数学建模 易拉罐的设计问题

易拉罐的形状和尺寸的最优设计
一旅五队赵久国（3782011040）摘要
现实生活中，我们会发现销售量很大的易拉罐饮料（例如：体积为355毫升的可乐，啤酒，雪碧，七喜等）的形状和尺寸几乎都一样，联系利润问题，我们可能会猜想同样是355毫升的容量，设计成那样的形状可能会节约易拉罐的制造成本。

带着这样的猜想，我通过数学建模的方法去寻找原因。

本文就是通过建立简化的数学模型，找到在易拉罐体积一定（355毫升）的条件下，使得易拉罐材料最省（通过计算易拉罐的表面积来表示用料）的外形及尺寸。

我第一步是实际调查研究（发现：实际生活中没有把易拉罐设计成长方体的形状的，都是接近圆柱体的，可以断定长方体没有圆柱体节省材料，于是对于后面的模型只考虑圆柱体的情况）；第二步是通过简化建模所需的条件（假定易拉罐的侧面和底面用的材料都一样且厚度都一样（注：现实生活中肯定不一样，这需要前面模型的优化））；第三步是建立的简单模型，并且进行求解；第四步是对模型所得的数据进行分析，和与实际生活中所测的易拉罐的数据进行对比；第五步是得出基本的结论和对模型进行改进，粗略确定易拉罐外形和尺寸的最佳设计方案。

关键词：355毫升易拉罐简化条件模型设计导数求极值
对比分析优化设计
第一步：
对于体积恒定的355毫升的易拉罐，在保证体积不变的情况下设计他的形状，尺寸，要求是表面积最小。

第二步：
假设：
1.易拉罐设计的形状为圆柱体，侧面和底面用的材料都一样且厚度都一样.
2.易拉罐的体积一定.
3.确定变量和参数：设易拉罐内半径为r,高度为h ，厚度为a ，体积为v ，表面积为s 。

其中r 和h 是自变量，易拉罐面积s 是因变量，而体积v 是固定参数，则s 和v 分别为：
2222233
222()()2422,s r a a r a h r h
ar a r a hra ha v v r h h r ππππππππππ=+⨯++⨯-=++++==
第三步：
根据前两步建立模型：
2g(,)min (,)
0,0,(,)0r h r h v
s r h r h g r h π=-=>>=设目标函数其中且
V 是已知的，g(r,h)是约束条件，目标函数s 就是要求在体积V 一定的条件下求S 的最小值，此时r 和s 的比值。

第四步：
模型求解：
在设计中不好假设其厚度a 和内径r ，因此我采用了现实生活中所测的数据，其中我了解到23,a a 很小，为了简化计算，我将带这两项的忽略了。

于是目标函数s 化简后为：
22(,)(,())2av s r h s r h r ar r
π==+ 模型简化为求目标函数s(r,h(r))的最小值了。

令其导数为零，即：'(,())0,S r h r =解得其零界点为：
r =
于是：222v
h r π===
34''()4,s ''120,av s r a a r ππ=+=>因为则所以当r:h=1:2时，s 最小，为最优解。

第五步：
在假设易拉罐是圆柱体，厚度相同，体积一定的条件下，易拉罐的（用料）表面积S 最小时，通过求导，得到高是半径的两倍，h:r=2：1,此时，s 为最优解。

但是考略到现实生活中易拉罐的底明显要比侧面厚，因此需要对上述模型进行优化，即：易拉罐两个底面的厚度是侧面的3倍。

相同方法建立第二个模型：
()2
2222322223()61262,s r a a r a h r h
a r a r a rah a h v v r h h r ππππππππππ=+⨯++⨯-=++++==
目标函数S=mins(r,h) r>0,h>0 g （r,h)=0
同样求s 的最优解。

模型求解：
相同的方法的 226av s a r r
π=+ 求s(r,h(r))
的最小值，求导得：266v r h r π====则
34''()12,480,av s r a s a r ππ=+=>因为则所以h=6r 时，s 为最优解。

分析：
分析上两个模型，可以推测出厚度比例不同，会影响半径与高的比值。

因此为了使模型更加一般化，我设：a 为侧面厚度，b 为比率，则，底的厚度为ab
解出：
当r:h=1:2b 时，s 为最优解。

最后：我通过建立了简单的数学模型，发现了易拉罐设计形状，尺寸
大小的原因是，当半径与高有特定比例（这比例与侧面与地面的厚度比有关）时，易拉罐的制作材料最少。

本模型简化了很多，因此为了更加接近实际情况，我还需要考略更多的情况，原因。