6勒让德多项式
球的表面积公式6种推导
球的表面积公式6种推导球是一种常见的几何体，在生活中我们经常会接触到它，比如足球、篮球、乒乓球等等。
球的表面积是一个比较基础的数学问题，不同的推导方法可以帮助我们更好地理解球体的结构和特性。
本文将介绍6种球的表面积公式的推导方法。
一、解析几何推导法球的方程为：x + y + z = r其中，r为球的半径。
我们可以通过对球的方程进行求导，得到球的面积公式：S = 4πr二、微积分推导法我们可以将球体分成无数个微小的面元，每个面元的面积为dS。
将所有面元的面积加起来，就可以得到球的表面积S。
假设球的方程为：x + y + z = r则球的面积可以表示为：S = dS = cosθdxdy其中，θ为面元法向量与z轴的夹角。
将球的方程代入上式，可以得到：S = 2πr∫[0,π]cosθsinθdθ = 4πr三、向量叉积推导法我们可以用向量叉积来推导球的表面积公式。
假设球心在原点，球的方程为：x + y + z = r可以将球面表示为：r(θ,φ) = rcosθsinφi + rsinθsinφj + rcosφk 其中，r为球的半径，θ为经度，φ为纬度。
i、j、k为标准基向量。
对于球面上的两个向量a和b，它们的叉积为：a ×b = rsinφ(cosθ1 - cosθ2)i + rsinφ(sinθ2 - sin θ1)j + r(sinφ/2)(θ2 - θ1)k其中，θ1、θ2为两个经度，φ为纬度。
我们可以将球面分成无数个小面元，每个小面元的面积为dS。
对于每个小面元，可以找到两个向量a和b，它们的叉积即为该小面元的面积。
将所有小面元的面积加起来，即可得到球的表面积公式： S = dS = rsinφdφdθ = 4πr四、球坐标系推导法球坐标系是一种常见的坐标系，它可以用来描述球体的结构和特性。
在球坐标系下，球的方程为：r = r其中，r为球的半径，θ为极角，φ为方位角。
球的面积可以表示为：S = dS = rsinφdφdθ = 4πr五、三重积分推导法我们可以用三重积分来推导球的表面积公式。
勒让德多项式的微分表达式
勒让德多项式的微分表达式
勒让德多项式是一种特殊的函数，它由最高次幂为N的N+1项组成，通常用来拟合曲线。
它和普通多项式的最大区别在于它的变量是
由不同的常数乘以指数x^n构成的，其形式如下:c(x)=a_N x^n +
a_(N-1) x^(N-1)+...+a_2 x^2 + a_1 x + a_0。
将上述表达式乘以n并将其代入原式中, 可以得出勒让德多项式
的微分表达式: c'(x)=Na_N x^(n-1)+ (N-1) a_(N-1) x ^(n-2)+…+
2a_2 x + a_1 。
对于勒让德多项式的求导，我们一般采用后面这种表达式，这也
是一种非常有效的方法，而不是一次使用n次链律法。
在使用这种表
达式之前，我们需要先记住最高次幂，即n，然后根据公式中的指数变化，从N开始，每次-1就可以得出每一项对应的指数，并且每一项前
面的系数也是可以直接把原多项式中相应系数带入即可。
因此，从上面可以看到，求勒让德多项式的导数的时候，需要我
们先找到最高次，然后根据指数的变化，再将每一项相应的系数带入，最后就可以得到她的微分表达式，这也是比较容易让人理解的一种方法。
13： 第六章 勒让德多项式
（19.1.5）
称为 l 阶勒让德（legendre）方程．
同样若记 arc cos x ， y(x) (x)
，则上述方程也可写为下列形式的 l 阶勒让德方程
d [(1 x2 ) dy ] l(l 1) y 0
dx
dx
(19.1.6)
19．1．2 勒让德多项式的表示
1. 勒让德多项式的级数表示
3cos
)
P4
(x)
1 8
(35x4
30x2
3)
1 64
(35 cos
4
20
cos
2
9)
P5
(x)
1 8
(63x5
70
x3
15x)
1 128
(63cos
5
35
cos
3
30
cos
)
P6
(x)
1 16
(231x6
315x4
105x 2
5)
1 512
(231cos
6
126 cos
4
105 cos
2
50)
我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解 Pl (x)
为
[l]
Pl (x)
2
(1)k
k 0
2l
(2l k!(l
2k)!
xl2k
k)!(l 2k)!
（19.1.7）
式中
[
l] 2
l
l, 2 1 2
,
l 2n l 2n 1
(n 0,1,2, )
l 上式具有多项式的形式，故称 Pl (x) 为
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
勒让德多项式及其正交性质
勒让德多项式及其正交性质勒让德多项式是一种重要的数学工具，在微积分、物理学等领域都有广泛的应用。
它是一类正交多项式，具有良好的性质，可以用于解决一些特殊的数学问题。
本文将讨论勒让德多项式及其正交性质，以期读者能够深入了解这一重要数学工具。
一、勒让德多项式的定义勒让德多项式是一种定义在区间[-1,1]上的多项式函数，通常用Pn(x)表示，其中n为多项式的次数。
勒让德多项式可以通过如下公式递归地定义：P0(x) = 1P1(x) = xPn(x) = [(2n-1)xPn-1(x) - (n-1)Pn-2(x)]/n这个公式可以用来计算任意次数的勒让德多项式。
勒让德多项式的前几个函数值如下：P0(x) = 1P1(x) = xP2(x) = (3x² - 1)/2P3(x) = (5x³ - 3x)/2P4(x) = (35x⁴ - 30x² + 3)/8二、勒让德多项式的性质勒让德多项式具有许多重要的性质，其中最重要的是正交性质。
1. 正交性质勒让德多项式在区间[-1,1]上的内积可以定义为：∫[-1,1] Pn(x)Pm(x)dx如果n=m，则积分结果为2/(2n+1)；如果n≠m，则积分结果为0。
也就是说，勒让德多项式之间具有正交性质。
这个性质非常重要，因为它能够使我们更方便地进行一些数学运算。
例如，计算某个函数在勒让德多项式基下的系数时，我们只需要进行一次内积计算即可。
2. 完备性质勒让德多项式在区间[-1,1]上具有完备性质。
也就是说，任何在该区间上连续的函数都可以用勒让德多项式展开，并且展开式收敛于原函数。
这个性质太过深奥，需要深入的数学知识，不在本文的讨论范围内。
3. 递推性质勒让德多项式之间具有递推性质，可以用如下公式计算高一阶的勒让德多项式：Pn+1(x) = (2n+1)xPn(x) - nPn-1(x)这个公式可以用来快速地计算任意次数的勒让德多项式。
数学物理方程课件第六章勒让德多项式
2 (2n)!
2n n!
2n n! 2n n!2n 1 2n 153
2 (2n)!
2n 1!
2 2n 1
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
性质2 递推公式
(n 1)Pn1 (x) (2n 1)xPn (x) nPn1 (x) 0
Pn1 (x) Pn1 (x) 2n 1Pn (x)
n0
Cn
2n 1 2
1 1
x Pn (x)dx
C0
1 2
1
1 x P0 (x)dx
1 2
1
x dx
1
1 2
C2n1 0
C2n
4n 1 2
1 1
x
P2n
(x)dx
4n
1
1 0
xP2n
( x)dx
4n 1
22n 2n!
1 d2n 0 x dx2n
(x2 1)2n dx
4n 1 22n 2n !
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
三 勒让德多项式
y APn (x) BQn (x)
Pn
(x)
M
(1)m
m0
2n 2m!
2n m!(n m)!(n
2m)!
xn2m
Pn
1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n
当n为偶数时M
n 2
当n为奇数时 M
n 1 2
P0 (x) 1
P1(x) x
2)(n 1)(n 4!
3)
x4
]
c 1 c0
y2
a1[ x
(n
1)(n 3!
2)
勒让德多项式资料
其中本征值λ 对应于原方程中的n(n+1)。
部分实例
下表列出了头11阶（n从0到10）勒让德多项式的表达式：
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
头6阶（n从0到5）勒让德多项式的曲线如下图所示：
向量和
拉普拉斯方程（与和对称轴的夹角无关）。
若设为对称轴，为观测者位置向量和轴的夹角，则势函数的解可表示为：
其中和由具体边界条件确定
递推关系
相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式：
另外，考虑微分后还有以下递推关系：
其中最后一个式子在计算勒让德多项式的积分中较为有用。
移位勒让德多项式
移位勒让德多项式的正交区间定义在[0,1]上，即：
其显式表达式为：
相应的罗德里格公式为：
下表列出了头4阶移位勒让德多项式：
n
0 1
1 2x ? 1
2 6x2 ? 6x + 1
3 20x3 ? 30x2 + 12x ? 1
0 1
1
2x ? 1
2
6x2 ? 6x + 1
3
20x3 ? 30x2 +
12x ? 1
0 1
1 2x ? 1
2 6x2 ? 6x + 1
3 20x3 ? 30x2 + 12x ? 1。
勒让德多项式递推公式推导
勒让德多项式递推公式推导
雷伯斯让德多项式递推公式是数学发展的一个里程碑。
它是一个可以用来快速计算高次多项式系数序列的重要公式，又称非递归式。
它以有趣的方式应用数学公式，使多项式系数序列计算变得更加合理、简单清晰。
雷伯斯让德多项式递推公式的形式为：
a_n=(n+ann+1+(n+2nn+2))*a_n-1
其中，a_n表示高次多项式的系数序列中的当前项系数，an+1表示高次多项式的系数序列中的下一项系数，同时还有nn+1和nn+2两个参数。
通常来说，我们可以很容易地计算第一项多项式系数序列a_1，但要计算多项式系数序列中的第n项，就需要比较复杂的计算过程。
雷伯斯让德多项式递推公式可以帮助我们快速计算第n项多项式系数序列，而不需要逐一计算每一项。
只要首先计算出a_1，然后将其与参数nn+1和nn+2相乘，再将所得的和再乘以上一项的系数a_n-1，即可获得当前项a_n的计算公式。
由此可见，雷伯斯让德多项式递推公式可以显著降低多项式计算的繁琐性，有效提升计算效率和准确性，也受到了数学家的一致欢迎。
它的出现使许多数学问题的解决变得更加轻松，再次推动了数学的发展，也为社会提供了不少便利。
勒让德多项式-6[宝典]
![勒让德多项式-6[宝典]](https://img.taocdn.com/s3/m/262a068dcfc789eb172dc8d7.png)
第一式说明了任何两个不同的勒让德多项式在区间 - 1< x < 1 上正交 .
七、勒让德多项式级数
若 f (x) 满足狄利克雷条件 , 则 f (x) 在区间 – 1 < x < 1 的每一个连续点处 , 存在一个勒让德级数展开式 , 形如
f ( x) A0 P0 ( x) A1 P1( x) A2 P2 ( x) Ak Pk ( x) , k0
P f ( x)
Ak
称 n ( x) 为勒让德 (Legendre) 多项式 .
罗巨格(Rodrigues)表达式
特别是 ,当 n =0, 1 , 2 , 3 , 4 , 时,分别有
P0 ( x) 1
P1( x) x cos
P2 ( x)
1 2
(3x2
1)
1 4
(3cos 2
1)
P3 ( x)
1 2
(5 x 3
n 为奇数
Qn( x)
k0
2n(n k)!(n k !(2n 2k
2k ) ! 1)!
x n2k1
.
n ( x) 的递推公式, 同样适合于 Qn( x) .
六、勒让德多项式的正交性
下列结果是基本的:
1
m ( x)n( x)d x 0 ,
1
mn
1
n2 ( x) d
1
x
2 2n 1
,
mn.
( x) ( )
缔合(连带)勒让德方程
上式则变化为
(1
x2
)
d d
2 x2
2x
d d
x
n(n
1)
m2 1 x2
0
若 u(r, , ) 与 无关 ，这时可简化成
勒让德多项式递推公式证明
勒让德多项式递推公式证明以勒让德多项式是数学中一类重要的特殊函数，其递推公式是证明其性质的关键。
本文将通过介绍以勒让德多项式的定义、性质和递推公式的证明，来解释这一标题。
以勒让德多项式是数学中的一类正交多项式，它们是解决物理和工程问题中的常微分方程的重要工具。
以勒让德多项式的定义如下：$$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]$$其中，$n$为非负整数，$P_n(x)$表示以勒让德多项式的第$n$阶，$x$为自变量。
以勒让德多项式具有一系列重要的性质，如正交性、归一性等，这些性质使其在数学和物理学中得到广泛应用。
以勒让德多项式的递推公式是证明其性质的关键。
递推公式的形式如下：$$(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x)$$下面我们来证明这个递推公式。
我们将以勒让德多项式的定义代入递推公式中，得到：$$(n+1)\left(\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right]\right) = (2n+1)x\left(\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]\right) - n\left(\frac{1}{2^{n-1} (n-1)!} \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]\right) $$化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right] = \frac{2n+1}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$我们将上式中的$n+1$分布到第一项中，并利用导数的链式法则进行化简，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d}{dx}\left[(2n+1)x(x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$通过以上推导，我们证明了以勒让德多项式的递推公式。
勒让德多项式
例1:将 x 2 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式
x 2 Cn Pn (x) n0
Cn
2n 1 2
1 1
x
2
Pn
(
x)dx
1 1
xk
Pn
( x)dx
0
n2
4 1
C2 2
1 x2 1 (3x2 -1)dx 5
1 2
4
1 3x4 x2
1
dx
5 6 2 2 45 3 3
第6章勒让德多项式
例2:将Pl(x) 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式
解：方法一
l 1
(l 1) / 2
Pl(x) CnPn (x) CnPn (x)
Cl2n1Pl2n1 ( x)
n0
n0
n0
2l 4n 1
Cl2n1
2
1
1 Pl(x)Pl2n1(x)dx
2l 4n 1 2
1 0
xd
d 2n1 dx 2 n 1
(x2
1)2n
4n 22n
1 2n
!
x
d 2 n 1 dx 2 n 1
(x2
1)2n|10源自1 0d 2 n1 dx 2 n 1
(x2
1)2n
dx
4n 22n
1 2n
!
d 1 2n1 0 dx2n1
(x2
1)2n dx
4n 22n
1 2n
!
d2n2 dx 2 n 2
0
0
0
/ 2 sin 2n1 d 2n / 2 sin 2n1 d
0
2n 1 0
1 P2n (x)dx 1
数学物理方程第六章 勒让德多项式
(
)
n
n n! 1 1 n 2 − = x x2 ) ( ) ( 1 ∑ n n 2 n! 2 n! m =0 (n − m )!m!
a n −6 = −
2
n
一般说来，当 n − 2m ≥ 0 时，有
M
a n − 2 m = (− 1)
m
2
n
(2n − 2m )! m!(n − m )!(n − 2m )!
(2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )! (2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )!
2 2 2
（6.2.1）
的解为
y = ∑ ak x k
k =0
∞
（6.2.2）
，整理得 对上式求导，得出 y ′, y ′′ 的级数表达式，连同式（6.2.2）一齐代入式（6.2.1）
∑ {(k + 1)(k + 2)a
k =0
∞
k +2
+ [n(n + 1) − k (k + 1)]a k }x k = 0
(3x (5x
2
−1
) ) ) )
3
− 3x
4
(35x (63x
− 30 x 2 + 3
5
− 70 x 3 + 15 x
它们的图形如图 6-1 所示。
为了应用上的方便，我们将 Pn ( x ) 表示为
Pn ( x ) =
n 1 dn 2 ( x − 1) n n 2 n! dx
(6.3.2)
的形式。称式(6.3.2)为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表达式。该公式的证明如下。 证明：用二项式定理把 x − 1 展开，有
勒让德多项式
从而得到
1
ห้องสมุดไป่ตู้
Θ
sin θ
d dΘ (sin θ ) + n( n + 1) sin 2 θ = m 2 dθ dθ
( 6. 4 )
( 6. 5 )
1 d 2Φ + m2 = 0 2 Φ dϕ
（2 勒让德多项式的一些性 质； ）
有关的定解问题。 （3 会用勒让德多项式求解 有关的定解问题。 ）
§6.1
勒让德方程的引出
u xx + u yy + uzz = 0
在第四章中， 域内的迪利克雷问题： 在第四章中，我们用格 林函数法解决了球形区 域内的迪利克雷问题：
{
球函数
z
θ
●
拉普拉斯方程 第一类边界条件
数学物理方法
第六章 勒让德多项式 ( Legendre polynomials )
勒让德（ 勒让德（1752～1833） ～ ） Legendre . Adrien-Marie 阿德利昂·玛利 埃 勒让德 公元1752─公元1833 为法国数学家， 勒让德（ 1752─公元1833） 阿德利昂 玛利·埃·勒让德（公元1752─公元1833）为法国数学家，生于 玛利 巴黎，卒于巴黎。 1770年毕业于马扎兰学院 1775年任巴黎军事学院数学 年毕业于马扎兰学院。 巴黎，卒于巴黎。约1770年毕业于马扎兰学院。1775年任巴黎军事学院数学 教授。1782年以 关於阻尼介质中的弹道研究》获柏林科学院奖金， 年以《 教授。1782年以《关於阻尼介质中的弹道研究》获柏林科学院奖金，次年当 选为巴黎科学院院士。1787年成为伦敦皇家学会会员 年成为伦敦皇家学会会员。 选为巴黎科学院院士。1787年成为伦敦皇家学会会员。 曾与拉格朗日（ ）、拉普拉斯 拉普拉斯（ 勒让德 (Legendre) 曾与拉格朗日（Lagrange）、拉普拉斯（Laplace） 并列为法国数学界的“ 世纪末19世纪初法国数学的复兴， 并列为法国数学界的“三 L ”，为18世纪末19世纪初法国数学的复兴，做出了 ， 18世纪末19世纪初法国数学的复兴 卓越的贡献。 卓越的贡献。
勒让德多项式是区间什么的正交函数
勒让德多项式是一类具有重要性质的正交函数，它们在数学和工程领域中有着广泛的应用。
本文将介绍勒让德多项式的定义、性质、正交关系以及其在实际问题中的应用。
一、勒让德多项式的定义勒让德多项式是勒让德微分方程的解，该微分方程形式如下：\[ (1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0 \]其中n为非负整数。
根据其定义，勒让德多项式可以通过勒让德微分方程的解出来。
勒让德多项式的具体形式可以表示为：\[ P_n(x)= \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n \]其中n为非负整数，P_n(x)表示第n阶的勒让德多项式。
二、勒让德多项式的性质勒让德多项式具有许多重要的性质，例如：1. 勒让德多项式是正交的，即对于不同的n和m，有以下正交性质成立：\[ \int_{-1}^{1}P_n(x)P_m(x)dx=0, \quad(n\neq m) \]2. 勒让德多项式满足勒让德微分方程，这也是它的定义所在。
3. 勒让德多项式具有递推关系，即通过递推关系可以方便地计算高阶的勒让德多项式。
三、勒让德多项式的正交关系及应用勒让德多项式的正交性质在数学和工程领域中有着重要的应用。
在数学分析中，勒让德多项式的正交性质可以用来进行函数的展开和逼近，例如在傅立叶级数、泰勒级数及函数的插值逼近中。
在数值计算和数值分析中，勒让德多项式的正交特性也被广泛应用，例如在数值积分方法中，通过勒让德多项式的正交性质可以得到高效的数值积分算法。
勒让德多项式还具有广泛的物理应用，例如在量子力学中，勒让德多项式常常用来描述原子轨道的形状。
在实际问题中，勒让德多项式的正交性质为我们提供了一种简便而有效的数学工具，通过利用勒让德多项式的正交性质，我们可以更加方便地解决各种数学和工程问题。
勒让德多项式作为一类重要的正交函数，在数学和工程领域中具有着广泛的应用。
通过深入研究勒让德多项式的定义、性质、正交关系及其应用，我们可以更好地理解和运用这一类特殊的函数，从而为解决各种实际问题提供更加有效的数学工具。
第六章_勒让德多项式
6.1 勒让德方程的引出
引入参数 n n 1 分解整理得
d 2R dR 2 r 2r n n 1 R 0 2 dr dr
欧拉型方程
1 d d 1 d 2 sin d sin 2 2 n n 1 0 sin d
引入参数 分解可得两个常微分方程
" 0
d d sin sin n n 1 sin 2 0 d d
§1 勒让德方程的引出
第一个方程与自然周期条件 2 结合，构成本征值问题
d 2 dR R d d R d 2 r dr r 2 sin d sin d r 2 sin 2 d 2 0 2 r dr
用
r 遍乘各项并移项整理，即得 R
2
1 d 2 dR 1 d d 1 d 2 r dr sin d sin d sin 2 d 2 R dr
k n 1 2
这两个多项式可以统一写成
(2n 2k )! Pn ( x) (1) n x n2 k , n 0,1, 2, 2 k !(n k )!(n 2k )! k 0
k n 2
n 阶勒让德多项式
6. 3 勒让德多项式
0～4阶Legendre多项式为
(2k 2 l )(2k 4 l ) (l )(l 1)(l 2k 1) a2 k a0 (2k )!
6. 2
勒让德方程的求解
(1 l )(l 2) a3 a1 3! (3 l )(l 4) (3 l )(1 l )(l 2)(l 4) a5 a3 a1 54 5!
第六章 勒让德多项式
第六章 勒让德多项式在这一章，我们将通过在球坐标系中对Laplace 方程进行分离变量，引出§2.6中曾指出过的勒让德方程，并讨论这个方程的解法及解的有关性质。
勒让德方程在区间[1,1]-上的有界解构成了另一类正交函数系－勒让德多项式。
§6.1 勒让德方程的引出现在对球坐标系中的Laplace 方程进行分离变量，在球坐标系中Laplace 方程为2222222111()(sin )0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂ （6.1） 令 (,,)()()()u r R r θϕθϕ=ΘΦ， 代入（6.1）得2222222111()(sin )0sin sin d dR d d d r R R r dr dr r d d r d θθθθθϕΘΦΘΦ+Φ+Θ= 以2r R ΦΘ乘上式各项得 2222111()(sin )0sin sin d dR d d d r R dr dr d d d θθθθθϕΘΦ++=ΘΦ 或2222111()(sin )sin sin d dR d d d r R dr dr d d d θθθθθϕΘΦ=--ΘΦ 上式左端只与r 有关，右端只与θ，ϕ有关，要它们相等只有当它们都是常数时才有可能。
为了以后的需要，我们把这个常数写成(1)n n +的形式（这是可以做到的，因为任何一个实数总可以写成这种形式，这里的n 可能为实数，也有可能为复数），则得21()(1)d dRr n n R dr dr=+ （6.2）22211(sin )(1)sin sin d d d n n d d d θθθθθϕΘΦ+=-+ΘΦ （6.3） 将方程（6.2）左端的导数计算出来，即有2222(1)0d R dRr r n n R dr dr+-+= 这是一个欧拉方程，它的通解为(1)12()n n R r A r A r -+=+其中12,A A 为任意常数。
勒让德多项式递推关系
勒让德多项式递推关系勒让德多项式递推关系是数学家克劳德勒让德（Claude-Franois-DiendeFermat）发现的一种深奥的公式，在计算机科学和其他数学领域中经常被使用。
该公式定义了一种用于计算多项式表达式值的简单方法，主要是利用多项式值的递归依赖关系，这种关系可以把给定多项式表达式分解成更简单的子表达式，使得求解多项式表达式可以缩小规模，找到更快捷的求解方式。
勒让德多项式递推关系的公式可以总结为：P（n）=a_1* P（n-1）+a_2* P（n-2）+…+a_k* P（n-k），其中P（n）表示长度为n的多项式表达式值，a_1，a_2，…，a_k是多项式系数，k表示多项式的类别，即多项式有k项。
例如，关于长度为4的多项式表达式的勒让德多项式递推关系可以表示如下：P（4）=a_1*P（3）+a_2*P（2）+a_3*P（1），此公式表明，使用这种递推关系，将一个复杂的多项式表达式分解成简单的子表达式。
勒让德多项式递推关系在实际计算中有重要应用。
例如，在向量空间理论中，需要计算不同长度表示式的多项式余弦值矩阵，其计算公式可以表示为：P（n）=2* Cos（n* theta/n），公式中P（n）表示长度为n的多项式表达式的值，theta表示多项式的类别，即多项式有theta项。
此时，若要计算长度为n的多项式表达式的值，可以使用勒让德多项式递推公式，即P（n）=2* Cos（n* theta/n）-P（n-1），这样一来，可以把原本复杂的计算过程简化，从而提高效率。
除了向量空间理论中的应用外，勒让德多项式递推关系也可以用于优化计算机编程中的算法。
例如，通过使用勒让德多项式递推关系，可以将一个复杂的算法优化成具有相同功能的简单的子算法，从而可以有效地提高算法的性能。
例如，有一个具有“链表”结构的复杂算法，可以通过使用勒让德多项式递推关系，将该算法展开成具有更简单的子算法结构，从而有效地提高算法的性能。
勒让德多项式递推公式的证明
勒让德多项式递推公式的证明1 关于勒让德多项式勒让德多项式通常称为磁力线多项式，是一种特殊的线性代数多项式。
它由著名数学家勒让德在1898年提出，用来描述空间中磁场线的强度。
因为它有着易于计算的特性以及它的复杂性，它在磁学、电子、物理等很多领域得到了广泛的应用。
2 勒让德多项式递推公式勒让德多项式的定义有两种形式：一种是递推公式，另一种是泰勒级数展开。
其中，勒让德多项式递推公式常用来表示磁力线在空间上分布的状态：n^{2}B_{n,m}(\varphi,\theta)=\frac{1}{\sqrt{1-m^{2}}}\sum_{\substack{j=0\\j \neq m}}^{n-1}\left(\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{n-j}B_{j,m}(\varphi,\theta )-\frac{\sqrt{n^{2}-j^{2}}}{n-m}B_{n,j}(\varphi,\theta )\right)其中，B_{n, m}(\varphi,\theta) 表示一维勒让德多项式的系数，n、m是多项式的指数。
式中的\varphi, \theta表示空间坐标系，它们按照以下关系标准化：\varphi=2\pi(x/a) \, \theta=\pi(y/b)其中，a, b是所考虑空间的特定尺寸，x, y表示空间坐标系的x, y分量。
3 证明勒让德多项式递推公式首先，我们考虑一维勒让德多项式定义：B_{n, m} =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{im\varphi }f(\varphi )d\varphi因此，由定义式可得：B_{n, m}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{i(n-m)\varphi }f(\varphi )d\varphi我们可以把积分定义为，用p表示：p=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{i(n-m)\varphi }f(\varphi )d\varphi由Leibniz积分公式可得：\begin{aligned} p &=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{i(n-m)\varphi }\dfrac{\partial^{j}f(\varphi )}{\partial\varphi^{j}}d\varphi \\ &=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{n-j}\dfrac{\partial^{j}f(0)}{\partial \varphi^{j}}-\sum_{j=0}^{n-1}\frac{\sqrt{n^{2}-j^{2}}}{n-m}\dfrac{\partial^{j}f(\pi)}{\partial \varphi^{j}}\end{aligned}也就是说：p=\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{n-m}B_{n,m}(0,\pi )+\sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{n-j}B_{j,m}(0,\pi )-\frac{\sqrt{n^{2}-j^{2}}}{n-m}B_{n,j}(0,\pi )\right)联立以上两个式子，可以得到：\begin{aligned} &n^{2}B_{n,m}(\varphi ,\theta )\\&=\frac{1}{\sqrt{1-m^{2}}}\sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{n-j}B_{j,m}(\varphi ,\theta )-\frac{\sqrt{n^{2}-j^{2}}}{n-m}B_{n,j}(\varphi ,\theta )\right) \end{aligned}因此，以上公式就可作为勒让德多项式的递推公式。
勒让德多项式归一化
勒让德多项式归一化（原创版）目录1.勒让德多项式的基本概念2.勒让德多项式归一化的定义3.勒让德多项式归一化的方法4.勒让德多项式归一化的应用正文1.勒让德多项式的基本概念勒让德多项式（Legendre polynomial）是一种特殊的多项式，用于描述球坐标系中的函数。
在数学、物理和工程领域中，勒让德多项式被广泛应用。
勒让德多项式的基本形式为：Pn(x) = Rn(x) / Rn(1)，其中 Rn(x) 是勒让德多项式的 n 阶导数，Rn(1) 是勒让德多项式在 x=1 处的值。
2.勒让德多项式归一化的定义勒让德多项式归一化是指将勒让德多项式进行标准化处理，使得它在某个区间内具有特定的性质，如归一化常数、正交性等。
勒让德多项式归一化的目的是为了将复杂的函数表示为简单的多项式形式，从而方便进行求解和分析。
3.勒让德多项式归一化的方法常见的勒让德多项式归一化方法有以下几种：（1）直接积分法：通过对勒让德多项式进行积分，可以得到其归一化后的形式。
这种方法适用于较简单的勒让德多项式。
（2）正交化方法：通过对勒让德多项式进行正交化处理，使得它们满足正交条件。
正交化方法包括：格拉米 - 施密特正交化、勒让德正交化等。
这种方法适用于较复杂的勒让德多项式。
（3）单位化方法：通过对勒让德多项式进行单位化处理，使得它们满足归一化条件。
单位化方法通常用于具有特定边界条件的问题。
4.勒让德多项式归一化的应用勒让德多项式归一化在许多领域具有广泛的应用，如：（1）在数值分析中，勒让德多项式归一化可用于求解微分方程、插值和逼近问题。
（2）在物理学中，勒让德多项式归一化可用于描述原子、分子和凝聚态系统的波函数。
（3）在工程领域中，勒让德多项式归一化可用于优化控制系统、信号处理和数据压缩等问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x cos ( ) y(x)
d sin dy
d
dx
d2
d 2
cos
dy dx
sin 2
d2 y dx2
(1
x2
)
y
2
xy
n(n
1)
1
m2 x2
y
0
连带的勒让德方程
(1 x2 ) y 2xy n(n 1) y 0 勒让德方程
西安理工大学应用数学系
2. Legendre方程的解 (1 x2 ) y 2xy n(n 1) y 0
xk2
k0
(k
1)(k
2)ak 2
xk
西安理工大学应用数学系
{(k k0
1)(k
2)ak 2
[k(k
1) n(n 1)]ak }xk
0
于是由幂级数展式的唯一性，有
(k 1)(k 2)ak2 [k(k 1) n(n 1)]ak
(k n)(k n 1)ak
(k n)(k n 1) ak2 (k 1)(k 2) ak
a2m
(1)m
n(n
2)L
(n
2m
2)(n 1)(n (2m)!
3)L
(n
2m
1) a0
a2m1
(1)m
(n 1)(n 3)L
为零，这时 y1( x), y2 ( x) 均为无穷级数，且收敛域为（-1, 1）
情形（２） 当n取整数（包括零）时，y1( x), y2 ( x) 中有 一个是多项式，另一个是无穷级数。 举例分析
西安理工大学应用数学系
(k n)(k n 1) ak2 (k 1)(k 2) ak
k 0,1, 2,L
0 (2 ) ()
m m2 , m 0,1, 2,L
() Am cos m Bm sin m
1 sin
d
d
sin
d
d
n(n 1) sin2
m2
西安理工大学应用数学系
1
sin
d
d
sin
d
d
n(n
1) sin2
m2
d2
d 2
cot
d
d
[n(n
1)
m2
sin2
]
0
a5
54
a3
5!
a1
西安理工大学应用数学系
(n 3)(n 4) (n 1)(n 3)(n 2)(n 4)
a5
54
a3
5!
a1
a2m1
(1)m
(n 1)(n
3)L
(n 2m 1)(n (2m 1)!
2)(n 4)L
(n 2m) a1
a2m a 1 1
其中 a0 , a1 为任意常数，则方程的解为
k 0,1, 2,L
于是
n(n 1) a2 2 1 a0
(n 2)(n 3) n(n 2)(n 1)(n 3)
a4
43
a2
4!
a0
西安理工大学应用数学系
(n 4)(n 5)
n(n 2)(n 4)(n 1)(n 3)(n 5)
a6
65
a4
6!
a0
a2m
n(n
1) R
0
Euler方程 R(r) A1r n A2r (n1)
西安理工大学应用数学系
1
sin
d
d
sin
d
d
1
sin2
d2
d 2
n(n 1)
1
sin
d
d
sin
d
d
1
d2
d 2
n(n
1) sin2
1 sin
d
d
sin
d
d
n(n 1) sin2
1
d2
d 2
y
a x
k
k0 k
a x
2m
m0 2m
a x
2m1
m0 2m1
a0
a x
2m
m0 2m
a1
a x
2m1
m0 2m1
由 a0 , a1 的任意性知，下列两个函数也是方程的解：
y1(x)
m0
a2m
x
2m
,
y2( x)
a x
2m1
m0 2m1
西安理工大学应用数学系
y1( x), y2 ( x) 的性质： （１）线性无关，故得到了Legendre方程的通解
y( x) a0 y1( x) a1 y2 ( x) （２）收敛区间均为（－１，１），在端点发散，因而 Legendre方程在[-1,1]内没有有界解。 （3 ）当n是正整数时，一个解为多项式Pn(x)，在[-1,1]有 界，另一个仍为无穷级数，记为Qn(x)，在[-1,1]内无界，通 解为
y( x) c1Pn ( x) c2Qn ( x)
1 r2
r 2 r
u r
1
r 2 sin
s in
u
1
r 2 sin 2
2u
2
0
用分离变量法求解。
令
u(r,,) R(r)( )() 代入方程得
西安理工大学应用数学系
1 R
dr
r
2
dR dr
1
sin
d
d
sin
d
d
1
sin2
d2
d 2
0
1 R
dr
r
2
dR dr
(1)m
n(n
2)L
(n
2m
2)(n 1)(n (2m)!
3)L
(n
2m
1) a0
a2ma0
(k n)(k n 1) ak2 (k 1)(k 2) ak
k 0,1, 2,L
(n 1)(n 2)
a3
32
a1
(n 3)(n 4) (n 1)(n 3)(n 2)(n 4)
=-
1 sin
d
d
sin
d
d
1
sin2
d2
d 2
n(n 1)
1 r2 dR n(n 1)Biblioteka R dr dr n为实数或复数
1
sin
d
d
sin
d
d
1
sin2
d2
d 2
n(n 1)
1 r2 dR n(n 1) R dr dr
r2
d2R dr 2
2r
dR dr
西安理工大学应用数学系
第六章 勒让德（Legendre）多项式
－－－－－－特殊函数之二
西安理工大学应用数学系
§6.1 Legendre方程及其求解
1 Legendre方程的导出
引例：求解下列问题
uxx uyy uzz =0
x2 y2 z2 1
u x2y2z21 f (x, y, z)
在球坐标下方程为
用幂级数法求解该方程。由常微分方程理论，设方程的解为
各阶导数为
y
a x
k
k0 k
y'
k0
kak
x
k
1
y"
k0
k(k
1)ak
xk2
代入方程，整理，得
k(k k0
1)ak
xk2
[k(k
k0
1)
2k
n(n 1)]ak xk
0
注意
k(k
k0
1)ak xk2
k2
k(k
1)ak
Qn(x)称为第二类Legendre函数。
西安理工大学应用数学系
§6.2 勒让德多项式
1. Legendre多项式
讨论勒让德方程中的参数n，考察系数递推关系式
(k n)(k n 1) ak2 (k 1)(k 2) ak
k 0,1, 2,L
情形（１） 当n不取整数时，若 a0 , a1 不为零，则 ak 不