经济数学基础1

(3)
x2 3
(4) ( x 2)2 9
解： （1）由绝对值性质得
3 x 1 3
x 1 2或x 1 2
x 3
2 x 4 （2）由绝对值性质得
x 1或x 3 （3）由绝对值性质（两边取算术根）得
x 3或x 3 （4）由绝对值性质（两边取算术根）得
x1 1, x2 2 都是 x 2 3 x 2 0 的根
”、小于号 不等式——用大于号“>”、 大于等于号“ “<”、 小于等于号“ ” 等不等号将两个代数式连结起来 的式子． （1） 一元一次不等式（组）
含有一个未知量，并且未知量的最高次幂是一次的 不等式称为一元一次不等式。
a
(
O
b
]
x
上述有限区间的区间长度均为 b a ，且 a 称为区间的左端点 b 称为区间的右端点。
以下5类集合都称为无限区间 集合 x x a x a x ，记为(a , ) 集合 x x a x a x ，记为[a , )
ab a b
任何一个实数绝对值等于该实数平方后的算术平方根，即
x x2
2 方程与不等式
用等号连接的两个式子叫做等式，含有未知量的等式 叫做方程．如：
2 x 1 5 , x2 3 x 2 0 2 x y 5 x y 1
能够使方程成为恒等式的未知量的值叫做方程的解．
互为相反的一对数，其绝对值相等，即 x x
两个实数乘积的绝对值等于两个实数绝对值的乘积，即
ab a b
两个实数商的绝对值等于两个实数绝对值的商，即 a a ( b 0) b b 两个实数和的绝对值不大于两个实数绝对值之和，即
ab a b
两个实数差的绝对值不小于两个实数绝对值之差，即
2 如果 x a ，那么 x 称为 a 的平方根。
正数 a 才有平方根，其平方根是两个相反的数 a ，其中 a 称为 a 的算术平方根或简称算术根。
3 如果 x a ，那么 x 称为 a 的立方根。
1.2 数轴与绝对值 规定原点、正方向和长度单位的直线叫做数轴．
数轴上的 O表示原点，原点右边的点表示正数，原点左边的 点表示负数．
a
(
O
b
)
x
集合 x a x b 称为以a , b为端点的闭区间，记为[a , b] 集合 x a x b 称为以a , b为端点的半开区间，记为[a , b )
a a
[
O
b
]x[O Nhomakorabeab
)
x
集合 x a x b 称为以a , b为端点的半开区间，记为(a , b]
解： 由以上结果可得
(1) x x2或x x1 (2) x1 x x2
例3：解不等式
(1) x 2 -5 x 6 0 (2) x 2 +4x 5 0
解： (1) x 2 -5 x 6 ( x 2)( x 3) 0
(2) x 2 +4x 5 ( x 5)( x 1) 0
3 x 2
1 (2) 2 x 2 +x 1 2( x )( x 1) 0 2 1 x 或x 1 2 (3) 1 x 3 1 2 x4
(4) x 2 16 x 4
4 x 4
3 区间与邻域
介于两个实数 a, b 之间的全体实数构成的集合称为有限区间。 设 a, b R, 且a b 集合 x a x b 称为以a , b为端点的开区间，记为(a , b )
例如 25 32 ( 1.3)2 1.69
a 0 1 (a 0) ( 2)3 8
0100 0
VI 开方规则 正数的奇次方根是一个正数．
3
125 5 0 0
正数的偶次方根有两个互为相反的数； 0 的n（n为正整数）次方根是 0；
n
9 3 25 5
负数的奇次方根是一个负数，在实数范围内，负数没有偶 3 次方根． 8 2
第一章
第0节
函数
预备知识
1．实数 由于经济数学基础这门课程主要是在实数范围内研究 微积分、线性代数等问题,因此,本节课主要复习与实数有 关的一些基础知识. 1.1 实数中的基本概念及运算 (1) 实数按照以下方法分类，形成实数系表：
R
实数由有理数和无理数组成．
有理数——能表示为两个整数相除形式的数（包括整数、分 数（或表示成有限小数、无限循环小数））； 无理数——无限不循环小数，即不能表示为两个整数相除形 式的数． (2) 基本概念
数轴上的点与全体实数是一一对应的．
数 x 的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离， 记作： x
正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数，0 的绝 对值是 0．即 x x0 x 0 x0 x x 0 例如 19 19 , 0 0 , 2.56 2.56 绝对值有以下性质： 任何实数都有唯一的绝对值，且绝对值非负，即 x 0 任何一个实数都不大于它的绝对值，且不小于它的绝对值 的相反数，即 x x x

x2 x 1 2 2

x2 x 1
不等式组的解为：1 x 2
2x 4x 6 练习1：解不等式组 4 x 3 2 x 1
（2） 一元二次不等式（组） 设 x 2 bx c ( x x1 )( x x2 )
集合 x x b x x b，记为( , b )
实数集 R x x ，记为( , )
a - ( b - c) = a - b + c a - b + c = a - ( b - c)
(-a) b = -( b a)
(-a) (-b) = b a
V 乘方规则 正数的非 0 次幂是正数；
负数的非 0 偶次幂是正数，奇次幂是负数；
0 的正数次幂等于 0，非 0 数的 0 次幂等于 1．
(3) 实数的运算规则 I 加法、乘法运算规则 加法交换律 a + b = b + a 加法结合律 (a + b) + c = a + (b + c) 乘法交换律 a b = b a 乘法结合律 (a b) c = a (b c)
1 1
2
分配律 a (b + c) = a b + a c
b b 2 4ac x 2a
c 因式分解法：将方程变形为
x2 b c x 0 a a
再将方程写成两个一次项的乘积
b c x x ( x p)( x q ) a a
2
找到 p, q 即得方程的根：x1 p, x2 q
如 x 2 3 x 2 ( x 1)( x 2)
方程的求解方法： a.公式法
b b 2 4ac x 2a
当b2 4ac 0时，有两个不同实数根
b b 2 4ac x1 2a b b 2 4ac ， x2 2a
当b2 4ac 0时，有两个相同实数根
b x1 x2 2a
当b2 4ac 0时，没有实数根
x2 3
3 x 2 3 1 x 5
练习2：解下列不等式
(1)
(3)
x 2 +x 6 0
x3 1
(2) 2 x 2 +x 1 0 (4) x 2 16 0
2 解答： (1) x +x 6 ( x 3)( x 2) 0
II 括号规则
a + ( b - c) = a + b – c a + b - c = a + ( b - c) III 正负规则 a (-b) = -( b a) IV 比例规则
a 1 a (b 0) b b a c ac b d bd a c ad bc (b, d 0) b d bd a c a d ad (b, d 0) (b, d 0) b d b c bc
正数和0通常叫做非负数，即当 x 是非负数时，x 0 相反，0和负数通常叫做非正数，即当 y 是非正数时，y 0
在我们遇到的问题中，只用有理数来描述也是不够的。例 如，一个两条等边长为 1分米的等腰直角三角形，其第三条 边的长度是 2 分米。又如,圆的周长与直径之比是一个常数 ，叫做圆周率，用符号 表示。这里的 2 和 是不能被表 示成两个整数之比的，这些数被叫做无理数．无理数又分为 正无理数和负无理数．
ax b 0 (a 0)
含有相同未知量的几个一元一次不等式所组成的不等 式组称为一元一次不等式组。 解法： 移项得 ax b
若a 0，则 x b b ; 若a 0，则 x a a
7 x 3 5 x 1 例1：解不等式组 x 1 x 2 2 7 x 5 x 3 1 解： x 1 x 2 2
正数——由正整数、正分数和正小数组成，记作 a 0
有时用正数也不能准确描述一件事情，例如，白天的最高 气温为7°C,晚上气温下降了10°C，达到最低气温那么应该 怎样描述晚上最低温度呢？
a 负数——在正数前面添上“－”号的数，记作
用负数就可以将晚上最低温度记为-3°C．
( a 0)
0 是一个特殊的数.它既不是正数，也不是负数，而是一 个正、负数的分界数，是一个中性的整数．
含有一个未知量的方程的解也叫做方程的根．
x 2是 2 x 1 5 的根, x1 1, x2 2 都是 x 2 3 x 2 0 的根