二十世纪数学概观

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2． 算术公理的相容性
欧几里得几何的相容性可归结为算术公 理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计 划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔 发表的不完备性定理否定了这种看法。1936 年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件 下证明了算术公理的相容性。
1988年出版的《中国大百科全书》数学 卷指出，数学相容性问题尚未解决。
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6.物理学的公理化
希尔伯特建议用数学的公理化方法推演 出全部物理，首先是概率和力学。1933年， 苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公 理化。后来在量子力学、量子场论方面取得 了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化， 很多人表示怀疑。
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7.某些数的无理性与超越性
1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自 独立地解决了问题的后半部分，即对于任意 代数数α≠0 ，1，和任意代数无理数β证明了 αβ 的超越性。
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希尔伯特在讲演的前言和结束语中，对
各类数学问题的意义、源泉和研究方法发表
了许多精辟的见解，而整个演说的主题，则 是他根据19世纪数学研究的成果和发展趋势 而提出的23个数学问题。这些问题涉及现代 数学的许多重要领域。一个世纪以来，这些 问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。
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1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一 次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之 三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展 情况。当时统计，约有一半问题已经解决了， 其余一半的大多数也都有重大进展。
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3． 两个等底等高四面体的体积相 等问题
问题的意思是，存在两个等边等高的四 面体，它们不可分解为有限个小四面体，使 这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即 对此问题给出了肯定解答。
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4． 两点间以直线为距离最短线问题
此问题提得过于一般。满足此性质的几 何学很多，因而需增加某些限制条件。1973 年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距 离情况下，问题获得解决。
变式理论中著名的“哥尔丹问题”开始在 数学界崭露头角，1891年他升任副教授， 1893年升任教授。1895年，他应克莱因
之邀，任哥丁根大学教授，由此开辟了哥 丁根大学的黄金时代。
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由于他的影响，哥丁根成为世界数学的
中心，繁盛了三、四十年，希尔伯特领导的 数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一 面旗帜，希尔伯特被称为“数学界的无冕之 王”。
希尔伯特曾说，如果他在沉睡1000年后 醒来，他将问的第一个问题便是：黎曼猜想 得到证明了吗？现在100多年过去了，这个 问题至今仍没答案。该猜想已被美国克雷数 学研究所列为世界黄金问题之一，能证明或 证伪该猜想的人将会获得100万美元的奖金。
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哥德巴赫猜想：
(a)任何一个>=6之偶数，都可以表示成两 个奇质数之和。
是二十世纪上半叶德国乃 至全世界最伟大的数学家之一。 他在横跨两个世纪的六十年的 研究生涯中，几乎走遍了现代 数学所有前沿阵地，从而把他 的思想深深地渗透进了整个现
代数学。
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大卫·希尔伯特，1862年1月23日出生
在东普鲁士的哥尼斯堡。他一直在家乡上 学，1885年取得博士学位，1886年就任 哥尼斯堡大学讲师。1888年因为解决了不
希尔伯特是二十世纪最有影响的数学家，
他不仅是数学上一些分支的公认权威，而且 恐怕也是最后一位在几乎所有数学领域中都 做出伟大贡献的全才。
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一、新世纪的序幕
1900年8月，德国数学家希尔伯特在巴 黎国际数学家大会上作了题为《数学问题》 的著名讲演。他的讲演是这样开始的：
“我们当中有谁不想揭开未来的帷幕， 看一看今后的世纪里我们这门科学发展的前 景和奥秘呢？我们下一代的主要数学思潮将 追求什么样的特殊目标？在广阔而丰富的数 学思想领域，新世纪将会带来什么样的方法 和成果？”
《中国大百科全书》说，在希尔伯特之 后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有 许多进展，但问题并未解决。
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5.一个连续变换群的李氏概念，定 义这个群的函数不假定是可微的 。
这个问题简称连续群的解析性，即：是 否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间 经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、邦德 里雅金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚 （1941，对可解群情形）的努力，1952年由 格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了 完全肯定的结果。
1976年，在美国数学家评选的自1940年 以来美国数学的十大成就中，有三项就是希 尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可 见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的 无上光荣。
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下面摘录的是1987年出版的《数学家
小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯 特23个问题及其解决情况：
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1． 连续统假设
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8.素数问题
包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素 数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。 哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润 （1966），但离最终解决尚有距离。目前孪 生素数问题的最佳结果也属于陈景润。
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黎曼猜想：（Riemann ζ 函数的所有非平
凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上）
1874年，康托猜测在可列集基数和实
数基数之间没有别的基数，这就是著名的连 续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统 假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论 公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学 家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合
论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不 能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正 确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上 已获解决。
(b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三 个奇质数之和。
孪生素数问题：
在自然数列中，若p是素数，而p+2也 是素数，则谓之具此性质的两个素数组合在 自然数列中的出现为孪生素数。
二十世纪数学概观
(第三次数学危机)
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二十世纪纯粹数学已经不再仅仅是代数、 几何、分析等经典学科的集合，而已成为分 支众多的、庞大的知识体系。它的发展趋势 或特点：
（1）更高的抽象性
（2）更强的统一性
（3）更深入的基础探讨
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希尔伯特( D. Hilbert.David， 1862～1943)，德国数学家。