小学奥数教案-第16讲-数字趣谈(教)

1000÷4=250(个)，
答：在1到1000之间有250个数是4的倍
3、从1——9九个数中选取，将13写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？
【解析】将13拆分成两个不同的自然数之和，只要从1～9中分别列举出来即可．
因为，13=4+9=5+8=6+7，
又因为和为13两个加数交换位置还是同一种写法，
a=1,b=8
原数为18。
例2、有一个三位数，个位数字是百位的2倍，百位数字与个位数字之和等于十位数字，若百位数字与个位数字对换，新数比原数大198，求原数。
【解析】只看这一个条件：若百位数字与个位数字对换，新数比原数大198。
设原数为abc，则新数为cba，原数+198=新数
abc+198=cba
考点一：枚举计数
例1、在10和40之间有多少个数是3的倍数？
【解析】由尝试法可求出答案：
3×4=12 3×5=15 3×6=18 3×7=21 3×8=24
3×9=27 3×10=30 3×11=33 3×12=36 3×13=39
例2、在10和1000之间有多少个数是3的倍数？
【解析】求10和1000之间有多少个数是3的倍数，用一一列举的方法显得很麻烦。可以这样思考：
三位数：100~999，有999-100+1=900个，或999-99=900个；
四位数：9000个；
……
例7、给一本书编码，一共用了723个数字，这本书一共用多少页？
【解析】刚才例子是正着问，此题倒着问。边尝试边计算：
一位数：有9个，共计用去9个数码；
两位数：有90个，共需90×2=180个数码；
（1）全部展开：如：1234=1×1000+2×100+3×10+4×1
（2）分析题意，根据需要灵活展开：如：
1234=12×100+34×1；
12345=12×1000+345×1；
12345=123×100+45×1；
12345=12×1000+34×10+5×1；
例1、在一个两位数的两个数字中间加一个0，那么，所得的三位数是原数的6倍。求这个两位数。
300+ab+171=10ab+3，设ab=X，
300+X+171=10X+3
X=523
原数为523。
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击
1、在20和50之间有多少个数是6的倍数？
【解析】要想求出从20到50之间6的倍数的个数，根据找一个数倍数的方法，列举出6的倍数，然后找出在20-50范围内的即可．
例8、一本书的页码，在印刷时必须用198个铅字，自这一本书的页码中数字1出现多少次？
【解析】一位数和两位数共计用去9+180=189个数码，
还剩198-189=9个数码给三位数用，每个三位数用3个数码，
则还有9÷3=3个三位数，
第3个三位数是102，故本书有102页。
那么本题转化为：一本书有102页，问1出现多少次？
个位1：1,11,21,31，……，101。有11个；
十位1：10，11,12，……，19。。有10个；
百位1：100,101,102。有3个。
1出现24次。
考点二：计数和数论的综合题
例1、1~3998这些自然数中，有多少个能被4整除？
【解析】最简单的方法是找规律，除以几，数就有几种可能，
如除以4，余数可能0~3，共四种；
【解析】2000年2月有29天，三批同学人数的乘积不能大于29，我们可以先用最小的几个数试乘（1除外）：2×3×4=24，24＜29；2×3×5=30，30＞29，不合题意。所以，这三批学生的人数是2，3，4人。
例5、一本连环画共100页，排页码时一个铅字只能排一位数字。请你算一下，排这本书的页码共要用多少个铅字？
连续自然数（或等差数列）除以同一个数余数肯定成周期，周期为除数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
……
除以4余数
1
2
3
0
1
2
3
0
1
……
周期为4,3998÷4=999……2，余下的2个为1和2，因此能被4整除的共999个。
注意：在这个范围内被4整除的和除以4余3的有999个；
除以4余1的和除以4余2的都有999+1=1000个。
100a+10b+c+198=100c+10b+a
198=99c-99a
c-a=2
又，个位数字是百位的2倍，即c=2a，
差倍问题，c=4,a=2
又，百位数字与个位数字之和等于十位数字，b=a+c=6
原数为264
例3、一个三位数，个位数字是3，如果把原个位数字当百位数字，原十位数字当个位数字，原百位数字当成十位数字，那么新数比原数小171，求原数。
【解析】特殊位置优先考虑
奇数，末位特殊，1,3,5,7共4中选择。
第二步：从剩下的6个数字中选一个数字放到千位，共6种；
第三步：从剩下的5个数字中选一个数字放到百位，共5种；
第四步：从剩下的4个数字中选一个数字放到十位，共4种；
分步用乘法：4×6×5×4=480种。
考点四：数论中位值原理的应用
位值原理是方程工具（代数思想）的一个体现，是将来学习进位制的基础。
【解析】设原数为ab3，则新数为3ab，
（a,b均为整数；0＜a≤9；0≤b≤9）新数比原数小171，即：
3ab+171=ab3（新数+171=原数）
可以按刚才思路展开，但仔细分析后就会发现ab始终作为一个整体出现，
可以用第二种展开方式：
3ab=300+ab，ab3=10ab+3，
3ab+171=ab3
6的倍数有6、12、18、24、30、36、42、48、54、…，
所以在20到50之间6的倍数的个数：24、30、36、42、48，共五个；
答：在20和50之间有5个数是6的倍数。
2、在1到1000之间有多少个数是4的倍数？
【解析】在1到1000之间有多少个数是4的倍数，也就是说1000里面有几个4，用除法直接求出．
【解析】这道题可以分类计算：
从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用1×9=9个；
从第10页到第99页，共90页，每页用2个铅字，共用2×90=180个；
第100页，只有1页共用3个铅字。
所以这本书的页码共用9＋180＋3=192个铅字。
例6、一本书共250页，求编码时需要多少个数码？
【解析】由于本书的页码有一位数、两位数、三位数；
而几位数就需要几个数码。故须分类计数，再相加。
一位数：有9个，共需9×1=9个数码；
两位数：有90个，共需90×2=180个数码；
三位数：有250-99=151个，共需151×3=453个数码；
共需9+180+453=642个数码。
记住规律：
一位数：1~9，有9个；
两位数：10~99，有99-10+1=90个，或99-9=90；
即相当于问：1~102里1出现的次数。
数少时可以按由小到大的顺序枚举，即便如此，也很少有孩子能一次想全。
因此，为使计数不重不漏，我们一定要按照一定的顺序枚举。
本题来说最好的枚举顺序我认为是这样的：
最多有3位数，因此，1如果出现一定是在个位、十位、或百位。
所以我们把个、十、百位的1分类计数，然后再相加。
教师辅导讲义
学员编：
年级：三年级
课时数：3
学员姓名：
辅导科目：奥数
教师：
授课主题
第16讲-数字趣谈
授课类型
T同步课堂
P实战演练
S归纳总结
教学目标
尝试使用探索法和分类统计法解决自然数列计数问题
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
在日常生活中，0、1、2、3、、4、5、6、7、8、9是我们最常见、最熟悉的数，由这些数字构成的自然数列中也有很多有趣的计数问题，动动脑筋，你就会找到答案。本周的习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题的方法一般是采用尝试探索法和分类统计法，相信你们能很好地掌握它。
10÷3=3……1说明10以内有3个数是3的倍数；
1000÷3=333……1说明1000以内有333个数是3的倍数。
333－3=330说明10——1000之间有330个数是3的倍数。
例3、从1——9九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？
【解析】将1——9的九个自然数从小到大排成一列：
三位数：有900个，共需900×3=2700个数码；
而此题只有723个数码，多于9+180，小于9+180+2700，说明数的页数是三位数。
一位数和两位数共计用去9+180=189个数码，
还剩723-189=534个数码给三位数用，每个三位数用3个数码，
则还有534÷3=178个三位数，
第178个三位数是99+178=277，故本书有277页。
【解析】三个不同的数字中，2、3、4的乘积是24；
比31小，3、4、5的乘积比31大，那么大概范围就是这几个数字；
只有2、3、5的乘积最接近31；而且比31小，所以这三批学生最多是2人、3人和5人.
故答案为：2人；3人；5人.
6、将12个乒乓球分别标上自然数1、2、3、…12作为球，然后放在布袋中，甲、乙、丙三人各从袋中拿出4个球，而且三人各自所拿四个球的球和都相等。甲的两个球标着5和12，乙的两个球标着6和8，丙的一个球标着1，问丙的其他三个球上分别标的是多少？