建立方程定解条件
第三章-调和方程省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
常会遇到某些无界区域旳问题。例如：要拟定一种热源物体外部旳稳定温
度场。这种情况下，需要在闭曲面Г旳外部寻找满足边界条件旳调和函数。
为了显示区别，我们把前一种定解问题称为狄利克雷内问题和诺依曼内问
题，把后一类定解问题称为狄利克雷外问题和诺依曼外问题。
4
a
(u
n
() r
r
)dS n
这里，在球面上
1 r
a
1; a
(1) n r
a
1 a2
数学物理方程
§2-2 平均值定理
第三章 调和方程
1
1 1 u
u(M0 )
4
a
(u
n
( r
)
r
)dS n
1 4
{
a
1
2
a
udS
1 a
u
为零
a n
dS
1 udS
4a2 a
数学物理方程
第三章 调和方程
u
n
ds
(
x
x
y
y
z
)d z
3.5
数学物理方程
第三章 调和方程
§2-1 格林（Green）公式
假如作 P v u , Q v u , R v u 代换，那么格林第一公式写为：
x
y
z
vud
v
u n
ds
(
u x
v x
u y
v y
u z
v z
)d
3.6
把(3.5)和(3.6)相减，我们得到格林第二公式
数学物理方程
第三章 调和方程
数学物理方程 第一章典型方程和定解条件
温 度 分 布 满 足2u F f k
特 别 ， 如 果 f0,则2u 0
位 势 (Poisson)方 程 Laplace 方程
☆ 三种典型的数学物理方程
方程类型 方程形式
典型例子
弦振动方程
2u t 2
a2
2u x2
波动方程
2u t 2
a22u
膜的横振动方程
2u t 2
a2
(
2u x2
2u y2
我 们 就 称 其 为 齐 次 边 界 条 件 ， 反 之 ， 称 非 齐 次 的 。
三、定解问题的概念
1、定解问题
把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件 结合在一起，就构成了一个定解问题。
(1) 初值问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；
(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；
其中： u (x x d x ,t) u (x x ,t) x u (x x ,t) d x 2 u ( x x 2 ,t)d x
Tu 2(xx2,t)gdx2u(tx2,t)dx
Tu 2(xx2,t)gdx2u(tx2,t)dx
Tu2(x,t)
2u(x,t)
g
x2
t2
令： a 2 T
运动时，弦上各点的运动规律。
简化假设：
(1)柔软：弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向； 细：与张力相比可略去重力,弦的截面直径与长度相比可忽略，弦视为曲
线 均匀：质量是均匀的，线密度为常数。
(2)横振动：振动发生在同一平面内。若弦的平衡位置为x轴，横向是指 弦上各点在同一平面内垂直于x轴的方向运动；
(3)热交换状态
(或u f) ns
第二类边界条件
建立方程、定解条件
J (u ) min J (v). （1） vV
0
v u w, 其中 为任一实数。显然有 v V0，且
2 2 1 J (v) (u w) x (u w) y f (u w) dxdy. 2
0
（ 2）
由此可知 u f 0. 事实上，若 u f 在 中某点
x0 , y0 不等于0，不失一般性，设 u f x0 , y0 0 ， 则由 u f 的连续性知，必存在 x0 , y0 的一个邻域， 在此邻域内 u f 0 成立。这样， w 取为在 x0 , y0 点
2 1
2 2 1 J (u ) ux u y fu dxdy, 2
J (u ) min J (v). （1） vV
其位势函数（相差一个常 数下唯一）
r'
r
r r ' x x0 , y y0 , z z0
r
M ( x, y , z ) r
与引力场函数存在关系
x x0 y y0 z z0
2 2
2
F .
单位质点
2 2 dxdy J (u ) w w x y 2 u x wx u y wy fw dxdy.
2 2 1 J (u ) ux u y fu dxdy, 2
3 ( x , y , z ) 0 in R / . ( x , y , z ) 4 in ; *引力位势
( x, y, z ) ( , , )
二阶 线性偏微分方程的定解条件
1在具体的研究中，要考查对象所处的环境和历史，则环境条件历史就是就是边界条件，历史就是初始条件。
一、初始条件(关于时间)对于随时间而发展变化的问题，必须考虑以前的一些状态，先前某个时刻的运动状态，即初始条件例：对于扩散、热传导问题，初始状态指的是研究的物理量U的初始分布：),,(),,,(0z y x t z y x u t ϕ==对于振动过程，不能仅仅给出初始位移：,,,,,z x t z x u ==)()(0y y t ϕ还必须有速度：),,(),,,(0z y x t z y x u t t ψ==2方程是二阶微分方程需要两个初始条件初始条件的个数跟方程是二阶微分方程，需要两个初始条件。
初始条件的个数跟方程的阶数相对应。
初始条件给出的是整体的状态，而不是某个点的状态！y例：长为l 的两端固定的弦，中点然后放手振动初始X 0l/2h 拉开距离h ，然后放手振动，初始时刻就是放手的瞬间，则初始速度x X=0x=l/2显然为零0),(0==t t t x u 状态，而不是中点一个点！初始位移应该是整个弦的位移状态，而不是中点个点⎧==)/2(,x l h t x u ]2/,0[l x ∈ht x u t ==0),(⎩⎨−))(/2()(0x l l h t ],2/[l l x ∈3如果没有初始条件，即在输运过程中，只由于初始时刻的不均匀分布引起的输运叫作自由输运。
随着时间的进行，输运过程逐渐自由输运随着时间的进行输运过程逐渐弱化，消失。
在振动过程中，只由于初始偏离或初始速度引起的振动叫在振动过程中只由于初始偏离或初始速度引起的振动叫自由振动经历足够长时间后，初始条件引起的自由运输或者自由振动衰减到可以认为消失，而系统的输运或者振动仅仅由于周期性外源或外力引起的，此时，我们可以忽略初始条件！性外源或外力引起的此时我们可以忽略初始条件！另外，在稳定场问题中（静电场、稳定浓度分布、稳定另外，在稳定场问题中（静电场稳定浓度分布稳定温度分布、无旋稳恒电流场、无旋稳恒流动），物理量恒定，所以根本就没有初始条件问题!4二、边界条件（关于空间边界）周围环境的影响体现为边界上的物理状况周围环境的影响体现为边界上的物理状况－－边界条件线性边界条件，数学上分为三类：第一类边界条件：直接给出边界上所研究物理量的数值。
微分方程解的概念和定解条件
微分方程解的概念和定解条件(),y x I n ϕ=设函数在区间上有阶连微分方程的解续导数I 如果在区间上，()()(,,,,)0n x F x y y y I ϕ'= 则称函数是微分方程在区间上的解.0'≡()(,(),(),,()) n F x x x x ϕϕϕ，()(,,,,)0n F x y y y '= 将其代入微分方程中，这样的解称作微分方程若微分方程的解中含有任意微分常数方程的通解，且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同，的通解.6.y x ''=二阶微分方程例131y x C =+显然是方程的解,但是不是（1）通解呢？312y x C C =++那是不（2）是通解呢？312y x C C =++3123y x C x C =++（）312.x C C C C =+=+，其中是方程的通解.微分方程的通解不一定是该方程注：的全部解.2.yy xy '=例一阶微分方程20y y ≠方程等式两边解时，同除以当得2y x C =+同时不定积分得 ，是原方程的通解.2y x '=，0y =但显然 也是原方程的解.确定微分方程通解中任意常数值的定解条件或初条件称为始条件.不含有任何任意常数的解称为微分微方分方程的特解程的特解.000,.a t s v v ===设质点以匀加速度作直线运动，且时，例3().s t s s t =求质点的运动位移与时间的关系由二阶导数的解物理意义知202(0)0,(0).d s a s s v dt '=== ，且2121()2s t at C t C =++解得通解为 将定解条件带入：2(0)00s C =⇒=1010()(0).s t at C s v C v ''=+=⇒= ，201().2s t at v t =+故特解为2(60()4)y x y x x y x x ''=→函数是方程的解，且当时 ，是例的通过两次不定积分解可得方程通解为312y x C x C =++().y x 高阶无穷小量，求的表达式31220lim 0.x x C x C x→++=由题意，20,C =故3211200lim lim 0.x x x C x x C x x →→++==故10,C =故3.y x =从而21220(0,53)x x y y y y C e C e -'''+-==+方程的通解为，若例是解由题意(0)3(0)0y y ''==，()().y x y x 的拐点 ，求的表达式123,C C +=即 124, 1.C C ==-解得 24.x x y e e -=-从而1240.C C +=总结本讲主要介绍了微分方程通解的概念和常见的定解条件的形式.。
微分方程的定解条件与特殊解法
定义：在定解区 间的闭区间端点 上，微分方程的 解必须满足一定 的连续性条件。
类型：对于一阶 微分方程，连续 性条件包括自然 边界条件、周期 边界条件等。
作用：连续性条 件是保证微分方 程解的连续性和 物理意义的重要 条件。
应用：在解决实 际问题时，需要 根据具体问题的 性质和要求，选 择适当的连续性 条件。
PART THREE
定义：欧拉方法是微分方程数值解法的一种，通过离散化微分方程，用差分代替微分，得到离 散化的数值解。
原理：利用已知的初值条件，逐步推算出微分方程的解在各个离散点上的近似值。
步骤：先确定初始值，然后按照一定的步长逐步计算出各个离散点上的近似解。
优缺点：欧拉方法简单易懂，易于实现，但精度较低，稳定性较差。
描述生物系统的动态行为
生理学和病理学中的数学模型
添加标题
添加标题
药物设计和药物动力学
添加标题
添加标题
医学影像和信号处理
汇报人：XX
优点：计算简单、易于编程实现、精度可控等。
PART FOUR
力学：描述物体运动规律，如万有引力定律、牛顿第二定律等。 电磁学：解释电磁场的变化规律，如麦克斯韦方程组等。 热学：研究热量传递规律，如热传导方程等。 波动：描述波动现象，如波动方程等。
航空航天：飞行器设计和优化中的气动动力学方程求解 机械工程：机器人运动轨迹规划和控制算法的微分方程求解 化学工程：化学反应动力学模型和传递过程的动力学方程求解 交通工程：交通流理论和车辆动力学的微分方程求解
注意事项：需要满 足一定的条件才能 使用分离变量法
定义：通过引入新的变量来简化微分方程的形式，从而求解微分方程的方法。 适用范围：适用于形式较为复杂的微分方程，特别是难以直接求解的方程。 常用方法：常见的变量代换法包括三角代换、指数代换等。 实例：通过变量代换法，可以将一些复杂的微分方程转化为容易求解的形式。
1方程的导出、定解条件
二、定解条件
1.初始条件： （） 1 .已知初始条件： u t =0 = ϕ ( x ),0 ≤ x ≤ l , (2).已知初始速度： ut
2 .边界条件： 已知边界位移 （1） .第一类边界条件： ( u
x =0
t =0
= ψ (x ),0 ≤ x ≤ l ,
)
)
= g1 (t ), t ≥ 0, u
= g 2 (t ).
x=l
4、Cauchy问题（或初值问题） Cauchy问题（或初值问题） 问题 对于弦中某一段，如果在所考虑的时间内，弦端点的影响可忽略不计 时，可以认为弦长为无穷，此时问题化为
2 ∂ 2u 2 ∂ u = f ( x , t ), − ∞ < x < ∞ , t > 0, 2 −a ∂t ∂x 2 ∂u t = 0 : u = ϕ ( x ), = ψ ( x ), − ∞ < x < ∞ . ∂t
x + ∆x
ρ
∂u ( x, t ) dx. ∂t ∂ u (x , t + ∆ t ) dx . ∂t
∫
Байду номын сангаасx + ∆x
x
ρ
所以从时刻 t 到时刻 t + ∆ t ， 弦段 ( x , x + ∆ x )的动量增加量为
∫
∫
t + ∆t
x + ∆x
x
ρ
∂ u (x , t + ∆ t ) ∂ u (x , t ) − dx . ∂t ∂t
这一段的惯性离心力F=mω^2R 为
ρ dx ω 2 u ( x。t ) ,
ρ (l − x − dx) gux
建立方程、定解条件
所产生的面积的增量的乘积。即
应变能
T
T
1
v
2 x
v
2 y
1
dxdy
由于
1
1
1 2
o(Biblioteka )T 215
v
2 x
v
2 y
dxdy
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即：
应变能 T 2
(v
2 x
v
2 y
)dxdy
如果膜所受的垂直方向的外力有两个，一个为作用
在膜内的F ( x, y)（牛顿∕米 2），另一个是作用在膜的边
应用高斯公式，上式可改写为：
Edxdydz 4 dxdydz
G
G
7
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由区域G的任意性得： E 4
静电场方程
由于静电场是有势场，因而存在电势u， E u
从而静电场的电势u应当满足泊松方程
u 4
如果静电场的某一区域里没有电荷，即 = 0，则
静电场方程在该区域上简化为拉普拉斯方程
取膜的平衡位置为 xoy平面上的区域, 以u轴垂直 于 xoy 平 面 , 并 与 x, y 轴 组 成 右 手 系 . 的 边 界
，在 上已知膜的位移为 , 在上膜受到外力
的作用, 设它的垂直于膜的线密度为 p( x, y).
13
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② 物理原理：从力学上讲，可以从不同角度来刻画
界上的 p( x, y)（牛顿∕米），在它们的作用下，膜上各
法国分析学家、概率论学家和物理 学家，法国科学院院士。
1784～1785年，他求得天体对其外 任一质点的引力分量可以用一个势函 数来表示，这个势函数满足一个偏微分方程，即著名的 拉普拉斯方程。
数学物理方程 第三章练习题
齐海涛
(SDU)
数学物理方程
2012-10-3
11 / 69
建立方程、定解条件
方法二: 同上题, 在柱面坐标系下 q1 = r, q2 = θ, q3 = z, 则 ds2 = dr2 + r2 dθ2 + dz2 , H1 = 1, H2 = r, H3 = 1,
代入 (1.4) 即得柱面坐标下 Laplace 算子的表达式.
.
第三章
.
调和方程
Laplace Equations
齐 海 涛
山东大学（威海）数学与统计学院
htqisdu@
齐海涛
(SDU)
数学物理方程
2012-10-3
1 / 69
目录
. 1 . 2 . 3 . 4
建立方程、定解条件 格林公式及其应用 格林函数 强极值原理、第二边值问题解的唯一性
对上式两边积分即得结论.
齐海涛
(SDU)
数学物理方程
2012-10-3
4 / 69
建立方程、定解条件
.
Example 1.2
. 证明: 拉普拉斯算子在球面坐标 (r, θ, φ) 下可以写成 ( ) ( ) 1 ∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u 1 ∂2 u △u = 2 r + 2 sin θ + . r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r2 sin2 θ ∂φ2 .
∂2 u ∂2 u ∂2 u sin θ cos θ ∂2 u sin2 θ ∂u sin2 θ ∂u sin 2θ = 2 cos2 θ − 2 · + 2 2 + + , 2 ∂x ∂r ∂r∂θ r ∂θ r ∂r r ∂θ r2 ∂2 u ∂2 u 2 ∂2 u sin θ cos θ ∂2 u cos2 θ ∂u cos2 θ ∂u sin 2θ · + 2 2 + − = sin θ + 2 , ∂y2 ∂r2 ∂r∂θ r ∂θ r ∂r r ∂θ r2 将最后两式相加, 并加以整理, 即得到所需结果.
一元二次方程有解的条件
一元二次方程有解的条件一元二次方程的一般形式为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c 为常数，且a ≠ 0。
一元二次方程有解的条件是，其判别式Δ 大于等于0，即Δ ≥ 0。
判别式Δ 的表达式为Δ = b² - 4ac。
因此，一元二次方程有解的条件可以用如下公式来表示：b² - 4ac ≥ 0当判别式Δ 大于等于0 时，一元二次方程有两个实数解、一个重根或两个复数解。
当判别式Δ 小于0 时，一元二次方程无实数解，但有两个共轭复数解。
特别地，当判别式Δ 等于0 时，一元二次方程有一个实数解，此时称为一元二次方程有一个重根。
因此，我们可以通过计算一元二次方程的判别式Δ 来判断其是否有解，并且进一步确定它的解的个数和性质。
例题一：（有解的情况）已知一元二次方程x² + 2x + k = 0 有两个不同的实数解，求k 的取值范围。
解：由于一元二次方程x² + 2x + k = 0 有两个不同的实数解，因此其判别式Δ 大于0。
根据判别式的公式Δ = b² - 4ac，我们可以列出以下不等式：2² - 4 × 1 × k > 0化简得：4 - 4k > 0移项得：k < 1因此，k 的取值范围为k < 1。
注意，由于此题中没有对k 的取值范围作出任何限制，因此我们得出的结论为k < 1。
在其他题目中，可能会出现需要排除某些不合法的k 值的情况，需要注意题目的具体要求。
例题二：（无解的情况）已知一元二次方程x² + 2x + 5 = 0，求它的解。
解：由于一元二次方程x² + 2x + 5 = 0，其判别式Δ = b² - 4ac = 2² - 4 × 1 × 5 = -16，小于0，因此该方程无实数解。
这是因为当判别式小于0 时，一元二次方程无实数解，但有两个共轭复数解，即两个不相等的复数解。
方程建立的条件
方程建立的条件方程是数学中的一种重要工具，用于描述数学关系和解决问题。
建立方程的条件是指在解决实际问题时，需要满足的一些条件，只有满足这些条件，我们才能建立起合适的方程来求解问题。
本文将以方程建立的条件为标题，详细介绍方程建立的条件及其在实际问题中的应用。
一、问题明确建立方程的第一个条件是问题要求明确。
在解决问题之前，我们首先需要明确问题的要求，确定问题的目标和限制条件。
只有明确了问题的要求，我们才能确定方程的未知数和约束条件，进而建立起合适的方程来求解问题。
例如，我们要求解一个数的平方是5的两倍，那么问题的要求就是平方数是5的两倍。
在这个问题中，我们可以设未知数为x，那么方程可以表示为x^2 = 5 * 2。
二、确定未知数建立方程的第二个条件是确定未知数。
未知数是我们需要求解的问题中的变量，它的取值决定了问题的解。
在确定未知数时，我们需要根据问题的要求和已知条件来选择合适的变量。
继续上面的例子，我们可以设未知数为x，表示要求解的平方数。
通过设定未知数，我们可以将问题转化为一个数学方程，进而求解x的值。
三、列出方程建立方程的第三个条件是列出方程。
方程是用数学符号表示的等式或不等式，它描述了问题中各个变量之间的关系。
通过列出方程，我们可以将问题转化为一个数学模型，进而求解问题。
继续上面的例子，我们可以将问题转化为方程x^2 = 5 * 2。
通过求解这个方程，我们可以得到未知数x的值，从而得到平方数是5的两倍的解。
四、解方程建立方程的第四个条件是解方程。
解方程是求解方程中未知数的值，即满足方程的解。
通过解方程，我们可以得到问题的解。
继续上面的例子，我们可以通过解方程x^2 = 5 * 2，得到未知数x 的值。
解方程的方法包括代入法、消元法、因式分解法等，根据具体的方程形式来选择合适的解法。
通过解方程，我们可以得到平方数是5的两倍的解为x = ±√10。
五、验证解建立方程的最后一个条件是验证解。
数学物理方程课后参考答案第三章
解：令
又 故取 则 满足调和方程
即
代入原定解问题，得 满足
用分离变量法零解 ，得
.
所以
再由另一对边值得
所以 .
得
最后得
8.举例与说明在二维调和方程的狄利克莱外问题，如对解 不加在无穷远处为有界的限制，那末定解问题的解以不是唯一的。
是区域 中的调和函数（无穷远点除外）.
如果区域 为球面K以外的无界区域，则函数u 在 中除去原点O外是调和的，函数 称为函数 的凯尔文（Kelvin）变换。
证明：只需证明 满足 。
=
=
代入 的表达式，有
=
=
若u在包含原点O的有界区域内处处式调和的即 ,则除无穷远点（O的反演点）外， 即除 点外v是调和的。若u在无界域 上是调和的，则除去O点外，v也是调和的。证毕。
且矩阵( )是正定的，即
由于矩阵( )是非正定的，故 可以写成 的线性齐次式的平方和，即
=
所以
于是
因此在 点
与 在 点满足方程是矛盾的，故 不能在 内部达到正的最大值。
7．证明第6题中讨论的椭圆形方程第一边值问题的唯一性与稳定性。
证：唯一性。只须证明方程在齐次边值条件只的零解。
设 在 内满足方程，在 边界 上 。因 在 上连续，故 是有界的，
第三章调和方程
§1建立方程定解条件
1．设 是n维调和函数（即满足方程
），试证明
其中 为常数。
证： ,
即方程 化为
所以
若 ，积分得
即 ，则
若 ，则 故
即 ，则
2．证明拉普拉斯算子在球面坐标 下，可以写成
第三章 调和方程
f f * 设u和u*，分别是调和方程在区域Ω上的以f和f*为边界条件的
数学物理方程
§1-2 定解条件和定解问题
第三章 调和方程
因此，对于狄利克雷或诺依曼外问题而言，还需要在无穷远 处对解添加一定的限制条件。在三维情况下，一般要求解在 无穷远处的极限为零（或者说极限为某个特定的值），即
lim u(x, y, z) 0 r x2 y2 z2
r
泊松方程的求解可以运用叠加原理转化为调和方程的求解： 首先寻找一个泊松方程的特解u1，作代换u=v+u1把原方程转 化为关于v的调和方程。
§2.1 格林（Green）公式 §2.2 平均值定理 §2.3 极值原理 §2.4 第一边值问题解的
唯一性和稳定性
数学物理方程
§2-1 格林（Green）公式
第三章 调和方程
高等数学中的高斯公式如下
(
P x
Q y
R )d
z
(P cos(n,
x)
Q cos(n,
y)
R cos(n,
z))ds
调和方程，又称拉普拉斯(Laplace)方程，其三维形式为
u 2u 2u 2u 0 3.1 x2 y2 z 2
这个方程相应的非齐次方程，称为泊松(Poisson)方程，即
u
2u x 2
2u y 2
2u z 2
f (x, y, z)
3.2
这类方程在力学、物理学问题中经常遇到。前面两章推导的波动方程和热 传导方程如果去掉了时间导数项，那么方程就可以转化为泊松方程或调和 方程。流体力学中的速度势和流函数都满足调和方程；静电场中的电位势 满足泊松方程。
数学物理方程第四章(调和)
y
|
x0
,
y0
)
1 4π
ln[ ( x (x
x0 x0
)2 )2
( (
y y
y0 )2 y0 )2
]
数学物理方程
第4章 调和方程
边界外法线方向为负 y 轴，故有
G n
|
G y
|y0
=
1 2π
(x
y0 x0 )2
y02
1 π
(x
y0 x0 )2
y02
1 π
(x
y0 x0 )2
y02
代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式，
v
1
u dS u[ ( )]dS
n
r 4r
1
4
u
1 r2
r 2d
u(r0 )
u(r0 ) v(r , r0 ) f (r )dV
T
u(r) [v(r , r0 ) n
u(r)
v(r,
r0
)
]dS.
n
这样，边界条件得以进入积分之中！上式为泊松方程的基本积分公式。
令f=0,即得调和方程的基本积分公式：
d
(
x
)dx
g( x)d ( x) g(0)d ( x)
f ( x)g( x)d ( x)dx f ( x)[g(0)d ( x)]dx
数学物理方程
第4章 调和方程
令
x
d ( x)dx
(x)
1, 0,
x0 x0
两边微商，得
因为
由傅里叶逆变换，得
拉普拉斯变换 L d (t t0 ) d (t t0 )e ptdt e pt0 ,
r2 a2
数学物理方程(谷超豪)第三章调和方程习题解答
∆u
=
1 r2
⋅
∂ ∂r
(r 2
∂u ) ∂r
+
r2
1 sin θ
⋅
∂ ∂θ
(sin θ
∂u ∂θ
)
+
r2
1 sin
2
θ
⋅
∂2u ∂ϕ 2
=0
证：球坐标 (r,θ ,ϕ) 与直角坐标 (x, y, z) 的关系：
x = r sinθ cosϕ ， y = r sin θ sin ϕ ， z = r cosθ
f
(r)
=
−
A1 n+
2
r −n+2
+
c1
即 n ≠ 2 ，则
f
(r)
=
c1
+
c2 r n−2
若 n = 2 ，则 即 n = 2 ，则
f ' (r) = A1 故 f (r) = c1 + A1Inr r
f (r) = c1 + c2 In 1 r
2． 证明拉普拉斯算子在球面坐标 (r,θ ,ϕ) 下，可以写成
⋅
∂u ∂ρ
（5）
∂ 2u ∂x 2
+
∂2u ∂y 2
+
∂2u ∂z 2
=
∂2u ∂ρ 2
+
∂2u ∂z 2
+
1 ρ2
⋅
∂2u ∂ϕ 2
+
1 ρ
⋅
∂u ∂ρ
∂2u 再用（3）式，变换 ∂ρ 2
+
∂ 2u ∂z 2
。这又可以直接利用（5）式，得
∂2u ∂ρ 2
数学物理方程学习指导书第3章经典方程建立及定解条件
第3章经典方程的成立和定解条件在议论数学物理方程的解法从前，我们第一要弄清楚数学物理方程所研究的问题应当如何提，为此，我们从双方面来议论，一方面要将一个详细的物理、力学等自然科学识题化为数学识题，即成立描绘某种物理过程的微分方程——数学物理方程，称此方程为泛定方程；另一方面要把一个特定的物理现象自己所拥有的详细条件用数学形式表达出来，即列出相应的初始条件和界限条件，二者合称为定解条件.定解条件提出详细的物理问题，泛定方程提供解决问题的依照，作为一个整体称之为定解问题.3．1 经典方程的成立在本节，我们将经过几个不一样的物理模型推导出数学物理方程中三种典型的方程，这些方程组成我们的主要研究对象.经典方程的导出步骤：（1）确立出所要研究的是哪一个物理量u；（2）用数学的“微元法”从所研究的系统中切割出一小部分，再依据相应的物理（力学）规律剖析周边部分和这个小部分间的作用（抓住主要作用，略去次要要素，即高等数学中的抓主部，略去高阶无量小），这类互相作用在一个短的时间间隔是如何影响物理量u3）把这类关系用数学算式（方程）表达出来，经化简整理就是所需求的数学物理方程.例1弦的振动弦的振动问题，固然是一个古典问题，但对于初学者仍旧拥有必定的启迪性.设有一根平均柔嫩的细弦，均衡时沿直线拉紧，并且除受不随时间而变的张力作用及弦自己的重力外，不受外力影响，下边研究弦的细小横向振动，即假定所有运动出此刻一个平面上，并且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动（图3-1）.图3-1设弦上拥有横坐标为x的点，在时辰t时的地点为M，位移NM记作u.明显，在振动过程中位移u是变量x与t的函数u(x,t).此刻来成立位移u知足的方程.我们把弦上点的运动先看作小弧段的运动，而后再考虑小弧段趋于零的极限状况.在弦上任取一弧段MM，其长为ds，设是弦的线密度，弧段MM两头所受的张力记作T，T，此刻考虑孤段MM在t 时辰的受力状况，用牛顿运动定律，作用于弧段上任一方向上的力的总和等于这段孤的质量乘以该方向上的加快度.在x 轴方向弧段受力的总和为TcosTcos ，因为弦只作横向振动，所以TcosTcos0.（）假如弦的振动很小，并且在振动过程中弦上的切线倾角也很小，即0,0，则由24cos14!2!可知，当为无量小量时，cos 与1的差量是的高阶无量小量，能够略去不计，所以当0, 0时cos1,cos 1代入(3.1)式，即可近似获得TT .在u 方向弧段受力的总和为Tsin Tsingds ，此中是单位弧段的质量，gds 是弧段MM 的重力.又因当0， 0时 sin1 tg tgu(x,t)，tg 2xsin ' tg 'u(xdx,t)，x2ds 1u(x,t)dxdx,x2且小弧段在时辰 t 沿u 方向运动的加快度为u(x,t)，小弧段的质量为t 2TsinTsin2u(x,t)gdsds2t或gds ，所以（）Tu(xdx,t)u(x,t)gds2u(x,t)dx, x xt 2上式左侧方括号内的部分是因为x 产生dx 的变化而惹起的u(x,t)的改变量，可用微x分取代，即u(xdx,t)u(x,t)xu(x,t)dx2u(x,t)dx, xxxx 2于是T2u(x,t) gdx2u(x,t)dxx 2x 2或T2u(x,t) 2u(x,t) g.x2t22一般说来，张力较大时弧振动速度变化很快，即u要比g 大得多，所以又能够把g 略去.t 2经过这样逐渐略去一些次要的量，抓住主要的量，最后得出 u(x,t)应近似地知足方程2ua 22u（）t 2x 2这里的a2T.式(3.3)称为一维颠簸方程.假如在振动过程中，弦上此外还遇到一个与弦的振动方向平行的外力，且假定单位长 度所受外力的 F(x,t)，明显，在这里(3.1)及(3.2)分别为TcosTcos 0,FdsTsinTsin2u gdsds2.t利用上边的推导方法并略去弦自己的重量，可得弦的逼迫振动方程为2u22uf(x,t),（）’t2x2此中f(x,t)1F(x,t).方程(3.3)与(3.3)’的差异在于(3.3)’的右端多了一个与未知函数u 没关的项f(x,t)，这个项称为自由项，包括有非零自由项的方程称为非齐次方程，自由项恒等于零的方程称为齐次方程.(3.3)为齐次一维颠簸方程， (3.3)’为非齐次一维颠簸方程 .例2 传输线方程对于直流电或低频的沟通电，电路的基尔霍夫定律指出同一支路中电流相等 .但对于较高频次的电流（指频次还没有高到能明显地幅射电磁波的状况） ，电路中导线的自感和电容的效应不行忽视，因此同一支路中电流未必相等.现考虑一来一往的高频传输线，它被看作拥有散布参数的导体（图3-2）.在拥有散布参数的导体中，电流经过的状况，能够用电流强度与电压v来描绘，此处i与v都是x,t的函数，记作i(x,t)与v(x,t)，以R，L，C，G分别表示以下参数：R——每一回路单位的趾串连电阻，L——每一回路单位的串连电感，C——每单位长度的分路电容，G——每单位长度的分路电导.依据基尔霍夫第二定律，在长度为x的传输线中，电压降应等于电动势之和，即v(v v)R xii Lx.t而vx, vx故上式可写成v Ri L i.x T此外，由基尔霍夫第必定律，流入节点x的电流应等于流出该节点的电流，即i(i i)C x iGxv, t或i C vGv.x t将方程(3.4)与(3.5)归并，即得i与v应近似地知足以下方程组i C v Gv0,x tv iRi0.Ltx （）（（（（（（（（）为了确立函数i与v，将方程(3.5)对x微分，同时在方程(3.4)两头乘以C后再对t微分，并把两个结果相减，即得2i G v LC2i RC i x2x t20,t将(3.4)中的v代入上式，得x2i2i(RC i（）x2LG2GL)GRi,t t这就是电流i近似知足的微分方程，采纳近似的方法从（）与（）中消去i可得电压v近似知足的方程2v LG2v(RC GL)v GRv,（）x2t2t方程(3.6)或(3.7)称为传输线方程.依据不一样的详细状况，对参数R,L,C,G作不一样的假定，就能够获得传输线方程的各种特别形式.比如，在高频传输的状况下，电导与电阻所产生的效应能够忽视不计，也就是说可令G R0，此时方程(3.6)与(3.7)可简化为2i12ix2LC t2,2v12vt2LC t2.这两个方程称为高频传输线方程.若令a21这两个方程与(3.3)完整同样.因而可知，同一个方程能够用来描绘不一样的LC物理现象，一维颠簸方程不过颠簸方程中最简单的状况，在流体力学、声学及电磁场理论中，还要研究高维的颠簸方程.例3电磁场方程从物理学我们知道，电磁场的特征能够用电场强度E与磁场强度H以及电感觉强度D 与磁感觉强度B来描绘，联系这些量的麦克斯韦(Maxwell)方程组为rotH J D（）,trotE B,(3.9) tdivB 0,（）divD.(3.11)此中J为传导电流的体密度，为电荷的体密度.这组方程还一定与下述场的物质方程D eE,（）B H,（）J E,（）相联立，此中是介质的介电常数，是导磁率，为导电率，我们假定介质是平均并且是各向同性的，此时，，均为常数.方程(3.8)与(3.9)都同时包括有E与H，从中消去一个变量，就能够获得对于另一个变量的微分方程，比如先消去H，在(3,8)式两头求旋度并利用(3.12)与（）得rotrotH rotE rotE,t将(3.9)与(3.13)代入得rot rotH2H Ht2,t而rotrotH grad div2H,且divH1divB0,所以最后获得H所知足的方程为2H2HH t2t;同理，若消去H即得E所知足的方程2E2E E.t2t假如介质不导电(0)，则上边两个方程简化为2H12H,（）t22E12E,（）2t(3.15)与(3.16)称为三维颠簸方程.若将三维颠簸方程以标量函数的形式表示出来，则可写成2ua 2ua22u2u2u（t2x2y2z2,）此中a21,u是E或H的随意一个重量.从方程(3.11)与(3.12)还能够推导出静电场的电位所知足的微分方程.事实上，以(3.12)代入(3.11)得divD div E divE,而电场强度E与电位u之间存在关系E gradu,所以可得div(gradu)或2u,（）这个非齐次方程称为泊松（Poisson）方程.假如静电场是无源的，即0,则(3.18)变为2u 0，（）这个方程称为拉普拉斯（Laplace）方程.例4热传导方程一块热的物体，假如体内每一点的温度不全同样，则在温度较高的点处的热量就要向温度较低的点处流动，这类现象就是热传导.在工程技术上有很多传热问题都要归纳为求物体内温度的散布，此刻我们来推导传热过程中温度所知足的微分方程，与上例近似，我们不是先议论一点处的温度，而应当先考虑一个地区的温度.为此，在物体中任取一闭曲面S，它所包围的地区记作V（图3-3）.假定在时辰t，地区V内点M(x,y,z)处的温度为u(x,y,z,t)，n为曲面元素S的外法向（从V内指向V外）.图3-3由传热学可知，在t,t t时间内，从S流入地区V的热量与时间t，面积S，以及沿曲面的法线方向的温度变化率三者的乘积成正比，即Q kuk(gradu)n St Stnk(gradu)S t.此中k称为物体的热传导系数，当物体为平均导热体时，k为常数.于是，从时辰t1到时辰t2，经过曲面S流入地区V的所有热量为Q1t2dSdt.kgradut1S流入的热量使V内温度发生了变化，在△t时间内地区V内各点温度从u(x,y,z,t)变化到u(x,y,z,t+△t)，则在△t内V内温度高升所需要的热量为c[u(x,y,z,t t)u(x,y,z,t)]dVVu(x,y,z,t)ct tdV.V进而从时辰t1到时辰t2，因为温度高升所汲取的热量为t2uQ2cdV dt,t1tV此中c为物体的比热，为物体的密度，对平均物体来说，它们都是常数.因为热量守恒，流入的热量应等于物体温度高升所需汲取的热量，即t2t2ukgradudSdt c dVdt.t1t1tS V此式左端的由面积分中S是关闭曲面，能够利用奥-高公式将它化为三重积分，即kgradudS kdiv(gradu)dV k2udV,S V V 所以有t22udVdt t2udVdt.（）k ct1t1tV V因为时间间隔t,tt及地区V都是随意取的，并且被积函数是连续的，所以(3.20)式左右恒等的条件是它们的被积函数恒等，即u a22ua22u2u2u ,（）tx 2y 2z 2此中a 2k .方程(3.21)称为三维热传导方程.c若物体内有热源，其强度为F(x,y,z)，则相应的热传导方程为ua 22u2u2uf(x,y,z,t),tx 2y 2z 2此中fF .c作为特例，假如所考虑的物体是一根细杆 （或一块薄板），或许即便不是细杆（或薄板）而此中的温度u 只与x,t （或x,y,t ）相关，则方程(3.21)就变为一维热传导方程2u a 2u2;tx或二维热传导方程u a 22u2utx 22.y假如我们考虑稳恒温度场，即在热传导方程中物体的温度趋于某种均衡状态，这时温度u 已与时间t 没关，所以u 0,此时方程(3.21)就变为拉普拉斯方程(3.19).因而可知稳恒t温度场内的温度 u 也知足拉普拉斯方程 .在研究气体或液体的扩散过程时，若扩散系数是常数，则所得的扩散方程与热传导方程完整同样.3．2 初始条件与界限条件上边所议论的是如何将过程的物理规律用数学式子表达出来.除此之外，我们还需要把 详细条件也用数学形式表达出来， 这是因为任何一个详细的物理现象都是处在特定条件之下 的.比如弦振动问题，上节所推导出来的方程是全部柔嫩平均的弦作细小横向振动的共同规 律，在推导这个方程时没有考虑到弦在初始时辰物状态以及弦所受的拘束状况.假如我们不 是平常地研究弦的振动，必然就要考虑到弦所拥有的特定条件.因为任何一个详细振动现象 老是在某时辰的振动状态和此时辰从前的状态相关，进而就与初始时辰的状态相关.此外， 弦的两头所受的拘束也会影响弦的振动，端点所处的物理条件不一样会产生不一样的影响，因此弦的振动也不一样 .所以对弦振动问题来说，除了成立振动方程之外，还需列出它的详细条件对热传导方程，拉普拉斯方程也是这样.提出的条件应当恰好能够说明某一详细物理现象的初始状态以及界限上的拘束状况，.用以说明系统的初始状态的条件称为初始条件.用以说明界限上的拘束状况的条件称为界限条件.下边详细说明初始条件和界限条件的表达形式，先谈初始条件，对于弦振动问题来说，初始条件就是弦在开始时辰的位移及速度，若以(x),(x)分别表示初位移和初速度，则初始条件能够表达为u t0(x)u（）t(x) t0而对热传导方程来说，初始条件是指在开始时辰物体温度的散布状况，若以(M)表示t 0时物体内任一点M处的温度，则热传导方程的初始条件就是u(M,t)t0(M).(3.23)泊松方程与拉普拉斯方程都是描绘稳恒状态的，与初始状态无头，所以不提初始条件.再谈界限条件.假如界限条件直接给出了未知函数u(M,t)在界限S上的值，以s表示界限S上的动点，则这样的界限条件可表为u(M,t)MS(s,t),或简写成u S.（）这类界限条件称为第一类界限条件，此中(s,t)表示在界限S上给定的已知函数.比如，在杆的导热问题中，若在端点x a处温度保持为常数u0，这时在端点x a的界限条件为u xa u0.若在端点x a处温度随时间的变化规律f(t)为已知，在这点的界限条件为uxaf(t).又如在弦振动问题中，若弦的某端点x a是固定的，则在该点的位移为零，即uxa0.以上都是第一类界限条件的例子.总之，第一类界限条件直接给出了未知函数u(M,t)在边界S上的值但在很多状况下，界限上的物理条件其实不可以用第一类界限条件来描绘.比如，在杆的导热问题中，若杆的一端xa绝热，那么绝热这个条件就不可以直接给出杆的端点处的温度变化.因为从杆外经过杆端流入杆内的热量为kuSt(此中t为时间间隔，S为杆nxa的截面积，n为杆在端点x a处的外法向，若x a是杆的左端点，n的正向与x轴正向相反，则u u,若x a是杆的右端点，则n的正向与x轴正向同样，则uu), n x n x所以绝热这个条件能够表达为k uSt0, nxa即u0.nxa若在单位时间内经过x a端单位面积流入杆内的热量是t的已知函数f(t)，则这个条件可表示为k u f(t).nxa弦在对于弦振动问题来说，假如弦在x a处沿位移方向的张力（参照x a处是自由的，即沿着位移方向不受外力，中例1的推导）为则此时Tu0,nx a即u0.xx a总之，有时界限条件一定表达为u（）(s,t).n S的形式，此中u.表示函数沿界限外法向的变化率，这类界限条件称为第二类界限条件n除了上述两类界限条件外，有时还会碰到其余形式的界限条件.比如在杆的导热热问题中，若杆在某个端点x a自由冷却，那么自由冷却这个条件就是K uH(u1u xa), nxa(此中u1为四周介质的温度)即uu1h kuh.n xa H这是因为在单位时间内从四周介质传到杆的x a端单位面积上的热量与介质和杆端的温度差成正比，而在单位时间内经过u xa端单位面积传向杆内的热量与n考取例4）.成正比（参xa对于有界杆(0 x l)，若两头都是自由冷却，则在x l处，上述条件可表为uu h u1;nx i在x0处，这个条件可表为uu h u1.nx 0一般地，这类界限条件的形式为u(s,t).（）uhn s这样的界限条件称为第三类界限条件.无论哪一种界限条件，假如它的数学表达式中的右端自由项恒为零，则这类界限条件称为齐次的.定解问题的提法前方两节我们推导了三种不一样种类的偏微分方程并议论了与它们相应的初始条件与边界条件的表达方式.因为这些方程中出现的未知函数的偏导数的最高阶都是二阶，并且它们对于未知函数及其各阶偏导数来说都是线性的，所以这类方程称为二阶线性偏微分方程*）1 .在工程技术上二介线性偏微分方程碰到最多.假如一个函数拥有所需要的各阶连续编导数，并且代入某偏微方程中能使该方程变为恒等式，则此函数称为该方程的解.因为每一个物理过程都处在特定的条件之下，所以我们的任务是要求出合适初始条件和界限条件的解.初始条件和界限条件都称为定解条件.求一个偏微方程知足定解条件的解的问题称为定解问题.只有初始条件，没有界限条件的定解问题称为始值问题（或柯西问题）；而没有初始条件，只有界限条件的定解问题称为边值问题；既有初始条件也有界限条件的定解问题称为混合问题.一个定解问题提得能否切合实质状况，自然一定靠实质来证明，但是从数学角度来看，能够从三方面加以查验. 1）解的存在性，即看所结出来的定解问题能否有解；2）解的独一性，即看能否只有一个解；3）解的稳固性，即看当定解条件有细小改动时，解能否相应地只有细小的改动，假如*）二阶线性编微分方程能够按它们的二阶导数的系数的代数性质进行分类，在§中所推导的颠簸方程属于双曲型,拉普拉斯（或泊松）方程属于椭圆型，热传导方程属于抛物型，对于二阶线性偏微分方程的分类方法,读者可参阅复旦大学数学系编《数学物理方程》（第二版，上海科学技术第一版社第一版）第一章§5.确立这样，此解便称定的，否所得的解就无用价 .因定解条件往常是利用方法得的，因此所获得的果， 有必定的差，假如所以而解的很大， 那么种解然不可以切合客的要求 .假如一个定解存在独一且定的解，此称适定的，在此后中我把着眼点放在定解的解法上， 而极少它的适定性， 是因定解的适定 性常常十分困，而本所的定解都是古典的，它的适定性都是了然的 .习题一1. l 的平均杆，面，一端温度零，另一端有恒定流 q 入（即位内通位截面流入的量q ），杆的初始温度散布是x(ix)，写出相的定解.22. l 的弦两头固定，开始在xc 遇到冲量的作用，写出相的定解.有一平均杆，只需杆中任一小段有向位移或速度，必致段的或伸，种仲开去，就有波沿着杆播，推杆的振方程 .4.一平均杆原l ，一端固定，另一端沿杆的方向被拉e 而静止，忽然松手任其振，成立振方程与定解条件.若F(z),G(z)是随意二可微函数，uF(xat)G(xat)足方程2ua2 2ut 2x 26.若函数u 1(x,t),u 2(x,t), ,u n (x,t),⋯均性次方程2up2uq u r ux 2t 2xt的解，此中p,q,r 不过x,t 的函数，并且数uu k (x,t)收，并x,t 能够行两次k 1逐微分，求数uuk(x,t)足原方程（个叫做性次方程的叠加原理）.k1。
第五章 数理方程的建立,定解条件,傅里叶级数和傅里叶变换(简介),代尔塔函数的简介
ut = a2uxx + f ( x,t ) （有热源） 或 ut = a2uxx （无热源）。
若用 u 代表物体内某种物质的浓度。则扩散方程与热传导方程是一样的。
（3）泊松方程和拉普拉斯方程
若温度达到了稳定分布，即温度分布不随时间变化， ut = 0 ，则由热传 导方程可得温度稳定分布满足的方程为
dv
（积分形式），
∫v ∇ ⋅
JK Edv
=
1 ε
∫v
ρ dv
⇒
∇⋅
JK E
=
ρ ε
（微分形式）。
( ) 又
v∫l
JK E
⋅
d
K l
=
0
⇒
∫∫s
JK ∇×E
⋅
K ds
=
0
⇒
∇
×
JK E
=
0
，
∇
×
JK E
=
0
⇒
JK E
=
−∇u
，
u
为静电势（无旋场必为梯度场）
72
∴∇2u = − ρ ， 静电势满足的方程为泊松方程。
74
初始条件所反映的必须是物体上各点的初始状态，而不是仅仅某一点。
边界条件
一共有三类边界条件：
1.给定要求解的函数 u 在边界上的值 u ( x, y, z,t ) 边界上的x0 , y0 , z0
=
f
( x0, y0, z0,t ) ，称为
第一类边界条件。
例如：若研究长为 l 、两端固定的弦的振动情况，既然弦的两端 x = 0 ， x = l
所满足的方程。
设弦的质量密度为 ρ ，现在研究位于 x 到 x + dx 这一段弦的运动状况。这
数学物理方程学习指导书第3章经典方程的建立和定解条件
第3章经典方程的建立和定解条件在讨论数学物理方程的解法以前，我们首先要弄清楚数学物理方程所研究的问题应该怎样提，为此，我们从两方面来讨论，一方面要将一个具体的物理、力学等自然科学问题化为数学问题，即建立描述某种物理过程的微分方程一一数学物理方程，称此方程为泛定方程；另一方面要把一个特定的物理现象本身所具有的具体条件用数学形式表达出来，即列出相应的初始条件和边界条件，两者合称为定解条件•定解条件提出具体的物理问题，泛定方程提供解决问题的依据，作为一个整体称之为定解问题3. 1经典方程的建立在本节，我们将通过几个不同的物理模型推导出数学物理方程中三种典型的方程，这些方程构成我们的主要研究对象•经典方程的导出步骤：(1)确定出所要研究的是哪一个物理量u ；(2)用数学的“微元法”从所研究的系统中分割出一小部分，再根据相应的物理(力学)规律分析邻近部分和这个小部分间的作用(抓住主要作用，略去次要因素，即高等数学中的抓主部，略去高阶无穷小)，这种相互作用在一个短的时间间隔是如何影响物理量u(3)把这种关系用数学算式(方程)表达出来，经化简整理就是所需求的数学物理方程•例1弦的振动弦的振动问题，虽然是一个古典问题，但对于初学者仍然具有一定的启发性设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，而且除受不随时间而变的张力作用及弦本身的重力外，不受外力影响，下面研究弦的微小横向振动，即假定全部运动出现在一个平面上，而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动(图3-1).图3-1设弦上具有横坐标为X的点，在时刻t时的位置为M,位移NM记作u .显然，在振动过程中位移u 是变量X与t的函数u(x,t) •现在来建立位移u满足的方程我们把弦上点的运动先看作小弧段的运动，然后再考虑小弧段趋于零的极限情况•在弦上任取一弧段MM •，其长为ds,设是弦的线密度，弧段MM •两端所受的张力记作T , T ,现在考虑孤段MM在t时刻的受力情况，用牛顿运动定律，作用于弧段上任一方向上的力的总和等于这段孤的质量乘以该方向上的加速度•在x轴方向弧段受力的总和为_T cos T cos，由于弦只作横向振动，所以T cos - T cos = 0 .( 3.1)如果弦的振动很小，并且在振动过程中弦上的切线倾角也很小，即:-:-0^ 0，则由2 4“ a a _ _cos -1 -2! 4!可知，当:为无穷小量时，cos与1的差量是:的高阶无穷小量，可以略去不计，因此当在u方向弧段受力的总和为-T sin驀"T Sin:「：gds，其中「是单位弧段的质量,-gds是弧段MM •的重力又因当：一0，厂0时上式左边方括号内的部分是由于x产生dx的变化而引起的u(x,t)的改变量，可用微代入(3.1)式，便可近似得到COS：1,cos： 1T T .tg：sin：J i +tg2«tg，皿)，ex=tg：：：u(x dx,t)：u(x，t)lx dx.且小弧段在时刻t沿u方向运动的加速度为2:u(x,t)-t2小弧段的质量为'gds，所以-T sin 二"T sin : 一：gds」ds：：2u(x, t):t2(3.2)T/^-晋」gds -：2u(x,t)吐2dx,:x分代替，即:x£u(x+dx,t) £u(x,t) ◎「初匕,灯［故 $u(x,t )d x—'ex 1 —x,2 2T j u(x,t) j u(x,t)2 ------- --- --------- + 、x 2:xT”g dx 「'5.x 2t 2 g. 般说来，张力较大时弧振动速度变化很快，即u 要比g 大得多，所以又可以把 g 略去•:t经过这样逐步略去一些次要的量，抓住主要的量, 最后得出u( x, t)应近似地满足方程-2:U 2 a 2 一 t x■2u (3.3)T这里的a.式(3.3)称为一维波动方程.如果在振动过程中，弦上另外还受到一个与弦的振动方向平行的外力，且假定单位长 度所受外力的F(x,t)，显然，在这里(3.1)及(3.2)分别为T cos ； " -T cos ：二 0, o2 u Fds-Tsin 二■ T sin ： -，gds …ds —— ct利用上面的推导方法并略去弦本身的重量，可得弦的强迫振动方程为-2 -.2:U 2： U 亨=口 —-1: Xf(x,t),(3.3)'1其中 f(x,t) F(x,t).方程(3.3)与(3.3)'的差别在于(3.3)'的右端多了一个与未知函数 U 无关的项f(x,t),这个项称为自由项，包含有非零自由项的方程称为非齐次方程，自由项恒等于零的方程称为齐次方程.(3.3)为齐次一维波动方程，(3.3)'为非齐次一维波动方程. 例2传输线方程对于直流电或低频的交流电，电路的基尔霍夫定律指出同一支路中电流相等 .但对于较高频率的电流(指频率还没有高到能显著地幅射电磁波的情况)，电路中导线的自感和电容的效应不可忽略，因而同一支路中电流未必相等现考虑一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体(图3-2).在具有分布参数的导体中，电流通过的情况，可以用与电压v来描述，此处i与v都是x,t的函数，记作i(x,t)与v(x,t)，以R，L，C，G分别表示下列参数：R――每一回路单位的趾串联电阻，L——每一回路单位的串联电感，C――每单位长度的分路电容，G――每单位长度的分路电导•根据基尔霍夫第二定律，在长度为x的传输线中，电压降应等于电动势之和，即v -(v ：-v) = R x i L x而v x,ex故上式可写成Ri - L -(3.4)x 汀另外，由基尔霍夫第一定律，流入节点x的电流应等于流出该节点的电流，即=(i ：=i) C x G x v,(3.5) 将方程(3.4)与(3.5)合并，即得i与v 应近似地满足如下方程组这两个方程称为高频传输线方程.X 2=2:V;t 2LC ft 2 , 1；：2V1若令a 2这两个方程与(3.3)完全相同.由此可见，同一个方程可以用来描述不同的LC物理现象，一维波动方程只是波动方程中最简单的情况， 在流体力学、声学及电磁场理论中，还要研究高维的波动方程. 例3电磁场方程从物理学我们知道，电磁场的特性可以用电场强度 E 与磁场强度H 以及电感应强度 D与磁感应强度B 来描述，联系这些量的麦克斯韦(Maxwell)方程组为rotH = J, ct(3.8)cB耐百,(3.9)divB 二 0,(3.10)为了确定函数i 与v ，将方程(3.5)对x 微分，同时在方程(3.4)两端乘以C 后再对t 微分, 并把两个结果相减，即得将(3.4)中的兰代入上式，得CX这就是电流i 近似满足的微分方程，采用类似的方法从( 3.4)与(3.5)中消去i 可得电压V近似满足的方程方程(3.6)或(3.7)称为传输线方程.R, L,C,G 作不同的假定，就可以得到传输线方程的各种特殊形式•例如，在高频传输的情况下，电导与电阻所产生的效应可以忽略不计，也就是 说可令G = R = 0，此时方程(3.6)与(3.7)可简化为；：2i 1；：2i2・X 2iG 兰 一 LC ；x【RC 5, ct :t 2：2i2・i —二 LG X ;t 2 (RC GL)厂 GRi, ct(3.6).2轨LGxV(RC GL)二 GRv, .t :t(3.7)根据不同的具体情况，对参数divD 「.(3.11)将(3.9)与(3.13)代入得而 rot rotH 程为rot rotHrot rotHrotE 「rotE, :t21二 grad div - ' H ,且 divH divB = 0,所以最后得到H 所满足的方同理，若消去 H 即得E 所满足的方程2E如果介质不导电(卞-0)，则上面两个方程简化为2H 1 k 2Hr H , .t 二(3.15)(3.16)(3.15)与(3.佝称为三维波动方程.若将三维波动方程以标量函数的形式表示出来，则可写成其中J 为传导电流的体密度，「为电荷的体密度.这组方程还必须与下述场的物质方程D =eE,(3.13) (1.14)相联立，其中；是介质的介电常数， 」是导磁率，匚为导电率，我们假定介质是均匀而且是各向同性的，此时；，」，；「均为常数.方程(3.8)与(3.9)都同时包含有 E 与H ，从中消去一个变量，就可以得到关于另一个变 H ，在(3,8)式两端求旋度并利用(3.12)与(3.14)得(3.12) 量的微分方程，例如先消去(3.17)2 2 22- 2『召u d u & u= aJ = a — +一 +一2 , ^c x cy 氐丿 其中a_W ，u 是E 或H 的任意一个分量从方程(3.11)与(3.12)还可以推导出静电场的电位所满足的微分方程 •事实上，以(3.12)代入(3.11)得divD = div ；E = ； div E = ■,而电场强度E 与电位u 之间存在关系E = -gradu,所以可得Pdiv(gradu)= -一z或'、u = - — ,( 3.18)z这个非齐次方程称为泊松(Poisson )方程.如果静电场是无源的，即?=0,则(3.18)变成(3.19)这个方程称为拉普拉斯(Lap lace )方程. 例4热传导方程一块热的物体，如果体内每一点的温度不全一样，则在温度较高的点处的热量就要向 温度较低的点处流动，这种现象就是热传导.在工程技术上有许多传热问题都要归结为求物体内温度的分布，现在我们来推导传热过程中温度所满足的微分方程， 与上例类似，我们不是先讨论一点处的温度，而应该先考虑一个区域的温度.为此，在物体中任取一闭曲面S ，它所包围的区域记作 V (图3-3).假设在时刻t ，区域V 内点M(x,y,z)处的温度为u(x,y,z,t)，n 为曲面元素 S 的外法向(从V 内指向V 夕卜).图3-3:t2由传热学可知，在lt,^ t ］时间内，从 S 流入区域V 的热量与时间At ，面积 S ,以及沿曲面的法线方向的温度变化率三者的乘积成正比，即-k(grad u ) S t.其中k 称为物体的热传导系数，当物体为均匀导热体时，k 为常数.于是，从时刻t i 到时刻t 2，通过曲面S 流入区域V 的全部热量为t 2_Q i = tkgrad u1一 S流入的热量使 V 内温度发生了变化，在厶t 时间内区域V 内各点温度从u(x,y,z,t)变化到 u(x,y,z,t+ △ t)，则在△ t 内V 内温度升高所需要的热量为I I I c [u(x, y,z,t t)-u(x,y,z,t)]dVV从而从时刻t i 到时刻t 2，由于温度升高所吸收的热量为tJ ■ u二 c dV dt,飞 _ v ：t其中C 为物体的比热， '为物体的密度，对均匀物体来说，它们都是常数•由于热量守恒，流入的热量应等于物体温度升高所需吸收的热量，即上2 I.t 2. .：uJ t IJJkgradudS dt= J t | JJJ c°〒dV dt.ti.S _t^V醴—此式左端的由面积分中 S 是封闭曲面，可以利用奥 -高公式将它化为三重积分，即11 kgradudS 二 kdiv(gradu)dVSV因此有由于时间间隔't,r 11及区域V 都是任意取的，并且被积函数是连续的，所以 (3.20)式左 右恒等的条件是它们的被积函数恒等，即= Q= k S = t =cnk(grad udS dt.fu(x, y,z,t)dttdV.Q 2二 k 2udV,V：k 2udVti_ Vt2u IF t 」川 cP^dV dt. V ：t(3.20)3(3.21 ).u a :t或二维热传导方程如果我们考虑稳恒温度场，即在热传导方程中物体的温度趋于某种平衡状态，这时温 度u 已与时间t 无关，所以 —=0,此时方程(3.21)就变成拉普拉斯方程(3.19).由此可见稳恒Ct温度场内的温度 U 也满足拉普拉斯方程•在研究气体或液体的扩散过程时，若扩散系数是常数，则所得的扩散方程与热传导方 程完全相同•3. 2初始条件与边界条件上面所讨论的是如何将过程的物理规律用数学式子表达出来•除此以外，我们还需要把具体条件也用数学形式表达出来，这是因为任何一个具体的物理现象都是处在特定条件之下 的.例如弦振动问题，上节所推导出来的方程是一切柔软均匀的弦作微小横向振动的共同规 律，在推导这个方程时没有考虑到弦在初始时刻物状态以及弦所受的约束情况 •如果我们不是泛泛地研究弦的振动，势必就要考虑到弦所具有的特定条件 .因为任何一个具体振动现象总是在某时刻的振动状态和此时刻以前的状态有关，从而就与初始时刻的状态有关•另外，弦的两端所受的约束也会影响弦的振动， 端点所处的物理条件不同会产生不同的影响， 因而弦的振动也不同.所以对弦振动问题来说，除了建立振动方程以外，还需列出它的具体条件 对热传导方程，拉普拉斯方程也是如此.提出的条件应该恰恰能够说明某一具体物理现象的初始状态以及边界上的约束情况，其中a 2 = 2u=a 2；t2 2 2\ d u d u d u r + r + r cy cz厂■方程(3.21)称为三维热传导方程.若物体内有热源，其强度为F (x, y,z)，则相应的热传导方程为:u 2 a :t2 2 2u u u +r 2" 2x : yf(x, y,z,t),如果所考虑的物体是一根细杆 作为特例， 而其中的温度u 只与x,t (或x, y,t )有关,(或一块薄板)，或者即使不是细杆 (或薄板) 则方程(3.21)就变成一维热传导方程:U 2a：t-2；u-2:y 2用以说明系统的初始状态的条件称为初始条件 •用以说明边界上的约束情况的条件称为边界条件•下面具体说明初始条件和边界条件的表达形式，先谈初始条件，对于弦振动问题来说， 初始条件就是弦在开始时刻的位移及速度，若以 「(x),t (X )分别表示初位移和初速度，则 初始条件可以表达为t」= (x)-(X )t =0而对热传导方程来说，初始条件是指在开始时刻物体温度的分布情况，若以 「(M)表 示t=0时物体内任一点 M 处的温度，则热传导方程的初始条件就是u(M,t )tn 「(M).泊松方程与拉普拉斯方程都是描述稳恒状态的，与初始状态无头，所以不提初始条件 再谈边界条件•如果边界条件直接给出了未知函数 u(M ,t)在边界S 上的值，以s 表示边界S 上的动点，则这样的边界条件可表为u(M,t )M ：s 「(St),或简写成(3.24)这种边界条件称为第一类边界条件，其中(s,t)表示在边界S 上给定的已知函数•例如，在杆的导热问题中，若在端点 x = a 处温度保持为常数 u 0，这时在端点x = a 的边界条件为uxn =u 0・若在端点X =a 处温度随时间的变化规律 f (t)为已知，在这点的边界条件为ux 「f (t)・又如在弦振动问题中，若弦的某端点X = a 是固定的，则在该点的位移为零，即Uxn=0・以上都是第一类边界条件的例子 •总之，第一类边界条件直接给出了未知函数u(M ,t)在边界S 上的值但在许多情况下，边界上的物理条件并不能用第一类边界条件来描述 .例如，在杆的导热问题中，若杆的一端x 二a 绝热，那末绝热这个条件就不能直接给出杆的端点处的温度变cu 丄丄化.由于从杆外通过杆端流入杆内的热量为k —— 心S^t (其中A t 为时间间隔，AS 为杆cn(3.22)(3.23)的截面积，n 为杆在端点x=a 处的外法向，若 x=a 是杆的左端点，n 的正向与x 轴正向PuQuQu Qu相反，贝厂■,若x=a 是杆的右端点，则n 的正向与x 轴正向相同，贝厂 '), cnex cn ex所以绝热这个条件可以表达为0( Ik —也S 也 t = 0,cn xy即二 0.x =a若在单位时间内通过 x=a 端单位面积流入杆内的热量是 t 的已知函数f(t)，则这个条件可表示为对于弦振动问题来说， 如果弦在x=a 处是自由的，即沿着位移方向不受外力， 则此时弦在x=a 处沿位移方向的张力(参照 3.1中例1的推导) 为的形式，其中—表示函数沿边界外法向的变化率，这种边界条件称为第二类边界条件•cn除了上述两类边界条件外，有时还会遇到其他形式的边界条件 •例如在杆的导热热问题中，若杆在某个端点 x = a 自由冷却，那末自由冷却这个条件就是cuK 石=H (5 -ux =ax=a ),(其中U i 为周围介质的温度)即(加(k )u + h ———:u 1 h -1州」 X HI H 丿=f(t).x^a总之，有时边界条件必须表达为=0,(3.25)对于有界杆（0乞x 乞I ），若两端都是自由冷却，则在X = I 处，上述条件可表为-U 在x = 0处，这个条件可表为这是由于在单位时间内从周围介质传到杆的 X = a 端单位面积上的热量与介质和杆端的温度差成正比，而在单位时间内通过 考3.1中例4）.x = a 端单位面积传向杆内的热量与x=acn 丿X -i 成正比般地，这种边界条件的形式为(3.26)这样的边界条件称为第三类边界条件•不论哪一种边界条件，如果它的数学表达式中的右端自由项恒为零，则这种边界条件称为齐次的.3.3定解问题的提法前面两节我们推导了三种不同类型的偏微分方程并讨论了与它们相应的初始条件与边界条件的表达方式•由于这些方程中出现的未知函数的偏导数的最高阶都是二阶，而且它们对于未知函数及其各阶偏导数来说都是线性的，所以这种方程称为二阶线性偏微分方程*）1在工程技术上二介线性偏微分方程遇到最多•如果一个函数具有所需要的各阶连续编导数，并且代入某偏微方程中能使该方程变成恒等式，则此函数称为该方程的解•由于每一个物理过程都处在特定的条件之下，所以我们的任务是要求出适合初始条件和边界条件的解•初始条件和边界条件都称为定解条件•求一个偏微方程满足定解条件的解的问题称为定解问题只有初始条件，没有边界条件的定解问题称为始值问题（或柯西问题）；而没有初始条件，只有边界条件的定解问题称为边值问题；既有初始条件也有边界条件的定解问题称为混合问题•一个定解问题提得是否符合实际情况，当然必须靠实际来证实，然而从数学角度来看，可以从三方面加以检验•1）解的存在性，即看所结出来的定解问题是否有解；2）解的唯一性，即看是否只有一个解；3）解的稳定性，即看当定解条件有微小变动时，解是否相应地只有微小的变动，如果*）二阶线性编微分方程可以按它们的二阶导数的系数的代数性质进行分类，在§ 1・1中所推导的波动方程属于双曲型，拉普拉斯（或泊松）方程属于椭圆型，热传导方程属于抛物型，关于二阶线性偏微分方程的分类方法，读者可参阅复旦大学数学系编《数学物理方程》（第二版，上海科学技术岀版社岀版）第一章§5.确定如此，此解便称为稳定的，否则所得的解就无实用价值•因为定解条件通常总是利用实验方法获得的，因而所得到的结果，总有一定的误差，如果因此而解的变动很大，那末这种解显然不能符合客观实际的要求•如果一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的，在以后讨论中我们把着眼点放在讨论定解问题的解法上，而很少讨论它的适定性，这是因为讨论定解问题的适定性往往十分困难，而本书所讨论的定解问题都是古典的，它们的适定性都是经过证明了的.习题一1.长为I的均匀杆，侧面绝缘，一端温度为零，另一端有恒定热流q进入(即单位时间内通过单位截面积流入的热量为q ),杆的初始温度分布是x— x)，试写出相应的定解问题22.长为I的弦两端固定，开始时在x = C受到冲量的作用，试写出相应的定解问题3.有一均匀杆，只要杆中任一小段有纵向位移或速度，必导致邻段的压缩或伸长，这种仲缩传开去，就有纵波沿着杆传播，试推导杆的纵振动方程4.一均匀杆原长为I，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长e而静止，突然放手任其振动，试建立振动方程与定解条件.5.若F(z),G(z)是任意二阶可微函数，验证u = F (x at) G(x -at)满足方程-2 -2:-U 2： U2—a 2.t x6.若函数U i(x,t), U2(x, t)JM, U n(x, t)，…均为线性齐次方程-2 -2:u : u-~2 P 2~x :t的解，其中p,q, r只是x, t的函数，而且级数u k(x,t)收敛，并对x,t可以进行两次kz!逐项微分，求证级数u=：£u k(x,t)满足原方程(这个结论叫做线性齐次方程的叠加原理)k m。
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p(s)v(s)ds
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问题2的解答： 所有可能位移即表示这样一个函数集合：1o 满足
已知位移约束，即v ；2o 使总势能J (v)有意义。
界上的 p( x, y)（牛顿∕米），在它们的作用下，膜上各
点的位移为v( x, y)，则
外力作功 F ( x, y)v( x, y)dxdy p(s)v(s)ds
从而，当膜上各点的位移为v( x, y)时，总势能J (v)为
J(v)
T 2
(v
2 x
v
2 y
)dxdy
F ( x, y)v( x, y)dxdy
取膜的平衡位置为 xoy平面上的区域 ，以 u轴垂 直于 xoy平面，并与 x, y 轴组成右手系。在的边界 上， ，在 上已知膜的位移为，在上膜受到 外力的作用，设它的垂直于膜的分量为 p( x, y)。
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② 物理原理：从力学上讲，可以从不同角度来刻画
这个平衡状态。例如，力的平衡原理、虚功原理等。这
1.方程的导出
本章研究调和方程（又称拉普拉斯方程）
u
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0
(1.1)
以及泊松方程
u
2u x 2
2u y 2
2u z 2
f (x, y, z)
(1.2)
的基本定解问题及解的性质。
方程(1.1)及(1.2)具有广泛的物理背景，振动趋于
平衡，热传导趋于稳定以及保守场都可归结为方程
u
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0
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2.定解条件和定解问题
由于 u 与时间 无关，只是空间 变量的函数，所以 定解条件中只有边界条件，称为边值问题。本章主要 研究第一、二类边值问题及外问题。
(1) 第一边值问题（Dirichlet问题）
u | g （其中 g是在闭曲面 上给定的函数） (2) 第二边值问题（Neumann问题）
limu( x, y, z) 0 (r x2 y2 z2 )
r
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其它边界条件
(5) 第三类边界条件
u u g （其中n是 的单位外法向量）
n
(6) 等值面边界条件
u
待定常数C
（总流量边界条件）
u dS n
已知常数A
对于泊松方程 (1.2)的各种边值问题，只要找出泊松方程
变形所产生的面积的增量的乘积。即
应变能
T
T
1
v
2 x
v
2 y
1
dxdy
由于
1
1
1 2
o()
T 2
v
2 x
v
2 y
dxdy
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即：
应变能 T 2
(v
2 x
v
2 y
)dxdy
如果膜所受的垂直方向的外力有两个，一个为作用
在膜内的F ( x, y)（牛顿∕米 2），另一个是作用在膜的边
移”？
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问题 1 的解答： 按照弹性力学理论
总位能 ＝ 应变能 － 外力作功
处于某一位置的膜所具有的应变能就是把膜从水平
位置转移到这个位置，为了抵抗张力所作的功的总和。
从弹性力学理论知道：假设膜的形状为u v( x, y)，
则当 vx , v y 1时，膜的应变能可以表为张力与膜由于
大小为 M ，方向与 r2
PP0 同向。即
P(x, y,z)
F(
x,
y,
z)
M r2
x
r
x0
,
y
r
y0
,
z
r
z0
其中 r ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
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令 ( x, y, z) M r
经计算可得： F grad
称为引力位势。除了可以相差一个常数外，位势函
(1.1)或(1.2)
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定义 调和方程(1.1)的连续解，即，关于变量 x， y，z 具有二阶连续偏导数并且满足方程 (1.1)的连续函 数称为调和函数。
(1) 引力位势
P0 ( x0 , y0 , z0 )
F
位于 P0 处，质量为 M 的质点对于位于 P 处具有单位质量的质点的引力 F，
数是唯一确定的。
若质量以密度( x, y, z)分布在区域上，则 上的质 量所产生的总引力位势应为：
( x, y, z) (,,)
ddd
( x )2 ( y )2 (z )2
直接计算可得： 0 当( x, y, z) 时
还可进一步验证： －4 当( x, y, z) 时
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的一个特解，由叠加原理，就能化为调和方程 (1.1)的对应的
边值问题。由引力位势的方程可知，当 g 满足 Hölder 条件时，
这种特解是容易找到的。所以以后主要研究调和方程 (1.1)的
边值问题。
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3.变分原理
膜的平衡问题：
① 物理模型：考虑一处于紧张状态的薄膜，它的部 分边界固定在一框架上，另一部分边界上受到外力的作 用；若整个薄膜在垂直于平衡位置的外力作用下处于平 衡状态，问膜的形状如何？
u g （其中n是 的单位外法向量） n
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(3) Dirichlet外问题
u 0 ( x, y, z) 外部 u g
(4) Neumann外问题
u 0 ( x, y, z) 外部
u n
g
（其中n是 的单位内法向量）
注：当考虑外问题时，为保证解的唯一性，还需对解在 无穷远的状况加以限制。在三维情形，通常要求：
里用最小总位能原理，即
受外力作用的弹性体，在满足已知边界位移约束的
一切可能位移中，以达到平衡状态的位移使物体的总位
能为最小。
③ 数学形式：为了对膜的平衡问题写出上述原理
的数学形式，我们必须弄清楚两个概念。
1、什么叫总位？ 2、什么叫“满足已知边界位移约束的一切可能位
从而静电场的电势u应当满足泊松方程
u 4
如果静电场的某一区域里没有电荷，即ρ=0，则 静电场方程在该区域上简化为拉普拉斯方程
u 0
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(3) 稳定温度分布 热传导持续进行下去，如果达到平衡状态，温度
的空间分布不再变动，即ut 0。以ut 0代入三维热 传导方程，得到温度的稳定分布方程
(2) 静电场的电位势 从静电学知道，穿过闭合曲面 向外的电通量等
于闭合曲面 所围空间 G 中的电量的 4 倍，即
E ndS 4 dxdydz
G
应用高斯公式，上式可改写为：
Edxdydz 4 dxdydz
G
G
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由区域G的任意性得： E 4
静电场方程
由于静电场是无旋场，因而存在电势u， E u