实际问题与二次函数教学设计
人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数(最大利润问题)教案教学设计
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
6.课后作业：布置与最大利润问题相关的作业，让学生在课后进一步巩固所学知识。
教学评价：
1.课堂表现：关注学生在课堂上的参与程度，积极思考、提问的表现。
2.作业完成情况：评价学生对最大利润问题解决方法的掌握程度。
（2）鼓励学生尝试用不同的方法解决同一问题，提高他们的思维灵活性和创新意识。
3.拓展作业：
（1）引导学生关注生活中的最大利润问题，如超市促销、工厂生产等，要求学生运用所学知识进行分析，并提出解决方案。
（2）鼓励学生查找相关资料，了解二次函数在其他领域的应用，如经济学、管理学等。
4.作业要求：
（1）要求学生在作业本上规范书写，保持卷面整洁。
4.通过对最大利润问题的探讨，培养学生的数感和运用数学知识解决实际问题的能力。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生合作探究、解决问题的能力。
2.引导学生运用数学建模的思想，从实际问题中抽象出数学模型，提高学生的数学思维能力。
3.运用数形结合的方法，让学生在解决最大利润问题的过程中，深入理解二次函数的性质和图像。
（2）新课：讲解二次函数在实际问题中的应用，通过例题让学生体会最大利润问题的解决方法。
（3）练习：设计不同难度的练习题，让学生在解决最大利润问题的过程中，巩固所学知识。
（4）总结：对本节课的重点知识进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
3.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，实施分层教学，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
数学《实际问题与二次函数》教案
数学《实际问题与二次函数》教案一、教学目标：1.了解什么是二次函数，掌握二次函数的基本概念。
2.能够解决与实际问题有关的二次函数。
二、教学重点：1.二次函数的基本概念。
2.实际问题与二次函数的联系。
三、教学难点：1.如何将实际问题转化为二次函数。
2.分析和解决复杂的实际问题。
四、教学内容：1.引入教师可以从生日蜡烛的点燃过程开始引入二次函数，引导学生思考问题，看看他们能否找到一种数学模型。
2.二次函数的基本概念教师可以通过展示二次函数的图像，让学生了解二次函数的基本形式和概念，以及与一次函数的区别。
3.实际问题与二次函数的联系教师可以通过展示一些实际问题的例子，引导学生用二次函数解决实际问题。
例如，让学生用二次函数来解决小球抛掷问题。
4.练习与检测教师可以提供一些实际问题，让学生用二次函数解决，并检查他们的答案。
五、教学方法：1.理论讲授2.实际例题演练3.学生自主探究、小组合作探究4.课堂讨论五、教学评估：1.课堂提问。
2.课堂作业。
3.小组合作探究成果汇报。
4.个人练习册答案。
六、教学资源：1.多媒体设备。
2.实际问题与二次函数的例子。
3.刻度尺、板子、小球等教学资源。
七、教学模式：1.学生自主探究模式。
2.小组合作探究模式。
3.课堂讨论模式。
八、教学环节：一、引入（5分钟）让学生看一段视频，例如实际生活中小球的运动过程，引导学生思考，看看他们能否找到一种数学模型。
二、二次函数的基本概念（10分钟）展示二次函数的图像，让学生了解二次函数的基本形式和概念，以及与一次函数的区别。
三、实际问题与二次函数的联系（30分钟）展示一些实际问题的例子，让学生用二次函数解决，例如小球抛掷问题。
四、练习与检测（10分钟）提供一些实际问题，让学生用二次函数解决，并检查他们的答案。
五、总结（5分钟）总结一下本课所学的知识点及实际应用场景，提出本节课问题解决的关键点和难点，查漏补缺。
六、课后作业（5分钟）将几道练习题作为课后作业，供学生巩固课上所学知识。
《实际问题与二次函数》教学案例
《实际问题与二次函数》教学案例教学目标：1.理解实际问题与二次函数的关系；2.能够通过实际问题建立二次函数模型；3.能够利用二次函数模型解决实际问题。
教学重点：1.理解实际问题与二次函数的关系；2.能够通过实际问题建立二次函数模型。
教学难点：能够利用二次函数模型解决实际问题。
教学准备：1.教材；2.教学课件；3.实例分析。
教学过程：Step 1 导入新知识（5分钟）1.教师引导学生回顾二次函数的定义和性质；2.教师告诉学生，二次函数不仅可以用来描述抛物线的形状，还可以用来解决实际问题；3.教师提出一个实际问题：“小明从高空抛下一个物体，经过多长时间物体落地？”并让学生思考如何用二次函数解决这个问题。
Step 2 实例分析（15分钟）1.教师给出一个具体的实例：“小明从高空抛下一个物体，经过多长时间物体落地？”2.教师引导学生思考如何建立二次函数模型来解决这个问题。
3.教师给出提示：可以用物体的下落时间t作为自变量，用物体的高度h作为因变量，建立二次函数模型h(t) = at^2 + bt + c。
4.教师引导学生分析题目中的已知条件，找出相关的参数a、b、c，并建立方程h(t) = at^2 + bt + c。
5.教师解释如何根据方程求解问题，即求解方程h(t) = 0，得到物体的下落时间t。
Step 3 练习与巩固（20分钟）1.教师出示几个实际问题，要求学生尝试建立二次函数模型，并解决问题。
2.学生独立完成练习，并与同学讨论解题方法和答案。
3.教师随机点名学生，让其上台解答问题，并讲解解题思路和方法。
Step 4 拓展应用（10分钟）1.教师给出一个更复杂的实际问题：“小明用一根绳子固定在墙上，然后将一端挂在天花板上，问绳子的长度为多少时，物体恰好能够悬挂在墙上？”2.教师引导学生思考如何建立二次函数模型来解决这个问题，并解释解题思路和方法。
Step 5 总结与展望（5分钟）1.教师与学生一起总结本节课所学内容，强调实际问题与二次函数的关系；2.教师展望下节课内容，引发学生的兴趣和思考。
九年级数学上册《实际问题与二次函数》教案、教学设计
4.巩固练习，拓展提高
设计具有梯度的练习题，让学生在掌握基本知识的基础上，逐步提高解决问题的能力。同时，布置拓展提高题，激发学生的创新思维，培养其数学素养。
5.反思评价，促进成长
在教学过程中，注重引导学生进行自我反思，评价自己在解决问题过程中的表现。教师应及时给予反馈，肯定学生的优点，指出不足，促进学生不断成长。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
在导入新课环节，我将利用生活中的实例来激发学生的兴趣，引导他们思考实际问题与二次函数之间的联系。我会向学生展示一个抛物线形状的拱桥图片，并提出问题：“同学们，你们知道这座拱桥的最大高度是多少吗？我们如何运用二次函数来求解这个问题？”通过这个问题，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发他们的探究欲望。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力，他们已经掌握了二次函数的基本概念、性质和图像，能够解决一些简单的二次函数问题。但在实际问题与二次函数的结合上，学生可能还存在以下问题：一是将实际问题转化为数学模型的能力不足，二是运用二次函数解决实际问题时，缺乏对问题深入分析的能力。此外，部分学生对数学学习的兴趣和自信心有待提高。针对这些情况，教师应注重以下几点：1.引导学生从实际问题中发现数学问题，培养其数学建模能力；2.设计具有挑战性的问题，激发学生的探究欲望，提高其解决问题的能力；3.创设轻松愉快的学习氛围，鼓励学生积极参与，增强其学习数学的自信心。通过有针对性的教学策略，使学生在掌握知识的同时，提高解决问题的能力和学习兴趣。
4.培养学生团结协作、互相帮助的精神，使其在合作中成长，体验团队的力量。
本章节教学设计以实际问题为载体，以二次函数为主线，引导学生运用数学知识解决生活中的问题。在教学过程中，注重培养学生的独立思考、合作交流、创新实践能力，使其在掌握知识的同时，提高综合素质。通过本章节的学习，使学生认识到数学在生活中的重要作用，激发学生学习数学的兴趣，为学生的终身发展奠定基础。
人教版九年级数学上册22.3.3实际问题与二次函数拱桥问题教学设计
（1）理解并运用二次函数的顶点式和交点式分析拱桥问题。
（2）运用二次函数求最值的方法，解决拱桥设计的优化问题。
（3）将数学知识与现实问题相结合，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
（二）教学设想
1.创设情境：以我国著名的拱桥为例，如赵州桥，引入拱桥问题的探讨，激发学生的学习兴趣，使他们感受到数学与生活的紧密联系。
7.教学评价：采用多元化的评价方式，关注学生在课堂上的表现，包括小组讨论、操作实践、问题解决等方面，全面评估学生的学习效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：教师出示一张我国著名拱桥的图片，如赵州桥，引导学生观察并思考拱桥的形状、结构等特点。
2.提出问题：拱桥的形状与二次函数有什么关系？如何利用二次函数的知识解决拱桥问题？
3.拓展作业：
（5）研究其他类型的实际问题，如抛物线形天线、拱形门等，运用二次函数的知识进行分析和解答。
（6）分组进行项目研究，选取一个实际工程项目，如桥梁、隧道等，运用二次函数进行优化设计，撰写项目报告，并在课堂上进行分享。
4.创新作业：
（7）结合所学知识，发挥创意，设计一个具有独特形状的拱桥，并运用二次函数进行求解和分析，将设计图与解题过程整理成册。
2.自主探究：引导学生运用二次函数的知识，自主探究拱桥问题，培养学生的问题意识和解决问题的能力。
（1）提出问题：如何根据拱桥的形状和跨度，确定二次函数的表达式？
（2）合作交流：学生分组讨论，分享各自的想法和解决方法，互相学习，共同进步。
3.演示与讲解：教师通过多媒体演示或板书，讲解二次函数在拱桥问题中的应用，重点解析顶点式和交点式的运用，以及如何求解最值。
2.归纳要点：
（1）二次函数与拱桥问题的关系。
实际问题与二次函数教案
实际问题与二次函数一、学习目标·重点难点1、初步让学生学会用二次函数知识解决实际问题。
2、在问题转化，建摸的过程中，发展合情推理，体会数形结合的思想。
3、通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛运用，发展数学思维，激发学生学习热情。
教学重点：用二次函数的知识解决实际问题。
教学难点：建立二次函数数学模型。
教学方法：引导、启发式教学，学生自主学习，合作探索。
二、直击考试·例题解析例1:我们班小红家开了一个商店，某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映:如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件;每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该商品的进价为每件40元，如何定价才能使小红的爸爸获得利润最大？分析：1、如何确定函数关系式？2、每件的利润=售价—进价总利润=每件的利润×卖出的总件数3、变量x有范围要求吗？解:调整价格包括涨价和降价两种情况(1)设每件涨价x元，则每件的利润为(60+x-40)元，可卖的商品的件数为(300-10x)，此时每星期商品的利润为y元，于是有y=(60+x-40)(300-10x)=-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250 (其中0≤x≤30)∴当x=5时，y最大=6250元所以在涨价的情况下，每件涨5元即定价为65元/件时利润最大是6250元。
(2)设每件降价x元，则每件的利润为(60-x-40)元，可卖的商品件数为(300+20x)，此时每星期商品的利润为y元，于是有y=(60-x-40)(300+20x)=-20x2+100x+6000=-20(x-2.5)2+6125 (其中0≤x≤20)∴当x=2.5时，y最大=6125元所以在降价的情况下，每件降价2.5元即定价为57.5元时，利润最大是6125元。
综合(1) (2)可知，商品的定价为65元时才能使小红的爸爸获得利润最大。
由此题可知，做生意也是有很大的学问。
人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》教学设计2
人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》教学设计2一. 教材分析人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》是本节课的教学内容。
这部分教材主要让学生了解二次函数在实际问题中的应用，培养学生的实际问题解决能力。
教材通过引入实际问题，让学生探讨问题背后的二次函数模型，进而掌握二次函数的性质和图象特征。
教材内容安排合理，由浅入深，有利于学生掌握二次函数在实际问题中的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图象和性质有一定的了解。
但学生在应用二次函数解决实际问题方面可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的实际问题解决能力。
三. 教学目标1.让学生了解二次函数在实际问题中的应用，培养学生的实际问题解决能力。
2.使学生掌握二次函数的性质和图象特征，提高学生的数学素养。
3.培养学生的合作交流能力，提高学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用，二次函数的性质和图象特征。
2.难点：如何将实际问题转化为二次函数模型，以及如何利用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探讨问题背后的二次函数模型。
2.案例教学法：分析典型实际问题，让学生了解二次函数在实际问题中的应用。
3.小组讨论法：培养学生合作交流的能力，提高学生的逻辑思维能力。
4.引导发现法：教师引导学生发现二次函数的性质和图象特征，培养学生自主学习的能力。
六. 教学准备1.准备相关实际问题，用于引入和巩固教学内容。
2.准备二次函数的图象和性质资料，用于讲解和展示。
3.准备小组讨论的任务，引导学生进行合作交流。
4.准备课堂练习题，检验学生对教学内容的掌握程度。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探讨问题背后的二次函数模型。
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数(3)1优秀教学案例
（四）总结归纳
1.教师引导学生对所学知识进行总结归纳，帮助他们建立完整的知识体系；
2.学生通过总结归纳，巩固所学知识，提高他们的自我认知能力；
3.教师对学生的总结归纳进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
（五）作业小结
4.引导学生发现二次函数在实际问题中的应用规律，培养他们的实践能力。
（三）学生小组讨论
1.教师提出具有挑战性和开放性的课题，让学生在小组内进行讨论和合作交流；
2.引导学生运用所学知识，分析问题、解决问题，提高他们的实践能力和团队协作精神；
3.鼓励学生分享自己的观点和思考，培养他们的表达能力和批判性思维；
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数（3）1优秀教学案例
一、案例背景
本案例背景以人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数（3）1为例，旨在通过实际问题引导学生理解和掌握二次函数的性质和应用。在教学过程中，我以生活实际为载体，设计了一系列具有代表性的例题和练习，让学生在解决实际问题的过程中，深化对二次函数的理解，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
在案例背景中，我充分考虑了学生的年龄特点和知识水平，以符合九年级学生的认知发展需求。在教学设计上，我注重启发式教学，引导学生通过观察、分析、归纳和推理，探索二次函数的性质和实际应用。同时，我还关注学生的个体差异，提供不同难度的题目，让每个学生都能在数学学习中找到适合自己的路径，从而提高他们的自信心和积极性。
4.教师对小组合作过程进行指导和评价，确保学生能够从合作中获得充分的提升。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习经验和方法，提高他们的自我认知能力；
《22.3 实际问题与二次函数》教学设计教学反思-2023-2024学年初中数学人教版12九年级上册
《实际问题与二次函数》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解二次函数的概念，掌握其一般形式。
2. 能够根据实际问题建立二次函数模型，解决相关问题。
3. 培养运用二次函数解决实际问题的意识和能力。
二、教学重难点1. 教学重点：理解二次函数的概念，掌握其应用。
2. 教学难点：将实际问题转化为二次函数模型。
三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、笔、几何图形模型等。
2. 搜集与二次函数相关的实际问题，制作课件。
3. 布置学生预习课本，准备参与课堂的讨论。
4. 复习一次函数的知识，为新课做铺垫。
四、教学过程：本节课是《实际问题与二次函数》教学设计方案（第一课时），以下是具体的教学过程：1. 导入新课：首先，我会向学生介绍本节课的主题——实际问题与二次函数，并解释二次函数在解决实际问题中的重要性。
通过一些简单的实际问题，引导学生认识到二次函数的应用广泛性，激发他们的学习兴趣。
2. 案例分析：通过具体的案例分析，让学生了解如何将实际问题转化为二次函数问题，以及如何利用二次函数解决实际问题。
案例应该涵盖各种不同类型的实际问题，如销售问题、最值问题、规划问题等，以便学生能够全面掌握。
3. 小组讨论：将学生分成若干小组，让他们讨论身边的实际问题，并尝试将其转化为二次函数问题。
这有助于培养学生的思维能力和团队协作精神。
在讨论过程中，教师需要给予适当的指导，帮助学生解决困惑。
4. 课堂互动：鼓励学生提出自己的问题和观点，与教师和其他同学进行交流。
通过互动环节，教师可以了解学生的学习情况，及时调整教学策略。
5. 总结归纳：在课堂结束前，对所学内容进行总结归纳，强调二次函数在解决实际问题中的关键点和注意事项。
同时，引导学生反思自己的学习成果，鼓励他们将所学知识应用到实际生活中。
6. 布置作业：根据本节课的内容，为学生布置一些相关的作业题，以巩固所学知识。
作业内容应该包括理论题和实践题两种类型，以便学生能够全面掌握二次函数的应用。
实际问题与二次函数教案
课题：实际问题与二次函数（一）教学目标1.知识与技能：使学生会根据题意将实际问题转化为二次函数的问题来解决，会根据题意列出二次函数表达式、会求出自变量的取值范围、会使用二次函数的性质解决问题。
2. 过程与方法：经历将实际问题转化成二次函数的问题的过程完成由感性理解到理性理解的转变，实现理解上的升华。
3.情感态度与价值观：让学生体会数学与人类社会生活的密切联系，理解数学的应用价值；会建立二次函数的数学模型，进一步培养学生探索、创新、转化的水平。
（二）.教学重点：根据具体的实际问题列出二次函数表达式、求出自变量的取值范围、并使用二次函数的性质解决问题。
（三）.教学难点：准确的根据具体的实际问题列出二次函数表达式、求出自变量的取值范围、并使用二次函数的性质解决问题。
（四）.教学方法：引导、分析、讨论、讲解、归纳（五）.教学过程：一.创设问题情境，引入新课前面我们理解了二次函数，研究了它的图象与性质，今天将应用它去解决一些实际问题。
首先我们一起来作一个简要的回顾：1.二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质：①当a>0时，抛物线y=a(x－h)2＋k的开口向___，顶点为（）它是抛物线上的最___点，函数y当自变量x=____时有最___值____.②当a<0时，抛物线y=a(x－h)2＋k的开口向___，顶点为（）它是抛物线上的最___点，函数y当自变量x=____时有最___值____.2.二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质：①当a>0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向___，顶点为（）它是抛物线上的最___点，函数y当自变量x=____时有最___值____________.②当a<0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向___，顶点为（）它是抛物线上的最___点，函数y当自变量x=____时有最___值____________.由此可知，确定了一个二次函数的解析式，我们就能够根据其性质求出相对应的函数的最大（小)值。
九年级数学实际问题与二次函数教学设计
《实际问题与二次函数》教学设计教学目标1. 会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．2. 能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并使用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．3. 能根据实际问题建立二次函数的关系式，并探求出在何时刻，实际问题能取得理想值，增强学生解决具体问题的水平.教学重点1. 根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式和建立适宜的直角坐标系．2. 求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．教学难点将实际问题转化成二次函数问题教学过程一、创设情境，引入新课某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？请大家带着以下几个问题读题（1）题目中有几种调整价格的方法？（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。
涨价x元时则每星期少卖件，实际卖出件,销额为元，买进商品需付元所以，所得利润为元解这类题目的一般步骤（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，使用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
二、合作探究，当堂巩固1.在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况实行了调查统计，得到如下数据：（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x (元/千克)之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？三、质疑再探，拓展提升某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元实行批量生产。
实际问题与二次函数教案
实际问题与二次函数（九年级公开课教案）教学目标1、知识与技能：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数求出实际问题中的最大（小）值，发展学生解决问题的能力。
2、过程与方法：经历探索商品销售中最大利润问题的过程，增强数学应用能力。
3、情感态度与价值观：提高学生解决问题的能力，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。
教学重点与难点1、重点：让学生通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决经济中最大（小）值问题。
2、难点：（一）创设情境导入新课导语一函数y=6(x-2)2中，x=________时，y的值最小，二次函数中的极值写实际问题有何关系？它可以帮助我们解决哪些问题呢？导语二商场的服装，经常出现涨价、降价，这其中有何奥妙呢？商家的利润否是随涨价而增多，降【探究】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件。
已知商品的进价为每件40元，如何家价才能使利润最大？[议一议]涨价与降价有可能获得最大利润吗？需要分类讨论吗？1、在涨价的情况下，①每件的利润为（60-40+x）元②每星期的销售量为（300-10x）件③所获利润是（60-40+x）×（300-10x）元若设所获得利润为y元，则有y=（60-40+x）·（300-10x），即y= -10x2+100x+6000。
④自变量x的取什范围是0≤x≤30（300-10x≥0 x≤30）⑤如何求最大值？由y= -10x2+100x+6000得y= -10（x-5）2 +6250，当x=5时，y 的最大值是6250。
即在涨价情下，涨价5元，定价65元时，所获利润最大，最大利润是6250元。
2、 在降价的情况下，最大利润又是多少呢？我们用类似的方法进行分析20）配方得y= -18（x -35）2+6050。
实际问题与二次函数教学设计
人教版《实际问题与二次函数（第2课时）》教学设计【教材分析】本节的问题涉及求函数的最大值，要先求出函数的解析式，再求出使用函数值最大的自变量值，在此问题的基础上引出直接根据函数解析式求二次函数的最大值或最小值的结论，即当0>a 时，函数有最小值，并且当a b x 2-=，a b ac y 442-=最小值；当0<a 时，函数有最大值，并且当a b x 2-=，a b ac y 442-=最大值．得出此结论后，就能够直接使用此结论求二次函数的最大值或最小值。
接下来，学生通过探究并解决三个问题进一步体会用二次函数解决实际问题。
在探究1中，某商品价格调整，销售会随之变化。
调整价格包括涨价与降价两种情况，一般来讲，商品价格上涨，销量会随之下降；商品价格下降，销售会随之增加，这两种情况都会导致利润的变化。
教科书首先分析涨价的情况，在此题中，设涨价x 元，则能够确定销售量随x 变化的函数式。
由此得出销售额、单件利润随x 变化的函数式，进而得出利润随x 变化的函数式，由这个函数求出最大利润则由学生自己完成。
【学情分析】学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，学习了列代数式，列方程解应用题，这些内容的学习为本节课奠定了基础，使学生具备了一定的建模水平，但使用二次函数的知识解决实际问题要求学生能比较灵活的使用知识，对学生来说要完成这个建模过程难度较大。
【教学目标】智能与水平：1、能够从实际问题中抽象出二次函数，并使用二次函数的知识解决实际问题。
2、与已有知识综合使用来解决实际问题，加深对二次函数的理解,体会数学与实际的联系。
3、通过数学建模思想、转化思想、函数思想、数形结合思想的综合使用，提升学生的数学水平。
过程与方法：1、经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，并进一步体验如何从实际问题中抽象出数学模型。
2、注意二次函数和一元二次方程、不等式的联系和相互转化，及其在实际问题中的综合使用，重视对知识综合应用水平的培养。
22.3 实际问题与二次函数 教案
22．3实际问题与二次函数第1课时二次函数与图形面积01教学目标1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小(大)值．2．能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数及性质解决与面积有关的最小(大)值问题．02预习反馈阅读教材P49～50(探究1)，完成下列问题．1．一般地，当a＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低点，也就是说，当x＝－b2a时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小值4ac－b24a；当a＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最高点，也就是说，当x＝－b2a时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最大值4ac－b24a．2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)，其图象如图所示．(1)小球运动的时间是3s时，小球最高；(2)小球运动中的最大高度是45m.3．一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm，其中一直角边长为x cm，面积为y cm2，则y与x的函数的关系式是y＝12x(20－x)，当x＝10时，面积y最大，为50cm2.03名校讲坛例1(教材P49探究)用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？【思路点拨】先写出S关于l的函数解析式，再求出使S最大的l值．【解答】∵矩形场地的周长是60 m，一边长为l m，则另一边长为(602－l)m，∴场地的面积S＝l(602－l)＝－l2＋30l(0＜l＜30)．∴当l＝－b2a＝－302×（－1）＝15时，S有最大值4ac－b24a＝－3024×（－1）＝225．答：当l是15 m时，场地的面积S最大．【点拨】在实际问题中，求函数的解析式时，一定要标注自变量的取值范围，同时在求函数的最值时，一定要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内．【跟踪训练1】(《名校课堂》22.3第1课时习题)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是(C)A．60 m2B．63 m2C．64 m2D．66 m2例2(教材P49探究的变式)如图，用长为6 m的铝合金条制成一个“日”字形窗框，已知窗框的宽为xm，窗户的透光面积为y m2(铝合金条的宽度不计)．(1)求出y与x的函数关系式；【思路点拨】由题意可知，窗户的透光面积为长方形，根据长方形的面积公式即可得到y和x的函数关系式．【解答】∵大长方形的周长为6 m，宽为x m，∴长为6－3x2m.∴y＝x·（6－3x）2＝－32x2＋3x(0＜x＜2)．【点拨】求y与x的函数关系式时，一定不能漏掉自变量的取值范围．(2)如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．【思路点拨】由(1)中的函数关系可知，y和x是二次函数关系，根据二次函数的性质即可得到最大面积．【解答】由(1)可知，y和x是二次函数关系．∵a＝－32＜0，∴函数有最大值．当x ＝－32×（－32）＝1时，y 最大＝32 m 2，此时6－3x 2＝1.5.答：窗框的长和宽分别为1.5 m 和1 m 时，才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5 m 2.【点拨】 要考虑x ＝1是不是在自变量的取值范围内．【跟踪训练2】 如图，点C 是线段AB 上的一点，AB ＝1，分别以AC 和CB 为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A )A ．当C 是AB 的中点时，S 最小 B ．当C 是AB 的中点时，S 最大 C ．当C 为AB 的三等分点时，S 最小D ．当C 是AB 的三等分点时，S 最大 04 巩固训练 1．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m ，则池底的最大面积是(B ) A ．600 m 2 B ．625 m 2 C ．650 m 2 D ．675 m 2 2．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m )，用80 m 长的篱笆围成一个矩形场地，当AD ＝20m 时，矩形场地的面积最大，最大面积为800m 2.3．(《名校课堂》22.3第1课时习题)手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm ，菱形的面积S (单位：cm 2)随其中一条对角线的长x (单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)；(2)当x 是多少时，菱形风筝面积S 最大？最大面积是多少？解：(1)S ＝－12x 2＋30x .(2)∵S ＝－12x 2＋30x ＝－12(x －30)2＋450，且a ＝－12＜0，∴当x ＝30时，S 有最大值，最大值为450.即当x 为30 cm 时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm 2.第2课时 二次函数与商品利润01 教学目标能根据商品利润问题建立二次函数的关系式，并探求出在何时刻，实际问题能取得理想值，增强学生解决具体问题的能力．02 预习反馈阅读教材P 50(探究2)，完成下列问题．1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x 元，则可卖出(350－10x)件商品，那么商品所赚钱数y(元)与售价x 的函数关系式为(B )A ．y ＝－10x 2－560x ＋7 350B ．y ＝－10x 2＋560x －7 350C ．y ＝－10x 2－350xD ．y ＝－10x 2＋350x －7 3502．某商店经营一种商品，已知获得的利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系式y ＝－12(x －45)2＋1 200，则当销售单价为45元时，获利最多，为1__200元．3．北国超市的小王对该超市苹果的销售进行了统计，某进价为4元/千克的苹果每天的销售量y(千克)和当天的售价x(元/千克)之间满足y ＝－20x ＋200(5≤x ≤8)，若销售这种苹果所获得的利润为W ，售价为x 元，则销售每千克苹果所获得的利润为(x －4)元，W 与x 之间的函数关系式为W ＝(x －4)(－20x ＋200)＝－20(x －7)2＋180，要使苹果当天的利润达到最高，则其售价应为7元，最大利润为180元．03 名校讲坛例1 (教材P50探究2)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？想一想：进价，售价，利润，利润率几者之间有什么关系？【思路点拨】调整价格包括涨价和降价两种情况，做题时应分类讨论．①涨价时，若设每件涨价x元，则每星期少卖10x 件，实际卖出(300－10x)件，销售额为[(60＋x)·(300－10x)]元，买进商品需付[40(300－10x)]元，根据利润＝销售额－买进商品的钱数列函数解析式，并根据函数的性质求出函数的最大值即可；②降价时，若设每件降价x元，则每星期多卖20x 件，实际卖出(300＋20x)件，销售额为[(60－x)·(300＋20x)]元，买进商品需付[40(300＋20x)]元，再同涨价，求出函数的最大值，最后再结合①②两种情况，即可得出最后使利润最大的定价．【解答】设每星期售出商品的利润为y元，则由分析可知，①涨价时y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，即y＝－10x2＋100x＋6 000＝－10(x－5)2＋6 250(0≤x≤30)．∴当x＝5时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6 250元．②降价时y＝(60－x)(300＋20x)－40(300＋20x)，即y＝－20x2＋100x＋6 000＝－20(x－2.5)2＋6 125(x≥0)．∴当x＝2.5时，y最大，也就是说，在降价的情况下，涨价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6 125元．综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价65元时，利润最大．【点拨】在实际问题中，求函数的解析式时，一定要标注自变量的取值范围，同时在利用公式求函数的最值时，一定要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内．例2(教材P50探究2的变式)某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如果售价为x元，总利润为y元．(1)写出y与x的函数关系式；(2)当售价x为多少元时，总利润y最大，最大值是多少元？【思路点拨】(1)根据总利润＝每件日用品的利润×可卖出的件数，即可得到y与x的函数关系式；(2)利用公式法可得二次函数的最值．【解答】(1)∵销售单价为x元，销售利润为y元，根据题意，得y＝(x－20)[400－20(x－30)]＝(x－20)(1 000－20x)＝－20x2＋1 400x－20 000(20≤x≤50)，∴y与x的函数关系式为：y＝－20x2＋1 400x－20 000(20≤x≤50)．(2)∵y＝－20x2＋1 400x－20 000，∴当x＝－1 4002×（－20）＝35时，y最大＝4 500.∴售价x为35元时，总利润y最大，最大值是4 500元．【跟踪训练】(《名校课堂》22.3第2课时习题)一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(A)A．5元B．10元C．0元D．6元04巩固训练1．某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房日租金每增加5元，则客房每天少出租6间．不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到75元时，客房日租金的总收入最高．2．某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．(1)假设每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请你写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围；(2)每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？(注：销售利润＝销售收入－购进成本)解：(1)降低x元后，所销售的件数是(500＋100x)，则y＝－100x2＋600x＋5 500(0＜x≤11)．(2)由(1)得，y＝－100x2＋600x＋5 500＝－100(x－3)2＋6 400，∴当x＝3时，y的最大值是6 400元，即降价为3元时，利润最大．∴销售单价为10.5元时，最大利润为6 400元．答：销售单价为10.5元时，最大利润为6 400元．第3课时实物抛物线01教学目标1．会利用二次函数知识解决实物抛物线问题．2．能根据实际问题构建二次函数模型．02预习反馈阅读教材P 51(探究3)，完成下列问题．1．有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，把它的示意图放在如图所示的坐标系中，则抛物线的函数解析式为y ＝－125x 2＋85x ．2．隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为y ＝－18x 2＋2，一辆车高3 m ，宽4 m ，该车不能(填“能”或“不能”)通过该隧道．03 名校讲坛例1 (教材P51探究3)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m 时，水面宽4 m ．水面下降1 m ，水面宽度增加多少？【思路点拨】 将实际问题转化为数学问题，先建立适当的坐标系求出这条抛物线表示的二次函数，再根据二次函数的图象进行解题．其中以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系最为简便(如图)．【解答】 设这条抛物线表示的二次函数为y ＝ax 2. 由抛物线经过点(2，－2)，可得 －2＝a ×22，解得a ＝－12.∴这条抛物线表示的二次函数为y ＝－12x 2.当水面下降1 m 时，水面的纵坐标为y ＝－3，这时有－3＝－12x 2，解得x ＝± 6.∴这时水面宽度为2 6 m.答：当水面下降1 m 时，水面宽度增加(26－4)m. 【点拨】 利用二次函数知识解决实物抛物线问题的一般步骤：(1)建立适当的平面直角坐标坐标系，并将已知条件转化为点的坐标；(2)合理地设出所求的函数的解析式，并代入已知条件或点的坐标，求出解析式；(3)利用解析式求解实际问题．【跟踪训练1】 (《名校课堂》22.3第3课时习题)如图是一个横截面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为例2 (教材变式例题)某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m 加设不锈钢管(如图)做成立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据．(1)求此抛物线的解析式；(2)计算所需不锈钢管的总长度．【解答】 (1)由题意得，B (0，0.5)，C (1，0)． 设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋c ，代入得a ＝－0.5，c ＝0.5.故解析式为y ＝－0.5x 2＋0.5. (2)如图所示：当x ＝0.2时，y ＝0.48. 当x ＝0.6时，y ＝0.32.∴B 1C 1＋B 2C 2＋B 3C 3＋B 4C 4＝2×(0.48＋0.32)＝1.6(米)．∴所需不锈钢管的总长度为：1.6×50＝80(米)． 【点拨】 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．【跟踪训练2】 如图的一座拱桥，当水面宽AB 为12 m 时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线解析式是y ＝－19(x －6)2＋4，则选取点B 为坐标原点时的抛物线的解析式是y ＝－19(x ＋6)2＋4．04 巩固训练1．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y ＝－125x 2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4 m 时，这时水面宽度AB 为(C )A ．－20 mB ．10 mC ．20 mD ．－10 m2．某铅球运动员在一次推铅球时，铅球行进高度y(m )与水平距离x(m )之间的关系为y ＝－112(x －4)2＋3，由此可知他铅球推出的距离是(A )A ．10 mB ．9.5 mC ．9 mD ．8 m3．如图所示，有一个抛物线型拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在直角坐标系中，则此抛物线的函数关系式为y ＝－125(x －20)2＋16．。
实际问题与二次函数教案
实际问题与二次函数课时1教案教学目标：1.学生能够将生活中的实际问题转化为数学问题。
2.学生会运用二次函数的相关知识解决实际问题。
教学重点：1.利用顶点坐标公式求二次函数的最大值、最小值。
2.通过分析，找出变量之间的函数关系式。
教学难点：自变量的范围和列函数关系式。
教材分析：本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，二次函数化为顶点式后，很容易求出最大值于最小值，从而把数学知识运用于实践，即是否把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释。
学生分析：九年级的学生思维活跃、开放，所以应促进学生之间的相互合作交流，共同探索，培养和提高学生全新的思维能力，探索规律的能力。
教学方法：情境创设→问题引出→复习旧知→问题解决→变式应用→归纳总结教学过程：一、情境创设：投篮最高点问题二、问题引出：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h= 30t - 5t 2（0≤t≤6）,小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动的最大高度是多少？三、复习巩固：1.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 ,它的对称轴是,顶点坐标是 .当a>0时,抛物线开口向 ,有最点,函数有最值,是；当a<0时,抛物线开口向 ,有最点,函数有最值,是。
2.二次函数y=-5x²+30x的对称轴是直线，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最____值，是 .注：找函数y=-5x²+30x和h= 30t - 5t 2（0≤t≤6）的联系和区别，然后过渡到问题解决。
四、问题解决：从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h（单位m）与小球运动时间t（单位：s）的关系式是h= 30t - 5t 2．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是少？分析：首先理解题意，把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求h= 30t - 5t 2的顶点坐标即可．解： ∵ 小球的高度 h 、运动时间 t 的关系式：h= 30t - 5t 2 （0≤t ≤6）∴ ∴五、类比引入：例1：用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化。
新听课记录2024秋季九年级人教版数学上册第二十二章二次函数《实际问题与二次函数》
教学设计：新2024秋季九年级人教版数学上册第二十二章二次函数《实际问题与二次函数》一、教学目标（核心素养）1、知识与技能：学生能够理解并掌握将实际问题转化为二次函数问题的方法，能够建立并求解二次函数模型解决实际问题，如最大化利润、最小化成本、求解最佳方案等。
2、数学思维：培养学生的数学建模能力，通过实际问题的分析与解决，提升学生的逻辑思维、抽象思维和问题解决能力，加强数形结合的思想。
3、情感态度：激发学生对数学应用的兴趣，增强学生对数学与实际生活联系的认识，培养学生的创新意识和探索精神。
二、教学重点•掌握将实际问题转化为二次函数问题的基本步骤和方法。
•理解和应用二次函数模型解决实际问题。
三、教学难点•如何准确识别问题中的变量关系，建立合适的二次函数模型。
•理解和分析二次函数模型中的参数含义，以及它们对问题解决的影响。
四、教学资源•多媒体课件（包含实际问题案例、二次函数模型建立与求解过程演示）。
•实物教具（如模拟经营游戏道具，用于模拟经营问题）。
•实际问题案例集、练习题册。
•小组合作学习任务单。
五、教学方法•问题引导法：通过提出实际问题，引导学生思考并探索解决方案。
•探究学习法：鼓励学生小组合作，自主探究如何将实际问题转化为二次函数问题并求解。
•讲解与演示法：教师结合多媒体课件，讲解建模步骤和求解方法，并进行实例演示。
•练习巩固法：通过分层次练习，巩固所学知识，提高解题能力。
六、教学过程1. 导入新课（5分钟）•情境导入：展示一个贴近学生生活的实际问题（如商家如何定价以最大化利润），引发学生思考和讨论。
•引出主题：引导学生认识到这类问题可以通过建立二次函数模型来解决，从而引出本节课的主题——实际问题与二次函数。
2. 新课教学（30分钟）•知识点讲解（10分钟）：•简要回顾二次函数的基本概念和性质。
•讲解将实际问题转化为二次函数问题的一般步骤：识别变量、建立关系式、确定参数、形成模型。
•案例分析（15分钟）：•案例一：商家定价问题。
22.3 实际问题与二次函数(第一课时)(教学设计)九年级数学上册同步备课系列(人教版)
22.3 实际问题与二次函数（第一课时） 教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函数”22.3 实际问题与二次函数（第一课时），内容包括：利用二次函数解决抛掷问题与几何图形最值．2.内容解析二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，将实际问题中的变量关系转化为二次函数后，就可以利用二次函数的图象和性质加以解决，其关键是从实际问题中抽象出数学模型．本节课是在学生学习二次函数的图象和性质的基础上，借助于二次函数的图象研究二次函数的最小(大)值，并运用这个结论解决相关的实际问题．以现实生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等抛物线的探究，建立合理的平面直角坐标系，利用待定系数法确定二次函数的表达式是解决此类问题的关键．通过探究矩形面积与矩形一边长两个变量之间的关系，让学生体会运用函数观点解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最小(大)值解决实际问题．二、目标和目标解析1.目标1)会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值．2)能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题． 2.目标解析达成目标1）的标志是：学生会借助于二次函数的图象得到在二次函数顶点处取得最小(大)值的结论，理解当x ＝－2ba时，函数有最小(大)值244ac b a －．达成目标2）的标志是：学生通过经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，进一步体验如何从实际问题中抽象出二次函数模型，结合实际问题研究二次函数，将二次函数的最小(大)值的结论和已有知识综合运用来解决实际问题．三、教学问题诊断分析学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，这为本节课的学习奠定了基础．但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能选取适当的用来描述变量之间关系的函数分析问题和解决问题，对学生来说，要完成这一过程难度较大．基于以上分析，本节课的教学难点是：将实际问题抽象出数学模型，并利用二次函数解决实际问题．四、教学过程设计（一）复习巩固[问题]通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？1）y=6x2+12x 2）y=－4x2+8x－10师生活动：教师提出问题，学生回答．【设计意图】复习回顾二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征和性质，为本节课学习利用二次函数解决抛掷问题与几何图形最值进行铺垫．（二）探究新知【问题】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t－5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？师：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？生：小球运动的高度h和小球运动的时间t两个变量之间的关系．师：结合题目内容，你觉得小球的运动时间与小球的高度有什么样的关系？生：小球运动的高度随小球的运动时间的变化而变化．师：小球的运动时间是多少时，小球最高呢？生：结合已学二次函数知识回答问题.师生活动：教师引导学生，得出如下结论：画出函数的图像h=30t－5t2（0≤t≤6），可以看出这个函数图象是一条抛物线的一部分。
九年级数学下册《二次函数求实际问题中的最值》教案、教学设计
（6）以小组为单位，讨论以下问题：
a.总结二次函数的图像特征及其在实际问题中的应用；
b.分享求解二次函数最值的方法和技巧；
c.选取一个实际问题，共同解决，并将解题过程和结果整理成报告。
作业要求：
1.学生需独立完成基础知识巩固题和应用题，以检验对课堂所学知识的掌握程度；
2.探究题和小组合作题旨在培养学生的观察力、思考能力和团队协作能力，鼓励学生积极参与；
3.设想三：数形结合，强化直观感知
利用图形和实际例题，帮助学生形象地理解二次函数的顶点式及其几何意义。通过数形结合的方法，使学生更好地掌握二次函数的性质。
4.设想四：分层教学，满足不同学生需求
针对不同学生的学习水平，设计不同难度的练习题。使优秀生得到提高，中等生巩固知识，学困生跟上进度。
5.设想五：小组合作，提高课堂参与度
（二）教学设想
1.设想一：情境导入，激发兴趣
通过生活中的实例，如篮球投篮、抛物线等，引出二次函数最值问题。让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣。
2.设想二：启发式教学，培养学生自主探究能力
教学过程中，教师应以问题为导向，引导学生通过观察、猜想、验证等方式，自主探究二次函数的性质和求解最值的方法。
3.培养学生合作交流的意识，学会倾听、尊重他人意见，提高团队协作能力；
4.引导学生运用数学知识为生活服务，培养学生的社会责任感和应用数学解决实际问题的能力。
二、学情分析
九年级学生在经历了前两年的数学学习后，已经具备了基本的代数运算能力和一定的几何图形感知能力。在此基础上，他们对二次函数的概念和性质有了一定的了解，但在实际问题的求解过程中，对最值问题的处理仍存在一定难度。因此，在本章节的教学中，应关注以下学情：
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实际问题与二次函数
【教学目标】
一、知识与技能：
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，发展解决问题的能力。
二、过程与方法：
应用已有的知识，经过自主探索和合作交流尝试解决问题。
三、情感态度与价值观：
在经历和体验数学发现的过程中，提高思维品质，在勇于创新的过程中树立人生的自信心。
【教学重难点】
1.探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法。
2.如何将实际问题转化为二次函数的问题。
【教学过程】
一、复习旧知、导入新课
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
（1）y＝6x2＋12x；（2）y＝－4x2＋8x－10
以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？
有了前面所学的知识，现在就可以应用二次函数的知识去解决生活中的实际问题。
二、学习新知
1.应用二次函数的性质解决生活中的实际问题
出示例1.要用总长为60m的篱笆围成一个矩形的场地，矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化，当L是多少时，围成的矩形面积S最大？
解：设矩形的一边为Lm，则矩形的另一边为(30－L)m，由于L＞0，且30－L＞O，所以O＜L＜30。
围成的矩形面积S与L的函数关系式是
S＝L(30－L)
即S＝－L2＋30L
(有学生自己完成，老师点评)
2.练一练：
某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。
将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
请同学们完成解答；教师巡视、指导；师生共同完成解答过程：
解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元。
商品每天的利润y与x的函数关系式是：
y＝(10－x－8)(100＋1OOx)
即y＝－1OOx2＋1OOx＋200
配方得y＝－100(x－12)2＋225
因为x＝12时，满足0≤x≤2，所以当x＝12时，函数取得最大值，最大值y＝225．
所以将这种商品的售价降低0.5元时，能使销售利润最大。
三、课堂小结
小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：
（1）先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
（2）研究自变量的取值范围；
（3）研究所得的函数；
（4）检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值：
（5）解决提出的实际问题。