二十世纪数学概观
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《中国大百科全书》说,在希尔伯特之 后,在构造与探讨各种特殊度量几何方面有 许多进展,但问题并未解决。
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5.一个连续变换群的李氏概念,定 义这个群的函数不假定是可微的 。
这个问题简称连续群的解析性,即:是 否每一个局部欧氏群都有一定是李群?中间 经冯·诺伊曼(1933,对紧群情形)、邦德 里雅金(1939,对交换群情形)、谢瓦荚 (1941,对可解群情形)的努力,1952年由 格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决,得到了 完全肯定的结果。
希尔伯特是二十世纪最有影响的数学家,
他不仅是数学上一些分支的公认权威,而且 恐怕也是最后一位在几乎所有数学领域中都 做出伟大贡献的全才。
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一、新世纪的序幕
1900年8月,德国数学家希尔伯特在巴 黎国际数学家大会上作了题为《数学问题》 的著名讲演。他的讲演是这样开始的:
“我们当中有谁不想揭开未来的帷幕, 看一看今后的世纪里我们这门科学发展的前 景和奥秘呢?我们下一代的主要数学思潮将 追求什么样的特殊目标?在广阔而丰富的数 学思想领域,新世纪将会带来什么样的方法 和成果?”
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6.物理学的公理化
希尔伯特建议用数学的公理化方法推演 出全部物理,首先是概率和力学。1933年, 苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公 理化。后来在量子力学、量子场论方面取得 了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化, 很多人表示怀疑。
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7.某些数的无理性与超越性
1934年,A.O.盖尔方德和T.施奈德各自 独立地解决了问题的后半部分,即对于任意 代数数α≠0 ,1,和任意代数无理数β证明了 αβ 的超越性。
1874年,康托猜测在可列集基数和实
数基数之间没有别的基数,这就是著名的连 续统假设。1938年,哥德尔证明了连续统 假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论 公理系统的无矛盾性。1963年,美国数学 家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合
论公理是彼此独立的。因此,连续统假设不 能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正 确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上 已获解决。
1976年,在美国数学家评选的自1940年 以来美国数学的十大成就中,有三项就是希 尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可 见,能解决希尔伯特问题,是当代数学家的 无上光荣。
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8
下面摘录的是1987年出版的《数学家
小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯 特23个问题及其解决情况:
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1. 连续统假设
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6
希尔伯特在讲演的前言和结束语中,对
各类数学问题的意义、源泉和研究方法发表
了许多精辟的见解,而整个演说的主题,则 是他根据19世纪数学研究的成果和发展趋势 而提出的23个数学问题。这些问题涉及现代 数学的许多重要领域。一个世纪以来,这些 问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。
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7
1975年,在美国伊利诺斯大学召开的一 次国际数学会议上,数学家们回顾了四分之 三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展 情况。当时统计,约有一半问题已经解决了, 其余一半的大多数也都有重大进展。
变式理论中著名的“哥尔丹问题”开始在 数学界崭露头角,1891年他升任副教授, 1893年升任教授。1895年,他应克莱因
之邀,任哥丁根大学教授,由此开辟了哥 丁根大学的黄金时代。
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由于他的影响,哥丁根成为世界数学的
中心,繁盛了三、四十年,希尔伯特领导的 数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一 面旗帜,希尔伯特被称为“数学界的无冕之 王”。
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3. 两个等底等高四面体的体积相 等问题
问题的意思是,存在两个等边等高的四 面体,它们不可分解为有限个小四面体,使 这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即 对此问题给出了肯定解答。
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4. 两点间以直线为距离最短线问题
此问题提得过于一般。满足此性质的几 何学很多,因而需增加某些限制条件。1973 年,苏联数学家波格列洛夫宣布,在对称距 离情况下,问题获得解决。
希尔伯特曾说,如果他在沉睡1000年后 醒来,他将问的第一个问题便是:黎曼猜想 得到证明了吗?现在100多年过去了,这个 问题至今仍没答案。该猜想已被美国克雷数 学研究所列为世界黄金问题之一,能证明或 证伪该猜想的人将会获得100万美元的奖金。
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哥德巴赫猜想:
(a)任何一个>=6之偶数,都可以表示成两 个奇质数之和。
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8.素数问题
包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素 数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。 哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润 (1966),但离最终解决尚有距离。目前孪 生素数问题的最佳结果也属于陈景润。
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17
黎曼猜想:(Riemann ζ 函数的所有非平
凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上)
是二十世纪上半叶德国乃 至全世界最伟大的数学家之一。 他在横跨两个世纪的六十年的 研究生涯中,几乎走遍了现代 数学所有前沿阵地,从而把他 的思想深深地渗透进了整个现
代数学。
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3
大卫·希尔伯特,1862年1月23日出生
在东普鲁士的哥尼斯堡。他一直在家乡上 学,1885年取得博士学位,1886年就任 哥尼斯堡大学讲师。1888年因为解决了不
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2. 算术公理的相容性
欧几里得几何的相容性可归结为算术公 理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计 划的证明论方法加以证明。1931年,哥德尔 发表的不完备性定理否定了这种看法。1936 年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件 下证明了算术公理的相容性。
1988年出版的《中国大百科全书》数学 卷指出,数学相容性问题尚未解决。
(b) 任何一个>=9之奇数,都可以表示成三 个奇质数之和。
孪生素数问题:
在自然数列中,若p是素数,而p+2也 是素数,则谓之具此性质的两个素数组合在 自然数列中的出现为孪生素数。
二十世纪数学概观
(第三次数学危机)
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二十世纪纯粹数学已经不再仅仅是代数、 几何、分析等经典学科的集合,而已成为分 支众多的、庞大的知识体系。它的发展趋势 或特点:
(1)更高的抽象性
(2)更强的统一性
(3)更深入的基础探讨
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希尔伯特( D. Hilbert.David, 1862~1943),德国数学家。
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5.一个连续变换群的李氏概念,定 义这个群的函数不假定是可微的 。
这个问题简称连续群的解析性,即:是 否每一个局部欧氏群都有一定是李群?中间 经冯·诺伊曼(1933,对紧群情形)、邦德 里雅金(1939,对交换群情形)、谢瓦荚 (1941,对可解群情形)的努力,1952年由 格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决,得到了 完全肯定的结果。
希尔伯特是二十世纪最有影响的数学家,
他不仅是数学上一些分支的公认权威,而且 恐怕也是最后一位在几乎所有数学领域中都 做出伟大贡献的全才。
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一、新世纪的序幕
1900年8月,德国数学家希尔伯特在巴 黎国际数学家大会上作了题为《数学问题》 的著名讲演。他的讲演是这样开始的:
“我们当中有谁不想揭开未来的帷幕, 看一看今后的世纪里我们这门科学发展的前 景和奥秘呢?我们下一代的主要数学思潮将 追求什么样的特殊目标?在广阔而丰富的数 学思想领域,新世纪将会带来什么样的方法 和成果?”
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6.物理学的公理化
希尔伯特建议用数学的公理化方法推演 出全部物理,首先是概率和力学。1933年, 苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公 理化。后来在量子力学、量子场论方面取得 了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化, 很多人表示怀疑。
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7.某些数的无理性与超越性
1934年,A.O.盖尔方德和T.施奈德各自 独立地解决了问题的后半部分,即对于任意 代数数α≠0 ,1,和任意代数无理数β证明了 αβ 的超越性。
1874年,康托猜测在可列集基数和实
数基数之间没有别的基数,这就是著名的连 续统假设。1938年,哥德尔证明了连续统 假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论 公理系统的无矛盾性。1963年,美国数学 家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合
论公理是彼此独立的。因此,连续统假设不 能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正 确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上 已获解决。
1976年,在美国数学家评选的自1940年 以来美国数学的十大成就中,有三项就是希 尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可 见,能解决希尔伯特问题,是当代数学家的 无上光荣。
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下面摘录的是1987年出版的《数学家
小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯 特23个问题及其解决情况:
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1. 连续统假设
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希尔伯特在讲演的前言和结束语中,对
各类数学问题的意义、源泉和研究方法发表
了许多精辟的见解,而整个演说的主题,则 是他根据19世纪数学研究的成果和发展趋势 而提出的23个数学问题。这些问题涉及现代 数学的许多重要领域。一个世纪以来,这些 问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。
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1975年,在美国伊利诺斯大学召开的一 次国际数学会议上,数学家们回顾了四分之 三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展 情况。当时统计,约有一半问题已经解决了, 其余一半的大多数也都有重大进展。
变式理论中著名的“哥尔丹问题”开始在 数学界崭露头角,1891年他升任副教授, 1893年升任教授。1895年,他应克莱因
之邀,任哥丁根大学教授,由此开辟了哥 丁根大学的黄金时代。
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由于他的影响,哥丁根成为世界数学的
中心,繁盛了三、四十年,希尔伯特领导的 数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一 面旗帜,希尔伯特被称为“数学界的无冕之 王”。
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3. 两个等底等高四面体的体积相 等问题
问题的意思是,存在两个等边等高的四 面体,它们不可分解为有限个小四面体,使 这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即 对此问题给出了肯定解答。
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4. 两点间以直线为距离最短线问题
此问题提得过于一般。满足此性质的几 何学很多,因而需增加某些限制条件。1973 年,苏联数学家波格列洛夫宣布,在对称距 离情况下,问题获得解决。
希尔伯特曾说,如果他在沉睡1000年后 醒来,他将问的第一个问题便是:黎曼猜想 得到证明了吗?现在100多年过去了,这个 问题至今仍没答案。该猜想已被美国克雷数 学研究所列为世界黄金问题之一,能证明或 证伪该猜想的人将会获得100万美元的奖金。
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哥德巴赫猜想:
(a)任何一个>=6之偶数,都可以表示成两 个奇质数之和。
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8.素数问题
包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素 数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。 哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润 (1966),但离最终解决尚有距离。目前孪 生素数问题的最佳结果也属于陈景润。
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黎曼猜想:(Riemann ζ 函数的所有非平
凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上)
是二十世纪上半叶德国乃 至全世界最伟大的数学家之一。 他在横跨两个世纪的六十年的 研究生涯中,几乎走遍了现代 数学所有前沿阵地,从而把他 的思想深深地渗透进了整个现
代数学。
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大卫·希尔伯特,1862年1月23日出生
在东普鲁士的哥尼斯堡。他一直在家乡上 学,1885年取得博士学位,1886年就任 哥尼斯堡大学讲师。1888年因为解决了不
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2. 算术公理的相容性
欧几里得几何的相容性可归结为算术公 理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计 划的证明论方法加以证明。1931年,哥德尔 发表的不完备性定理否定了这种看法。1936 年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件 下证明了算术公理的相容性。
1988年出版的《中国大百科全书》数学 卷指出,数学相容性问题尚未解决。
(b) 任何一个>=9之奇数,都可以表示成三 个奇质数之和。
孪生素数问题:
在自然数列中,若p是素数,而p+2也 是素数,则谓之具此性质的两个素数组合在 自然数列中的出现为孪生素数。
二十世纪数学概观
(第三次数学危机)
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二十世纪纯粹数学已经不再仅仅是代数、 几何、分析等经典学科的集合,而已成为分 支众多的、庞大的知识体系。它的发展趋势 或特点:
(1)更高的抽象性
(2)更强的统一性
(3)更深入的基础探讨
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希尔伯特( D. Hilbert.David, 1862~1943),德国数学家。