第四章-特殊函数(上)-勒让德多项式和球谐函数
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无关,则 m 0,即有
(4.1.4)
若所讨论的问题具有旋转轴对称性,即定解问题的解与
1 d d sin l (l 1) 0 sin d d
称为 l 阶勒让德 (legendre)方程.
(4.1.5)
同样若记
arc cos x, y( x) ( x)
4.2 勒让德多项式的性质
4.2.1 勒让德多项式的性质 1. 勒让德多项式的零点 对于勒让德多项式的零点,有如下结论: (i) Pn ( x) 的
n 个零点都是实的,且在 (1,1) 内;
Pn ( x) 的零点互相分离.
(ii) Pn 1 ( x) 的零点与 2. 奇偶性
根据勒让德多项式的定义式,作代换 x ( x), 容易得到
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 4.1
计算 Pl (0) ,这应当等于多项式
Pl ( x) 的常数项.
则
如 l 为
2n 1(即为奇数)时,
P2 n 1 ( x)
只含奇 数次幂,不含常数项,所以
P2 n1 (0) 0
.
(4.1.8)
则 l 2n (即为偶数)时, P2 n ( x) 含有常数项,即 (4.1.7)中
1
注意到 ( x 2 1) l ( x 1) l ( x 1) l 以 x 1 为 l 级零点,
d l 1 ( x 2 1)l 故其 (l 1) 阶导数 dxl 1
必然以 x 1为一级零点,从而上式已积出部分的值为零
(1)1 N 2l 2 2 (l !)
式(4.1.7)即为勒让德多项式的级数表示. 注意到 x cos , 故可方便地得出前几个勒让德多项式:
P0 ( x) 1
P1 ( x) x cos
1 1 2 P2 ( x) (3x 1) (3cos 2 1) 2 4 1 1 P3 ( x) (5 x3 3x) (5cos 3 3cos ) 2 8
(4.1.13)
利用拉普拉斯积分表示(4.1.12),还可以证明
Pl ( x) 1
,
(1 x 1)
x
(4.1.14)
【证明】 如从 ,则
回到原来的变量 , x
cos
1 π l Pl (cos ) cos i sin cos d π 0 1 π l Pl (cos ) cos i sin cos d π 0 l /2 1 π 2 2 2 0 cos sin cos d π l /2 1 π 1 π 2 2 0 cos sin d π 0 d 1 π
l 次求导过程中成为零,所以只需保留幂次 (2l 2k ) l l l k 的项,即 的项,应取 kmax [ ] ,并且注意到 2 2
dl 2l 2 k l 2k x (2l 2k )(2l 2k 1) [2l 2k (l 1)]x l dx
Pl ( x) (1)l Pl ( x)
即当
l l
(4.2.1) 为偶数时,勒让德多项式 Pl ( x )为偶函数, 为奇数时
Pl ( x)为奇函数
3.勒让德多项式的正交性及其模
不同阶的勒让德多项式在区间 [1,1] 上满足
其中 当
1
1
Pn ( x)Pl ( x)dx Nl2 n ,l
因此有
1 d 2 l k (2l 2k )(2l 2 k 1) (l 2 k 1) l 2 k ( x 1) (1) x l l l 2 l ! dx 2 k !(l k )! k 0
l
l [2]
(2l 2k )! (1) l xl 2 k Pl ( x). 2 k !(l k )!(l 2k )! k 0
(4.1.2) 式的解 Y ( , ) 与半径 ,或简称为球函数.
(4.1.2)
r
无关,称为球谐函数
球谐函数方程进一步分离变量,令
Y ( , ) ( )( )
得到关于 的常微分方程
1 d d m2 sin l (l 1) 2 0 sin d d sin
称为 l 阶连带勒让德方程或缔合勒让德方程 l . 令
(4.1.3)
x cos
和
y( x) ( x)
把自变数从
换为
x ,则方程(4.1.3)可以化为下列
形式的 l 阶连带勒让德方程
d2 y dy m2 (1 x 2 ) 2 2 x l (l 1) y0 2 dx dx 1 x
2
(4.1.12)
,半径为
x2 1
zx
i
x x 1e
d i x 2 1ei d i( x)d
并注意到
2 1 ( x x 2 1ei )2 1 ( x 2 1)(1 ei2 ) 2 x x 2 1ei
2 x 2 1ei ( x x 2 1cos ) 2( x)( x x 2 1cos )
d [(1 x 2 )Pl( x)] l (l 1)Pl ( x) 0 dx d [(1 x 2 )Pn ( x)] n(n 1)Pn ( x) 0 dx
两式相减,并在[-1,1] 区间上对x积分,得
d d 2 ( x)] Pl ( x) [(1 x 2 )Pn ( x)]}dx 1{Pn ( x) dx [(1 x )Pl dx
1 l 2 l l 1 2 l 1
1 d ( x 1) d ( x 1) 1 2l 2 2l 2 2 (l !) dxl dxl 1 1 2 (l !)
d l 1 ( x 2 1)l d d l ( x 2 1)l 1 dxl 1 dx dxl dx
2 l
dl 1 ( x 2 1)l dl 1 ( x 2 1)l dx l 1 1 dxl 1 dx
l [2]
k
3.勒让德多项式的积分表示
根据柯西积分公式的高阶导数,并取正方向积分有
f
(l )
l! f ( ) ( z) C ( z)l 1 d 2πi
容易证明微分表示(4.1.10)也可表示为环路积分形式
பைடு நூலகம்
1 1 Pl ( x) 2πi 2l
C为
( 2 1)l C ( x)l 1 d
(2)模 (利用分部积分法证明)
N [Pl ( x)]2 dx
2 l 1 1
为了分部积分的方便,把上式的 Pl (x)用微分表示给出,则有
1 N 2l 2 2 (l !)
2 l
d l ( x 2 1)l d d l 1 ( x 2 1)l 1 dxl dx dxl 1 dx
(2 因此, n)! (2n)!! (2n 1)!!
2、勒让德多项式的微分表示
1 dl Pl ( x) l ( x 2 1)l 2 l ! dxl
(4.1.10)
上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯(Rodrigues) 表示式.
下面证明表达式 (4.1.10) 和(4.1.7)是相同的.
1
[n(n 1) l (l 1)] Pl ( x)Pn (x)dx
1 1
因为上面等式左边的积分值为
(1 x 2 )[Pn ( x)Pl( x) Pl ( x)Pn ( x)] |1 1 0
所以当 n l 时,必然有
1
1 l
P ( x)Pn ( x)dx 0 成立.
【证明】 用二项式定理把
( x 2 1) l展开
l 1 2 l 1 l l! 1 2 l k k k ( x 1) l ( x ) (1) (1) l x 2l 2 k 2 l l! 2 l! k 0 (l k )!k! 2 k!(l k )! k 0
把上式对x求导 l 次.凡是幂次 (2l 2k ) l 的项在
(4.1.11)
z 平面上围绕 z x 点的任一闭合回路,
并取正方向.这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式.
式(4.1.11)还可以进一步表为下述拉普拉斯积分.
1 π Pl ( x) ( x i 1 x 2 cos )l d π 0
【证明】 取 C 为圆周,圆心在 在 C 上有:
k l 2n
的那一项,所以
(2n)! n (2n 1)!! (4.1.9) P2 n (0) (1) 2 n (1) 2 n !n ! (2n)!! 式中记号 (2n)!! (2n)(2n 2)(2n 4)6 4 2
n
而 (2n 1)!! (2n 1)(2n 3)(2n 5)5 3 1
代入(4.1.11)得到
1 2π Pl ( x) ( x x 2 1 cos )l d 2π 0 1 π ( x i 1 x 2 cos )l d (4.1.12) π 0
这即为勒让德多项式的拉普拉斯积分表示. 从该积分还很容易看出
Pl (1) 1 Pl (1) (1)l
k
(4.1.7)
上式中[l/2]表示不 大于l/2的最大整数
l 2, l [ ] 2 l 1 , 2
l 2n ( n 0,1,2, ) l 2n 1
上式具有多项式的形式,故称 Pl ( x ) 为 l 阶勒让德多项式. 勒让德多项式也称为 第一类勒让德函数.
则上述方程也可写为下列形式的 l 阶勒让德方程
d 2 dy [(1 x ) ] l (l 1) y 0 dx dx
(4.1.6)
4.1.2 勒让德多项式的表示 1. 勒让德多项式的级数表示
我们知道:在自然边界条件下,勒让德方程的解 Pl ( x ) 为
l [ ] 2
(2l 2k )! l 2k Pl ( x) (1) l x 2 k !(l k )!(l 2k )! k 0
n ,l
1 0
1 1
(4.2.2)
(n l ) (n l )
(4.2.3)
n l 时满足 Pn ( x)Pl ( x)dx 0 ,
称为正交性. 相等时可求出其模
Nl
2 1 l
1
2 P ( x)dx 2l 1
(l 0,1,2,)
(4.2.4)
下面给出公式(4.2.2),及其模(4.2.4)的证明 【证明】 (1)正交性 勒让德多项式必然满足勒让德方程(4.1.6),故有
第四章 特殊函数(上)
——勒让德多项式 球函数
本章主要内容:勒让德多项式的来源、定 义、性质、生成与递推公式,球谐函数。
在球坐标系下对拉普拉斯方程分离变量径向部分得到 欧拉型常微分方程
d2 R dR 2 r 2r l (l 1) R 0 2 dr dr
和球谐函数方程
(4.1.1)
1 Y 1 2Y l (l 1)Y 0 sin 2 2 sin sin
1 1 4 2 P4 ( x) (35 x 30 x 3) (35cos 4 20cos 2 9) 8 64 1 1 5 3 P5 ( x) (63x 70 x 15 x) (63cos 5 35cos 3 30cos ) 8 128
P6 ( x) 1 1 (231x 6 315 x 4 105 x 2 5) (231cos 6 126cos 4 105cos 2 50) 16 512
(4.1.4)
若所讨论的问题具有旋转轴对称性,即定解问题的解与
1 d d sin l (l 1) 0 sin d d
称为 l 阶勒让德 (legendre)方程.
(4.1.5)
同样若记
arc cos x, y( x) ( x)
4.2 勒让德多项式的性质
4.2.1 勒让德多项式的性质 1. 勒让德多项式的零点 对于勒让德多项式的零点,有如下结论: (i) Pn ( x) 的
n 个零点都是实的,且在 (1,1) 内;
Pn ( x) 的零点互相分离.
(ii) Pn 1 ( x) 的零点与 2. 奇偶性
根据勒让德多项式的定义式,作代换 x ( x), 容易得到
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 4.1
计算 Pl (0) ,这应当等于多项式
Pl ( x) 的常数项.
则
如 l 为
2n 1(即为奇数)时,
P2 n 1 ( x)
只含奇 数次幂,不含常数项,所以
P2 n1 (0) 0
.
(4.1.8)
则 l 2n (即为偶数)时, P2 n ( x) 含有常数项,即 (4.1.7)中
1
注意到 ( x 2 1) l ( x 1) l ( x 1) l 以 x 1 为 l 级零点,
d l 1 ( x 2 1)l 故其 (l 1) 阶导数 dxl 1
必然以 x 1为一级零点,从而上式已积出部分的值为零
(1)1 N 2l 2 2 (l !)
式(4.1.7)即为勒让德多项式的级数表示. 注意到 x cos , 故可方便地得出前几个勒让德多项式:
P0 ( x) 1
P1 ( x) x cos
1 1 2 P2 ( x) (3x 1) (3cos 2 1) 2 4 1 1 P3 ( x) (5 x3 3x) (5cos 3 3cos ) 2 8
(4.1.13)
利用拉普拉斯积分表示(4.1.12),还可以证明
Pl ( x) 1
,
(1 x 1)
x
(4.1.14)
【证明】 如从 ,则
回到原来的变量 , x
cos
1 π l Pl (cos ) cos i sin cos d π 0 1 π l Pl (cos ) cos i sin cos d π 0 l /2 1 π 2 2 2 0 cos sin cos d π l /2 1 π 1 π 2 2 0 cos sin d π 0 d 1 π
l 次求导过程中成为零,所以只需保留幂次 (2l 2k ) l l l k 的项,即 的项,应取 kmax [ ] ,并且注意到 2 2
dl 2l 2 k l 2k x (2l 2k )(2l 2k 1) [2l 2k (l 1)]x l dx
Pl ( x) (1)l Pl ( x)
即当
l l
(4.2.1) 为偶数时,勒让德多项式 Pl ( x )为偶函数, 为奇数时
Pl ( x)为奇函数
3.勒让德多项式的正交性及其模
不同阶的勒让德多项式在区间 [1,1] 上满足
其中 当
1
1
Pn ( x)Pl ( x)dx Nl2 n ,l
因此有
1 d 2 l k (2l 2k )(2l 2 k 1) (l 2 k 1) l 2 k ( x 1) (1) x l l l 2 l ! dx 2 k !(l k )! k 0
l
l [2]
(2l 2k )! (1) l xl 2 k Pl ( x). 2 k !(l k )!(l 2k )! k 0
(4.1.2) 式的解 Y ( , ) 与半径 ,或简称为球函数.
(4.1.2)
r
无关,称为球谐函数
球谐函数方程进一步分离变量,令
Y ( , ) ( )( )
得到关于 的常微分方程
1 d d m2 sin l (l 1) 2 0 sin d d sin
称为 l 阶连带勒让德方程或缔合勒让德方程 l . 令
(4.1.3)
x cos
和
y( x) ( x)
把自变数从
换为
x ,则方程(4.1.3)可以化为下列
形式的 l 阶连带勒让德方程
d2 y dy m2 (1 x 2 ) 2 2 x l (l 1) y0 2 dx dx 1 x
2
(4.1.12)
,半径为
x2 1
zx
i
x x 1e
d i x 2 1ei d i( x)d
并注意到
2 1 ( x x 2 1ei )2 1 ( x 2 1)(1 ei2 ) 2 x x 2 1ei
2 x 2 1ei ( x x 2 1cos ) 2( x)( x x 2 1cos )
d [(1 x 2 )Pl( x)] l (l 1)Pl ( x) 0 dx d [(1 x 2 )Pn ( x)] n(n 1)Pn ( x) 0 dx
两式相减,并在[-1,1] 区间上对x积分,得
d d 2 ( x)] Pl ( x) [(1 x 2 )Pn ( x)]}dx 1{Pn ( x) dx [(1 x )Pl dx
1 l 2 l l 1 2 l 1
1 d ( x 1) d ( x 1) 1 2l 2 2l 2 2 (l !) dxl dxl 1 1 2 (l !)
d l 1 ( x 2 1)l d d l ( x 2 1)l 1 dxl 1 dx dxl dx
2 l
dl 1 ( x 2 1)l dl 1 ( x 2 1)l dx l 1 1 dxl 1 dx
l [2]
k
3.勒让德多项式的积分表示
根据柯西积分公式的高阶导数,并取正方向积分有
f
(l )
l! f ( ) ( z) C ( z)l 1 d 2πi
容易证明微分表示(4.1.10)也可表示为环路积分形式
பைடு நூலகம்
1 1 Pl ( x) 2πi 2l
C为
( 2 1)l C ( x)l 1 d
(2)模 (利用分部积分法证明)
N [Pl ( x)]2 dx
2 l 1 1
为了分部积分的方便,把上式的 Pl (x)用微分表示给出,则有
1 N 2l 2 2 (l !)
2 l
d l ( x 2 1)l d d l 1 ( x 2 1)l 1 dxl dx dxl 1 dx
(2 因此, n)! (2n)!! (2n 1)!!
2、勒让德多项式的微分表示
1 dl Pl ( x) l ( x 2 1)l 2 l ! dxl
(4.1.10)
上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯(Rodrigues) 表示式.
下面证明表达式 (4.1.10) 和(4.1.7)是相同的.
1
[n(n 1) l (l 1)] Pl ( x)Pn (x)dx
1 1
因为上面等式左边的积分值为
(1 x 2 )[Pn ( x)Pl( x) Pl ( x)Pn ( x)] |1 1 0
所以当 n l 时,必然有
1
1 l
P ( x)Pn ( x)dx 0 成立.
【证明】 用二项式定理把
( x 2 1) l展开
l 1 2 l 1 l l! 1 2 l k k k ( x 1) l ( x ) (1) (1) l x 2l 2 k 2 l l! 2 l! k 0 (l k )!k! 2 k!(l k )! k 0
把上式对x求导 l 次.凡是幂次 (2l 2k ) l 的项在
(4.1.11)
z 平面上围绕 z x 点的任一闭合回路,
并取正方向.这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式.
式(4.1.11)还可以进一步表为下述拉普拉斯积分.
1 π Pl ( x) ( x i 1 x 2 cos )l d π 0
【证明】 取 C 为圆周,圆心在 在 C 上有:
k l 2n
的那一项,所以
(2n)! n (2n 1)!! (4.1.9) P2 n (0) (1) 2 n (1) 2 n !n ! (2n)!! 式中记号 (2n)!! (2n)(2n 2)(2n 4)6 4 2
n
而 (2n 1)!! (2n 1)(2n 3)(2n 5)5 3 1
代入(4.1.11)得到
1 2π Pl ( x) ( x x 2 1 cos )l d 2π 0 1 π ( x i 1 x 2 cos )l d (4.1.12) π 0
这即为勒让德多项式的拉普拉斯积分表示. 从该积分还很容易看出
Pl (1) 1 Pl (1) (1)l
k
(4.1.7)
上式中[l/2]表示不 大于l/2的最大整数
l 2, l [ ] 2 l 1 , 2
l 2n ( n 0,1,2, ) l 2n 1
上式具有多项式的形式,故称 Pl ( x ) 为 l 阶勒让德多项式. 勒让德多项式也称为 第一类勒让德函数.
则上述方程也可写为下列形式的 l 阶勒让德方程
d 2 dy [(1 x ) ] l (l 1) y 0 dx dx
(4.1.6)
4.1.2 勒让德多项式的表示 1. 勒让德多项式的级数表示
我们知道:在自然边界条件下,勒让德方程的解 Pl ( x ) 为
l [ ] 2
(2l 2k )! l 2k Pl ( x) (1) l x 2 k !(l k )!(l 2k )! k 0
n ,l
1 0
1 1
(4.2.2)
(n l ) (n l )
(4.2.3)
n l 时满足 Pn ( x)Pl ( x)dx 0 ,
称为正交性. 相等时可求出其模
Nl
2 1 l
1
2 P ( x)dx 2l 1
(l 0,1,2,)
(4.2.4)
下面给出公式(4.2.2),及其模(4.2.4)的证明 【证明】 (1)正交性 勒让德多项式必然满足勒让德方程(4.1.6),故有
第四章 特殊函数(上)
——勒让德多项式 球函数
本章主要内容:勒让德多项式的来源、定 义、性质、生成与递推公式,球谐函数。
在球坐标系下对拉普拉斯方程分离变量径向部分得到 欧拉型常微分方程
d2 R dR 2 r 2r l (l 1) R 0 2 dr dr
和球谐函数方程
(4.1.1)
1 Y 1 2Y l (l 1)Y 0 sin 2 2 sin sin
1 1 4 2 P4 ( x) (35 x 30 x 3) (35cos 4 20cos 2 9) 8 64 1 1 5 3 P5 ( x) (63x 70 x 15 x) (63cos 5 35cos 3 30cos ) 8 128
P6 ( x) 1 1 (231x 6 315 x 4 105 x 2 5) (231cos 6 126cos 4 105cos 2 50) 16 512