20世纪数学概观(Ⅲ) ——现代数学成果十例
《数学史》计算机与现代数学
ENIAC是第一台能真正运转的电子计算机，但其基本结构 与机电式计算机并无二致．这是一台庞然大物，占地面积达170 平方米，耗电150千瓦，采用了18 000只电子管，工作时常因电 子管烧坏而停机检修． 而它最大的弱点，还在于其程序是“外插型”而非“存储 型”．为了进行几分钟的运算，准备程序往往要花几小时，这 使ENIAC由于采用电子管而获得的速度被大大抵消。如果这个 缺陷不能克服，那么刚刚诞生的电子计算机就有可能夭析． 恰恰在这个可以说关系到电子计算机存亡的问题上，又是 数学家作出了关键的贡献，特别是冯· 诺依曼．
第12章
20世纪数学概观(Ⅱ)
空前发展的应用数学
12.4 计算机与现代数学
20世纪，这是20世纪数学区别于以往任何时代的一大 特点．
12.4.1 电子计算机的诞生
用机器代替人工计算，是人类的长期追求．在这种追 求中，数学家始终扮演着重要的并且常常是主要的角色． △古代的计算器械有算盘．罗马人使用一种带槽的金属 算盘，槽中放有石子，上下移动进行计算．罗马人不用十 进制，也没有位值概念，罗马算盘因运算笨拙而未能流 行．
这种分析机由“加工部”、“存贮部”以及专门控制运算程 序的机构组成，这是世界上最早提出的通用程序控制数字计算机 设计思想．
巴贝奇为了研制这种分析机付出了他后半生主要精力和财 产，甚至不惜辞去荣誉极高的卢卡斯教授席位．但当时能理解 他的思想的人寥寥无几，真正支持巴贝奇制造分析机的只有3个 人，一个是后来成为意大利总理的闵那布利，他将巴贝奇关于 分析机的讲演整理成文并在意大利报纸上发表；
冯· 诺依曼
另外，冯· 诺依曼40年代出版的著作《博弈论和 经济行为》，使他在经济学和决策科学领域竖起了一 块丰碑。他被经济学家公认为博弈论之父。
第12章 20世纪数学的发展
第12章20世纪数学概观课时：4课时教学目标：理解20世纪纯粹数学（核心数学）、应用数学、数学与计算机等发展的重要特征及其主要成果。
教学方式：阅读史料、讨论思考、感悟总结主题：20世纪数学的发展概述：在16世纪之前形成了以代数和几何的初等数学体系，主要对象是现实世界的静态描述，表现为解释性和工具性功能。
17世纪伴随解析几何和微积分的创立和18世纪分析的开拓，数学的发展进入近代数学，其处理对象进入变量，形成了以函数概念为主体的分析领域，数学表现为科学的工具。
19世纪，传统领域的崛起和开拓，极大突破了分析一统天下的局面，形成了现代数学经典三大学科：代数、几何和分析。
这一世纪，人才辈出，经过众多数学家的努力极大拓展了数学的疆域和数学信念，数学本位特征加强。
20世纪，数学急剧膨胀，纯粹数学的扩张、应用数学的发展和计算机的应用为数学点缀了一个绚丽的天空，让人应接不暇。
我们不仅惊异于数学的伟大成就，而且也受益于数学创造带来的力量。
Ⅰ20世纪纯粹数学的发展线索问题：1 20世纪纯粹数学发展的主要特征或趋势是什么？2希尔伯特23个问题的重要意义是什么？3公理化方法和集合论在20世纪数学发展中的意义是什么？4 20世纪有哪些重要的学科的发展及其基本思想是什么？5 20世纪数学统一化的主要数学成果有哪些？6 三大学派的代表人物及其主要思想有哪些？主要内容：19世纪数学的变革与积累使数学建立了分支众多、知识庞大的体系，已经初步体现出了参天大树的雏形，20世纪的数学在此基础上急剧扩展，并广泛应用，为数学的发展展现了广阔的前景和提供了强大的动力。
20世纪的数学发展表现出了如下主要特征和趋势：（1）更高的抽象性；（2）更强的统一性（同时，数学也表现出了更大的分化性，呈现多元化发展）；（3）更深入的基础探讨。
一、新世纪数学序幕1900年8月，在巴黎举行的第二届国际数学家大会（1897年在瑞士举行第一次大会）上，德国数学家希尔伯特在大会上发表了题为《数学问题》的演说，高瞻远瞩地提出了著名的23个问题。
二十世纪数学概观
2、数学的统一化
20世纪的数学一方面越来越分化成许多 分支，另一方面则存在着相反的趋势，即不 同学科相互渗透、结合的趋势。
不同分支领域的数学思想与数学方法相 互融合，导致了一系列重大发现以及数学内 部新的综合交叉学科的不断兴起。
这和代数不变量问题有关。1958年，日本数学 家永田雅宜给出了反例。
15． 舒伯特计数演算的严格基础
一个典型问题是：在三维空间中有四条直 线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒 伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问 题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些 可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。 但严格的基础迄今仍未确立。
二十世纪数学概观
现代公理化方法的奠基人是D.希尔伯特， 虽然欧几里得已用公理化方法总结了古代的 几何知识，但他的公理体系是不完备的。希 尔伯特在1899年发表的《几何基础》中则提 出第一个完备的公理系统。
飞跃一：希尔伯特在几何对象上达到了更深 刻的抽象。
如：“点、线、面”已经纯粹是抽象的 对象，没有特定的具体内容。
二十世纪数学概观
17． 半正定形式的平方和表示
一个实系数n元多项式对一切数组 (x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0，是否都能 写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对 的。
18． 用全等多面体构造空间
由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因 哈特（1928）作出部分解决。
二十世纪数学概观
二十世纪数学概观
希尔伯特在讲演的前言和结束语中，对 各类数学问题的意义、源泉和研究方法发表 了许多精辟的见解，而整个演说的主题，则 是他根据19世纪数学研究的成果和发展趋势 而提出的23个数学问题。这些问题涉及现代 数学的许多重要领域。一个世纪以来，这些 问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。
20世纪数学概观.
运筹学的发展
线性规划：康托洛维奇在1939年发表 《生产组织与计划中的数学方法》。 1947年美国的丹齐格又独立地发展了 线性规划理论。1984年，美国数学家 卡玛卡发明了一种多项式时间的线性 规划算法。
非线性规划：1951年库恩和塔克尔对一 般的约束非线性规划问题得到了局部极 值点的“库恩-塔克尔条件”，他们的 论文标题为《非线性规划》。 动态规划：贝尔曼1957年发表的专著 《动态规划》，标志着动态规划学科的 建立
第十二章：20世纪数学概观
----空前发展的应用数学 第三节：独立的应用学科 第四节：计算机与现代数学
12· 3 独立的应用学科
数理统计的先驱 贝叶斯(1702-1763) Thomas Bayes， 英国数学家.1702年出生于伦敦，做过 神甫。1742年成为英国皇家学会会员。 1763年4月7日逝世。贝叶斯在数学方 面主要研究概率论。他首先将归纳推理 法用于概率论基础理论，并创立了贝叶 斯统计理论，对于统计决策函数、统计 推断、统计的估算等做出了贡献.1763 年发表了这方面的论著，对于现代概率 论和数理统计都有很重要的作用。贝叶 斯的另一著作《机会的学说概论》发表 于1758年。贝叶斯所采用的许多术语 被沿用至今。
数运 学筹 规学 划中 论庞 大 的 领 域 ：
控制论
经典控制论主要研究单输入和单输出的线性 控制系统的一般规律，它建立了系统、信息、调 节、控制、反馈、稳定性等控制论的基本概念和 分析方法，为现代控制理论的发展奠定了基础。 它研究的重点是反馈控制，核心装置是自动调节 器，主要应用于单机自动化。现代控制论的研究 对象是多输入和多输出系统的非线性控制系统， 其中重点研究的是最优控制、随机控制和自适应 控制，主要应用于机组自动化和生物系统。而大 系统理论的主要研究对象是众多因素复杂的控制 系统(如宏观经济系统、资源分配系统、生态和环 境系统、能源系统等)，研究的重点是大系统的多 级递阶控制、分解-协调原理、分散最优控制和大 系统模型降阶
20世纪数学概观(Ⅲ) ——现代数学成果十例
哥德巴赫猜想的结局
1966年，我国著名数学家陈景润攻克 了“1＋2”
哥德巴赫猜想的结局
由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜 想的最后结果“1＋1”仅有一步之遥了。但为 了实现这最后的一步，也许还要历经一个漫 长的探索过程。有许多数学家认为，要想证 明“1＋1”，必须通过创造新的数学方法，以 往的路很可能都是走不通的。
定理的发展
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证 明基本上是按照肯泊的想法在进行；
1913年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克 霍夫利用肯泊的想法，结合自己新的设想；证 明了某些大的构形可约；
美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以 下的地图都可以用四色着色；
1950年，有人从22国推进到35国。1960年， 有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜 色着色；随后又推进到了50国；
有限单群分类
➢有限单群分类的基本内容 ➢有限单群分类的证明历史 ➢二代分类
一.有限单群分类的基本内容
（一）. 定理
✓ 有限单群是指：除了单位元群和它本身以 外没有其他正规子群的有限群。有限单群类 似于整数中的素数，可比喻为搭成有限群的“ 积木块”，是有限群结构的基石。
✓ 找出所有的有限单群的问题称为有限单群 分类问题。
——俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼
《庞加莱猜想》荣誉
• 2000年克莱数学促进会公布新千年七个悬赏100
万美元的数学问题，庞加莱猜想列第三 三个独立的小组写出报告填补佩雷尔曼
证明中的关键细节：密歇根大学克莱纳和洛特， 哥伦比亚大学摩根和田刚，里海大学曹怀东和中 山大学朱熹平 • 2006年美国《科学》杂志评出年度十大科学进展 ，庞加莱猜想名列第一
二. 1962年，费特和汤普森关于奇阶群必为 可解群的定理（Feit-Thompson定理）是单群 分类中最重要的一个定理，它标志着有限单群 分类的重大突破；
13 现代数学成果十例
1967年芒德布罗（法，1924－）在《科学》杂概念从整数维数到分数维数的飞跃。
以庞特里亚金（苏，1908－1988年），斯梅尔（美，1930－）等的工作为代表。
动力系统的研究由于拓扑方法和分析方法的有力结合而取得了重大进步，借助于计算机模拟又引发具有异常复杂性的混沌、分岔、分形理论，这方面的研究涉及众多的数学分支。20世纪30年代后的发展：结构稳定性、拓扑学方法、代数几何方法。
柯克曲线只是具有分数维数折几何图形的一个例子。1977年芒德布罗正式将具有分数维的图形称为分形（fractal），建立了以这类图形为对象的数学分支：分形几何，并出版了著作《分形：形，机会与维度》，指出大量的物理与生物现象都产生分形，引起了普遍的关注。
1.3、鲁金猜想
傅里叶（法，1768－1830年）《热的解析理论》（1822），19世纪狄里克雷（德，1805－1859年）、黎曼（德，1826－1866）、康托（德，1845－1918年）等数学家研究了傅里叶级数的收敛性等问题。
图论：以图为研究对象的数学分支。图是若干给定点及连接两点的线所构成的图形。
1736年哥尼斯堡七桥问题，1781年36军官问题，1859年哈密顿旅行路线图。1852年首先由英国青年大学生古德里提出“四色问题”。
19世纪英国一些著名数学家进行研究并引起人们的关注：德•摩根（1806－1871年），哈密顿（1805－1865年），凯莱（1821－1895年）等。1878年凯莱发表《论地图的着色》，掀起了一场四色问题热。1879年律师肯泊（英，1849－1922年）宣布证明了“四色问题”并发表于《美国数学杂志》上，1890年希伍德（英，1861－1955年）指出了肯泊的错误，证明了“五色定理”并一生坚持研究四色问题。
数学史复习总结整理篇
数学史复习第0章数学史――人类文明史的重要篇章一、数学史研究哪些内容？P1数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系。
二、了解数学史有何意义？P1～5数学史不是单纯的数学成就的编年记录，而是数学家在自然科学领域内克服困难、战胜危机和发现真理的斗争记录。
❖（1）了解数学史有助于数学的进一步发展❖（2）对数学家创造过程的了解则可以使我们从前人的探索与奋斗中汲取教益，获得鼓舞和增强信心❖（3）了解数学史就有助于全面了解数学科学❖（4）了解数学史就有助于全面了解整个人类文明史❖（5）要想当好数学教师，充实数学史知识是非常必要的三、历史上关于数学概念的定义有哪些？ P6-8历史上对数学的定义，有几种著名的论断：❖数学是量的科学。
（希腊哲学家亚里士多德，公元前4世纪）❖凡是以研究顺序和度量为目的的科学都与数学有关。
（法国数学家笛卡儿，17世纪）❖数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。
（恩格斯）❖数学可以定义为这样一门学科，我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所说的内容是否正确。
（罗素）❖数学这个领域已被称为模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。
（数学的新定义）四、数学史通常采用哪些线索进行分期？本书对数学史如何分期？ P9不同的线索将给出不同的分期,通常采用的线索如:1.按时代顺序；2.按数学对象、方法等本身的质变过程；3.按数学发展的社会背景。
对数学史作出如下的分期：❖Ⅰ．数学的起源与早期发展(公元前6世纪前)❖Ⅱ．初等数学时期(公元前6世纪一16世纪)❖ (1)古代希腊数学(公元前6世纪一6世纪)❖ (2)中世纪东方数学(3世纪一15世纪)❖ (3)欧洲文艺复兴时期(15世纪一16世纪)❖Ⅲ．近代数学时期(或称变量数学建立时期，17世纪一18世纪)❖Ⅳ．现代数学时期(1820’一现在)❖ (1)现代数学酝酿时期(1820’一1870)❖ (2)现代数学形成时期(1870—1940’)❖ (3)现代数学繁荣时期(或称当代数学时期，1950一现在)第1章数学的起源与早期发展一、世界上早期常见有几种古老文明记数系统，它们分别是什么数字，采用多少进制数系？P13－14巴比伦楔形数字（六十进制）、玛雅数字（二十进制）、古埃及的象形数字、中国甲骨文数字、希腊阿提卡数字、中国筹算数码、印度婆罗门数字（十进制）二、“河谷文明”指的是什么？P16历史学家往往把兴起于埃及、美索不达米亚、中国和印度等地域的古代文明称为“河谷文明”．早期数学，就是在尼罗河、底格里斯河与幼发拉底河、黄河与长江、印度河与恒河等河谷地带首先发展起来的．三、关于古埃及数学的知识主要依据哪两部纸草书？纸草书中问题绝大部分都是实用性质，但有个别例外，请举例。
7现代数学(二)20世纪数学概观
当人们试图答复下列疑问时，就认识到了 这种情况的悖论性质：“理发师是否可以 给自己刮胡子？”如果他给自己刮胡子， 那么他就不符合他的原则；如果他不给自 己刮胡子，那么他按原则就该为自己刮胡 子。
德国数学家策梅洛等人进一步指出不仅集 合论，而且整个经典分析都包含着悖论。 为了消除这种悖论，数学家们首先想到了 公理化思想。
• 1907年，德国数学家闵可夫斯基提出 了“闵可夫斯基空间”，即将时间与 空间融合在一起的四维时空。闵可夫 斯基几何为爱因斯坦狭义相对论提供 了合适的数学模型。
• 在数学上，广义相对论的时空可以解释 为一种黎曼空间，非均匀时空连续区可 借助于现成的黎曼度量来描述。这样， 广义相对论的数学表述第一次揭示了非 欧几何在现实意义，成为历史上数学应 用最伟大的例子之一。
一、数理统计
• 英国生物学家和统计学家皮尔逊在现代 数理统计的建立上起了重要作用。
• 现代数理统计学作为一门独立学科的奠 基人是英国数学家费希尔。
• 多元统计分析的奠基人还有中国数学家 许宝騄和美国数学家霍太林等。 • 1946年，瑞典数学家克拉姆用测度论 系统总结了数理统计的发展，标志着现 代数理统计学的成熟。
11.2 更高的抽象
更高的抽象化是20世纪纯粹数学的主要趋 势或特征，这一趋势最初主要是受到两大 因素的推动，即集合论观点与公理化方法。 集合论观点和公理化方法在向传统数学理 论的渗透过程中，催生了许多数学新分支 的形成，极大改观数学理论的传统面貌。
11.2.1 勒贝格积分与实变函数论
集合论的观点在20世纪初首先引起了积分 学的变革，从而导致了实变函数论的建立。 这方面首先获得成功的是法国数学家勒贝 格。他在1902年发表的博士论文中利用以 集合论为基础的“测度”概念建立了所谓 “勒贝格积分”。
现代数学概观-二十世纪的数学
第十四章：现代数学概观－二十世纪的数学第一节五大新兴学科的建立一、数理逻辑1．符号逻辑数理逻辑作为一门数学学科，来源于对数学和逻辑基础的探讨，它最早可追溯到莱布尼茨，他关于逻辑演算的观念预示着布尔代数，而英国数学家布尔(G．Boole 1815—1864)在1847年出版《逻辑的数学分析》一书，正式推出所谓布尔代数，在逻辑上相当于命题演算．其后由英国数学家杰方斯(W．S．Jevons，1835—1882)和小皮尔斯(C．S．Peirce，1839—1914)在1874年加入次序关系，德国数学卷中加以公理化．第一个完全形式化的语言是德国数学家弗瑞格(G．Frege，1848—1925)在1879年出版的《概念文字》中引进的．他首先定义了全称量词及存在量词．并引进一般的谓词逻辑．不过相应的逻辑代数一直到1950年才由波兰数学家塔斯基(A．Tarski，1902—1983)所发展，他引进所谓“圆柱代数”．1955年美国数学家哈尔莫斯(P．Halmos，1916—)又引进多进代数，形成一般的逻辑代数理论．1889年意大利数学家皮亚诺(G．Peano，1858—1932)提出自然数的公理系统，即后来所谓皮亚诺算术公理．而戴德金在前一年也提出类似的公理系统．弗雷格在1884年出版的《算术基础》中开始提到算术无非是扩展的逻辑．戴德金也提出类似的观点．弗雷格在1893年出版的《算术的基本规律》第一卷中，用五条逻辑公理来推导算术命题．1902年6月罗素给弗雷格一封信，提出著名的罗素悖论，并指出弗雷格的矛盾．弗雷格在1903年出版的《算术的基本规律》第二卷附录中承认这是对他的巨大打击，正是这个悖论，揭开了数理逻辑新的一章．2．罗素悖论罗素的悖论是关于集合论的，康托尔已经意识到不加限制地谈论“集合的集合”会导致矛盾．其他人也发现集合论中存在矛盾．而罗素在1903年出版的《数学的原理》(Principles of Mathematics)中，则十分清楚地表现出集合论的矛盾，从而动摇了整个数学的基础．罗素的悖论是说：可以把集合分成两类：凡不以自身为元素的集合称为第一类集合，凡以自身做为元素的集合称为第二类的集合，每个集合或为第一类集合或为第二类集合．设M表示第一类集合全体所成的集合．如果M是第一类集现了这个矛盾之后，导致第三次数学危机，在数学界出现了各种意见，从抛弃集合论到尽可能保持集合论在数学中的基础地位的都有．由于20世纪数学的发展主流是建立在集合论基础之上，这里只考虑数学家如何消除悖论．在20世纪初，大致有两种办法，一个办法是罗素的分支类型论，它在1908年发表，在这个基础上罗素与怀特海(A．N．Whitehead，1861—1947)写出三大卷《数学原理》(principia Mathematica，1910—1913)，成为数理逻辑最早一部经典著作．还有一个办法是公理方法限制集合，由此产生公理集合论．3．集合论的公理化康托尔本人没有对集合论进行公理化．集合论公理化是策梅罗(E．Zermelo，1871—1953)在1908年发表的．富兰克尔(A．Fraenkel，1891—1965)等人曾加以改进，形成著名的ZF系统，这是最常用的一个系统，因此大家都希望从中推出常用的选择公理(1904年策梅罗引进它来设与ZF系统是相容的．1963年，柯亨(P．Cohen，1934—)发明“力迫法”证明这两条“公理”的否定也不能在ZF系统中证明，从而推出其独立性．4．希尔伯特纲领为了使数学奠定在严格公理化基础上，1922年希尔伯特提出希尔伯特纲领，首先将数学形式化，构成形式系统，然后通过有限主义方法证明其无矛盾性．1928年希尔伯特提出四个问题作为实现其纲领的具体步骤：(1)分析的无矛盾性．1924年阿克曼(W．Ackermann，896—1962)和1927年冯诺伊曼(J．Von Neumann，1903—1957)的工作使希尔伯特相信只要一些纯算术的初等引理即可证明分析的无矛盾性．1930年夏天，哥德尔开始研究这个问题，他不理解希尔伯特为什么要直接证明分析的无矛盾性．哥德尔认为应该把困难分解：用有限主义的算术证明算术的无矛盾性，再用算术的无矛盾性证明分析的无矛盾性．哥德尔由此出发去证明算术的无矛盾性而得出不完全性定理．(2)更高级数学的无矛盾性．特别是选择公理的无矛盾性．这个问题后来被哥德尔在1938年以相对的方式解决．(3)算术及分析形式系统的完全性．这个问题在1930年秋天哥尼斯堡的会议上，哥德尔已经提出了一个否定的解决．这个问题的否定成为数理逻辑发展的转折点．(4)一阶谓词逻辑的完全性，这个问题已被哥德尔在1930年完全解决．这样一来哥德尔把希尔伯特的方向扭转，使数理逻辑走上全新的发展道路．5．哥德尔的三项重大贡献除了连续统假设的无矛盾性之外，哥德尔在1929—1930年证明下面两大定理：(1)完全性定理：哥德尔的学位论文《逻辑函数演算的公理的完全性》解决了一阶谓词演算的完全性问题．罗素与怀特海建立了逻辑演算的公理系统及推演规则之后，数学家最关心的事就是公理系统的无矛盾性及完全性．所谓完全性就是，每一个真的逻辑数学命题都可以由这个公理系统导出，也就是可证明．命题演算的完全性已由美国数学家波斯特(E．Post，1897—1954)在1921年给出证明．而一阶谓词演算的完全性一直到1929年才由哥德尔给出证明．(2)不完全性定理：这是数理逻辑最重大的成就之一，是数理逻辑发展的一个里程碑和转折点．哥德尔证明不完全性定理是从考虑数学分析的无矛盾性问题开始的．1930年秋在哥尼斯堡会议上他宣布了第一不完全性定理：一个包括初等数论的形式系统，如果是无矛盾的，那就是不完全的．不久之后他又宣布：如果初等算术系统是无矛盾的，则无矛盾性在算术系统内不可证明．哥德尔的不完全定理造的是一个不自然的数论问题，数学家一直希望在一阶皮亚诺算术中找到一个数学表述既简单又有趣的数论问题，就像哥德巴赫猜想或费马大定理来说明算术的不完全性．这一直到1977年才由巴黎斯(J．Paris)等人造出，这更加证明希尔伯特纲领是不可能实现的．6．哥德尔以后的数理逻辑．哥德尔的不完全性定理从根本上动摇了数学的基础，它指出绝对的无矛盾性的证明是不可能实现的，数学家只能限制自己的领域及要求．数理逻辑也成为一个专门的学科，它分成四大分支：证明论、递归论、公理集合论及模型论，它们都在30年代发展起来．证明论仍然继续希尔伯特纲领，但不得不放宽有限主义的条件．其中最主要的成就是根岑(G．Gentzen，1909—1945)在1934年用超穷归纳法证明自然数算术的无矛盾性．递归论也奠定基础，1935年克林尼(S.Kleene，1909—1994)定义一般递归函数，1936年图林(A．Tuˉring，1912—)提出图林机概念．同年车尔赤(A．Church1903—)提出车尔赤论点：任何有效可计算函数均等价于一般递归函数．递归论与数学关系至为密切，它不仅为计算机科学奠定基础，同时一系列判定问题则直接涉及数学基本问题：如群的基本问题是问什么时侯两个群同构，对于有限表出群是1908年提出的，到50年后，苏联数学家阿其扬(C．И．Aдьян，)在1957年及以色列数学家拉宾(M．O．Rabin，)在1958年独立证明这问题是不可解的．在这个基础上，小马尔科夫(A．A．MapkoB，1903—1979)证明拓扑学的基本问题——同胚问题也是不可解的，1970年最终证明希尔伯特第十问题是不可解的．模型论首先是处理真假问题，它指出一系列命题在某些模型下为真，而在另外模型下非真．其次它构造一批非标准模型．1934年斯科仑(T．Skolem，1887—1968)给出整数的非标准模型，1961年鲁宾逊(A．Robinson，1918—1974)提出非标准分析，使莱布尼茨的无穷小合法化，创立了非标准数学．二、抽象代数学代数学与拓扑学是现代数学的两大部门．它们构成现代数学的基础与核心．没有代数学和拓扑学，现代数学(除了那些较为孤立的、相对地讲不太重要的学科)可以说寸步难行．抽象代数学或近世代数学是在20世纪初发展起来的．1930—1931年范德瓦尔登(B．L．vander Waerden，1903—)的《近世代数学》(Moderne Algebra)一书问世，在数学界引起轰动，由此之后，抽象代数学或近世代数学成为代数学的主流，不久之后也就理所当然地把“抽象”及“近世”的帽子甩掉，堂尔皇之成为代数的正统．范德瓦尔登的书至今仍然是代数学的模式．它是根据德国女数学家E．诺特(E．Noether，1882—1935)和德国数学家阿廷(E．Artin，1898—1962)的讲义编写而成，在精神上基本来源于他们两位，特别是诺特，被公认为“近世代数学之母”．在诺特之前，不少大数学家都对近世代数学有过这样或那样的贡献，但是这种与经典代数学迥然不同的思想主要来源于戴德金和希尔伯特，戴德金不仅引进大多数抽象代数观念——如理想、模、环、格等，而且初步研究它们的结构及分类，而希尔伯特的抽象思维方式及公理方法则对现代整个数学都有举足轻重的影响．抽象代数学的研究对象与研究目标与经典代数学有着根本的不同：经典代数学的主要目标是求解代数方程和代数方程组，而抽象代数学的目标则是研究具有代数结构的集合的性质，刻划它们并加以分类，这些对象是用公理定义的．1．域论从古代起，人们就已经熟悉有理数和它们的运算——加法和乘法．这些运算满足加法交换律和加法结合律，乘法交换律和乘法结合律，以及分配律，而且对于加法存在零元素(0)及逆元素(倒数)．所有有理数的集合是人们最早认识的具体的域，后来也知道实数集合、复数集合同样满足上述公理，它们也是城．除了这些最熟悉的域之以，在19世纪研究得最多的域是代数数域，这些都是含有无穷多元素的数域．有没有有限多个元素的域呢？1830年伽罗瓦已知有有限多个元素的域(后来被称为伽罗瓦域)，其元素被称为伽罗瓦虚数，它们满足pa＝0，其中p是一个素数，p称为域的特征．伽罗瓦曾具体证明，在一个特征为p的伽罗瓦域中，元素个数是p的一个幂．如在当时的情况一样，伽罗瓦所作的一切都是有具体表示的．到19世纪末，人们知道其他域的例子还有有理函数域及代数函数域．从整体结构上对域进行考察始自戴德金及克罗内克对代数数域的研究(从1855年起)．但抽象域的观念则来自德国数学家韦伯(H．Weber，1842—1913)，他的思想来自抽象群的观念．后来美国数学家狄克逊(L．E．Dickson，1874—1954)及亨廷顿(E．V．Huntington，1874—1952)给出域的独立的公理系统．在韦伯的影响下，德国数学家施泰尼茨(E．Steinitz，1871—1928)在1910年发表《域的代数理论》一文，为抽象域论奠定了基础．他把域分为两种类型：一种是特征为p的域，也即对所有元素a满足pa＝0的域，它们一定包含最小的城(称为素域)，最小的域一定是只含p个元素的伽罗瓦域．另一种是不存在这种p的域，称为特征0，其素域一定是有理数域．不管域属于哪一种类型，任何域均可由素域添加一些新元素“扩张”而成．所以域的根本问题是研究域的扩张．他对扩张进行了分类，其中主要的一类是添加系数在原域中的多项式的根后所得的扩张(代数扩张)．当一个域通过代数扩张不能再扩大时称为代数封闭域．施泰尼茨证明，每个域均有唯一的代数封闭域．特别他还对特征p一般域胁许多特殊性质如不可分性、不完全性进行研究．关于抽象有限域，已经有了相当完整的结果：1893年美国数学家莫尔(E．H．Moore，1862—1932)证明，任何一有限域必定与某一个伽罗瓦域同构．反过来，对于任意素数p和正整数a，必定存在唯一一个伽罗瓦域，具有p a个元素．有限域理论在数论、编码理论、组合理论及数理统计等方面有着许多应用．在域论中引进p进域是一个重大成就．德国数学家亨泽尔(K．Hensel，1861—1941)在1908年出版的《代数数论》(Theorie der algebraischen Zahlen)中系统阐述了p进数，他对这种数规定了加、减、乘、除四种基本运算，构成一个域称p进域，而它是有理数域的一个完备化，如同实数域一样．但是与实数域性质的一个很大的不同是实数域具有阿基米德性质，也就是对任何两个实数a，b总存在一个正整数n，使na＞b．p进域虽然也有一个自然的顺序，但却没有阿基米德性质．pˉ进数域是一种“局部”域，在它里面也可定义整数及代数数，它的建立大大有助于数论的发展．亨泽尔之后，抽象赋值论得到发展，在代数数论及代数几何学上有着重要应用．抽象理论的建立不仅使已有的零散知识系统化，而且有助于许多问题的解决，1927年阿廷解决希尔伯特第17问题就是靠他引进抽象的实域(他称为形式实域)．实域k是把实数域的一个特性抽象化：即-1不能表示为k中元素的平方和．通过这个概念，他证明“任何正定有理函数都可表示为有理函数平方和”．2．环论环的概念原始雏型是整数集合．它与域不同之处在于对于乘法不一定有逆元素．抽象环论的概念来源一方面是数论，整数的推广——代数整数具有整数的许多性质，也有许多不足之处，比如唯一素因子分解定理不一定成立，这导致理想数概念的产生．戴德金在1871年将理想数抽象化成“理想”概念，它是代数整数环中的一些特殊的子环．这开始了理想理论的研究，在诺特把环公理化之后，理想理论被纳入环论中去．环的概念的另一来源是19世纪对数系的各种推广．这最初可追溯到1843年哈密顿关于四元数的发现．他的目的是为了扩张用处很大的复数．它是第一个“超复数系”也是第一个乘法不交换的线性结合代数．它可以看成是实数域上的四元代数．不久之后凯莱得到八元数，它的乘法不仅不交换，而且连结合律也不满足，它可以看成是第一个线性非结合代数．其后各种“超复数”相继出现．1861年，魏尔斯特拉斯证明，有限维的实数域或复数域上的可除代数，如满足乘法交换律，则只有实数及复数的代数(1884年发表)．1870年戴德金也得出同样结果(1888年发表)．1878年弗洛宾尼乌斯(F．G．Frobenius，1849—1917)证明实数域上有限维可除代数只有实数、复数及实四元数的代数．1881年小皮尔斯也独立得到证明．1958年用代数拓扑学方法证明，实数域上有限维可除代数，连非结合可除代数也算在内，只有1，2，4，8这四种已知维数．可见实数域及复数域具有独特的性质．关于域上线性结合代数的研究在19世纪末处于枚举阶段，1870年老皮尔斯(B．Peirce，1809—1880)发表《线性结合代数》，列举6维以下的线性结合代数162个．他还引进幂零元与幂等元等重要概念为后来的结构理论奠定基础．1898年、嘉当(E．Cartan)在研究李代数的结构基础上，对于结合代数进行类似的研究，1900年，德国数学家摩林(T．Molien，1861—1941)征明，复数域上维数≥2的单结合代数都与复数域上适当阶数的矩阵代数同构．线性结合代数的结构定理是1907年由美国数学家魏德本(J．HM．Wedderburn，1882—1948)得出的：线性结合代数可以分解为幂零代数及半单代数，而半单代数又可以表示为单代数的直和．单代数可表为域上可除代数的矩阵代数．这样结合代数就归结为可除代数的研究．可除代数有着以下的结果．1905年魏德本证明：有限除环都是(交换)域，也即伽罗瓦域．当时除了伽罗瓦域及四元数之外，不知道有别的除环．20世纪虽然发现了一些新的除环，但除环的整个理论至今仍不完善．从线性结合代数到结合环的过渡是阿廷完成的．1928年，阿廷首先引进极小条件环(即左、右理想满足降键条件的环，后称阿廷环)，证明相应的结构定理．对于半单环的分类，雅可布孙(N.Jacobson，1910—)创立了他的结构理论．他认为对任意环均可引进根基的概念，而对阿廷环来说，根基就是一组真幂零元．对于非半单的阿廷环(主要出现于有限群的模表示中)，如福洛宾尼乌斯代数及其推广也有许多独立的研究．而与阿廷环对应的是诺特环，对于有么无的环，秋月康夫(1902—1984)及霍普金斯(C．H opkins)证明阿廷环都是诺特环．对于诺特环，却长期没有相应的结构理论．一直到1958年英国数学家戈尔迪(A．W．Gold－ie)才取得突破，他证明任何诺特半素环都有一个阿廷半单的分式环，这才促进了新研究．与诺特环平行发展的是满足多项式等式的环．近来环表示论及同调方法的应用对结合环理论有极大促进．环论的另一来源是代数数论及代数几何学及它们导致的交换环理论．1871年戴德金引进理想概念，开创了理想理论．环这个词首先见于希尔伯特的数论报告．代数几何学的研究促使希尔伯特证明多项式环的基定理．在本世纪初英国数学家腊斯克(E．Lasker，1868—1941)及麦考莱(F．S．Macaulay，1862—1937)对于多项式环得出分解定理．对于交换环的一般研究来源于E．诺特．她对一般诺特环进行公理化，证明准素分解定理从而奠定交换环论乃至抽象代数学基础，其后克鲁尔(W．Krull，1899—1971)给出系统的研究，他还引进了最值得注意的局部环．四十年代，薛华荔、柯恩(I．S．Cohen，1917—1955)及查瑞斯基(O．Zariski，1899—1986)对局部环论进行了系统的研究．3．群论19世纪末抽象群开始成为独立研究的对象，当时主要问题仍是以置换群为模式的有限群，问题涉及列举给定阶数的所有群以及群的可解性的判据．当时主要的定理是由挪威数学家西洛(L ．Sylow ，1832—1918)在的．而19世纪90年代群论最主要成就是群表示论的出现，它是由德国数学家福洛宾尼乌斯奠定的．后由他的学生舒尔(I ．Schur ，1875—1941)所发展，成为研究群论不可缺少的工具．所谓群表示即是把群具体实现为某种结构的自同构群，例如域F 上的有限维线性空间的线性变换群，通常是把群的元素与F 上的n ×n 可逆矩阵相对应．在英国数学家伯恩塞德(W ．Burnside ，1852—1927)的经典著作《有限阶群论》(Theory of Groups of Finite Order)第二版(1911)已经进行综述并给出应用．20世纪有限群论的中心问题是有限单群的分类．很久以来，就已经知道一个相当长的有限单群的表，除了素数阶循环群之外，对于每一个整数n ≥5存在一个n ！/2阶单群，它由n 个事物的所有偶置换构成，这就是所谓交错群．当n=5时，它就是二十面体群．另外还知道许多射影特殊线性变换群PSL(n ，q)，它们通过行列式为1的n ×n 矩阵群(元素取在有限域GL(q)中)的商群构造出来．另外对于正交矩阵、辛矩阵、酉矩阵也可以造出一批单群来．这些“典型群”，从若尔当时候起就已知道，后来经过美国数学家狄克逊、荷兰数学家范德瓦尔登、法国数学家丢东涅(J ．Dieudonn é，1906—1992)进行系统研究．真正重大的突破是1955年薛华荔在日本《东北数学杂志》上发表的“论某些单群”的论文，这篇论文的重要性不仅展示一些新单群，而且更重要的是对于以前知道的绝大部分通过李代数换基的办法进行统一的处理，从而得出九个系列的薛华荔群．其后，这些薛华荔群经过美国数学家斯坦伯格(R ．Steinberg ，1922—)、韩国数学家李林学、比利时数学家梯茨(J ．Tits ，1930—)、日本数学家铃木通夫(1926—)等人加以扩充，得出全部李型单群的16系列．除了上述这18个序列中的有限单群之外，还有几个不属于它们的所谓“散在单群”，其中头一个是7920阶的群M 11是法国数学家马丢(E ．L ．Mathieu ，1835—1890)在1861年发现的，他不久又发现另外4个单群M 12，M 22，M 23，M 24．一直到1965年之前再没有发现新的散在单群了．突然1965年南斯拉夫数学家严科(Z ．Janko ，1932—)发现了一个175560阶的新单群，其后10年间，陆续发现另外20个敬在单群，其中最大的称为费舍尔(B ．Fischer ，1936—)“魔群”，其阶大约为8.1053，到这时候是否所有单群均已找到，也就是有限单群的分类已经完成了呢？在这条漫长的路上，首先的突破是一系列群论性质及表示论的成果，其中包括1955年布劳尔(R ．Brauer 1901—1977)的工作．第二个突破是1963年美国数学家费特(W ．Feit ，1930—)和汤姆逊(J ．G ．Thompson ，1932—)证明除循环群之外，奇阶群都是可解群，这个长达250页的论文包括了极其丰富的信息．70年代，在群的结构研究上有了新的突破，最终导致1981年，有限单群的分类彻底完成，不过全文需要1万页以上，这是各国上百位群论专家通力合作的结果．对于无穷阶的离散群，也有一些重要的研究，其中重要的是与数理逻辑有关的“字的问题”，即两个符号序列何时相等，对于有限生成的具有有限个关系式的群，1955年左右苏联数学家诺维科夫(ΠC Hовиков，1901—1975)、美国数学家布里顿(J．L．Britton)和布恩(W．Boone，1920—1983)证明一般的字的问题是不可解的，也就是不存在一个普遍的算法来判定两个字是否相等，但是另一方面德国数学家马格努斯(W．Magnus，1907—)在1932年解决一个关系式的有限生成群的字的问题．另一个重要的问题是伯恩赛德问题，他问一个有限生成的群如果其所有元素都是有限阶的，该群是否有限，这个问题一直到1964年由前苏联数学家考斯特利金(А．И．Кострикин，1929—)举出例子而得出否定的回答．另外还有一个狭义的伯恩赛德猜想，即有限生成群当所有元素x满足x n＝0是有限群，现在知道当n＝2，3，4，6时，狭义伯恩赛德猜想成立，但如果n相当大，诺维科夫和布里顿等人也举出反例．三、测度与积分理论测度是长度、面积和体积概念的精密化及推广．各民族数学发展一开始均致力于测量长度和面积，得出相应的公式及方法，而统一的求积方法一直到牛顿和莱布尼茨建立微积分之后才得到．这时求积问题变成一个特殊的积分问题．但积分是一个相当复杂的概念，19世纪由于分析的严格化才导致由柯西、黎曼及达布相继改进的黎曼积分的概念，最后确定下来．随着康托尔点集论的建立，要求对更一般的点集的“大小”进行比较及量度，这要求定义测度．先是对黎曼可积性条件中函数的不连续点集的“测度”给出定义．最早是哈那克(A．Harnack，1851—1888)、杜布瓦—瑞芒(P．du Bois Rey－mond，1831—1889)、史托尔茨(O．Stolz，1842—1905)及康托尔在1881到1885试着做出定义，他们均采用覆盖区间长度的下确界，但是这样定义有毛病．例如，两个无公共点集的并集的“测度”有时能够小于两集的“测度”之和，除了上述定义的“外”测度之外，最先定义“内”测度的是皮亚诺，他在1887年定义“可测”集为内、外测度相等，这样虽然克服上述困难，但有界开集并不一定可测．若尔当在他的《分析教程》第一卷第二版(1893)中也做了类似的定义，同样也有类似的毛病．对这些毛病的补救来自波莱尔(E．Borel，1871—1956)，他在《函数论教程》中大大改进了以前的测度观念，利用可数可加性对任一有界开集构造地定义测度．他还考虑零测度集(实际上这个观念可以追溯到黎曼)．而真正把波莱尔的方法同皮亚诺—若尔当的办法结合而形成系统测度论的则是波莱尔的学生勒贝格，这些发表在他的博士论文《积分、长度、面积》当中．勒贝格的功绩不仅在于建立系统的测度理论，更主要的是建立系统的积分理论．在勒贝格之前，除了黎曼积分之外，还有斯蒂尔吉斯(T．J．Stieltjes，1856—1894)积分．斯蒂尔吉斯在1894年发表的“连分式的研究”中证明：如连分式。
数学史世纪数学概观Ⅲ详解
到意外。”
微分拓扑学在20世纪50年代由于米尔诺等的工 作而进入了黄金时期。
此前，数学家们都以为在流形上只存在一种微 分结构。但1956年，美国数学家米尔诺却在七维球面 上找到了28种不同的微分结构。这一令人震惊的结论 为这种七维流形赢来了“米尔诺怪球”的著称。
米尔诺怪球触发的微分拓扑学的发展可以说是 奇峰迭起。其中尤以4维欧几里得空间微分流形的有 关结论最为引人注目。
美国普林斯顿。早年在维也纳大学攻读修读理论物理、 基础数学，后来又转研数理逻辑、集合论。但1940年 代中就将注意力投放在哲学上，并参加哲学小组活动。
•
1930年获博士学位。其博士论文证明了「狭谓词
演算的有效公式皆可证」。之后在维也纳大学工作。
1938年到美国普林斯顿高等研究院任职，1948年加入
美国籍。1953年成为该所教授。
哥德尔不完全性定理的影响
哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年 来的信念。
他告诉我们，真与可证是两个概念。可证的一 定是真的，但真的不一定可证。某种意义上，悖论的 阴影将永远伴随着我们。
无怪乎大数学家外尔发出这样的感叹：“上帝 是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的， 因为我们不能证明这种相容性。”
哥德尔第一不完全定理
设系统S包含有一阶谓词逻辑与初等数论，如果S 是一致的，则下文的T与非T在S中均不可证。
哥德尔第二不完全定理
如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无 矛盾性不可能在S内证明。
第一不完备性定理
任意一个包含算术系统在内的形式系统中，都存 在一个命题，它在这个系统中既不能被证明也不能被 否定。认为那些食物有毒。国籍
虽然他的传记列出很多国家，他通常被视为奥 地利人。
如何按照“近代数学历史发展”自学一遍数学？
如何按照“近代数学历史发展”自学一遍数学？数学教研 & 解题研究 & 资源共享诚邀老师您加入教师群请在”公众号对话框“回复入群本文来源于公众号：数学与人工智能（ID：Math-AI）中学数学教与学（ID：zxsxjyx）选编（转载请注明出处）现代数学时期（19世纪20年代——）这个时期可以进一步划分为三个阶段：现代数学酝酿阶段（1820——1870年）；现代数学形成阶段（1870——1950年）；现代数学繁荣阶段（1950——现在）。
“这一时期虽然还不到二百年的时间，内容却非常丰富，远远超过了过去所有数学的总和。
”——希尔伯特这个时期的主要数学成果归纳如下：1.康托的“集合论”：奠定了数学的基础；2.柯西、魏尔斯特拉斯等人的“数学分析”：奠定了分析数学的基础；3.希尔伯特的“公理化体系”：给现在数学建构了一个框架，但也引起了“罗素悖论”；4.高斯、罗巴契夫斯基、波约尔、黎曼的“非欧几何”：让我们以更宽的视角审视几何世界；5.伽罗瓦创立的“抽象代数”：让数学真正从“数”走向了“结构，关系，运算”；6.黎曼开创的“现代微分几何”：高斯最伟大的学生，微分研究的先驱；7.庞加莱创立的“拓扑学”：近代最伟大的三位数学家之一，对于“奇点”的研究贡献巨大；8.其它：数论、随机过程、数理逻辑、组合数学、计算数学、分形与混沌等等。
现代数学时期的结果，也成为高校数学、力学、物理学等学科数学教学的内容，并被科技工作者所使用。
1 拓扑学奇趣,[苏联]伏.巴尔佳斯基,伏.叶弗来莫维契编著,裘光明译2 拓扑学的首要概念作者:(美)陈锡驹(W.G.Chinn),(美)斯廷路德(N.E.Steenrod)著一般附注:据1966年英文版译3 Famous Problems of Elementary Geometry 作者(德)克莱因(F.Kiein) ,译者沈一兵4 奇妙而有趣的几何作者韦尔斯5 几何学的故事作者：列昂纳多·姆洛迪诺夫6 近代欧氏几何学作者:(美)R·A·约翰逊著、单壿译7 《古今数学思想》,(美)莫里斯·克莱因著,张理京等译共４册8 《数学,确定性的丧失》作者：（美）克莱因著,李宏魁译9 数学珍宝:历史文献精选著作者：李文林10《几何学的新探索》作者:(英)考克瑟特(Doxeter,H.S.M.),(美)格雷策(Greitzer,S.L.)著11 几何的有名定理作者:(日)矢野健太郎著12 什么是数学作者：（美）R·柯,H·罗宾著,I·斯图尔特修订,左平,张饴慈译13 《证明与反驳》作者：伊姆雷.拉卡托斯14 数学与猜想（共两卷） G.波利亚,15 《数学的发现》作者：（美）乔治·波利亚著,刘景麟等译。
《数学史》20世纪数学概观(II)(上)
数学的广泛渗透与应用，是它一贯的特点，但在数学史上， 数学的应用在不同时期的发展是不平衡的． 18世纪是数学与力学紧密结合的时代；19世纪是纯粹数 学形成的时代；20世纪则可以说既是纯粹数学的时代，又是应 用数学的时代． 特别是20世纪40年代以后，数学以空前的广度与深度向 其他科学技术和人类知识领域渗透，加上电子计算机的推助， 应用数学的蓬勃发展已形成为当代数学的一股强大潮流．应用 数学的这个新时代具有以下几方面的特点．
1 R T g T , 2
g 就是黎曼度规张量，爱因斯坦指出：“由于这组方程，
数学在物理学中的应用经历了一系列激动人心的重大事件； 现代化学为了描述化学过程已少不了微分方程和积分方程，并且 有许多还是连数学家都感到棘手的非线性方程；生物学不用数学 的时代也已一去不返． 除了自然科学，在经济学、社会学、历史学等社会科学部门 中，数学方法的应用也在崭露头角．与以往时代不同的是，数学 在向外渗透过程中越来越多地与其他领域相结合而形成一系列交 叉学科，如数学物理、数理化学、生物数学、数理经济学、数学 地质学、数理气象学、数理语言学、数理心理学、数学考古 学，……等等，它们的数目还在增加．
(2)纯粹数学几乎所有的分支都获得了应用，其中最抽象 的一些分支也参与了渗透．
在20世纪60年代，像拓扑学这样的抽象数学离实际应用 似乎还很遥远．然而正如我们在下面要讲到的，拓扑学在今 天的物理学、生物学和经济学中正在扮演重要角色．
在凝聚态物理中分类晶体结构的“缺陷”及液晶理论中 所用到的某些齐性空间中同伦群的计算，即使对专业的代数 拓扑学家也是很难的问题；
例如以计算流体力学为基础的数值模拟已成为飞行器 设计的有效工具，类似的数值模拟方法正在被应用于许多技 术部门以替代耗资巨大的试验； 1980年代以来，以调和分析为基础的小波分析直接应 用于通信、石油勘探与图象处理等广泛的技术领域；现代大 规模生产的管理决策、产品质量控制等也密切依赖于数学中 的线性规划算法与统计方法；现代医学仪器工业也离不开数 学(如Cr扫描仪、核磁共振仪等研制的理论基础主要是现代积 分理论)，等等，这样的例子举不胜举．
林寿数学史教案-第十三讲：20世纪数学概观III（大全5篇）
林寿数学史教案-第十三讲：20世纪数学概观III（大全5篇）第一篇：林寿数学史教案-第十三讲：20世纪数学概观III第十三讲：20世纪数学概观 III1、牛顿以来250年间的英德法数学家1642－1891年间出生于英德法的主要数学家。
2、世界数学中心的转移世界科学活动中心曾相继停留在几个不同的国家，转移的格局大体是：意大利→英国→法国→德国→美国。
从中心区停留的时间跨度看：意大利1540－1610年，英国1660－1730年，法国1770－1830年，德国1830－1930年，美国1920年起。
科学活动中心的转移，实际上就是科学人才中心的转移。
3、20世纪的一些数学团体 3.1 哥廷根学派高斯（1777－1855年）1807－1855年任哥廷根大学数学教授，后狄里克雷（1805－1859年）1855－1859年、黎曼（1826－1866年）1846－1866年在哥廷根工作，1886年克莱因（1849－1925年）到哥廷根，开创了40年哥廷根学派的伟大基业。
20世纪初世界数学中心：哥廷根数学研究所。
在哥廷根工作的一些数学家、在哥廷根学习或访问过的数学家。
3.2 波兰数学学派1917年波兰数学会在克拉科夫成立，1918年亚尼谢夫斯基（1888－1920年）发表《波兰数学的需求》，形成了华沙学派、利沃夫学派。
华沙学派：研究点集拓扑、集论、数学基础和数理逻辑。
1920年《数学基础》创刊标志华沙学派的形成。
带头人：谢尔宾斯基（1882－1969年），马祖凯维奇（1888－1945年）。
利沃夫学派：研究泛函分析。
1929年创刊《数学研究》。
带头人：巴拿赫（1892－1945年），施坦豪斯（1887－1972年）。
第二次世界大战使波兰失去了一代人。
3.3 苏联数学学派19世纪下半叶，出现了切比雪夫（1821－1894年）为首的彼比堡学派。
叶戈罗夫（1868－1931年）造就了20世纪繁荣的莫斯科数学学派。
优势学科：函数论、拓扑学、解析数论、概率与随机过程、泛函分析、微分方程、线性规划。
20世纪的数学
从交换到非交换
所有这些都是以不同的方式形成了把 非交换乘法引入代数理论的基石，我形象 地把它们说成是二十世纪代数机器赖以生 存的“面包和黄油”．我们现在可以不去 思考这些，但在十九世纪，以上所有例子 都以各自不同的方式取得了重大的突破， 当然，这些思想在不同的领域内得到了惊 人的发展．矩阵和非交换乘法在物理中的 应用产生了量子理论．Heisenberg对易关 系是非交换代数在物理中的一个最重要的 应用例子，以至后来被von Neumann推广 到他的算子代数理论中．
所以他用的是几何论证，因为这样可以 与实际意义保持密切关系，另一方面， Leibniz有一个目标，一个雄心勃勃的目标， 那就是形式化整个数学，将之变成一个庞大 的代数机器．这与Newton的途径截然不同， 并且二者有很多不同的记号．正如我们所知 道的，在Newton和Leibniz之间的这场大争论 中，Leibniz的记号最后得胜．我们现在还沿 用他的记号来写偏导数．Newton的精神尚在， 但被人们埋葬了很长时间．
一个类似的事情发生在微分方程中，最 初，解一个微分方程，人们需要寻找一个明 确的局部解！是一些可以写下来的东西．随 着事物的发展，解不必是一个显函数，人们 不一定必须用好的公式来描述它们．解的奇 异性是真正决定其整体性质的东西．与发生 在复分析中的一切相比，这种精神是多么的 类似，只不过在细节上有些不同罢了．
代数本质上涉及的是时间．无论现在做的是 哪一类代数，都是一连串的运算被一个接着一个 罗列出来，这里“一个接着一个”的意思 是我们必须有时间的概念．在一个静态的宇宙中， 我们无法想象代数，但几何的本质是静态的：我 可以坐在这里观察，没有什么变化，但我仍可以 继续观察．然而,代数与时间有关，这是因为我 们有一连串的运算，这里当我谈到“代数”时， 我并不单单指现代代数．任何算法，任何计算过 程，都是一个接着一个地给出一连串步骤,现代 计算机的发展使这一切看得很清楚．现代计算机 用一系列0和1来反映其信息并由此给出问题的答 案．
《数学史》世纪数学概观(Ⅲ)详解
哥德尔不完全性定理的影响
哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年 来的信念。 他告诉我们，真与可证是两个概念。可证的一 定是真的，但真的不一定可证。某种意义上，悖论的 阴影将永远伴随着我们。 无怪乎大数学家外尔发出这样的感叹：“上帝 是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的， 因为我们不能证明这种相容性。”
13.2 高斯-博内公式的推广
高斯－博内公式有许多重要应用，其中之一就是关 于曲面上向量场奇点的庞加莱定理: 设S是紧致无边界的可定向曲面。对于S上任何 只有孤立奇点的向量场,它在所有奇点处的指标之和等 于S的欧拉示性数。因为球面（以及与球面同胚的闭 曲面）的欧拉示性数为2,所以球面上的向量场必有奇 点。 这一点可比喻如下：若把地球上各地的风速看 成一个向量场，则任何时候地球上总有一个地方没有 风。
哥德尔发展了冯· 诺伊曼和伯奈斯等人的工作， 其主要贡献在逻辑学和数学基础方面。 在20世纪初，他证明了哥德尔不完全性定理,这 一著名结果发表在1931年的论文中。
他还致力于连续统假设的研究，在1930年采用一 种不同的方法得到了选择公理的相容性证明。3年以 后又证明了（广义）连续统假设的相容性定理，并于 1940年发表。他的工作对公理集合论有重要影响，而 且直接导致了集合和序数上的递归论的产生。
性格
• 哥德尔是个要求严格的人。因此，他很多的想 法在生前都没有正式发表甚至记录，要逝世后从其手 稿找出。 • 他不喜欢谈论自己或受到注目。哥德尔曾要求王 浩在死后才可以发表一篇有关他的传记。他在学术研 究之外的东西，都不公开发表意见。 • 他亦讨厌旅行。 • 他自幼多病，而且从小便患了疑病症。他还患过 抑郁症。后来他在普林斯顿的医院绝食而死，因为他 认为那些食物有毒。
谢 谢！
现代数学的应用
的几个步骤： 构建数学模型 求解数学问题 回到实际中解释结果 建构数学模型的过程是不断地实践检验、重构的过 程。为建模提供必要的观测数据和经验性的结论 区分现实问题中的主次因素，简化现实问题的结构关系，
•
给出这些因素、关系的数学概念和数学结构，数学模型 的解常常需要与计算机有关的算法设计
•
兔子繁殖问题 与“斐波那契数列”
{Fn}:1，1，2，3，5，8，13，…（n=0，1，2…）
该数列的通项公式
1 1 5 n1 1 5 n1 Fn [( ) ( ) ] 2 2 5
• 斐波那契数列与黄金数
Fn 1 1 5 LimU n Lim n n Fn 2
•整体微分几何 ____陈示性类与纤维丛理论来自数学与物理的内在和谐性
1967年，杨振宁在研究规范场理论的推广问题时，发现了黎 曼几何中的公式规范场公式的特例。 1975年初杨振宁听了一系列数学讲座，开始使用纤维丛理论 解释物理现象，并于当年发表了论文,明确指出了 纤维丛理 论和规范场理论的联系，将这两个领域的概念建立了一一对 应的关系 。 杨——米尔斯理论乃是吸引未来越来越多数学家的一门年轻 的学科。
1
20世纪数学应用的发展概况
20世纪最初的二、三十年中，崇尚纯粹 数学，忽视数学应用，成为数学研究的 主要思想倾向
•随着二次世界大战的爆发，大量的实际问题吸引着 无数的数学家投入到应用数学的研究。 “数学家不能无视客观世界，必须运用数学而且承 担 解决应用问题的道义责任。”（维纳语）。 数理逻辑、运筹学、控制论等应用数学，都从战争 的需要中找到了自己生长发育的土壤
斐波那契数列和贾宪三角形（斐波那契数列的应用）
在贾宪三角形的第n行
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分形与混沌
分形的发现
20世纪数学在几何概念上有两次飞跃与空间 维度相关：从有限维到无穷维的飞跃；从整 数维到分数维的飞跃。
美籍法国数学家蒙德尔布 罗1967年发表的文章《英 国海岸线有多长？》标志 着后一次飞跃的开始。
海岸线问题是一个实 际的地理测量问题。二 十世纪下半叶，有人发 现一些百科全书中记录 的海岸线竟相差20％， 法国数学家蒙德尔布罗 经过认真研究认为是由 于海岸线形状的不规则 引起的，由于这种不规 则，不同的测量尺度将 得出不同的测量结果。
这种推进仍然十分缓慢。
定理的解决
1976年哈肯和阿佩尔，利用“不可避免构形集 ”、“可约集”等关键意义的概念，采用计算机实 验方法，成功获得了一组不可避免可约图，最 终解决了四色问题。
定理的影响
“四色问题”的被证明仅解决了一个历时100多 年的难题，而且成为数学史上一系列新思维的 起点。在“四色问题”的研究过程中，不少新的数 学理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧 。如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了 图论的内容。不仅如此，“四色问题”在有效地设 计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上 都起到了推动作用。
20世纪数学概观（Ⅲ）
——现代数学成果十例
四色定理(Four color theorem)
许多同学都知到排列组合把， 也应该应该都做过这个着色问
题吧： 用4种不同的顏色去涂右边 这个脸谱，每区域一色，同一 种顏色可重复使用，但相邻区 域不可同色，则有多少种涂法？
答案是214种
藍綠 黃
4 ×3 ×2 ×1 ×1 ×3 ×3
898128000
8080174247945 1287588645990 4961710757005 7543680000000 00 460815505920
三. 二代分类
1982年，蒙德尔布罗出版了著名的专 著《自然界的分形几何学》，至此， 分形理论初步形成。
现在，分形已广泛地应用于数学、物理、 化学、生物学．把形态、功能和信息方面具 有自相似性的对象称为分形．
分形植物
Koch 雪花
Sierpinski 三角 形
混沌动力学的创立
从1978年开始，蒙德尔布罗等人开始研究在非 线性变换(即允许比简单放大与平移更复杂的操 作如平方、立方等)下保持不变的分形，他们利 用电子计算机来产生这样的分形图形，并研究 它们的性质，又发现了所谓“混沌”(chaos)现 象，导致了混沌动力学的建立。
散在群
散在群中的其中五个是在1860年代中由马提厄所发现的 ，而其他的21个则是在1965年至1975年之间被找出来的
中文名 里昂群 麦克劳林群
英文名
符号
Lyons,group
Ly
McLaughlin,grou p
McL
魔群
Monster,group M
欧南群
O'Nan,group O'N
阶
5176517900400 0000
二. 1962年，费特和汤普森关于奇阶群必为 可解群的定理（Feit-Thompson定理）是单群 分类中最重要的一个定理，它标志着有限单群 分类的重大突破；
二. 有限单群分类的证明历史
三. 1972年，D.戈朗斯坦提出的有限单群分 类方案或计划，指出了如何才能实现有限单 群的完全分类:
四. 1980年，格里斯 找到了26个散在单群的 最后一个也是最大的一个单群，数学家称之 为“大魔”，同年夏天，随着最后一个技巧性的 问题的解决，整个有限单群分类定理的证明 宣告结束。
定理的提出
1852年首先由英国青年大学生古德里提出“四 色问题”； 1878年凯莱发表《论地图的着色》，掀起了一 场四色问题热； 1879年律师肯泊（英，1849－1922年）宣布 证明了“四色问题”并发表于《美国数学杂志》 上； 1890年希伍德（英，1861－1955年）指出了 肯泊的错误，证明了“五色定理”并一生坚持研 究四色问题。
一.有限单群分类的基本内容
（二） . 内容
➢ 素数阶循环群;
➢ n≥5的交错群An; ➢ Lie型单群(共16族);
➢ 26个散在单群。
二. 有限单群分类的证明历史
一. 有限单群分类定理是在20世纪40年代初 提出的。1942年左右，美裔德国数学家布饶尔 （R.Brauer）是有限单群分类工作的先驱，他 与中国数学家段学复完成了10000阶以下的单 群分类；
定理的发展
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证 明基本上是按照肯泊的想法在进行；
1913年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克 霍夫利用肯泊的想法，结合自己新的设想；证 明了某些大的构形可约；
美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以 下的地图都可以用四色着色；
1950年，有人从22国推进到35国。1960年， 有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜 色着色；随后又推进到了50国；
有限单群分类
➢有限单群分类的基本内容 ➢有限单群分类的证明历史 ➢二代分类
一.有限单群分类的基本内容
（一）. 定理
✓ 有限单群是指：除了单位元群和它本身以 外没有其他正规子群的有限群。有限单群类 似于整数中的素数，可比喻为搭成有限群的“ 积木块”，是有限群结构的基石。
✓ 找出所有的有限单群的问题称为有限单群 分类问题。
英国的海岸线地图
分形的创立
1967年发表于美国《科学》杂志上的“英国的海 岸线有多长”的划时代论文，是蒙德尔布罗的分 形思想萌芽的重要标志。
1973年，在法兰西学院讲课期间，蒙德尔布罗提 出了分形几何学的整体思想。
1977年，蒙德尔布罗出版了第一本著作《分形： 形态，偶然性和维数》，标志着分形理论的正式 诞生。
定理概述：
地图四色定理最先 是由一位叫古德里 的英国大学生提出 来的。四色问题的 内容是：“任何一 张地图只用四种颜 色就能使具有共同 边界的国家着上不 同的颜色。”
用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭 的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字 之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字 。”这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的 。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻 的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆