高中数学第四章4.3.2对数的运算讲义新人教A版必修第一册

4.3.2 对数的运算
知识点一 对数的运算性质
若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， (2)log a M N
＝log a M －log a N ， (3)log a M n
＝n log a M (n ∈R )．
状元随笔 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是错误的．
知识点二 对数换底公式
log a b ＝log c b
log c a (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)．
特别地：log a b ·log b a ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)． 状元随笔 对数换底公式常见的两种变形 (1)log a b·log b a ＝1，即1
log a b
＝log b a ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与
原对数值互为倒数 .
(2)log N n M m
＝m n log N M ，此公式表示底数变为原来的n 次方，真数变为原来的m 次方，所
得的对数值等于原来对数值的m
n
倍．
[教材解难]
换底公式的推导
设x ＝log a b ，化为指数式为a x
＝b ，两边取以c 为底的对数，得log c a x
＝log c b ，即x log c a ＝log c b .
所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c b log c a
.
[基础自测]
1．下列等式成立的是( ) A ．log 2(8－4)＝log 28－log 24
B.
log 28log 24＝log 28
4
C ．log 28＝3log 22
D ．log 2(8＋4)＝log 28＋log 24
解析：由对数的运算性质易知C 正确． 答案：C 2.
log 49
log 43
的值为( ) A.1
2 B ．2 C.32 D.92
解析：原式＝log 39＝2. 答案：B
3．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4
解析：原式＝log 5102
＋log 50.25 ＝log 5(102
×0.25)＝log 525＝2. 答案：C
4．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为________． 解析：log 32＝ln 2ln 3＝a b .
答案：a b
题型一 对数运算性质的应用[教材P 124例3] 例1 求下列各式的值： (1)lg 5
100； (2)log 2(47
×25
)．
【解析】 (1)lg 5
100＝lg 100
15
＝15lg 100＝25
； (2)log 2(47
×25
)＝log 247
＋log 225
＝7log 24＋5log 22
＝7×2＋5×1 ＝19.
利用对数运算性质计算． 教材反思
1．对于同底的对数的化简，常用方法是：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
2．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．
跟踪训练1 (1)计算：lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1
＝________.
(2)求下列各式的值． ①log 53＋log 51
3
②(lg 5)2
＋lg 2·lg 50
③l g 25＋23
lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2
.
解析：(1)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1
＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－
1.
(2)①log 53＋log 513＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13＝log 51＝0.
②(lg 5)2＋lg 2·lg 50 ＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.
③原式＝lg 25＋lg 8
2
3
＋lg 102
·lg(10×2)＋(lg 2)2
＝lg 25＋lg 4＋(lg 10－lg 2)(lg 10＋lg 2)＋(lg 2)2
＝lg 100＋(lg 10)2
－(lg 2)2
＋(lg 2)2
＝2＋1＝3. 答案：(1)－1 (2)见解析 利用对数运算性质化简求值．
题型二 对数换底公式的应用[经典例题]
例2 (1)已知2x ＝3y
＝a ，1x ＋1y
＝2，则a 的值为( )
A ．36
B ．6
C ．2 6 D. 6 (2)计算下列各式： ①log 89·log 2732.
②2lg 4＋lg 5－lg 8－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫3382-3.
③641
3
＋lg 4＋2lg 5.
【解析】 (1)因为2x ＝3y
＝a ， 所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，
所以1x ＋1y ＝1log 2a ＋1log 3a ＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝2，
所以a 2
＝6，解得a ＝± 6. 又a ＞0，所以a ＝ 6.
(2)①log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32
lg 27
＝lg 32
lg 23·lg 25
lg 33＝
2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝109
. ②2lg 4＋lg 5－lg 8－⎝ ⎛⎭⎪
⎫3382
-3＝lg 16＋lg 5－lg 8－1⎝
⎛⎭⎪⎫32782
＝lg 16×58－1⎝ ⎛⎭
⎪⎫322＝1
－49＝5
9
. ③6413＋lg 4＋2lg 5＝4＋lg(4×52
)＝4＋2＝6.
【答案】 (1)D (2)见解析
状元随笔 1.先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值．
2．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分． 方法归纳
(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小
越便于化简，如a n
为底的换为a 为底．
(2)换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ；log an b m
＝m
n
log a b . 跟踪训练2 (1)式子log 916·log 881的值为( ) A.18 B.1
18
C.83
D.38
(2)(log 43＋log 83)(log 32＋log 98)等于( ) A.56 B.2512
C.9
4
D ．以上都不对 解析：(1)原式＝log 3224·log 2334
＝2log 32·43log 23＝83.
(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 33log 34＋log 33log 38·⎝ ⎛⎭
⎪⎫log 32＋log 38log 39
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 32＋13log 32·⎝ ⎛⎭
⎪⎫log 32＋3log 322 ＝
56log 32×52log 32＝25
12
. 答案：(1)C (2)B 利用换底公式化简求值． 题型三 用已知对数表示其他对数
例3 已知log 189＝a,18b
＝5，用a ，b 表示log 3645. 解析：方法一 因为log 189＝a ，所以9＝18a
. 又5＝18b
，
所以log 3645＝log 2×18(5×9)＝log 2×1818
a ＋b
＝(a ＋b )·log 2×1818.
又因为log 2×1818＝1log 18(18×2)＝1
1＋log 182
＝
1
1＋log 18
189
＝11＋1－log 189＝1
2－a
，所以原式＝a ＋b 2－a
.
方法二 ∵18b
＝5，∴log 185＝b . ∴log 3645＝
log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(4×9)＝log 185＋log 189
2log 182＋log 189
＝
a ＋b
2log 1818
9
＋log 189
＝
a ＋b
2－2log 189＋log 189＝a ＋b 2－a
.
状元随笔 方法一 对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值． 方法二 先求出a 、b ，再利用换底公式化简求值. 方法归纳
用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； (2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3)注意一些派生公式的使用．
跟踪训练3 (1)已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg 5＝________；(用p ，q 表示) (2)①已知log 147＝a,14b
＝5，用a ，b 表示log 3528. ②设3x ＝4y
＝36，求2x ＋1y
的值．
解析：(1)lg 5＝log 65log 610＝q log 62＋log 65＝q
p ＋q .
(2)①∵log 147＝a,14b
＝5， ∴b ＝log 145.
∴log 3528＝log 1428
log 1435＝log 14
142
7log 14(5×7)
＝log 14142
－log 147log 145＋log 147＝2－a a ＋b . ②∵3x
＝36,4y
＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436， ∴1x ＝1log 336＝1log 3636
log 363＝log 363， 1
y
＝
1log 436＝1
log 3636
log 364
＝log 364， ∴2x ＋1
y
＝2log 363＋log 364＝log 36(9×4)＝1.
答案：(1)
q
p ＋q (2)①2－a
a ＋b
②1 (1)利用换底公式化简．
(2)利用对数运算性质化简求值．
课时作业 22
一、选择题
1．若a ＞0，a ≠1，x ＞y ＞0，下列式子：
①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a x
y
＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .其中正确的个数为( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析：根据对数的性质知4个式子均不正确． 答案：A
2．化简1
2log 612－2log 62的结果为( )
A ．6 2
B ．12 2
C ．log 6 3 D.1
2
解析：12log 612－2log 62＝12(1＋log 62)－log 62＝12(1－log 62)＝1
2log 63＝log 6 3.
答案：C
3．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 5＝( )
A.2a ＋b 1＋a
B.a ＋2b
1＋a C.
2a ＋b 1－a D.a ＋2b
1－a
解析：lg 12lg 5＝lg 3＋lg 4lg 5＝lg 3＋2lg 21－lg 2＝2a ＋b 1－a .
答案：C
4．若log 34·log 8m ＝log 416，则m 等于( ) A ．3 B ．9 C ．18 D ．27
解析：原式可化为log 8m ＝2log 34，lg m 3lg 2＝2
lg 4
lg 3，
即lg m ＝6lg 2·lg 3
2lg 2，lg m ＝lg 27，m ＝27.
故选D. 答案：D 二、填空题
5．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________.
解析：由104
＝10 000知lg 10 000＝4,10－3
＝0.001得lg 0.001＝－3，注意常用对数不是没有底数，而是底数为10.
答案：4 －3
6．若log 51
3·log 36·log 6x ＝2，则x 等于________．
解析：由换底公式， 得
－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg x
lg 6
＝2， lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2
＝125.
答案：1
25
7.
lg 2＋lg 5－lg 1
2lg 1
2
＋lg 8
·(lg 32－lg 2)＝________.
解析：原式＝lg (2×5)－0lg ⎣⎢⎡⎦⎥
⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122×8×lg 322＝1lg 2·lg 24
＝4.
答案：4 三、解答题
8．化简：(1)lg 3＋25lg 9＋3
5
lg 27－lg 3
lg 81－lg 27
；
(2)(lg 5)2
＋lg 2lg 50＋2
1
1+log252
.
解析：(1)方法一 (正用公式)： 原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12
lg 3
4lg 3－3lg 3
＝
⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1＋45＋910－12lg 3lg 3
＝115
. 方法二 (逆用公式)：
原式＝lg ⎝
⎛⎭⎪⎫3×925×2712×35×3－12lg 8127
＝lg 3
115lg 3＝11
5
. (2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＋21
·22log ＝lg 5·(lg 5＋lg 2)＋lg 2＋
25＝1＋2 5.
9．计算：(1)log 1627log 8132； (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)． 解析：(1)log 1627log 8132＝lg 27lg 16×lg 32lg 81
＝lg 33
lg 24×lg 25
lg 34＝
3lg 34lg 2×5lg 24lg 3＝1516. (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋log 32log 39⎝ ⎛⎭⎪⎫log 23log 24＋log 23log 28 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋12log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23 ＝32log 32×56log 23＝54×lg 2lg 3×lg 3lg 2＝5
4
. [尖子生题库]
10．已知2x ＝3y ＝6z
≠1，求证：1x ＋1y ＝1z
.
证明：设2x ＝3y ＝6z
＝k (k ≠1)， ∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ，
∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1
z
＝log k 6＝log k 2＋log k 3，
∴1z ＝1x ＋1y
.。