棋盘中的数学 六年级奥数

第十讲棋盘中的数学（一）

——什么是棋盘中的数学

所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出

的问题统称为棋盘问题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就

叫做棋盘中的数学问题．解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统

称棋盘中的数学．

作为开篇我们先解几道竞赛中的棋盘问题．

例1 这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，

“界河”的宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8， 9，10， 11， 12， 13， 14中的两个位置．

问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？

解：我们设每个小方格的边长为1单位．则小方格正方形面积为1

平方单位．

由于三个顶点都在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积

的一半．所以要比较三角形面积的大小，只要比较三角形的三个顶点所

在边的外接长方形面积的大小就可见端倪．

直观可见，只须比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形面积就可以了．

顶点为（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面积等于：

所以顶点在（2，10，12）或（3，10，12）时三角形面积最大．

答：黑“象”在2或3的位置，两个红“相”分别在 10，12的位置时，以这三个棋子为顶点的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面

积最大，如下图所示．

说明：本题是以棋盘格点为基础组成图形计算面积．其实，这类问

题所在多有，我们把m×n的方格阵称为广义棋盘，则可以设计出许多

这类的问题．

例 2 下图是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改

摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．

问：这堆棋子原有多少枚？

解：第一次排方阵剩余12枚，加上第二次排方阵所不足的9枚，恰

是原正方阵扩大后“贴边”的部分（如下图所示），共21枚，它恰是原

正方阵每边棋子数与“扩阵”每边棋子数之和．恰是两个相邻自然数之和，所以原正方阵每边10枚棋子，新正方阵每边11枚棋子．这堆棋子

总数是

102＋12＝112枚．

答：这堆棋子原有112枚．

说明：本题也可以列方程求解．

设原正方阵每边m枚棋子，由题意得：

（m＋1）2－9＝m2＋12．

即2m＋1＝21，

解得 m＝10．

所以棋子总数为102＋12＝112枚．

本题与围棋盘并无本质联系，问题可改述为“一堆棋子若摆成一个

实心方阵，剩余12粒棋子，若改摆每边各加一枚的方阵，则差9枚棋子，问这堆棋子原有多少枚？”应用围棋盘显得更加直观、具体．

例3 如下左图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑

格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不

能第二次进入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A 处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由．

解：这种爬行路线是存在的．具体的设计一条，如右图所示．

例4 在8×8的方格棋盘中，如下图所示，填上了一些数字1，2，3，4．试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都恰有1、2、3、4四个数字．

分析注意这个正方形的面积是8×8＝64个平方单位，因此切分后

的每一块的面积为16个平方单位，即由16个小方格组成．

解：①将两个并列在一起的“4”分开，先画出这段划分线，并将它分别绕中心旋转90°，180°和270°，得到另外三段划分线，如下图（1）所示．

②仿照上述方法，画出所有这样的划分线，如上图（2）所示．

③从最里层开始，沿着画出的划分线作设想分块，如上图（3），这个分块中要含1，2，3，4各一个，且恰为16块小方格．

④将上面的阴影部分绕中心旋转180°，可以得到符合条件的另一块，空白部分的两块也符合条件，所求的划分如上页图（4）所示．

例5 国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子，如下左图上虚线所示．如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整

个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉．

请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？

解：本题是构造性的题目．用五个子管住六十四格，如上右图所示

就是一种放置皇后的方案．

例6 如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相

和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八

个点的控制之下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所

能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）．

解：这仍是一个占位问题，只需要把指出的几个子排布成所要求的

阵势即可，如下图所示．

本节我们初步看到了一些棋盘问题，它们的特点是：

①以棋盘为背景提出各种问题，无论围棋盘、中国象棋盘或是国际

象棋盘．更为一般的提法是m×n方格上的数学问题．

②这些问题有面积计算，图形分割，棋子计数，棋子布局等各种类型，这些问题一般属于智巧类的问题或更深一步的组合数学问题