第十二讲白噪声通过线性系统
通信原理复习题-13通信
13通信工程《通信原理》复习题一、填空1.某四进制系统，4秒钟传输4800个四进制符号，则此系统的传码率R B4=，传信率R b=。
2.模拟调制系统的抗噪声性能主要用来衡量；数字调制系统的抗噪声性能主要用来衡量。
3.AM 调制的可靠性用衡量；DPSK 的可靠性用衡量。
4.某通信系统采用四进制数字序列传输方式，每传输一个码元需T=250×10-6s 时间，其传信率为，码元速率为，若传输了5s ，检测到50个码元误码，其误码率为。
5.八进制数字通信系统的误码率为10-5，系统的传输速率为600b/s ，则接收端在_______h 内能接收到144个错误码元。
6.已知能量信号f(t)的傅氏变换为F(w)，则根据帕塞瓦尔定理可得其能量为E==。
7.设一数字传输系统传送16进制码元，码元传输速率为2400波特，则此时系统的信息传输速率为；如果系统的误码率为10－4，则1小时内错误的码元个数为；如果系统的误比特率为2.5×10-5，则10分钟内错误的比特个数为。
1.1200B ，2400b/s 2.信噪比，误码率 3.信噪比，误码率4.8000，4000，2.5×10-35.206.，7. 9600b/s ， 864 ，21.61.在分析信道时，根据乘性干扰k(t)是否随时间变化，将信道分为_____信道和信道。
2.无失真传输系统的传输函数H 〔w 〕=____ 。
1.恒参，随参 2.3.已知调制信号 ，载波为t π410cos 2，则其DSB信号的表达式为。
4. 将n 路频率X 围为0.3~4KHz 的话音信号用FDM 方法进行传输，若采用AM 调制方式则n 路话音信号的最小传输带宽为，若采用SSB 调制方式则n 路话音信号的最小传输带宽为。
〔不考虑防护频带〕8nKHz ，4nKHz5.已知 ，设调频器灵敏度为 ，试求其已调波功率、载频、最大频偏、已调波带宽、调制信号表达式。
(完整版)随机信号处理考题答案
填空：1.假设连续随机变量的概率分布函数为F（x）则F（-∞）=0, F（+∞）=12.随机过程可以看成是样本函数的集合，也可以看成是随机变量的集合3.如果随机过程X(t)满足任意维概率密度不随时间起点的变化而变化,则称X(t)为严平稳随机过程，如果随机过程X(t)满足均值为常数，自相关函数只与时间差相关则称X(t)为广义平稳随机过程4.如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声,该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关5. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从正态分布,窄带正态噪声的包络服从瑞利分布,而相位服从均匀分布6.分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用的方法是冲激响应法，频谱法7.若实平稳随机过程相关函数为Rx（τ）=25+4/（1+6τ），则其均值为5或-5,方差为4 7.匹配滤波器是输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。
1.广义各态历经过称的信号一定是广义平稳随机信号，反之，广义平稳的随机信号不一定是广义各态历经的随机信号2.具有高斯分布的噪声称为高斯噪声,具有均匀分布的噪声叫均匀噪声,而如果一个随机过程的概率谱密度是常数，则称它为白噪声3.白噪声通过都是带宽的线性系统，输出过程为高斯过程4.平稳高斯过程与确定的信号之和是高斯过程，确定的信号可以认为是该过程的数学期望5.平稳正态随机过程的任意概率密度只由均值和协方差阵确定1.白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。
3.对于严格平稳的随机过程，它的均值与方差是与时间无关的函数，即自相关函数与时间间隔有关，与时间起点无关。
4.冲激响应满足分析线性输出，其均值为_____________________。
5.偶函数的希尔伯特变换是奇函数。
6.窄带随机过程的互相关函数公式为P138。
1.按照时间和状态是连续还是离散的，随机过程可分为四类，这四类是连续时间随机过程，离散型随机过程、随机序列、离散随机序列。
白噪声
I0 ( x ) = ∫
2π
0
1 exp ( − x cos θ ) dθ 2π
p (θ ) = ∫ p ( r,θ ) dr = ∫
0 2 2
∞
∞
0
( r − A cosθ )2 + ( Asin θ )2 r exp − dr 2 2 2πσ 2σ
循环平稳过程
定义
随机过程X(t)的统计平均值和自相关函数是时 间的周期函数，则称为循环平稳随机过程。
• 如：
X (t ) =
n =−∞
∑ a g ( t − nT )
n
∞
E ( an ) = ma , E an an +k = Ra ( k )
*
循环平稳过程的统计特性
期望 E ( X ( t ) ) = m a 自相关
包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布。
窄带平稳高斯过程（零均值）
包络 R ( t ) = nc ( t ) + ns ( t )
2 2
瑞利分布
ns ( t ) 相位 θ ( t ) = arctg nc ( t ) 均匀分布
r2 p ( r ) = 2 exp − 2 σ 2σ r
, r ≥ 0
要求：
会判断过程是否平稳 会求平稳过程的自相关、功率谱密度 会分析与高斯平稳过程相关的一些性质
1 p (θ ) = 2π
证明
因为nc(t),ns(t)是正交的均值为0，方差为 2的高斯随机变 量，因此它们独立（窄带高斯过程的性质），则
2 nc + ns2 p ( nc , ns ) = exp − 2 2 2πσ 2σ ns 令 r = n2 + n2 , θ = arctg c s nc
高斯白噪声平稳过程过线性系统
E
h u
X
t1
u
du
h v X
t 2
v dv
E
v h u h v dvdu
EX
t1
u X
t 2
v h u h v dudv
13
平稳随机过程通过线性系统
RXYt1,t2EXt1Yt2EXt1 Xt2uhudu EXt1Xt2uhudu RXt2t1uhudu RXuhuduRXhRXY
所以，X(t)和Y(t)的互相关函数为：RXYRXh X(t)和Y(t)的互功率谱密度为： PXYPXH
则X1和X2均为期望为0的高斯随机过程
若 1 t与 2 t在 0 ~ T 内正 0 T 交 1 t2 ， td t0 即
则X1和X2不相关且独立。
4
平稳随机过程通过线性系统
设:
X(t)为平稳随机过程,线性系统的单位冲激响应为h(t)， X(t) 通过线性系统后的输出为Y（t）。
高斯白噪声
高斯白噪声的性质:设n（t）为高斯白噪声
1、自相关函数： Rnn20
可见，n(t)只在 0 时才相关，它在任意两个时刻上的随
机变量都是互不相关的
2、数学期望：E[n（t）]=0
3、对高斯随机过程，不相关和独立等价
1
高斯白噪声
Pn(ω)
n0/2
0
ω
(a)
Rn(τ ) n0/2
0
τ
(b)
理想白噪声的功率谱密度和自相关函数
2
随机信号处理笔记之白噪声
随机信号处理笔记之⽩噪声1 随机信号处理笔记：⽩噪声1 随机信号处理笔记：⽩噪声1.1 关于⽩噪声1.1.1 ⽩噪声的概念1.1.2 ⽩噪声的统计学定义1.1.3 ⽩噪声的⾃相关函数1.2 ⽩噪声通过LTI系统1.2.1 限带⽩噪声1.2.1.1 低通⽩噪声1.2.1.2 带通⽩噪声1.3 等效噪声带宽1.3.1 等效原则1.3.2 等效公式引⾔在⼏乎所有的电⼦通信中，都不可避免地会有噪声⼲扰正常的通信质量。
因此对噪声统计特性的研究就显得很重要。
在分析通信系统的抗噪声性能时，常⽤⾼斯⽩噪声作为通信信道的噪声模型。
常见的电⼦热噪声近似为⽩噪声。
本⽂就‘⽩噪声’统计特性及其通过线性时不变系统的输出特性做简要总结。
1.1 关于⽩噪声1.1.1 ⽩噪声的概念“⽩噪声”，Additive White Gaussian Noise(AWGN)，符合⾼斯分布。
“⽩”的概念来⾃于光学，和⽩光的“⽩”是同⼀个意思，指的是包含所有频率分量的噪声，且这所有的频率分量是等值的。
1.1.2 ⽩噪声的统计学定义如果⽩噪声的功率谱密度在所有频率上都是⼀个常数：其中，；，。
则称该噪声为⽩噪声。
⽩噪声的单边功率谱密度：其中，；，。
1.1.3 ⽩噪声的⾃相关函数根据维纳-⾟钦定理，平稳随机过程的功率谱密度函数和⾃相关函数是傅⾥叶变换对。
⽩噪声的⾃相关函数：对于所有的，都有，说明⽩噪声仅在时刻才是相关的，⽽在其他时刻（）的随机变量都是不相关的。
⽩噪声的平均功率：因此真正“⽩”的噪声是不存在的。
实际⼯程应⽤中，只要噪声的功率谱密度均匀分布的频率范围远⼤于通信系统的⼯作频带（3dB带宽），就可将其视作⽩噪声。
1.2 ⽩噪声通过LTI系统尽管⽩噪声是具有均匀功率谱的平稳随机过程，当它通过线性系统后，其输出端的噪声功率就不再均匀。
假设⽩噪声的功率谱密度，系统传函是，则LTI系统输出端的噪声功率谱密度函数为：由于LTI系统的传输函数，不是“⽩”的。
第二章(4-1)噪声
2 I n,D 2 gm Zi 2
则
2 In =
( g m RL ) 2 Z i
2
不考虑 负载噪声
2 In =
相关的 Vn2 和 I n2 是相关的
2.3 噪声系数 2.3.1 噪声系数定义
F= SNRi P / Ni = i SNRo Po / N o
S I = 2qI 0
Vn2,rbb′ = 4kTrbb′ B
2.2.3 场效应管的噪声
1. 沟道电阻热噪声 —— S I = 4kTλg d 0 2. 噪声等效电路 I n , D = 4kTλg d 0 B 3. 闪烁噪声 ——
1 f
噪声 SV =
K 1 WLC OX f
2.2.4 电抗元件的噪声
2 n f1
f2
I n2 : 白噪声 S ( f ) 是常数 I n2 = ∫ S I ( f )d f = S I ∫ df = S I ( f 2 − f1 ) （3）等效噪声带宽 噪声通过线性系统 噪声通过线性系统
f1 f1
f2
f2
输入功率谱密度 输入功率谱密度 系统传递函数 系统传递函数
电抗元件的噪声来源于它的损耗电阻——热噪声 热噪声 电抗元件的噪声来源于它的损耗电阻
2.2. 两端口网络的等效输入噪声源 .2.5 .2. 串联噪声电压源 串联噪声电压源 Vn2 噪声 并联噪声 噪声电流源 2 并联噪声电流源 I n
等效
求法： 求法：
Vn2
2 In
输入端短路， 输入端短路，将有噪网络的输出噪声功率等效到输入端的值 短路 输入端开路， 输入端开路，将有噪网络的输出噪声功率等效到输入端的值 开路
北京理工大学随机信号分析实验报告
北京理工大学随机信号分析实验报告本科实验报告实验名称：随机信号分析实验实验一随机序列的产生及数字特征估计一、实验目的1、学习和掌握随机数的产生方法。
2、实现随机序列的数字特征估计。
二、实验原理1、随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。
进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。
在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。
伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。
伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。
(0，1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。
(0，1)均匀分布指的是在[0，1]区间上的均匀分布，即 U(0，1)。
实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0，1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：)(m od ,110N ky y y n n -=Ny x n n /=序列{}nx 为产生的(0，1)均匀分布随机数。
下面给出了上式的3组常用参数： 1、10N 10,k 7==，周期7510≈⨯；2、（IBM 随机数发生器）3116N 2,k 23,==+周期8510≈⨯；3、（ran0）315N 21,k 7,=-=周期9210≈⨯；由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。
定理 1.1 若随机变量 X 具有连续分布函数F X (x)，而R 为(0,1)均匀分布随机变量，则有)(1R F X x -=由这一定理可知，分布函数为F X (x)的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按上式进行变换得到。
2、MATLAB 中产生随机序列的函数（1）(0，1)均匀分布的随机序列函数：rand用法：x = rand(m,n)功能：产生m×n 的均匀分布随机数矩阵。
白噪声
2Ar cos 2 2
A2
J
r
2
2
exp
r2
A2
2Ar
2 2
cos
p r
0
p r, d
r
2
exp
r2 A2
2 2
0
1
2
exp
Ar cos 2
d
r
2
exp
r2
2
A2
2
I0
Ar
2
其中，I0(x)称为零阶修正贝塞尔函数(Bessel)
I0
x
2
0
1
2
exp x cos
p
r,
1
2
2
exp
r2
2 2
|
J
|
|J|为Jacobian行列式
因此
nc
| J | r nc
ns
r cos ns r sin
sin
r
r cos
p r,
r2ຫໍສະໝຸດ 2er2 2 2
则
p r
2
p
0
r,
d
r
2
r2
e 2 2
p
0
p
r,
dr
1
2
p r, p r p
结论
窄带高斯过程（零均值）的正交分量、同 相分量正交
exp
A2 cos2
2 2
2
A cos
Q
A
cos
1
2
exp
A2
2 2
1
2
A cos
Q
A cos
exp
A2 sin2
北大随机信号分析基础课件3.2白噪声通过线性系统的分析与等效噪声带宽
3.2 白噪声通过线性系统的分析与等效噪声带宽3.2.1 白噪声通过线性系统设线性系统的传输函数为)(ωH ，输入白噪声功率谱密度为2)(0N S X =ω，那么系统输出的功率谱密度为2)()(02N H S Y ωω=上述分析表明，若输入信号是白噪声，则输出随机信号的功率谱主要是由系统的幅频特性)(ωH 决定；系统只允许与其频率特性一致的频率分量通过，具有一定的选择性。
输出自相关函数为：ωωπωωπτωτωτd e H N d e N H R j j Y ⎰⎰∞∞-∞∞-==2002)(42)(21)(输出平均功率为：ωωπd H N R t Y E Y ⎰∞∞-==202)(4)0()]([3.2.2 等效噪声带宽若在保持平均功率)0(Y R 不变的条件下，把输出功率谱密度等效成一定带宽内为均匀的功率谱密度。
若等效的功率谱密度的高度为2)0(H ，则这个带宽就定义为等效噪声带宽e ω∆。
1．对于低通系统，用等效噪声带宽e ω∆表示的等效功率传输函数为：ee e H H ωωωωω∆>∆≤=)0()(22等效后系统输出的平均功率为：2020)0(2)(221)0(H N d H N R e e Y πωωωπ∆==⎰∞∞- 已知ωωπd H N R Y ⎰∞∞-=2)(4)0(可得ωωωωωππωd H H d H N H N e e ⎰⎰∞∞-∞∞-=∆=∆222020)0()(21)(4)0(2又2)(ωH 是偶函数，有ωωωd H H e ⎰∞=∆022)0()(2．若系统是以0ω为中心频率的带通系统，且功率传输函数单峰的峰值发生在20)(ωH 处。
用等效噪声带宽e ω∆表示的等效功率传输函数为：其它022)()(00202ee e H H ωωωωωωω∆+<<∆-=等效后系统输出的平均功率为：20020)(2)(221)0(ωπωωωπH N d H N R e e Y ∆==⎰∞∞- 已知等效前系统输出的平均功率为：ωωπωωπd H N d H N R Y ⎰⎰∞∞∞-=02020)(2)(4)0(＝ 则有ωωωωωπωωωπd H H H N d H Ne e ⎰⎰∞∞=∆∆=0202200020)()()(2)(2等效噪声带宽是用来描述系统对信号频率的选择性，并且只与系统参量有关。
白噪声通过线性系统和等效噪声带宽PPT课件
(
2
sin( ) ) 2 d
1
0
2f
2
sin(ax) dx a 0
0x
2
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结论
✓ 功率谱的带宽变窄，由输入白噪声的频带无限宽变为输
出随机信号带宽为 2。
✓ 平均功率由输入端无限大变为输出端有限，且与系统带
宽 f 成正比。
✓ 相关性由输入端不相关变为输出端相关。
5 线性系统输出的概率分布
线性系统输出端随机信号的概率分布
难
①系统输入为高斯随机过程，则输出也为高斯随机过程 ②系统输入为非高斯过程，其等效带宽远大于系统带宽，则输出为高斯过程
为什么上述两种 情况下成立?
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线性系统输入为高斯过程，则该系统输出仍为高斯过程。
Y (n) h(k)X (n k) h(n k)X (k)
k 0
k 0
输入 X (k)是高斯序列，在 k 时刻，X (k)是一个高斯变 量，那么上式是 k 维高斯变量的线性组合( k 趋于无穷大)。 由高斯变量的性质可知，k 维高斯变量组合仍为高斯分布， 因此输出 Y (n) 也是高斯分布。
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若系统输入的平稳随机过程为非高斯分布，只要输 入过程的等效噪声带宽(功率谱带宽)远大于系统带宽时， 则系统输出接近于高斯分布的随机过程。
2
2 2
e4
N0 A2
4
exp
2 2
e
j (0
)
d
N0 A2 e j0
4
exp
2 2
e
白噪声驱动的线性系统动态特性测量方法
Ａ ｅ ｈ ｄ ｆ ｒＭ ｅ ｓ ｒｎ ｈ ｎ ｍ ｉ ａ ａ ｔ ｒｓ ｉ ｓｏ Ｍ ｔ ｏ ｏ ａ ｕ ｉ ｇ ｔ ｅ Ｄｙ ａ ｃ Ｃｈ ｒ ｃ ｅ ｉｔｃ ｆ ａ Ｗ ｈｉ — ｏ ｓ ｔｍｕ ａ ｅ ｉ ｅ ｒＳ ｓ ｅ ｔ ｎ ｉｅ Ｓ ｉ ｌ ｔｄ Ｌ ｎ ａ ｙ ｔ ｍ ｅ
１ 引言
线性系统的动态 特性 测量方 法有 时域 和频 域两种 ＿ 。 １ ｊ
时域法一般用方波激励 系统 ， 统 的动 态特 性表 述为上 升 系 时间 、 超调量等 。然而 待测 系统 的容性 成分 可能 产生 大 的 瞬态响应 ， 出系统的线性 范围 ， 超 引起饱 和 。频域法 一般用 正 弦波进行激励 ， 系统 的动态特性表 述为频率 响应 ， 即增 益
Ｌ Ｕ０ ｉ ＱＵ ｌ ｎ Ｊｅ Ａｎ ｉ ａ
（ Ｈｕａ ｈ ｎｇＵ ｎｖ ｒ ｉ ｆＳ ｉｎｃ ｎ ｃ ｎ ｏｇ ｚ ｏ ｉｅ ｓｔ ｏ ｃｅ ｅａ ｄ Ｔｅ ｈ ｏｌ ｙ，Ｗ ｕ ａ ４ ０ ７ ） ｙ ｈｎ ３ ０ ４
Ａｂ ｔａｃ Ｔｈｅｉ ｕ ｓ ｅ ｐ ｎ ｅｒ ｆｅ ｔ ｈ ｎ ｅｎａ ｎａ ｉ ｈ ｒｃｅ ｉｔｃ ｆａｌ ｅ ｒｓ ｓｅｒ Ｔｈｅｔ ｅｄ ｍａｎ ｃｏ ｓｃ ｒｅａ ｉｎ ｔｃ ｓｒ ｔ ｍｐ ｌｅｒ ｓ ｏ ｓ ｅｌｃｓｔ ｅｉｔｒ ｌ ｄｙ ｍ ｃｃ ａａ ｔｒｓｉｓｏ ｉ ａ ｙ ｔｒ￣ ｎ ｉ ｏ ｉ ｒ ｓ—ｏ ｒ ｌｔｏ ｅｈ— ｍ ｎｑ ｏｒｉｅ ｉｙｎ ｈ ｐ ｌｅｒ ｓ ｏ ｓ ｆａｌ ｅ ｒｓ ｓｅ ｓｉｔｏ ｕ ｅ ．Ｗ ｈｔ ｏｓ ｓｄ ｔ ｔｍｕａ ｅｔ ｅｕ ｋ ｏ ｙ ｔｍ ，ｗｈｃ ｉｕｅｆ ｄ ｎｔ ｉｇｔ ｅｉ ｕｓ ｅ ｐ ｎ ｅｏ ｉ ａ ｙ ｔｍ ｗａ ｎ ｒ ｄ ｃ ｄ ｆ ｍ ｎ ｉｅｎ ｉｅｉ ｕ ｅ ｏｓｉ ｌｔ ｈ ｎ ｎ ｗｎｓ ｓｅ ｓ ｉｈ，ｉ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ。ｉ ｑ ｖ ｌｎ ｏ ａｔ ｅｓ ｒｅ ｈｓｃ ｓ ｓｅ ｕｉａｅ ｔｔ ｉ ｅｉｓＡＲＭ Ａ ｄ １ ｍ ｍｏ ｅ．Ｍ Ａ ｄ ¨ ｓｓ ｉａ ｌ ｏｄｅｃ ｉｅｔ ｅｕ ｋｎ ｗｎ ｓ ｔｍ 。ｂ ｃ ｕｓ ｈ ｏ ｆｉｉｎｓｏ ｈ ｍｏ ｅ ｕ ｔｂ ｅｔ ｓ ｒｂ ｈ ｎ ｏ ｙｓｅ ｅ ａ ｅｔ ｅｃ ｅ ｃｅ ｔ ｆｔ ｅ ｍｏ ｅ ｑ ａ ｏｔ ｅｖ ｌ ｅ ｆ ｈ ｉｃｅｅｉ ｕ ｓ ｅｐｏ ｅｓｑ ｅ ｃ ．Ａｎ ｏ ｔｍ ａ ｒ ｂｅ ｉ ｏ ｓｒ ｃｅ ｏｓ ｌｅｔ ｅｉ ｎ ｉｉａｉｎ ｐ ｏ ｌｍ ｎ ｄ ｌｅ ｕ ｌｔ ｈ ａｕ ｓｏ ｅｄｓ ｒｔ ｍｐ ｌｅｒｓ ｎｓ ｅ ｕ ｎ ｅ ｔ ｐ ｉ ｌｐ ｏ ｌｍ ｃ ｎ ｔｕ ｔｄｔ ｏｖ ｈ ｓ ｄｅ ｔｆｃ ｔ ｒ ｂｅ ａ ｄ ｏ ｔ ｅ Ｌｅ ｓ ｑ ａ ｅｃ ｉｅｉｎ ｉ ｓ ｄ，ｙｅｄｎ ｙ ｈ ａ ｔＳ ｕ ｒ ｒｔｒｏ ｓｕ ｅ ｉｌｉｇａｓ ｍｍ ｅｒｃＴｏ ｐｉｚｍ ａｒｘ ｅ ｕ ｔｏ ｔｉ ｅ ｌ ｔｉ ｑ ａ ｉｎ，ｗｈｃ ｓｔ ｅ ｏ ｖ ｄｗｉｈｔ ｅｒ ｃ ｒｉｅＬｅ ｉ ｓ ｎ Ｄｕ ｂｉ ｌ ｔ ｉｈｉ ｈ ｎｓ ｌ ｅ ｔ ｈ ｅ ｕ ｓｖ ｖｎ ｏ － ｒ ｎａ— ｇ ｒｔ ｏ ｉｈｍ． Ｉ ｈ ｎ ｎ ｔ ｅｅ ｄ，ａ ｘ ｍ ｐｅｏ ｈ ａ ｕ ｅ ｎｔｉ ｒ ｖｄ ｄ Ｔｈ ｅ ｕｔｓ ｏ ｈ ｉ ｏ ｉ ｒ ｓ—ｏ ｒ ｌｔｏ ｅ ｈ ｉｕｅｃｎ ｂ ｅ ｎ ｅ ａ ｌ ｆｔ ｅｍｅ ｓ ｒ ｍｅ ｓｐ ｏ ｉｅ ． ｅｒ ｓ ｌ ｈ ｗｓｔ ｅｔｍｅｄ ｍａｎ ｃｏ ｓｃ ｒｅａｉｎ ｔ ｃ ｎｑ ａ ｅｕｓｄ ｔ ｓｉ ａｅｔ ｅｉ ｐ ｌｅｒ ｓ ｏ ｓ ｆａ １ ｅ ｒｓ ｓｅ ｏ ｅ ｔ ｔ ｈ ｍ ｍ ｕｓ ｅ ｐ ｎ ｅｏ ｉ ａ ｙ ｔｍ． ｎ Ｋ ｏｒ ｓ ｗｈｔ ｏｓ ，ｉ ｕｓ ｅ ｐ ｎ ｅ，ｃ ｏ ｓｃ ｒｅａｉｎ ｔ ｃ ｎ ｑ ，ｓ ｓｅ ｉｅ ｔｆｃ ｔ ｎ，ＡＭ ＲＡ ｏ ｅ ａｙ Ｗ ｄ ｉｅｎ ｉｅ ｍｐ ｌｅｒｓ ｏ ｓ ｒ ｓ－ｏ ｒ ｌｔｏ ｅ ｈ ｉｕｅ ｙ ｔ ｍ ｎ ｉｉａｉ ｄ ｏ ｍ ｄｌ Ｃｌｓ ａ ｓ ＮｕＴｂｅ ＴＰ１ ’ ｒ ３
第十二讲白噪声通过线性系统
n
i
17
2、随机过程正态化
中心极限定理：
大量独立同分布的随机变量之和，其分布是趋于正态的。
Y t lim
max i 0 i 1 n
X ht
i i
n
i
白噪声通过有限带宽线性系统
宽带随机信号通过窄带线性系统 一般当输入信号的带宽为系统带宽的7—10倍，
输出信号的功率谱 2 N0 GY ( ) H ( ) 2
( ) h( )d
FY () N0 H ()
输出平均功率
2
色 噪 声
RY ( )
N0 h( ) * h( ) 2
h( )
2 R XY ( ) N0
N0 2 WY H ( ) d RY (0) 2 0
4
第十二讲
主要内容： 白噪声通过线性系统的特性分析 等效噪声带宽
5
为什么研究白噪声通过线性系统
1、由于白噪声在数学上有很好的性质，利用白噪声作 为实际噪声的模型，任何随机信号与白噪声结合都会使 分析简单化。 2、任何一个平稳随机信号都可以看作是白噪声通过某 个线性系统的输出，要研究平稳随机信号的统计特性，
•均值
mY (t ) mX (t ) * h(t )
mY m X h( )d m X H (0)
若X(t)平稳
1
随机信号通过线性系统输入输出相关函数关系
R X (t1 , t 2 )
RXY (t1 , t 2 )
h (t 2 )
h ( t1 )
RY (t1 , t 2 )
1 相关函数： RY ( ) 2
1 0 2GY () cos( )d 2 2 sin N 0 K 0 2 4 2
高斯白噪声经过线性系统后等效带宽特性研究
高斯白噪声经过线性系统后等效带宽特性研究高斯白噪声经过线性系统后等效带宽特性研究朱春华;杨静;师黎明;李广平【期刊名称】《电视技术》【年(卷),期】2012(036)011【摘要】以随机信号经过线性系统理论为基础,研究了加性高斯白噪声经过滤波器后的带宽特性、等效带宽特性以及两者的关系,推导了以低通滤波器为例的线性系统的带宽和等效带宽公式.分析结果表明,等效带宽是说明线性系统滤波能力的一个重要参数,简单的使用带宽参数代替噪声等效带宽参数将使线性系统输出噪声功率的计算值增加,从而导致系统输出信噪比偏低,影响系统抗噪或滤波性能的评价.%Based on the theory on random signal through linear system, the bandwidth and equivalent bandwidth characteristics of additive white Gaussian noise through the filter system and their relations are researched. The bandwidth and equivalent bandwidth equations of the linear system are derived in case of lower pass filter. The analysis shows that the equivalent bandwidth parameter is a representative index of linear system filtering ability, the replacement of the equivalent bandwidth parameter by the bandwidth parameter for simplification will make linear system output noise power calculation value increased, which leads to the system output signal to noise ratio(SNR) smaller, thereby affects the system anti - noise or filtering performance evaluation.【总页数】3页(93-95)。
a、白噪声通过理想低通线性系统
图10.1
定义线性系统：如果系统的输入之间和响应 等于各输入响应之和，则称这个系统是线性 系统。简言这，若系统满足叠加原理，则系 统是线性系统，而此时的L为线性算子。线性 系统的数学表达式为：
na n Y (t ) L k xk (t ) k L [ xk (t )] k 1 k 1
RY (t , t ) E [Y (t )]
E h( 1 ) h( 2 ) X (t 1 )X (t 2 ) d 1d 2 E h( 1 ) h( 2 ) X (t 1 ) X (t 1 )d 1d 2
8
y (t )
x( ) h(t , )d
②线性时不变系统 定义线性时不变系统：若对任意常数 ，有
y (t ，简称线性不 变系统。通俗地讲就是输入信号X(t)发生一个 时移，使输出Y(t)也只引起一个相同的时移。
3. 线性时不变系统输出信号的付氏变换
对于一个线性不变系统， x(t ), h(t ), y(t ) 设其相应的 付氏变换为 X (), H ( ), Y ()，则
将
Y () y (t )e dt y (t ) x ( )h(t ) d e jt dt
显然当过程的每一个样本函数通过时不变系 统时，可表示为
y1 (t ) h ( ) x1 (t ) d
yn (t )
h ( ) xn (t ) d
此时系统的输出可表示为 Y (t ) { y1 (t ),}, yn (t ), 即系统的输入与输出可表示为
白噪声通过
实验 8 白噪声通过 LTI 的仿真
1、实验目的
了解白噪声通过 LTI 系统的原理与处理方法，学会运用 Matlab 函数对随机过程进行均 值、相关函数和功率谱的估计,并且通过实验分析理论分析与实验结果之间的差异。
对应的功率谱，
Py (ω)=来自Px (ω)H (e jω )
2
=
1−
1 2a cosω
+
a2
在这里，由于 Px (ω) = Rx (e jω ) = 1 ，a=0.95，可以算出输出信号的方差为，
∫ σ
2 y
=
ry
(0)
=
1 2π
π −π
Ry
(e
jω
)dω
可以用留数法简单计算出来。
下面对输入输出信号的均值、方差、相关函数及功率谱密度分别进行讨论。
结果为：
４６
0
实际值
-1
理论曲线
-2
-3
-4
Bd) -5 wy( -6 G
-7
-8
-9
-10 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 f (Hz)
从结果上可以看出来，两者存在着比较大的差距，这是由于输入随机序列的功率谱并不 是常数的缘故，也就是输入不是严格的白噪声，所以会出现波动。当随着数据值的增加，拟 合的程度会有所改善。
b=[1];a=[1,-0.5]; % 设置滤波器的参数，b 为分子系数，a 为分母系数 h=impz(b,a,20); % 得到这个系统的冲激响应，就是题设中的 h（n）
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N0K02 4
sin 2
2
9
RY(t)
0
RY()
N0K02 4
sin
2
2
输出功率：
Y2RY(0)N0K402
相关系数：
sin
Y ( )
2
t
2
相关时间：
0
sin2 0
d
2 1 2 2f
2
输出随机过程的相关时间与 系统的带宽成反比
10
• 白噪声通过理想带通系统
带通滤波器的频响函数：
14
2、等效噪声带宽
用噪声衡量的系统带宽
FY () e
FY(0)e0FY()d
实际系统的输出功率
FY (0)
RY(0)21 0FY()d
0
0
N0 H()2d
2 0
理想系统的输出功率
等效原则：理想系统的增益为实际系统的
最大增益。 H() H(0)
理想系统与实际系统在同一白噪声激励下， 两个系统的输出平均功率相等
7
1、白噪声通过线性系统的特征分析
频域
GX ()
N0 2
GXY()H()
N0 2
输出信号的功率谱
GY()
H()2
N0 2
色
噪
FY()N0H()2 声
输出平均功率
W YN 200 H()2dRY(0)
时域
RX()
N0()
2
R X(Y ) N 2 0( )h ()d N 2 0h ()
RY()N20h()*h()
第十二讲白噪声通过线性系
第五章 随机过程通过线性系统
输出的时域统计特性
•均值 若X(t)平稳
m Y(t)m X(t)*h(t)
mY mX
h( )d
mX H(0)
2
随机信号通过线性系统输入输出相关函数关系
RX (t1, t2 )
RX (t1, t2 )
平稳情况
h(t2 ) h(t1 )
RXY (t1, t2 )
16
性质： (1)等效噪声带宽只由线性系统特性确定；
(2)对于带通系统，输出平均功率 RY(0)N021eH(0)2
对于低通系统，输出平均功率 RY(0)N021H(0)2
(3)当线性系统的形式及级数确定后，噪声等效带宽 与3dB带宽有确定关系，级数越高，两者越接近。
17
输出随机过程的概率分布 在设计信号检测系统时，往往希望获得输出信号的 概率分布，但是只有在特殊情况下，才能确定输出 的分布 1 、线性系统的输入过程是高斯过程，可确定输出 过程，为高斯分布
相关函数： RY()N20K02e242 cos0
输出功率： Y2 RY(0)N20K02
13
0.3 0.2 0.1
0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
相关系数： 相关时间：
22
Y()e 4 cos0
22
0 0 e
4
d
参量正比与系统带宽，故相关时间与反比。
1
RY(0)2
0FY(0)d
N0
2
e
H(0)
2
15
FY(0)e0FY()d
•对于带通系统
e
0FY()d FY(0)
H()2d
0
H(0)2
•低通
e
0FY()d
FY(0)
H()2d
0 H(0)2
系统等效的噪声带宽能反映系统输出的噪声功率， 通常作为比较线性系统性能的判据（如信噪比）。 仅用 e 和 H (0) 就可以描述复杂的线性系统及其 噪声响应
h()
2 N0
RXY()
1、用于系统辨识（P90，95）
2、色噪声（平稳过程）的产生 8
•白噪声通过理想低通系统
|H()| K0
-/2
/2
|H ()| K 00
/2 /2
other
输出物理谱（频域特征）：
FY()N0H()2 N0K0 2 0/2
0
other
相关函数： R Y () 2 1 0 2 G Y ( )c o)d s (2 1 0 F Y ( )c o)d s (
自相关函数：
H()K0
0
02oth0er2w iseRY()2N0K 402
H ()
s
in
2
cos0
2
包络： a( )
2
2
2
2
输出信号的功率谱
计算任一高频带通滤波器的
FY()K02N0 0202 输出相关函数，先用等效低
0
otherwise频系统代替，在乘上 cos(0)11
• 白噪声通过理想带通系统
RY()2N0K 402
s
in
2
cos0
2
输出的平均功率
相关系数
用相关系数的Βιβλιοθήκη 络（慢变化）定义输出过程的相关时间：
0
sin2 0
d
1 2f
2
与低通滤波器输出过程的相关时间定义相同
12
•白噪声通过高斯型带通系统
H ()
K0
|H()|K0ex p(220)2
0
0
输出功率谱： F Y()N 0H ()2N 0K 0 2ex p ( 20)2
Y t t X h td m l ia i 0 x m i n 0X ih ti i
18
2、随机过程正态化 中心极限定理： 大量独立同分布的随机变量之和，其分布是趋于正态的。
n
Yt lim maxi0i1
GY()H()2GX()
4
两个随机过程之和通过线性系统
X(t)X 1(t)X 2(t)
Y(t)Y1(t)Y2(t)
RX () GX()
RY () GY ()
若两个输入不相关
h()*h()
R X () R X 1 () R X 2 () 2 m X 1 m X 2
H ( ) 2
G X () G X 1 () G X 2 () 4 m X 1 m X 2()
6
为什么研究白噪声通过线性系统
1、由于白噪声在数学上有很好的性质，利用白噪声作 为实际噪声的模型，任何随机信号与白噪声结合都会使
分析简单化。
2、任何一个平稳随机信号都可以看作是白噪声通过某 个线性系统的输出，要研究平稳随机信号的统计特性， 可以通过对白噪声通过系统的输出进行分析来实现
3、研究白噪声通过系统的输出来衡量系统性能
RY () GY ()
G
若两个输入任一个零均值
R X()R X 1()R X 2() h()*h() R Y()R Y 1()R Y2()
G X()G X 1()G X 2() H ( ) 2 G Y()G Y 1()G Y 2()
5
第十二讲 主要内容： 白噪声通过线性系统的特性分析 等效噪声带宽
h(t1 )
RYX (t1, t2 )
h(t2 )
RX ( )
h( )
RRYXYX(()
h( )
RX ( )
RRYXX(tY1,(t2))
h( )
h( )
RY (t1,t2 ) RY (t1,t2 ) RY ( ) RY ( )
3
输出的频域统计特性
G X( Y )G X()H ()
G Y( X )G X()H ( )