考研线代复习知识点

考研数学中，线性代数占五个考题，2 个选择题 1 个填空题 2 个解答题：分值为34分，平均用时为40分钟左右，以下为考研数学中出现过的题型:

第一章行列式

题型1求矩阵的行列式（十（２），2001；一（５），2004；一（５），2005；一（5），2006）题型2判断矩阵的行列式是否为零（二（４），1999）

第二章矩阵

题型1解矩阵方程或求矩阵中的参数（十，2000；一（４），2001）

题型2求矩阵的ｎ次幂（十一（３），2000）

题型3初等矩阵与初等变换的关系的判定（二（１１），2004；二（12），2006）

题型4矩阵关系的判定（二（１２），2005）

题型5矩阵的秩(二(15)，2007)

第三章向量

题型1向量组线性相关性的判定或证明（十一，1998；二（４），2000；十一（２），2000；二（４），2003；二（１２），2004；二（１１），2005；二（11），2006；一(7)，2007）

题型2根据向量的线性相关性判断空间位置关系或逆问题（二（4），2002）

第四章线性方程组

题型1齐次线性方程组基础解系的求解或判定（九，2001）

题型2求线性方程组的通解（十二，1998；九，2002；三（２０（Ⅲ）），2005）

题型3讨论含参数的线性方程组的解的情况，如果方程组

有解时求出通解（三（20），2004；三（２１），2005；三(21)，2007）

题型4根据含参数的方程组的解的情况，反求参数或其他（一（４），2000；三（20），2006）题型5两个线性方程组的解的情况和它们的系数矩阵的关系的判定（一（５），2003）

题型6直线的方程和位置关系的判定（十，2003）

第五章矩阵的特征值和特征向量

题型1求矩阵的特征值或特征向量（一（４），1999；十

一（２），2000；九，2003；三（21（Ⅰ）），2006；三(22)，2007）

题型2已知含参数矩阵的特征向量或特征值或特征方程的情况，求参数（三（２１），2004）题型3已知伴随矩阵的特征值或特征向量，求矩阵的特征

值或参数或逆问题（一（4），1998；十，1999）

题型4将矩阵对角化或判断矩阵是否可对角化（三（２１），2004；三（21（Ⅱ）），2006）题型5矩阵相似的判定或证明或求一个矩阵的相似矩阵（二（４），2001；十（１），2001）题型6矩阵相似和特征多项式的关系的证明或判定（十，2002）

第六章二次型

题型1化实二次型为标准二次型或求相应的正交变换（三（２０（Ⅱ）），2005）

题型2已知一含参数的二次型化为标准形的正交变换，反求参数或正交矩阵（十，1998；一（４），2002）

题型3已知二次型的秩，求二次型中的参数和二次型所对应矩阵的表达式（三（２０（Ⅰ）），2005）

题型4矩阵关系合同的判定或证明（二（４），2001；一(8)，2007）

题型5矩阵正定的证明（十一，1999）

（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）

()A E A -不可逆，E A +不可逆.

()

B E A -不可逆，E A +可逆.

()

C E A -可逆，E A +可逆.

()D E A -可逆，E A +不可逆.

（6）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(,,)1x x y z A y z ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

在正交变换下的标准方

程的图形如图，则A 的正特征值个数为（ ）

()A 0.

()B 1. ()C 2.

()D 3.

（13）设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，12120,2A A αααα==+，则A 的非零特征值为 . .

(20)（本题满分11分）

T

T A αα

ββ=+，,αβ是三维列向量，T α为α的转置，T

β为β的转置

（1）证()2r A ≤；（2）若,αβ线性相关，则()2r A <. （21）（本题满分11分）

设矩阵22

21212n n

a

a

a A a

a ⨯⎛⎫ ⎪

⎪= ⎪ ⎪⎝

⎭

，现矩阵A 满足方程A X B =，其中()1,,T n

X x x = ，

()1,0,,0T

B = ，

（1）求证()1n

A n a =+

（2）a 为何值，方程组有唯一解，求1x （3）a 为何值，方程组有无穷多解，求通解

(7) 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是

(A) 133221,,αααααα---. (B) 133221,,αααααα+++.

(C) 1332212,2,2αααααα---. (D) 1332212,2,2αααααα+++. 【 】 (8) 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛------=21

1121

112A , ⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛=00

0010

001B , 则A 与B (A)合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .

(C)不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. 【 】

(15) 设矩阵⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛=00

010000100

0010

A , 则3A 的秩为___________. (21) (本题满分11分) 设线性方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++.

04,02,

03221

3

213

21x

a x x ax x x x x x ① 与方程

12321-=++a x x x ② 有公共解，求a 的值及所有公共解．

(22) (本题满分11分)

设3阶对称矩阵Ａ的特征值,2,2,1321-===λλλ T

)1,1,1(1-=α是Ａ的属于1λ的一个特

征向量,记E A A B +-=354其中E 为3阶单位矩阵.

(I) 验证1α是矩阵Ｂ的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量． (II) 求矩阵Ｂ．