经济数学微积分_吴传生10_1微积分_吴传生

t0
dt t0
所求特解为 x Acos kt.
C1 A, C2 0.
补充: 微分方程的初等解法: 初等积分法.
求解微分方程
求积分
(通解可用初等函数或积分表示出来)
三、小结
本节基本概念： 微分方程； 微分方程的阶； 微分方程的解； 通解; 初始条件； 特解； 初值问题； 积分曲线．
思考题
函数 y 3e2x 是微分方程y 4 y 0
把条件 V |t0 0 代入(8)式，得
C1 0
把条件 S |t0 0 代入(9)式，得
C2 0
把 C1,C2 代入(9)式，得
S 1 gt 2 . 2
(10)
这正是我们所熟悉的物理学中的自由落体运动公式.
二、基本概念
微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程， 叫做微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x , (t2 x)dt xdx 0, z x y, x
0是______阶微分方程；
3. d sin2 是______阶微分方程； d
4. 一个二阶微分方程的通解应含有____个任意常数 .
二、确定函数关系式 y C1 sin( x C2 )所含的参数,使 其满足初始条件 y x 1, yx 0.
三、设曲线上点 P( x , y)处的法线与 x 轴的交点为Q , 且线段 PQ被 y 轴平分,试写出该曲线所满足的微
的什么解?
思考题解答
y 6e2x , y 12e2x , y 4 y 12e2x 4 3e2x 0, y 3e2x 中不含任意常数,
故为微分方程的特解.
练习题
一、 填空题:
1. xy 2 y x 2 y 0是______阶微分方程；
2.
L
d2Q dt 2
R
dQ dt
Q c
设y ( x)在区间 I 上有 n 阶导数, 满足
F( x, ( x), ( x),, (n) ( x)) 0.
则称 y ( x)为微分方程在区间 I 上的解。 微分方程的解的分类： (1) 通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任
意常数的个数与微分方程的阶数相同.
例如 y y, 通解 y Ce x; y y 0, 通解 y C1 sin x C2 cos x;
第一节 微分方程的基本概念
一、引例 二、基本概念 三、小结 思考题
一、引例
例1 （以一种新观点描述连续复利 ）
假设某人以本金 p0 元进行一项投资，投资的年利
率为r，若以连续复利计，则t 年后资金的总额为：
p(t ) p0ert
(1)
我们从另外的观点导出(1)式.
设 t 时刻(以年为单位)的资金总额为 p(t) ，且
例 2 一个质量为 m 的物体仅受重力的作用而下落，如
果其初始位置和初始速度都是 0，试确定物体下落的
距离 S 与时间 t 的函数关系.
解 设物体在任意时刻t 下落的距离 S S t ，则物体
运动的加速度为
a
S
d2S dt 2
.
现在物体仅受重力作用，重力加速度为g，由牛顿第
二定律可知，
d2S dt 2
(2) 特解:
确定了通解中任意常数以后的解.
解的图像: 微分方程的积分曲线.
通解的图像: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件.
初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题.
一阶:
y f (x, y)
y
x
x0
y0
过定点的积分曲线;
二阶:
y f ( x, y, y)
y
x
x0
y0 ,
资金没有取出也没有新的投入.那么，
t 时刻资金总额的变化率= t 时刻资金总额获取的利息
而 t 时刻资金总额的变化率=dp/dt，t 时刻资 金总额获取的利息=rp，所以
dp rp
(2)
dt
此式中未出现 p0 ，这是因为 p0 的值并不影响 利息赢取的过程.但是，作为未知函数的 p(t) 应满
足下列条件：当 t=0 时， p(t) p0 .将之记作
分方程.
四、已知函数 y ae x bex x 1,其中a , b为任意常 数,试求函数所满足的微分方程 .
练习题答案
一、1. 3； 2. 2；
二、C1
1, C2
2
.
三、 yy 2x 0.
3. 1；
4. 2.
四、 y y 1 x.
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p |t0 p0
(3)
很显然，要是一个函数的导数是自己的 r 倍，则 很自然地我们猜测到：
p(t ) Cert (C为任意常数)
(4)
将之代入
dp dt
rp
，不难验证，等式成立.
于是根据 p |t0 p0 得
p0 Cer0 C
故 C p0 .则
p(t ) p0ert
(5)
这与前面的结果一致.
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式.
分类1: 常微分方程, 偏微分方程.
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数.
分类2:
一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y); 高阶微分方程 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
g,
(6)
此外，未知函数 S S t 还应满足条件:
将其记作
t 0 有 S 0,V dS 0. dt
S |t0 0,
dS
V |t0 dt |t0 0.
(7)
将(6)式两端积分一次，得
dS V dt gt C1,
(8)
再积一次分，得
S
g 2
t2
C1t
C2.
(9)
这里C1,CBiblioteka 都是任意常数.k 2C1 cos kt
k 2C2 sin kt,
将
d2 x dt 2
和x的表达式代入原方程
,
得
k 2(C1 cos kt C2 sin kt) k 2(C1 cos kt C2 sin kt) 0.
故 x C1 coskt C2 sin kt 是原方程的解.
x A, dx 0,
y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
分类3:
线性微分方程. y P( x) y Q( x), 非线性微分方程. x( y)2 2 yy x 0;
分类4: 单个微分方程与微分方程组.
dy dx
3
y
2z,
dz
dx
2
y
z,
微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式 的函数.
yx x0
y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
例 3 验证:函数 x C1 cos kt C2 sin kt是微分方程
d2 x dt 2
k
2
x
0
的解. 并求满足初始条件 x A, dx 0的特解.
t0
dt t0
解：
dx dt
kC1 sin kt
kC2
cos kt,
d2 x dt 2