终回到起点城市。
2. 图论基础在研究旅行商问题之前，我们需要了解图论的基本概念。
图由节点（顶点）和边（连接节点的线段）组成。
对于旅行商问题，我们可以将每个城市视为一个节点，城市之间的距离视为边的权重。
3. 穷举法穷举法是最简单、最直接的求解方法。
它列举了所有可能的路径，并计算每条路径的总长度，最后选择最短的路径作为最优解。
然而，随着城市数量的增加，穷举法的复杂度呈指数级增长，因此对于大规模的问题来说，穷举法的效率非常低下。
4. 最小生成树法最小生成树法（Minimum Spanning Tree, MST）将图中的所有节点通过边连接起来，形成一棵树。
通过对最小生成树进行遍历，我们可以得到一条经过每个节点且最短的路径。
然而，最小生成树法并不能得到最优解，因为它忽略了必须回到起始城市的约束。
5. 动态规划法动态规划法是一种常用的求解旅行商问题的方法。
它基于以下两个关键思想：子问题最优性和子问题重叠性。
动态规划法通过对问题进行逐步分解，将大问题划分为较小的、重复的子问题。
通过求解子问题并利用子问题之间的关系，最终可以得到问题的最优解。
具体到旅行商问题，我们可以使用动态规划来求解。
6. 遗传算法遗传算法是一种基于自然界进化规律的启发式算法，常用于解决复杂的组合优化问题。
它通过构造一个种群，每个个体代表一种可行解，并通过模拟自然选择、交叉和变异等遗传操作来逐代进化种群。
最终，进化到一定代数时，得到的个体就是问题的近似最优解。
在求解旅行商问题时，我们可以使用遗传算法来搜索解空间，并不断优化路径的长度。
7. 蚁群算法蚁群算法受到蚂蚁找食物行为的启发，通过模拟蚂蚁在搜寻食物时的行为来求解优化问题。
旅行商问题的应用场景
旅行商问题的应用场景旅行商问题，这个听起来有点儿高大上的名词，其实就是在说“怎么能让一个商人走遍一圈城市，最后回到起点，且尽量少花时间或钱”的问题。
哎，听起来简单，但这可不是随便说说的事儿。
在咱们生活中，这个问题其实大有用处。
接下来就让咱们来聊聊旅行商问题的几个应用场景。
1. 快递物流的“飞毛腿”1.1 大家都在等快递想象一下，你在网上买了新衣服，心里美滋滋的等着快递小哥送货上门。
但要知道，快递小哥可不是单打独斗，他背后可是有一套严密的计划在支撑。
旅行商问题在这里就大显身手了！快递公司需要确保每个包裹能尽快送到每一个客户手中，而这就需要一个最优路线来减少时间和成本。
1.2 如何规划路线比如说，如果快递小哥今天要送的包裹分布在五个不同的地点，那么他就得计算出从一个地方到另一个地方的最短距离，这样才能把时间花在刀刃上。
为了让你尽快收到快递，快递公司可真是下足了功夫，计算每一条线路的优劣，真是个“走路带风”的角色啊。
2. 旅游行程的精打细算2.1 你想去哪里？旅游可是一项快乐的投资，但如果不提前做好功课，最后可能会被“拖后腿”。
旅行商问题在这里也能帮你大忙。
你计划去几个城市，想在有限的时间里玩得尽兴，怎么才能把这些景点串联起来，减少路上的折腾呢？2.2 从此告别“走马观花”比如，你打算去北京、上海和广州，想要在每个城市都吃到地道美食，逛到最有意思的景点。
那你可得好好规划一下行程，避免在城市间“来回跑”。
这样，你才能做到“有条不紊”，不至于搞得自己像个无头苍蝇，东奔西跑，最后却啥也没体验到。
旅行商问题就像是你行程中的“导航仪”，帮你找到最佳路线，事半功倍。
3. 数据中心的“智能调度”3.1 现代科技的背后现代社会，咱们离不开互联网，数据中心也是运转的核心。
数据中心需要处理大量的信息，而如何让这些信息在不同的服务器之间高效传递，就是旅行商问题又一显身手的地方。
3.2 不再让“数据堵车”想象一下，网络上的数据就像车流，合理的调度能避免“数据堵车”的现象。
旅行商问题
旅行商问题旅行商问题（Traveling Saleman Problem，TSP）又译为、，简称为，是最基本的路线问题，该问题是在寻求单一旅行者由起点出发，通过所有给定的需求点之后，最后再回到原点的最小路径成本。
最早的旅行商问题的数学规划是由Dantzig（1959）等人提出。
目录1简介“旅行商问题”常被称为“”，是指一名推销员要拜访多个地点时，如何找到在拜访每个地点一次后再回到起点的最短路径。
规则虽然简单，但在地点数目增多后求解却极为复杂。
以42个地点为例，如果要列举所有路径后再确定最佳行程，那么总路径数量之大，几乎难以计算出来。
多年来全球数学家绞尽脑汁，试图找到一个高效的TSP问题在物流中的描述是对应一个物流配送公司，欲将n个客户的订货沿最短路线全部送到。
如何确定最短路线。
TSP问题最简单的求解方法是。
它的解是多维的、多局部极值的、趋于无穷大的复杂解的空间，搜索空间是n个点的所有排列的集合，大小为（n-1）。
可以形象地把看成是一个无穷大的丘陵地带，各山峰或山谷的高度即是问题的极值。
求解TSP，则是在此不能穷尽的丘陵地带中攀登以达到山顶或谷底的过程。
2研究历史旅行商问题字面上的理解是：有一个推销员，要到n个城市推销商品，他要找出一个包含所有n个城市的具有最短路程的环路。
TSP的历史很久，最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题，即对于棋盘中的64个方格，走访64个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点。
TSP由RAND公司于1948年引入，该公司的声誉以及线性规划这一新方法的出现使得TSP成为一个知名且流行的问题。
3问题解法旅行推销员的问题，我们称之为巡行（Tour），此种问题属于的问题，1、途程建构法（Tour Construction Procedures）从中产生一个近似最佳解的途径，有以下几种解法：2、途程改善法（Tour Improvement Procedure）先给定一个可行途程，然后进行改善，一直到不能改善为止。
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP，即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的最短路线。
其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V 为顶点集，A为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。
旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，，n）；2）非对称旅行商问题（dij≠dji，i，j=1，2，3，，n）。
非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。
若对于城市V={v1，v2，v3，，v n}的一个访问顺序为T={t1，t2，t3，，t i，，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，，n），且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL=。
TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。
因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。
二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。
但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略——路径编码。
2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SWAP）；②逆序操作（INV）；③插入操作（INS）。
3）SA状态接受函数的设计：min{1，exp（-△/t）}>random[0，1]准则是作为接受新状态的条件最常用的方案，其中△为新旧状态的目标值差，t为”温度”。
旅行者问题
3.推导动态规划方程
V_2_count++;
else
V_3_count++;
}
if((array_0_count == V_0_count) && (array_1_count == V_1_count)
&& (array_2_count == V_2_count) && (array_3_count == V_3_count))
现在对问题定义中的例子来说明TSP的求解过程。(假设出发城市是0城市)
①我们要求的最终结果是d(0,{1,2,3}),它表示，从城市0开始，经过{1,2,3}之中的城市并且只有一次，求出最短路径.
②d(0,{1,2,3})是不能一下子求出来的，那么他的值是怎么得出的呢？看上图的第二层，第二层表明了d(0,{1,2,3})所需依赖的值。那么得出：
5,0,2,3,
6,4,0,2,
3,7,5,0
};
int d[4][8]={0},i=0,j=0;
for(i=0; i<4; i++)
for(j=0; j<8; j++)
d[i][j]=1000; //假设1000为无穷大
TSP(d,c,V,4);
printf("The least road is:%d/n",d[0][7]);
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一种典型的组合优化问题，在计算机科学和运筹学中具有重要的研究意义和应用价值。
TSP常用来描述一个旅行商在给定的一系列城市之间寻找最短路径的问题，即如何选择最短路径经过所有城市并回到起始城市。
针对TSP问题，有多种求解方法可供选择，下面将介绍一些常用的方法及其优缺点。
1.穷举法穷举法是一种非常简单和直观的方法，它会列举出所有可能路径并计算它们的总长度，然后从中选择最短的路径作为最优解。
穷举法的优点是能够保证找到最优解，但当城市数量较多时，计算量呈指数级增长，很难在合理的时间内得到结果。
2.贪婪算法贪婪算法是一种基于局部最优策略的求解方法。
它从一些城市出发，在每一步选择离当前城市最近的未访问过的城市作为下一步访问的城市，直到所有城市都访问过并回到起始城市。
贪婪算法的优点是简单、易于实现，计算速度较快。
然而，贪婪算法并不能保证得到最优解，可能会陷入局部最优解。
3.动态规划动态规划是一种通过将原问题分解为更小的子问题，并利用子问题的解来求解原问题的方法。
对于TSP问题，可以使用动态规划求解。
动态规划的优点是能够在较短的时间内找到最优解，但由于需要存储大量的中间结果，空间复杂度较高。
4.遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化过程的求解方法。
它通过对候选解进行遗传操作（交叉、变异等），然后根据适应度函数来评估和选择较好的解进行下一轮进化，直到满足停止条件为止。
遗传算法的优点是适用于大规模问题，能够得到较优解，但其需要调整一些参数，并且收敛速度较慢。
5. Lin-Kernighan启发式算法Lin-Kernighan启发式算法是一种基于局部优化的TSP求解方法。
它采用迭代的方式，在每一步通过反转局部路径来优化当前解，直到达到停止条件。
Lin-Kernighan算法的优点是计算速度较快，对于大规模问题也有较好的效果。
旅行商问题分支限界法
旅行商问题分支限界法旅行商问题是旅行商在走遍所有城市并回到起点城市的问题，其中要求路线最短。
该问题是非常常见并且难以解决的数学问题，因为需要考虑的变数非常多，所以无法直接使用贪心算法等简单的算法进行处理。
目前，最有效的算法是分支限界法，接下来我们将介绍该算法的详细步骤。
1. 状态空间树的构建首先，需要将旅行商问题转化为状态空间树。
该过程是指以起点为根节点，生成所有可能的路线作为子节点，直到达到所有可能路线的叶节点处。
该过程中需要考虑的主要是如何选择下一个城市，因为需要保证路线最短，所以需要综合考虑已经走过的路程、未来可能要走的路程以及所有可能路线的总长度等因素进行选择。
2. 最优解的判断在状态空间树中，需要不断地更新当前的最优解。
这是可以使用一个变量进行记录，并与其他路线的长度进行比较，只要某条路线的长度已经超过了当前最优解，则可以直接剪枝。
这样可以大大缩短算法运行时间，同时可以避免不必要的计算。
3. 分支限界法的应用在上述步骤中，我们已经得到了一个状态空间树，并且已经筛选出了当前最优解。
接下来就是分支限界法的应用了。
该算法的核心思想是在树的分支中设置优先级队列，以深度优先搜索方式去遍历所有可能的路线，同时使用一个优先级队列来存储每个分支的下限，只需要将长度大于下限的分支进一步拓展，可以大大提高算法的效率。
4. 全局最优解的汇总最后，将每条路径的长度进行求和，并找出所有路径中最短的一条作为全局最优解。
由于使用了分支限界法，可以保证输出的解是全局最优解，因此无需再进行进一步的调整。
总之，旅行商问题是一类典型的优化问题，需要综合考虑多种因素来找出最优解。
分支限界法作为一种最有效的解决方法，可以大大提高算法的求解效率。
以上是旅行商问题分支限界法的详细步骤。
旅行商问题描述
设城市数量为n，则有
( n 1)! 2
条不同路径。
算法的复杂程序呈指数增加。城市数量越多，所需的计算时 间成本越大，当城市数量无穷多时，则不可能被计算出来。 例：当n=20,路径数有1.2×1018 ，即使每秒列举1亿条路径， 需350年才能全部列出。
二、近似算法
• 1、路径构建法： 从距离矩阵中产生一个近似最佳解的途径，有以下几种解法： （1）最近邻点法：一开始以寻找离场站最近的需求点为起始路线 的第一个顾客，此后寻找离最后加入路线的顾客最近的需求点，直到 最后。 （2）节省法：以服务每一个节点为起始解，根据三角不等式两边 之和大于第三边之性质，其起始状况为每服务一个顾客后便回场站， 而后计算路线间合并节省量，将节省量以降序排序而依次合并路线， 直到最后。 （3）插入法：如最近插入法、最省插入法、随意插入法、最远插 入法、最大角度插入法等。 • 2、路径优化法：先产生一条初始巡回路径，再改变其中某些车市的 顺序，使路径优化，逐渐接近最优解。 • 3、智能算法
3、智能算法
• 至今没有找到多项式时间算法解（无法用一个确定的公式 来求解）的一类问题，但问题的所有可能答案，都是可以 在多项式时间内计算得出并进行正确与否的验算。
应用
1、印刷电路版的走刀问题 2、车间调度、电网配线 3、交通运输：航线安排、物流配送
求解算法：
一、精确算法—穷举法 • 旅行商问题实际上是一个排列组合问题。穷举法：将所有 的可能路线全部求出，通过比较找到全局最优解，但计算 量在顶点数稍微多一点情况下，这时由于可行解太多，而 使算法不可行。
旅行商问题是一个典型的组合优化问题，也是一个典型的 NPC问题。 该问题的可行解是所有顶点的全排列，随着顶点数的增加，会产生组合 爆炸。 以42个地点为例：
旅行商问题用cw节约算法求解的伪代码
旅行商问题用cw节约算法求解的伪代码一、问题描述旅行商问题（TravellingSalesmanProblem,TSP）是一个经典的组合优化问题，涉及到组合数学、运筹学等多个领域。
具体来说，给定一组城市和每对城市之间的距离，求解旅行商完成所有城市访问后返回原出发城市的最短路径。
该问题具有组合特性，求解困难且需要找到一种有效的方法进行求解。
二、CW节约算法CW节约算法是一种基于节约思想的TSP求解算法，通过迭代的方式逐步更新路径，以寻找最短路径。
该算法的主要思想是每次选择当前路径上的城市中距离总和最小的城市，并从该城市出发选择下一个距离总和最小的城市，以此类推，直到遍历完所有城市。
通过不断迭代，算法能够逐渐逼近最优解。
三、伪代码```pseudocode定义函数CW_Saving_Algorithm(distances,cities):初始化一个空列表path和一个变量total_cost=0//遍历所有城市对于i从0到n-1://选择当前路径上的城市中距离总和最小的城市选择一个城市cur_city=min(path[i+1:],key=distances[cur_city,:])[0] //从该城市出发选择下一个距离总和最小的城市选择一个城市next_city=min(path[i+1:],key=distances[:,cur_city])[0] //将选择的城市加入路径中path.append(cur_city)path.append(next_city)//更新总成本total_cost+=distances[cur_city,next_city]//返回路径和总成本返回path,total_cost```四、算法流程1.初始化路径为空列表`path`和总成本为零`total_cost`。
2.遍历所有城市，选择当前路径上的城市中距离总和最小的城市作为当前城市`cur_city`。
3.从当前城市出发，选择下一个距离总和最小的城市`next_city`，并将该城市加入路径中。
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旅行商问题：
问题描述：已知一个由n个城市（顶点）组成的有向网G , n个城市为v1, v2,…, v n , G的邻接矩阵为D=(d ij)nxn , d ij为边< v i, v j>上的权（表示城市v i到v j的耗费）。
一个旅行商从v1开始，巡回访问每个城市一次且仅一次，最后返回v1, 这个旅行商该如何选择旅行线路，使得整个行程耗费最小？
● 分析：
可利用求一般问题的所有解的回溯算法得到解最优化问题的回溯算法。
(1) 该问题是求最短的哈密顿回路。
(2) 用min表示当前最优值，s[1..n]表示当前最优解。
(3) 除了解的约束条件，用如下剪枝条件进一步剪枝：
当前路径长度>=min
(4) 设置一个标记数组tag[1..n]：
tag[i]=1, 顶点i在当前路径上
tag[i]=0, 顶点i不在当前路径上
当一个顶点退出当前路径时，该顶点的标记应复原为0。
● 回溯算法：
算法 TRAVELING_SALESMAN
输入：正整数n和含n个顶点的有向网G的邻接矩阵D。
输出：关于G的旅行商问题的一条最短旅行线路和最小耗费, 若问题无解，则输出no solution。
min=∞
x[1]=1 //用x[1..n]表示当前搜索路径, 从顶点1开始。
len=0 //len表示当前路径的长度
tag[1]=1; tag[2..n]=0 //设顶点标记初值。
salesman( 2 )
if min<∞ then
output (min, s[1..n]) //输出最优值和最优解。
else
output (“no solution”)//输出无解
end if
end TRAVELING_SALESMAN
过程 salesman(k)
//在已得到当前路径x[1..k-1]的情况下，求G的长度<min //的哈密顿回路中最短的一条，若存在，则用该回路更新min //和s[1..n]的值。
for i=2 to n
x[k]=i //试将顶点i作为当前路径上的第k个顶点。
if route(k) then //当前顶点可作为当前路径的下一顶点。
tag[x[k]]=1； //当前顶点加入当前路径。
len=len+D[x[k-1], x[k]]
if k=n then //找到一条新的哈密顿回路。
if len+D[x[k], 1]<min then
min=len+D[x[k], 1]; s[1..n]=x[1..n]
end if
else
if len<min then //不满足剪枝条件
salesman(k+1)
end if
end if
tag[x[k]]=0 //顶点x[k]退出当前路径。
len=len-D[x[k-1], x[k]]
end if
end for
end salesman
过程 route(k)
//判断当前顶点x[k]是否可作为当前路径x[1..k-1]的下一顶点, //是则返回true, 否则返回false。
if (D[x[k-1], x[k]]<∞)and (tag[x[k]]=0)and(k<n or k=n and D[x[k],1] <∞)
then return true
else return false
end route。