北师大版八年级实数复习培优教案
北师大版八年级上册 第二章 实数 复习教案
第二章实数复习教案教学目的知识与技能:1.掌握平方根和立方根的概念,并能求出某些数的平方根和立方根.2.掌握估算的方法,在解决实际问题中,能用计算器进展近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.3.掌握实数的概念和意义,理解实数的分类,并能运用运算律进展实数的相关运算.4.理解二次根式、最简二次根式的概念,理解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法那么,会用它们进展有关的简单四那么运算.过程与方法:1.体验从详细情境中抽象出数学符号的过程,理解实数.2.经历数系扩大、探务实数性质及其运算规律、借助计算器探究数学规律等活动过程.3.理解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,能务实数的相反数与绝对值.4.理解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进展近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.情感态度与价值观:1.开展抽象概括才能,并在活动中进一步开展学生独立考虑、合作交流的意识和才能.2.能运用实数的运算解决简单的实际问题,进步应用意识,开展解决问题的才能,从中体会数学的应用价值.教学重难点【重点】1.实数的概念和意义.2.会用计算器求平方根和立方根,并能探究一些有趣的数学规律.3.能对带根号的数进展化简,并能利用化简进展有关实数的简单四那么运算.4.能运用实数的运算解决简单的实际问题.【难点】1.无理数概念的理解及应用.2.解决与实数有关的实际问题时的思维转化.3.运算性质的掌握与应用. 知识总结 实数分为:{实数分类{ 有理数{整数分数无理数{正无理数负无理数平方根{定义:如果一个数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个数x 叫做a 的平方根表示:若x 2=a ,则x =±√a 算术平方根:若x 2=a ,则a 的算术平方根为√a 立方根{定义:如果一个数x 的立方等于a ,即x 3=a ,那么这个数x 叫做a 的立方根表示:若x 3=a ,则x =√a 3二次根式{定义:形如√a (a ≥0)的式子叫做二次根式最简二次根式:被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式重要性质{(√a )2=a (a ≥0)√a 2=|a |(√a 3)3=a√a 33=a 积、商的算术平方根的性质及二次根式的乘、除法法则{√ab =√a ·√b (a ≥0,b ≥0)√a b =√a √b(a ≥0,b >0)√a ·√b =√ab (a ≥0,b ≥0)√a √a=√a a (a ≥0,a >0)专题讲座:专题一 实数的相关概念、性质和运算【专题分析】有理数和无理数统称为实数,在有理数范围内的运算法那么和运算律,以及倒数、绝对值、相反数等在实数范围内仍然成立,明确平方根和立方根的含义.无理数和有理数一样,是初中数学学习乃至今后进一步学习的根底.实数是中学数学的重要根底,很多数学问题都是借助实数解决的,在中考中占有重要的地位.以下各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?√23,√53,3.14159265,√9,-π,√3-1,(-√5)2,3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).〔解析〕 整数和分数统称为有理数,无限不循环小数是无理数. 解:3.14159265,√9,(-√5)2是有理数.√23,√53,-π,√3-1,3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无理数.[知识总结] 此题考察有理数和无理数的概念.整数和分数统称为有理数,这是有理数的判断方法.无理数是无限不循环小数,这是无理数的判断方法.而无限不循环小数主要有以下几种:①开方开不尽的方根;②含π的数;③是无限小数且不循环.[易错提示] (-√5)2=5,是有理数,不是无理数.【针对训练1】 以下各数-13,√13,43π,√-0.0013,(√2)2中,是无理数的是 .〔解析〕 根据无理数的定义判断.故填 √13,43π.[解题策略] 判断是不是无理数时,不要只看外表形式,如√-0.0013=-0.1,(√2)2=2都是有理数.计算.(1) √110-√40; (2) 5√12-9 √13+12√48.〔解析〕 此题主要考察实数的运算法那么及二次根式的化简. 解:(1) √110-√40=√10-√4·√10=√1010-2√10=-19√1010.(2)5√12-9√13+12√48=5√4·√3-9√3+12√16·√3=10√3-9·√33+2√3=10√3-3√3+2√3=9√3. 【针对训练2】 (1)a ,b 满足√a -2+|b +3|=0,求(a +b )2021的值; (2)y =√2x -4-2√4-2x +3,求x y 的值.解:(1)∵√a -2≥0,|b +3|≥0,且√a -2+|b +3|=0,∴√a -2=0,|b +3|=0,∴a =2,b =-3,∴(a +b )2021=(2-3)2021=(-1)2021=-1.(2)∵2x-4≥0,4-2x ≥0,∴2x-4=4-2x =0,∴x =2,∴y =0-0+3=3,∴x y =23=8.[解题策略] 运用算术平方根的双重非负性解决此题,这也是本章的难点之一.【针对训练3】 ΔABC 中,AB =17,AC =10,BC 边上的高AD =8,那么边BC 的长为多少?〔解析〕 分ΔABC 是锐角三角形和钝角三角形两种情况.解:如图(1)所示,当ΔABC为锐角三角形时,易求BD=15,DC=6,从而求得BC=15+6=21.如图(2)所示,当ΔABC为钝角三角形时,易求BD=15,DC=6,从而求得BC=15-6=9.[知识总结]此题是关于运用实数相关知识解决三角形中线段长度的问题.其易错点是ΔABC的形状有两种情况,学生容易忽略钝角三角形的情况.通过此题意在进步学生运用分类讨论的思想解决数学问题的才能.专题二与二次根式有关的规律探究题【专题分析】二次根式在形式上有自己的特殊性,由于这种规律性,出题往往根据它来设计题目.在近年的中考中,逐渐关注此类的规律探究题.在解决此类题目时,通过条件,找准式子和序号之间的关系,从而确定二次根式的规律.1,√2,√3,√6按如下图的方式排列.假设规定(m,n)表示第m排从左到右第n个数,那么(4,2)与(21,2)表示的两数之积是()A.1B.2C.2√3D.6〔解析〕 假设将上述数阵从左到右,从上到下排成一排,得到由1,√2,√3,√6这四个数循环排列的数列,那么(m , n ) 是第(1+m -1)(m -1)2+n =m (m -1)2+n 个数,即 (4, 2) 是第4×(4-1)2+2=8 个数,8÷4=2,故 (4, 2)表示的数是 √6.(21, 2) 是第21×(21-1)2+2=212 个数,212÷4=53,所以 (21, 2)表示的数是√6,所以 (4,2)与(21,2)表示的两数之积是6.应选D .【针对训练4】 观察以下各式及其验证过程,然后答复后面的问题.√2+23=2√23,验证:√2+23=√83=√22×23=2√23;√3+38=3√38,验证:√3+38=√278=√32×38=3 √38.(1)按照上述两个等式及其验证过程,猜测√4+415的变形结果并进展验证;(2)针对上述各式反映的规律,写出用a (a 为任意自然数,且a ≥2)表示的等式,并给出验证.〔解析〕 (1)通过观察,不难发现:等式左边的被开方数是两个数相加,两个加数分别是右边根号外的数和根号内的数.(2)根据上述变形过程的规律,即可推广到一般.表示等式时,注意等式右边根号外的数和根号内的分子一样,根号内的分母是分子的平方减去1.解:(1) √4+415=4 √415.验证如下:√4+415= √6415= √42×415= 4 √415.(2) √n +nn 2-1=n √nn 2-1.验证如下: √n +n n 2-1=√n (n 2-1)+nn 2-1=√n 3n 2-1=n √nn 2-1.阅读材料:小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2√2=(1+√2)2,擅长考虑的小明进展了以下探究:设a +b √2=(m +n √2)2(其中a ,b ,m ,n 均为正整数),那么有a +b √2=m 2+2n 2+2mn √2,∴a =m 2+2n 2,b =2mn.这样小明就找到了一种把局部形如a +b √2的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探究并解决以下问题:(1)当a ,b ,m ,n 均为正整数时,假设a +b √3=(m +n √3)2,用含m ,n 的式子分别表示a ,b ,那么a = ,b = ;(2)利用所探究的结论,找一组正整数a ,b ,m ,n 填空: + √3=( + √3)2;(3)a +4√3=(m +n √3)2,且a ,m ,n 均为正整数,求a 的值. 〔解析〕 (1)根据完全平方公式运算法那么,即可得出a ,b 的表达式.∵a +b √3=(m +n √3)2,∴a +b √3=m 2+3n 2+2mn √3,∴a =m 2+3n 2,b =2mn.(2)首先确定好m ,n 的正整数值,然后根据(1)的结论即可求出a ,b 的值.设m =1,n =1,那么a=m2+3n2=4,b=2mn=2.(3)根据题意,4=2mn,首先确定m,n的值,通过分析得m=2,n=1或m=1,n=2,然后即可确定a的值.解:(1)m2+3n22mn(2)421 1(3)由题意,得a=m2+3n2,b=2mn,∵4=2mn,且m,n为正整数,∴m=2,n=1或m=1,n=2,∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13.【针对训练5】研究以下算式,你发现有什么规律?√1×3+1=√4=2;√2×4+1=√9=3;√3×5+1=√16=4;√4×6+1=√25=5……请你找出规律,并用含字母的等式表示出来.解:√n(n+2)+1=√(n+1)2=n+1(n为正整数).【针对训练6】先观察以下等式,再答复以下问题:①√1+112+122=1+11-11+1=112;②√1+122+132=1+12-12+1=116;③√1+132+142=1+13-13+1=1112.(1)请你根据上面三个等式提供的信息,猜测√1+142+152的结果,并验证;(2)请你按照上面各等式反映的规律,试写出用含n的式子表示上面规律的等式(n为正整数).解:(1) √1+142+152=1+14-14+1=1120.验证:√1+142+152=√1+116+125=√1+25400+16400= √441400=1120.(2) √1+1n2+1(n+1)2=1+1n-1n+1=1+1n(n+1)(n为正整数).[方法归纳]找准式子和序号之间的关系特别重要,关于二次根式的规律探究,可以从式子本身的特征出发,根据每个式子与式子序号之间的关系来确定.专题三实数与数轴【专题分析】数轴上的点和实数是一一对应的,当然通过数轴还能比拟数的大小.数轴上的点可以表示实数,每一个实数都能在数轴上找到一个点和它对应.如下图,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周(不滑动),圆上的一点由原点到达点O',点O'所对应的数值是.〔解析〕圆的周长为2πr,将r=0.5代入,得周长为π.故填π.【针对训练7】假设√a2=-a, 那么实数a在数轴上的对应点一定在()A.原点左侧B.原点右侧C.原点或原点左侧D.原点或原点右侧〔解析〕当a≤0时,√a2=-a.应选C.【针对训练8】实数a, b在数轴上的位置如下图,化简|a-√5|+|b-√2|.〔解析〕由数轴可知1<a<2<√5,-1<b<0<√2.解:原式=√5-a+√2-b=√5+√2-a-b.[方法归纳]数轴上的点和实数是一一对应的,当然通过数轴还能比拟数的大小.。
八年级数学上册 2.6实数(2课时)培优教案系列 北北师大版【教案】
●课 题：§2.6实数(1)●教学目标(一)教学知识点1.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.2.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数范围内正确计算.3.正确运用公式);0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a)0,0(>≥=b a b a ba . (二)能力训练要求1.让学生根据现有的条件或式子找出它们的共性，进而发现规律，培养学生的钻研精神和创新能力.2.能用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识.(三)情感与价值观要求时代在进步，科学在发展，只靠在学校积累的知识已远远不能适应时代的要求，因此在校学习期间应培养学生的能力，具备某种能力之后就能应付日新月异的新问题.其中类比的学习方法就是一种学习的能力，本节课旨在让学生通过在有理数范围内的法则，类比地学习在实数范围内的有关计算，重要的是培养这种类比学习的能力，使得学生在以后的学习和工作中能轻松完成任务.●教学重点1.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能在实数范围内正确进行运算.2.发现规律：);0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a)0,0(>≥=b a b a ba .并能用规律进行计算. ●教学难点1.类比的学习方法.2.发现规律的过程.●教学方法类比法.●教具准备投影片两张：第一张：例题(记作§2.6.2 A)；第二张：练习(记作§2.6.2 B).●教学过程Ⅰ.新课导入上节课我们学习了实数的定义、实数的两种分类，还有在实数范围内如何求相反数、倒数、绝对值，它们的求法和在有理数范围内的求法相同.那么在有理数范围内的运算法则、运算律等能不能在实数范围内继续用呢？本节课让我们来一起进行探究.Ⅱ.新课讲解1.有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.［师］大家先回忆一下我们在有理数范围内学过哪些法则和运算律.［生］加、减、乘、除运算法则，加法交换律，结合律，分配律.［师］好.下面我们就来验证一下这些法则和运算律是否在实数范围内适用.我们知道实数包括有理数和无理数，而有理数不用再考虑，只要对无理数进行验证就可以了. 如：2332⋅=⋅，.252)32(2322,3)212(32123=+=+=⋅⋅=⋅⋅所以说明有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.下面看一些例题.解：(1)原式=1+1=2；(2)原式=0；(3)原式=22·(5)2=4×5=20； (4)原式=(2)2+2·2·21+(21)2=2+2+2921=. 2.做一做填空： (1)94⨯=_________，94⨯=_________；(2)916⨯=_________，916⨯=_________；(3)94=_________，94=_________； (4)=2516_________，2516=_________.以下用计算器进行计算： (5)76⨯=_________，76⨯=_________；76=_________，76=_________；［师］请同学们先计算，然后分组讨论找出规律.［生］(1)63694,63294==⨯=⨯=⨯； (2)12144916,1234916==⨯=⨯=⨯； (3)32)32(94,32942===； (4)54)54(2516,5425162===； (5)76⨯≈2.449×2.646≈6.4804276=⨯≈6.480，76≈646.2449.2≈0.9255，76≈0.9255［师］通过上面计算的结果，大家认真总结找出规律. ［生］9494⨯=⨯；.7676;7676;25162516,9494;916916=⨯=⨯==⨯=⨯［师］如果把具体的数字换成字母应怎样表示呢？［生］(1)b a b a ⋅=⋅； (2)b ab a =.［师］上面式子中的a ，b 有什么要求吗？［生］a ,b 都是正数.［师］这位同学的回答完全吗？［生］不完全，在(2)中b 作分母不能为零.［师］这就完全正确了吗？［生］不完全正确.在(1)中，a ,b 可以为零，在(2)中a 可以为零，b 不能为零.［师］很好.大家在以后的学习中要细，不能漏掉任何一个条件.我认为大家刚才的讨论很到位，下面我再总结一下：b a b a ⋅=⋅(a ≥0,b ≥0)；b a ba = (a ≥0,b ＞0) 并作一些练习.解：(1);24326326==⨯=⨯ (2);5494814327=-=-=-⨯.3191546546)5(;24312312326)4(;32413231132)3()13)(3(222=======⨯-=+-=+⋅⋅-=-3.例题讲解［例题］化简：(1)5312-⨯；(2)236⨯；(3)(5+1)2； (4))12)(12(-+.解：(1) 5312-⨯=36－5=6－5=1； (2) 39218218236====⨯； (3)( 5+1)2=(5)2+25+1=6+25； (4) .1121)2()12)(12(2=-=-=-+Ⅲ.课堂练习(一)随堂练习化简：(1)2095⨯； (2)8612⨯； (3)(1+3)(2－3)； (4)(323-)2.解：(1) 234920952095==⨯=⨯； (2) 3987287286128612====⨯=⨯； (3)(1+3)(2－3)=2－3+23－3=－1+3； (4)( 323-)2=(3)2－2·3·32+(32)2=3－4+3134=.(二)补充练习1.化简： (1)250580⨯-⨯； (2)(1+5)(5－2)； (3))82(2+；(4)3721⨯； (5)2)313(-； (6)10405104+. 解：(1) 101020100400250580250580=-=-=⨯-⨯=⨯-⨯； (2)(1+5)(5－2)= 5－2+(5)2－25=5－2+5－25=3－5； (3) 64216482228222)82(2=+=+=⨯+⨯=⋅+⋅=+； (4)749372137213721==⨯=⨯=⨯； (5) 343123)31(3132)3()313(222=+-=+⋅⋅-=-； (6) 454104*********4051010410405104+=⨯+⨯=+=+=4+10=14. 2.一个直角三角形的两条直角边长分别为5 cm 和45 cm ，求这个直角三角形的面积.解：S =45521⨯⨯ )cm (5.71521)35(214552122=⨯=⨯⨯=⨯⨯= 答：这个三角形的面积为7.5 cm 2.Ⅳ.课时小结本节课主要掌握以下内容.1.在实数范围内，有理数的运算法则、运算律仍然适用，并能正确运用.2.b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0)；b a ba =(a ≥0,b ＞0)的推导及运用.Ⅴ.课后作业习题2.91.化简： (1)313⨯； (2)23； (3)23222+； (4)850⨯－21.解：(1) 1313313=⨯=⨯； (2) 2141123123===； (3) 16223222223222223222+=+=+=+=2+4=6；(4) 12120214002185021850-=-=-=-⨯=-⨯.Ⅵ.活动与探究下面的每个式子各等于什么数？2222222003,2002,2001,,4,3,2 .由此能得到一般的规律吗？对于一个实数a 、2a 一定等于a 吗？ 解：22=2，23=3，24=4，…22001=2001，22002=2002，22003=2003.由此能得出2a =a .(a ≥0)对于一个实数a ，2a 不一定等于a .当a ≥0时，2a =a .当a ＜0时，有.20032003)2003(,20022002)2002(,20012001)2001(,416)4(,39)3(,24)2(222222222==-==-==-==-==-==-所以当a ＜0时，有2a =－a .●课 题：§2.6 实数(2)●教学目标(一)教学知识点1.式子b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0)；b a ba = (a ≥0,b ＞0)的运用. 2.能利用化简对实数进行简单的四则运算.(二)能力训练要求1.让学生能根据实际情况灵活地运用两个法则进行有关实数的四则运算.2.让学生能根据实例进行探索，同学们互相交流合作，培养他们的合作精神和探索能力.(三)情感与价值观要求1.通过对法则的逆运用，让学生体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2.能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高学生的应用意识，发展学生解决问题的能力，从中体会数学的使用价值.●教学重点1.两个法则的逆运用.2.能运用实数的运算解决简单的实际问题.●教学难点灵活地运用法则和逆用法则进行实数的运算.●教学方法指导探索法.●教具准备投影片三张：第一张：例题(记作§2.6.3 A)；第二张：练习(记作§2.6.3 B)；第三张：课堂测验(记作§2.6.3 C).●教学过程Ⅰ.导入新课［师］请大家先回忆一下算术平方根的定义.［生］若一个正数x 的平方等于a ，则x 叫a 的算术平方根.［师］大家能否根据定义举例说明呢？［生］能.［师］在我不点名的情况下，大家能否自觉站起来回答呢？［生］能.［师］请大家为这些积极回答问题的同学鼓掌，同时要向他们学习，学习他们积极投身于教学活动的这种精神.［师］下面我们用算术平方根的定义来求下列两个正方形的边长，以及边长之间的关系. 投影片：(§2.6.3 A)设大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b .请同学们互相讨论后得出结果.［生］由正方形面积公式得a 2=8,b 2=2.所以大正方形边长a =8，小正方形边长b =2. ［师］那么a 与b 之间有怎样的倍分关系呢？请观察图中的虚线.［生］大正方形的面积为小正方形面积的4倍，大正方形的边长是小正方形边长的2倍.所以8=22. ［师］非常棒，那么8根据什么法则就能化成22呢？这就是本节课的任务. Ⅱ.新课讲解［师］请大家回忆一下上节课学的两个法则是什么？ ［生］b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0)；b a ba = (a ≥0,b ＞0) ［师］请大家根据上面法则化简下列式子. (1)33⨯； (2)42⨯； (3)273； (4)12253⨯. ［生］(1)3333332==⨯=⨯； (2)84242=⨯=⨯； (3)3191273273===； (4)254251225312253==⨯=⨯.［师］请大家思考一下，刚才这位同学的步骤反过来推是否成立？即从右往左推.如 (1)3=333332⨯=⨯=能否成立？［生］不成立，因为3就是一个有理数，为什么非要把它化成无理数3与3的乘积呢？这不是反而把简单的数化成复杂的数了吗？［生］你说得不对.老师说的是这种推法是否成立，并不是问它是不是化简. ［师］对.刚才这位同学说得非常对，我是说这样的步骤是否正确.［生］对.因为从左到右是等式的推导，而从右向左也是等式的推导，只不过是反过来推也应成立.［师］确实成立.下面再分析这些式子：.1225312253)4(;273273)3(;224242)2(;3333)1(⨯=⨯==⨯=⨯⨯=⨯并和上节课的两个法则相比较，有什么不同吗？请大家交流后回答.［生］正好和上节课的法则相反. ［师］大家能否用式子表示出来？ ［生］能. b a b a ⋅=⋅b aba = ［师］没有条件限制吗？［生］有.第一个式子加条件a ≥0,b ≥0.第二个式子加条件a ≥0,b ＞0. ［师］那现在能否把8化成22呢？ ［生］行.222242428=⨯=⨯=⨯=.［师］下面我们进行简单的练习. 投影片：(§2.6.3 B)［生］(1).3333939327=⨯=⨯=⨯= (2);5335959545=⨯=⨯=⨯=.545455452545251612516125)6(;32432432163216932932)5(;6336969654)4(;2828264264128)3(=⨯=⨯=⨯===⨯=⨯=⨯===⨯=⨯=⨯==⨯=⨯=⨯=［师］掌握得不错.大家能不能总结一下刚才化简的这些式子有何规律呢？ ［生］原来的式子中根号外面没有数，化简后的式子根号外面、里面都有数. ［师］这说明根号里面的数有一部分移到了根号外面，那么什么数能往外移呢？它们又具备什么条件呢？［生］是平方数.如(1)中根号内的9移到外面变成了3；(2)、(4)中也是，(3)中有64移到外面成了8.(5)中16移到外面变成4，(6)中分母16，分子25移到外面变成4，5.［师］很好.也就是说被开方数中能分解因数.且有些因数能开出来.这时就需要对其进行化简.那么像下面的式子22424221===叫不叫化简呢？ ［生］叫化简.［师］能否说一下它的特征呢？［生］原来被开方数中含有分母，化简后被开方数中没有了分母.［师］如果被开方数中含有分母，要把分子分母同时乘以某一个数，使得分母变成一个能开出来的数，然后把分母开出来，使被开方数中没有了分母.这也叫化简.根据刚才我们的讨论，对于两种情形可通过法则的逆运算进行化简，那么究竟是哪两种情形呢？其实在刚才的分析中我已作过介绍，大家可否记得？［生］记得.如果被开方数中含有分母，或者含有开得尽的因数，则可通过逆运算进行化简.［师］大家做的非常棒.上节课和本节课我们做的工作都是化简，并且用的是相同的两个公式，那么究竟什么情况下用法则、什么情况下又用法则的逆运算呢？这个问题比较难，请大家讨论后给出答案，能说多少说多少.［生］当被开方数中含有分母或含有开得尽的因数时用法则的逆运算，如果不是这样就用法则.［师］能回答到这个程度就相当不错了，可见大家是经过认真思考和相互合作的.确实是这样，一般地，当被开方数中含有分母或者含有能开得尽的因数时，用法则的逆运算；当两个含有根号的数相乘或相除，它们的被开方数单独开不出来，但是通过相乘或相除能出现开得尽的因数时用法则.如：;339393333131===⨯⨯= .3191182182;214112131213;66666621622=====⨯=⨯=⨯=⨯=但是这也不是绝对的，有时法则的运用和法则的逆运算要相互结合才能达到化简的目的.如：.2272249224924910495104952=⨯=⨯==⨯=⨯因为任何事物它都不是绝对的，而是相对的，所以不能生搬硬套，而要灵活运用法则，对于具体问题一定要具体分析，找到解决问题的方法，对症下药，才能达到题目的要求，所选择的方法要根据问题的不同而相应的变化.这正是现代教育的要求所在.例题讲解［例1］化简：(1)50；(2)348-；(3)515-. 解：(1)2522522550=⨯=⨯=；(2);3333433163316348=-=-⨯=-⨯=-(3).55455525552555515=-=-=-=-［例2］化简： (1)－230310⨯；(2)－ab a 101861⋅； (3)－yxy 1⋅； (4)1615； (5)013.039.0； (6).mn2n m 142解：(1)31063106310630103230310222⨯⨯-=⨯⨯-=⨯-=⨯⨯-=⨯-360-=；(2)－b a b a ab a ab a 536615366110186110186122⨯⨯⨯-=⨯-=⋅-=⋅ b a b a 55661-=⨯⨯⨯-=；(3)－x yxy y xy -=⋅-=⋅11； (4);4916811615== (5)3013390013.039.0013.039.0===；(6) m 7mn 2nm 14mn2n m 1422==.说明：对于被开方数中的字母不用讨论，就按满足条件进行化简就行了.Ⅲ.课堂练习 化简：(1)18；(2)7533-；(3)72. 解：2323292918=⨯=⨯=⨯=； (2)3533353332533325337533-=⨯-=⨯-=⨯-=-32-=；(3)7147147147222===. 课堂测验1.解：4216228281==⨯=； (2)2626262322===； .1313213121113144121169144121169144121)6(;103010900109009000)5(;28264264128)4(;530530530562.1)3(22=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯==⨯=⨯=====2.解：(1);252322232429241882=+=⨯+⨯=⨯+⨯=+.665636266362663626632236)5(;2342425322162253221622592325092)4(;5514555356553554355955435145203)3(;88343431634231634248122)2(222222-=--=--=--=--=-+=⨯-⨯+=⨯-⨯+=-+=--=-⨯-⨯⨯=-⨯-⨯=--=+=⨯+⨯⨯=⨯+⨯=+Ⅳ.课时小节本节课我们学习了如下内容：1.若被开方数中含有分母或者含有能开得尽的因数的式子的化简.2.一般情况下应用法则b a b a ⋅=⋅ (a ≥0,b ≥0)；b aba =(a ≥0,b ＞0) 或法则的逆运算的总结.3.能用上述式子正确地进行化简. Ⅴ.课后作业 习题2.10. Ⅵ.活动与探究 化简： (1)221++x x ;(2)765125.0c b a ;(3)222432y x y x x y +; (4)23164a a +. 解：(1)222221)1(212212===++=++x x x x ; (2)ac c b a c b a c b a 214181125.0664765765⋅==.4244)4(4164)4(;111)1()3(;2412221222122121)21(21)21(22232223222322223222432222432332332233233223322332+=+⨯=+=++=+=+=+=+=+=⨯=⨯=⨯=⨯=⋅=a a a a a a a a x xyy x x x y y x x x y y x x x yy x x x y y x y x x y ac c b a ac c b a ac c b a ac c b a acc b a ac c b a。
八年级数学上册2实数本章复习教案新版北师大版
八年级数学上册2实数本章复习教案新版北师大版本章复习【知识与技能】理解并掌握本章重要知识点，学生估算，能灵活运用运算法则、运算律或公式进行二次根式的运算.【过程与方法】通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及到的提高学生的估算能力和运用类比的方法进行二次根式的运算.【情感态度】在学习本章知识的过程中，让学生体会到事物之间的相互联系、相互作用.激发他们的探索热情和提高他们学习的积极性.【教学重点】回顾本章重要的概念，实数的运算.【教学难点】掌握估算的方法，熟练准确地进行二次根式的混合运算.一、知识框图，整体把握【教学说明】教师引导学生回顾本章所学的知识点，展现知识结构体系框图，有助于学生加深理解各知识之间的区别和相互联系.二、释疑解惑，加深理解1.平方根的求法对于平方根的求法，一定要看清所给数的形式.如：求的平方根不能认为是±9.因为=9，其实就是求9的平方根，所以81的平方根应该是±3.2.实数的分类.①并不是所有的带根号的数都是无理数.如：=2，它是有理数.②无限循环小数不能认为是无理数.如，它是分数，是有理数而不是无理数.3.二次根式的运算.①只有化简后如果被开方数相同，才能将它们进行合并.如+≠,因为它们本身就是最简二次根式，并且被开方数也不相同，不能直接把被开方数相加.②有一种形式的二次根式的除法运算不能运用分配律.如：这两种形式要认真理解才能算得准确.三、典例精析，复习新知例1（1）的算术平方根是；（2）若=3，则x=；（3）若的平方根是±2，则a=;（4）=， =.【分析】（1）先求=？再求?的算术平方根；=5，5的算术平方根是；（2）由=3,可得3是x2的算术平方根，所以x2=9,即可求出x=±3;（3）由的平方根是±2,可得=4，即可求a=16；（4）先算出82，（-7）2的值，再求它们的算术平方根，即=8,=7.例2比较与的大小.【分析】本题利用估算法，其基本思路是设a、b为任意两个正实数，先估算出a、b两数或两数中某个数的取值范围，再进行比较.【分析】先化简二次根式，要保证被开方数开出来结果的正确性，这与a+和a-的结果有直接的关系.。
2019-2020学年八年级数学上册《第一章-实数》复习教案-北师大版
2、你还记得1～20之间整数的平方吗？
自主探索：让学生独立看书，自学教材P2-3
总结：（一）平方根定义
如果有一个数R，使得 ，那么把R叫做 的一个平方根，（简而言之：若 ，则R是 的一个平方根）
例如，由于 ，因此2是4的一个平方根
1） 的平方根的表示； 的平方根记为 ，读作正负根号 ，其中 叫做被开方数，例如：4的平方根记为 ，其中4叫做被开方数
例3用计算器求下例个数的立方根
343 -1.331 0
解:
练一练：P10 练习 2,3T
总结反思，拓展升华
小结：1、立方根的概念性质
2、用立方运算求某些数的立方根
反馈：1.- 的立方根是。
2.若 ，则 ＝。
学生读题、议一议
学生回答
学生回答，讨论交流
学生理解记忆
作业
P11 A组 1，2T
板 书 设 计
2.
3. 的算术平方根是_____, 的算术平方根____
4.若 是49的算术平方根，则 =
5.若 ，则 的算术平方根是
6.若 ，求 的值。
情景设置：如何作出面积是8 的正方形？P4
合作交流，解读探究：
讨论：面积是8 的正方形，它的边长是多少？是整数吗？
自主探索：让学生独立看书，自学教材P6
总结：（一）小数的分类
学生读题、议一议
学生回答
学生理解记忆
学生理解记忆
学生理解记忆
学生动手操作
作业
P7 A组 1,2T
板 书 设 计
（一）平方根定义:若 ，则R是 的一个平方根.1） 的平方根的表示； 的平方根记为 ，读作正负根号 ，其中 叫做被开方数2）被开方数 是一个非负数，即
北师大版初中数学八年级上册《第二章实数复习题》优质课导学案0.doc
第二章实数知识复习教学目标 1 经历数系的扩充，探求实数性质及运算2 结合具体情景理解估算的意义，能进行简单的估算进一步发展数感和估算能力3 了解平方根，算术平方根，立方根，二次根式，最简二次根式实数及其相关的概念，会求平方根，立方根，能进行有关实数的运算，和简单的二次根式的化简，发展运算能力4 能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高应用意识，发展解决问题的能力，从中体会数学的应用价值能力目标培养由特殊到一般由具体到抽象的思维能力情感目标渗透数形结合及分类的思想体验数学知识来源于实际又服务于实际的关系。
通过学生之间的相互交流，增强学生的合作意识教学重点平方根算术平方根立方根实数二次根式的概念及计算教学难点二次根式的化简及运算教学过程第一环节知识回顾知识点填空:（1）叫做无理数．（2）统称为实数．（3）和数轴上的点是一一对应的．（4） 2 a a 3 ) 33 3 ；a2 ；( a) ( 0) ；( a a ； a aa aa b ab(a 0,b 0) ；(a 0,b 0)b b（5）把分母中的根号化去，叫做分母有理化．（6）最简二次根式应满足的条件是被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式（7）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式；化简时，有同类二次根式要合并，可以约分的分式要约分．设计说明：以上7 个填空题老师可带着学生共同完成，通过填空让学生清晰本章的几个重要概念，特别是（4）中的几个易混点可通过此环节帮助学生理清楚．这样也为解决下一环节中的经典例题做好知识点的扎实铺垫.第二环节典例精析（一）实数的相关概念例1 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？23 ，3 5 ，3.14159265，9 ，， 3 1，( 5)2 ，3.1010010001⋯（相邻两个 1 之间0的各数逐次加1）设计说明：此题考查概念．整数和分数统称为有理数，这是有理数的判断方法．无理数是无限不循环的小数，这是无理数的判断方法．而无限不循环小数主要有以下几种：①开方开不尽的方根；②含π的数；③是无限小数且不循环．在判断时还应注意，一定要抓住概念的本质而不是根据数的形式，如此题中的9 ，( 5) 2虽然都含有根号，但它们都是有理数. 所以此题中的有理数有： 3.14159265，9 ，2( 5) ；无理数有：23 ，35 ，， 3 1，3.1010010001⋯（相邻两个1 之间0的各数逐次加1）（二）实数的相关性质及运算例2实数a 、b在数轴上的位置如图所示，化简a b b a .2( )例3计算：(1) 110 401 1(2) 485 12 93 2设计说明：意在复习实数的运算法则及二次根式的化简.例4 （1）已知a 、b满足 a 2 b 3 0 ，求2013(a b) 的值（2）已知y 2x 4 2 4 2x3，求x的值.y（三）实数中的数形结合例5、已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为多少？（第三环节运用巩固1．下列说法错误的是（）A．4 的算术平方根是 2 B． 2 是2 的平方根C．－1 的立方根是－1 D．－3 是 2( 3) 的平方根2．当2 x 3 时，求代数式 216 16x 4x 2x 6 的值．13．若有意义，求x 的取值范围.xx 24．一等腰三角形的腰长与底边之比为5:6 ，它底边上的高为68 ，求这个等腰三角形的周长与面积．第四环节课堂小结请同学们认真思考下列问题：1、通过本堂课的学习我收获了什么？2、我还有哪些没有解决的困惑？设计说明：用2 分钟左后时间让学生思考这两个问题，并请学生回答，及时肯定学生的收获并加以归纳，同时发现学生的困惑及时答疑．第五环节布置作业完成课本P复习题知识技能1题、4题、10题；数学理解144749题；问题解决21题．设计说明：1题是关于有理数与无理数概念的题；4题为实数的运算题；10题考查的是“实数与数轴上的点一一对应”这一知识点，巩固数形结合的思想方法；14题看似简单，其实考查了本章的众多概念，特别适合用于检验学生对基础知识的掌握情况；21题为实数的应用，在考查计算的同时也锻炼了学生作图、读图、数形结合的综合能力．四、教学设计反思1．选择性的使用例题在此教学设计中，例题数量并不少，针对不同的学生群体，老师可适当删减，做到有的放矢，但是建议概念例题保留．2．给予学生充分的表达和交流的机会老师可以在前四个环节中根据具体情况采用不同的教学方法，可以师生互动也可以生生互动，通过交流讨论让学生学会表达、学会倾听、学会归纳．其实教学活动最主要的意图就是让学生主动起来，应多给予学生交流的时间与机会．3．注意收集学生生成性的学习资源。
北师大版八年级上册第二章实数复习教案
3、实数与数轴①无理数：小数。
②实数：和统称为实数。
③实数与数轴上的点的对应关系：与数轴上的点是一一对应的。
4、二次根式①一般地，我们把形如叫做二次根式。 叫．
②最简二次根式:一般地，被开方数不含，也不含。
③二次根式的乘除法法则：
=（ ≥0， ≥0）; =（ ≥0， ＞0）
④同类二次根式：一个二次根式，化简为最简二次根式后，如果被开方数
⑤二次根式加减运算的步骤:
(1)把各个二次根式化成(2)把各个同类二次根式
回顾知识点，以便更好地运用；
课程
讲授
课程
讲授
专题一：平方根、算术平方根、立方根的概念
1、4的平方根是；-8的立方根是；| -4 |的算术平方根是；
2、平方根是本身的数是，立方根是本身的数是
3、已知2 -1的平方根是±3，4是3 + -1的算术平方根，求 +2 的值。
专题二：平方根、立方根有意义的条件、非负性
1、下列式子中无意义的是（）
A： B： C： D：
2、已知 ,求 。
专题三：解方程、计算
1、计算（1）
（2）
2、求下列各式中X的值：
（1） （2）
专题四：实数
1、将下列各数填入相应的集合内。－7，0.32, ，0， ， ， ， ，0.1010010001…
①有理数集合｛…｝
②无理数集合｛…｝
③负实数集合｛…｝
2、已知 互为相反数， 互为倒数， 。求 的值。
专题五：估算1、比较下列各组数的大小：（1） 与22017学年上学期
八年级数学备课组教案
教师
授课时间
2017年1月日
新版北师大数学八年级上册第二章《实数》复习课学案
第二章实数复习课学案一. 【知识梳理】1. 无理数：无理数即 小数，现在主要学习了三类：（1）含π的数，如：12,2ππ等；（2）开方开不尽的数，（3）特定结构的数，例0.010 010001…等；判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0π 2．算术平方根：如果一个正数x 的 等于a ，即x 2=a ，那么这个x 正数就叫做a 的算术平方根，记作 ，0的算术平方根是 。
3．平方根：如果一个数x 的 等于a , 即x 2=a 那么这个数a 就叫做x 的平方根（也叫做二次方根式），正数a 的平方根记作 ．性质：一个正数有 平方根，它们 ；0的平方根是 ；负数 平方根．特别提醒：负数没有平方根和算术平方根．4．立方根：如果一个数x 的 等于a ，即x 3= a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根，记作 ．性质：正数的立方根是 ，0的立方根是 ，负数的立方根是 。
5、实数的分类_________⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎭⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎫⎧⎨⎬⎪⎩⎪⎭⎩______整数____________有限小数或循环小数______实数负分数____________________________________________ 5．实数与数轴：实数与数轴上的点______________对应．6．实数的相反数、倒数、绝对值：相反数：实数a 的相反数为______；若a,b 互为相反数，则a+b=______；倒数：非零实数a 的倒数为_____(a ≠0)；若a ，b 互为倒数，则ab=________。
绝对值：______(0)||______(0)a a a ≥⎧=⎨<⎩ 8. 比较大小：数轴上两个点表示的数，______边的总比___边的大；正数_____0，负数_____0，正数___负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而____。
9．实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用．10．常用公式：2a =，2= ，33a = ，(3a )3= ，a b = ，b a= 。
八年级数学上册第二章实数复习教案北师大
第二章课题第二章总复习课型教学目标掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念。
灵活运用二次根式的性质、运算法则。
重点二次根式的加减乘除的混合运算。
难点二次根式的加减乘除的混合运算。
新课导入这章我们已经学完，让我们复习这一单元的知识。
课程讲授第二章《实数》知识点梳理及题型解析一、知识归纳（一）平方根与开平方1.平方根的含义如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。
即ax=2，x叫做a的平方根。
2.平方根的性质与表示⑴表示：正数a的平方根用a±表示，a叫做正平方根，也称为算术平方根，a-叫做a的负平方根。
⑵一个正数有两个平方根：a±（根指数2省略）0有一个平方根，为0，记作00=，负数没有平方根⑶平方与开平方互为逆运算开平方：求一个数a的平方根的运算。
aa=2==⎩⎨⎧-aa<≥aa()aa=2（0≥a）⑷a 的双重非负性0≥a 且0≥a （应用较广）例：y x x =-+-44 得知0,4==y x⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。
区分：4的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=4开平方后，得____3.计算a 的方法⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧精确到某位小数 ＝非完全平方类 ＝完全平方类 773294*若0>>b a ，则b a >（二）立方根和开立方1．立方根的定义如果一个数的立方等于a ，呢么这个数叫做a 的立方根，记作3a2. 立方根的性质任何实数都有唯一确定的立方根。
正数的立方根是一个正数。
负数的立方根是一个负数。
０的立方根是０.3. 开立方与立方开立方：求一个数的立方根的运算。
()a a =33 a a =33 33a a -=- （a 取任何数）这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
*０的平方根和立方根都是０本身。
（三）推广： n 次方根１. 如果一个数的n 次方（n 是大于１的整数）等于a ，这个数就叫做a 的n 次方根。
北师大版八年级实数复习培优教案
① Pa2 a③、ab 、a 、b a 0, b 0 ;Ja Jba b a b②-a2a a 0,;④、a\ bababa 0,b 0 ; ba b . 1、a 、ba;b⑥a b a b个性化教学辅导教案知识点:一、无理数的概念1、有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
2、无限不循环小数叫做无理数。
3、有理数和无理数统称实数。
二、平方根和算术平方根1、平方根：如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个x就叫a的平方根，表示为土.3，也叫二次方根。
只有非负数才有平方根。
2、算数平方根：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x就叫做a的算术平方根。
记为“a ”读作“根号a”。
算术平方根都是非负数。
三、立方根那么X叫做a的立方根。
任何数都有立方根。
四、二次根式形如•一a的式子，叫做二次根式。
（a 0）1.二次根式的主要性质：立方根：如果一个数x的立方等于a，这个数叫做a的立方根（也叫做三次方根），即如果五、最简二次根式 被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式成为最简二 次根式。
最简二次根式的条件：①根号内不含有开的尽方的因数或因式；②根号内不含有分母，小数；③分 母不含有根号。
被开方数相同的 最简二次根式 叫做同类二次根式。
七、二次根式的运算A 、乘法公式：＜a Jb ________ (a 0, b 0)；反之：JOb _____________ (a 0,b 0)B 、除法公式：琴Vb(a 0,b0）;反之(a 0,b 0)C 、合并冋类二次根式： m. a n . a;m anja例题解析例1在下列各数中：一 23, 0.7 , 4 n, 3.141 59 , 2.303 003 000 3…(相邻两个 3之间0的个数逐次加1），无理数有（ )A . 1个B . 2个C. 3个D. 4个例2；：：:: 16的算术平方根是 ( )A .— 2B . 2C .—4D .4例3下列计算错误的是 ( )A .±0.04 =± 0.2B. .25 =5C. ——100=— 10 D.81 = ± 9例 4 已知(x — 2y + 3) + 2— y = 0,贝 Ux + y = .例5某数有两个平方根，分别是 3a + 3与a —15,求这个数(2) (318 1 50 4 1 ) . 325 ' 2例 6 (1)8 、2(2 2)-12 3随堂训练一•填空题21、 6的算术平方根是 ___________ ； 2的平方根是 __________ 。
北师大版八年级实数复习培优教案
北师大版八年级实数复习培优教案学科： 数学 年级： 七年级 任课教师： 授课时间： 教学 课题实数复习教学 目标 1、理解掌握无理数、平方根、算数平方根、立方根和估算的概念及相关知识点； 2、掌握实数的分类；理解二次根式、最简二次根式、同类二次根式。
教学 重难点 重点:平方根、算数平方根、立方根和二次根式。
难点:平方根、算数平方根、立方根和二次根式。
教学过程知识点：一、无理数的概念1.有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。
反过来；任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
2、无限不循环小数叫做无理数。
3、有理数和无理数统称实数。
二、平方根和算术平方根1、平方根：如果一个数x 的平方等于a ；即x 2=a ；那么这个x 就叫a 的平方根；表示为±a ；也叫二次方根。
只有非负数才有平方根。
2、算数平方根： 若一个正数x 的平方等于a ；即x 2=a ；则这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
记为“a ”读作“根号a ”。
算术平方根都是非负数。
三、立方根立方根：如果一个数x 的立方等于a ；这个数叫做a 的立方根（也叫做三次方根）；即如果3x a =；那么x 叫做a 的立方根。
任何数都有立方根。
四、二次根式形如a 的式子；叫做二次根式。
（0≥a ） 1． 二次根式的主要性质： ①⎩⎨⎧<-≥==02a a a a a a ； ②()a a =2(),0≥a ；③()0,0≥≥⋅=b a b a ab ； ④()0,0>≥==b a b abba b a ； ⑤()()b a b a b a --=-=1； ⑥b a b a -+=1．五、最简二次根式被开方数中不含分母；并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式；像这样的二次根式成为最简二次根式。
最简二次根式的条件：①根号内不含有开的尽方的因数或因式；②根号内不含有分母；小数；③分母不含有根号。
被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式。
北师大版八年级上册第二章实数复习培优教案
一、教学内容
北师大版八年级上册第二章实数复习培优教案：
1.实数的定义及其分类；
2.有理数的性质与运算法则；
3.无理数的理解与估算；
4.实数的数轴表示及大小比较；
5.实数的混合运算；
6.实数在实际问题中的应用。
二、核心素养目标
1.理解实数的概念，培养学生的数学抽象素养，使其能够把握数的本质属性；
-实数的概念及其分类：理解实数的定义，掌握有理数与无理数的区别，明确实数的包含关系。
-举例：解释有理数的有限小数和无限循环小数特性，以及无理数的无限不循环特性，如π和√2等。
-实数的数轴表示：能够准确地在数轴上表示实数，并进行大小比较。
-举例：在数轴上标出√3和2的位置，并比较它们的大小。
-实数的混合运算：掌握实数的加减乘除运算法则，特别是带根号的运算。
2.通过实数的性质与运算，提升学生的逻辑推理能力和数学运算能力；
3.利用数轴和估算无理数，增强学生的直观想象和数学建模能力；
4.在解决实际问题时，提高学生的数据分析能力和数学应用意识；
5.通过实数的学习，引导学生形成严谨的科学态度和良好的数学学习习惯，培养其终身学习的素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要回顾实数的基本概念。实数是包含有理数和无理数的数集，它们在数轴上有着广泛的应用。实数的重要性在于它们可以精确地描述自然界中的各种量。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们有一个边长为√2的正方形，我们如何计算它的面积？通过这个案例，我们可以看到实数在实际问题中的应用。
-实数的运算规则：特别是无理数的运算，学生容易混淆运算规则，导致计算错误。
北师大版 八年级上册 第二章《实数复习》 教学设计
第二章《实数复习》教学设计
议
22
23
33(0)x a x a x a x a x a x a a x
x a x a x a x a x a a a ⎧⎧⎨
⎪⎪⎩⎨
⎧⎪⎨⎪⎩⎩
⎧=⎪⎪==±⎨⎪=⎪⎩
⎧=⎪⎨==⎪⎩≥整数有理数分数实数分类正无理数无理数负无理数定义：如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根平方根表示：若，则算术平方根：若，则的算术平方根为定义：如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根立方根表示：若，则实数定义：式子叫做二次根式
二次根式最简二次223333()(0)()(0,0)(0,0)
a a a a a a a a a a
b ab a b a
a a
b b b ⎧⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎧⎨⎪⎨
⎪⎪⎩⎪
⎪⎧=≥⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎪=⎪⎪⎪
⎪⎨=⎪⎪⎪⎪⋅=≥≥⎪⎪
⎪⎪=≥≥⎪⎪⎩⎪
⎪⎩
根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式重要性质实数的性质应用
梳理本章知识结构，建立知识网络，回顾本章知识点
实数分类及其相关概念
无理数的倒数化成最简二次根式
分类讨论的思想
数形结合
在数轴上表示无理数，会
比较无理数的大小，表示
无理数的整数部分和小
数部分
比较平方根、算数平方
根、立方根，进一步理解
它们的本质
通过对平方根、算数平方
根、立方根的练习，掌握练
易错点，提升能力。
北师大版初中数学八年级上册《第二章实数复习题》赛课教案0
实数复习课一.教材分析：本章是学习二次根式，一元二次方程的预备知识。
在中招考试中多以填空、选择形式出现，有的与后续知识综合出现。
本章的概念多，并且比拟抽象，但却是以后学习的根底，一定要好好掌握。
二.复习目标：1.进一步稳固实数的定义性质及其运算规律。
2.熟练使用计算器求一些数值的估算值。
3.能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高对知识的应用能力。
三. 重点、难点1.重点是无理数、平方根、算术平方根、立方根及实数的定义与性质，以及实数的运算法那么。
2.难点是利用平方根、算术平方根、立方根及实数运算法那么的进行有关计算题目，特别是平方根与算术平方根的不同之处。
四、教学方法 : 复习、练习、讨论。
五、复习内容〔一〕根本知识回忆实数的应用1.无理数的引入。
无理数的定义无限不循环小数。
算术平方根定义如果一个非负数x的平方等于a，即 x2 a那么这个非负数x就叫做a的算术平方根，记为a ，算术平方根为非负数a 0正数的平方根有2 个，它们互为相反数平方根0的平方根是负数没有平方根2. 无理数的表示定义：如果一个数的平方等于a，即 x 2a，那么这个数就叫做 a的平方根，记为a正数的立方根是正数立方根负数的立方根是负数0的立方根是0定义：如果一个数x的立方等于 a，即 x 3a，那么这个数 x就叫做 a的立方根，记为3 a .概念有理数和无理数统称实数正数有理数分类或0无理数负数3.实数及其相关概念绝对值、相反数、倒数的意义同有理数实数与数轴上的点是一一对应实数的运算法那么、运算规律与有理数的运算法那么运算规律相同。
一.教材分析：本章是学习二次根式， 一元二次方程的预备知识。
在中招考试中多以填空、选择形式出现，有的与后续知识综合出现。
本章的概念多，并且比拟抽象，但却 是以后学习的根底，一定要好好掌握。
二 . 复习目标：1. 进一步稳固实数的定义性质及其运算规律。
2. 熟练使用计算器求一些数值的估算值。
3. 能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高对知识的应用能力。
数学：第二章实数复习教案(北师大版八年级上)
第二章实数知识梳理1．知识构造数轴相反数倒数实数的有关观点绝对值算术平方根实数基本观点近似数和有效数字实数大小的比较实数的分类2．知识重点（1）数轴数轴三因素：原点，正方向和单位长度；数轴上的点与实数是一一对应的.（2）相反数实数 a 的相反数是－ a；若 a 与 b 互为相反数，则有a+b=0，反之亦然；几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的双侧，而且到原点的距离相等.（ 3）倒数若两个数的积等于1，则这两个数互为倒数.（ 4）绝对值代数意义：正数的绝对值是它自己，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是0；a a0即： a0a0 因此 a 0a a0几何意义：一个数的绝对值，就是在数轴上表示这个数的点到原点的距离.（ 5）算术平方根a a0a2a0a0a a0（ 6）科学记数法a 10 n，此中1 1 a 10（7）近似数和有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位就说这个近似数精准到哪一位，这时，从左侧第一个不是 0 的数字起，到精准到的数位止，所有的数字叫这个数的有效数字.（8）实数大小的比较利用法例比较大小；利用数轴比较大小（9）实数的分类正整数自然数按定义分类：整数零负整数有理数正分数分数有限小数或无穷循环小数实数负分数正无理数无理数无穷不循环小数负无理数按正负分类：正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零负整数负有理数负实数负分数负无理数3．中考展望实数的有关观点向来是中考考察的基本内容，波及数轴、相反数、绝对值、无理数等概念，多以填空、选择题的形式出现，而科学记数法和近似数、有效数字常常与生产、生活及科技领域相联系，有较强的应用性，是近几年考察的热门和趋向．解题指导例 1在－π，－ 2， 4 ，cos45°，3．14, ( 2 )0中，有理数的个数是 ( )A、2 B 、3C、4 D 、5查有理数和无理数的观点，要深刻理解这两个观点，关建在于对无理数的认识，应是无穷不循环小数。
北师大版 八年级上册 第二章《实数复习》 说课稿
北师大版八年级上册第二章《实数复习》说课稿一. 教材分析北师大版八年级上册第二章《实数复习》是学生在学习了实数相关概念和性质后的一次复习。
本节课的主要内容是回顾和巩固有理数、无理数和实数的概念，以及它们的性质和运算。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生理解和掌握实数的运算规则，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在进入八年级之前，已经学习了有理数和无理数的基本概念和性质，对实数有一定的了解。
但在实际应用中，部分学生可能对实数的理解和运算还存在一定的困难。
因此，在复习实数时，需要帮助学生巩固基础知识，提高运算能力，并培养解决问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：通过复习，使学生掌握实数的概念和性质，能够熟练进行实数的运算。
2.过程与方法：通过自主学习和合作交流，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，提高学生的自我学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：实数的概念、性质和运算规则。
2.教学难点：实数运算的灵活应用，以及解决实际问题。
五. 说教学方法与手段本节课采用自主学习、合作交流和教师引导相结合的教学方法。
利用多媒体课件和黑板，帮助学生直观地理解和掌握实数的运算规则。
同时，通过小组讨论和例题讲解，引导学生主动参与学习，提高解决问题的能力。
六. 说教学过程1.导入：通过复习有理数和无理数的概念，引出实数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：讲解实数的性质和运算规则，通过例题和练习题，让学生理解和掌握实数的运算方法。
3.课堂练习：设计一些有关实数运算的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
4.小组讨论：引导学生分组讨论实际问题，培养学生解决问题的能力。
5.总结：对本节课的主要内容进行总结，强调实数运算的注意事项。
6.布置作业：布置一些有关实数运算的练习题，让学生课后巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计主要包括实数的概念、性质和运算规则。
北师大版初二数学实数复习教案
实数【知识点：平方根】a (a ≥0)0≥a==a a 2 ； 注意a 的双重非负性：a -(a < 0) a ≥0【知识点：非负性的应用】● 若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用． ● 初中阶段的三个非负数：0≥a ，02≥a ，0≥a 【变式1】已知()()0262622=++-+-z y y x x ，求x ，y ，z 的值。
解：∵()()0262622=++-+-z y y x x且(x －6)2 ≥ 0，()262y x -≥ 0， |y +2z | ≥ 0， 几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。
∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-0206206z y y x x 解这个方程组得⎪⎩⎪⎨⎧-===126z y x【同步练习一】 一、选择题1、下列数中是无理数的是（ ）.A. 0.12∙∙32 B.2π C. 0D.7222、下列说法中正确的是（ ）A. 不循环小数是无理数B. 分数不是有理数C. 有理数都是有限小数D. 3.1415926是有理数 3、下列语句正确的是（ ）A. 3.78788788878888是无理数B. 无理数分正无理数、零、负无理数C. 无限小数不能化成分数D. 无限不循环小数是无理数 二、填空题6、在0.351，－32，4.969696 …，6.751755175551…，0，－5.2333，5.411010010001…中，无理数的个数有_____.11、以下各数：－1，23，3.14，－π，3.⋅3，0，2，27，24，－0.2020020002……(相邻两个2之间0的个数逐次加1)其中，是有理数的是_____________，是无理数的是_______________. 在上面的有理数中，分数有______________，整数有______________. 【同步练习二】 一、填空题(3)一个正数的平方根是2a －1与－a +2，则a =_________，这个正数是_________； (4)25的算术平方根是_________； (5)9－2的算术平方根是_________；(6)4的值等于_________，4的平方根为_________； 二、选择题(1)2)2(-的化简结果是（ ）A.2B.－2C.2或－2D.4(3)(－11)2的平方根是（ ）A.121B.11C.±11D.没有平方根 (4)下列式子中，正确的是（ ） A.55-=-B.－6.3=－0.6C.2)13(-=13D.36=±6(5)7－2的算术平方根是（ ）A.71B.7C.41D.4(7)一个数的算术平方根为a ，比这个数大2的数是（ ）A.a +2B.a －2C.a +2D.a 2+2(8)下列说法正确的是（ ）A. －2是－4的平方根B. 2是(－2)2的算术平方根C. (－2)2的平方根是2D. 8的平方根是4 【同步练习三】 一、判断题(1) －0.01是0.1的平方根. ( ) (2) －52的平方根为－5. ( ) (3) 0和负数没有平方根. ( )(4) 因为161的平方根是±41，所以161=±41. ( )(5) 正数的平方根有两个，它们是互为相反数. ( ) 二、选择题(1) 下列各数中没有平方根的数是（ ）A.－(－2)3B.3－3C.a 0D.－（a 2+1）(2)2a 等于（ ）A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对(3) 如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ）A.a 2=±mB.a =±m 2C.a =±mD.±a =±m(4) 若正方形的边长是a ，面积为S ，那么（ ）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a三、填空题(1)若9x 2－49=0，则x =________. (2)若12+x 有意义，则x 范围是________. (3)已知｜x －4｜+y x +2=0，那么x =________，y =________. (4)如果a < 0，那么2a =________，(a -)2=________.四、已知一个正方形ABCD 的面积是4a 2 cm 2，点E 、F 、G 、H 分别为正方形ABCD 各边的中点，依次连结E 、F 、G 、H 得一个正方形.(1)求这个正方形的边长.(2)求当a =2 cm 时，正方形EFGH 的边长大约是多少厘米? （精确到0.1cm ）五、已知某数有两个平方根分别是a +3与2a －15，求这个数.六、甲乙二人计算a +221a a +-的值，当a =3的时候，得到下面不同的答案：甲：a +221a a +-=a +2)1(a -=a +1－a =1. 乙：a +221a a +-=a +2)1(-a =a +a －1=2a －1=5. 哪一个解答是正确的? 错误的解答错在哪里? 为什么?【同步练习四】 一、判断题(1)如果b 是a 的三次幂，那么b 的立方根是a . （ ） (2)任何正数都有两个立方根，它们互为相反数. （ ） (3)负数没有立方根. （ ） (4)如果a 是b 的立方根，那么ab ≥0. （ ） 二、填空题(1)如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是________. (2)3271-=________，(38)3=________. 三、选择题(1)如果a 是(－3)2的平方根，那么3a 等于（ ）A.－3B.－33C.±3D.33或－33(2)若x ＜0，则332x x -等于（ ）A.xB.2xC.0D.－2x(3)若a 2=(－5)2，b 3=(－5)3，则a +b 的值为（ ）A.0B.±10C.0或10D.0或－10(4)如图1：数轴上点A 表示的数为x ，则x 2－13的立方根是（ ）A.5－13B.－5－13C. 2D.－2(5)如果2(x －2)3=643，则x 等于（ ） A.21 B.27 C.21或27D.以上答案都不对【同步练习五】 一、选择题2、在下列各式中：327102 =34，3001.0=0.1，301.0 =0.1，－33)27(-=－27，其中正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.43、若m <0，则m 的立方根是（ ）A.3mB.－3mC.±3mD.3m -4. 如果36x -是6－x 的三次算术根，那么（ ）A. x <6B. x =6C. x ≤6D. x 是任意数5.下列说法中，正确的是（ ）A. 一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B. 一个有理数的立方根，不是正数就是负数C. 负数没有立方根D. 如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1 二、填空题 6.364的平方根是______. 7.（3x －2）3=0.343，则x =______.8. 若81-x +x -81有意义，则3x =______. 9. 若x <0，则2x =______，33x =______.10. 若x =(35-)3，则1--x =______. 三、解答题12. 求下列各式中的x .(1)125x 3=8 (2)(－2+x )3=－216(3)32-x =－2 (4)27(x +1)3+64=013. 已知643+a +|b 3－27|=0，求(a －b )b 的立方根.14. 已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm 3，求第二个纸盒的棱长.【同步练习六】六、估算：（1）46 （2）318（误差小于0.1）七、估算下列各组数，并比较大小。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北师大版八年级实数复
习培优教案
Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
个性化教学辅导教案
知识点：
一、无理数的概念
1.有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
2、无限不循环小数叫做无理数。
3、有理数和无理数统称实数。
二、平方根和算术平方根
1、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2
=a ，那么这个x 就叫a 的平方根，表示为±a ，也
叫二次方根。
只有非负数才有平方根。
2、算数平方根： 若一个正数x 的平方等于a ，即x 2
=a ，则这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
记为“a ”读作“根号a ”。
算术平方根都是非负数。
三、立方根
立方根：如果一个数x 的立方等于a ，这个数叫做a 的立方根（也叫做三次方根），即如果
3x a =，那么x 叫做a 的立方根。
任何数都有立方根。
四、二次根式
形如a 的式子，叫做二次根式。
（0≥a ）
1．二次根式的主要性质：
①⎩⎨⎧<-≥==00
2a a a a a a ； ②
()
a a =2
(),0≥a ；
③()0,0≥≥⋅=b a b a ab ； ④
()0,0>≥=
=b a b ab
b
a b a ； ⑤
(
)(
)
b a b a b
a b
a b a b
a --=
-+-=
+1； ⑥b a b
a b
a -+=-1．
五、最简二次根式
被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式成为最简二次根式。
最简二次根式的条件：①根号内不含有开的尽方的因数或因式；②根号内不含有分母，小数；③分母不含有根号。
被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式。
七、二次根式的运算
A 、乘法公式：)0,0______(≥≥=⋅b a b a ；反之：)0,0_______(≥≥=b a ab
B 、除法公式：
)0,0______(>≥=b a b
a
；反之：)0,0______(>≥=b a b a C 、合并同类二次根式：__________________;=-=+a n a m a n a m 例题解析
例1 在下列各数中：－2
3，，4π， 59， 003 000 3…(相邻两个3之间0的个数逐次加1)，无理
数有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 例216的算术平方根是( )
A ．－2
B ．2
C ．－4
D ．4 例3下列计算错误的是( )
A ．±错误!＝± ＝5 C ．－错误!＝－10 ＝±9 例4已知(x －2y ＋3)2
＋2－y ＝0，则x ＋y ＝_______．
例5某数有两个平方根，分别是3a ＋3与a －15，求这个数. 例6（1）3
12
)22(28+
+- （2）32)2145051183(÷-+ 随堂训练
一．填空题
1、()2
6-的算术平方根是__________；2的平方根是__________。
2、ππ-+-43＝ _____________。
3、实数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示
化简c b c b a a ---++2
＝________________。
4、若m 、n 互为相反数，则n m +-5＝_________。
5、若2
)2(1-+-n m ＝0，则m ＝________，n ＝_________。
6、若b a ,互为相反数，d c ,互为倒数，则=++333cd b a .
7、 38-＝________，38-＝_________。
8、绝对值小于π的整数有__________________________。
9、如果102
=x ，则x 是一个 数，x 的整数部分是 . 10、64的平方根是 ，立方根是 . 11、51-的相反数是 ，绝对值是 . 12、若==
x x 则6 .
13、当_______x 时，32-x 有意义；当_______x 时，
x
-11有意义；
14、若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ； 15、当10≤≤x 时，化简__________12
=-+x x ; 二．选择题 16、代数式12
+x ，
x ，y ,2)1(-m ,33x 中一定是正数的有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 17、若73-x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A 、x ＞37-
B 、x ≥ 37-
C 、x ＞37
D 、x ≥3
7 18、若x ，y 都是实数，且42112=+-+-y x x ，则xy 的值（ ）
A 、0
B 、
2
1
C 、2
D 、不能确定 19、下列说法中，错误的是（ ）
A 、4的算术平方根是2
B 、81的平方根是±3
C 、8的立方根是±2
D 、-1的立方根是-1 20、64的立方根是（ ）
A 、±4
B 、4
C 、－4
D 、16 21、已知04)3(2
=-+-b a ，则
b
a
3
的值是（ ） A 、 41 B 、－ 41 C 、433 D 、4
3
22、计算
33
841627-+-+的值是（ ）
A 、1
B 、±1
C 、2
D 、7 23. 下列实数31
7，π-，14159.3，8，327-，中无理数有（ ） A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
24. 下列运算正确的是（ ）
A.39±=
B.33-=-
C.39-=-
D.932
=-
25. 下列各组数中互为相反数的是（ ）
A.－2 2(2)-－2 38-－2 与12
- 与2- 26. 实数a,b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 0a b +>
B. 0a b ->
C. 0>ab
D ．0>b
a
27. 如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0。
错误的是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①③④ 28. 若a 为实数，则下列式子中一定是负数的是（ ）
A ．2
a - B ．2
)1(+-a C ．2a - D ．)1(+--a
29. 2a a =-，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ） A ．原点左侧 B ．原点右侧 C ．原点或原点左侧
D ．原点或原点右侧
30. 观察下列计算过程： 因为112
=121，所以121=11 ； 因为1112
=12321，所以
11112321=；……，由此猜想76543211234567898= ( )
31.（1)252826-+ （2）)5
15(5-
（3）2551- （4）103104+-
（5）
)138)(138(-+ （6）)83)(31()35(2-++-
四、综合应用题
32、若0)13(12=-++-y x x ，求2
5y x +的值。
33、化简：233221-+-+-
34、若a 、b 、c 满足01)5(32
=-+++-c b a ，求代数式
a
c
b -的值。
35、已知
0525
22=-++-x
x x y ，求7（x ＋y ）－20的立方根。
36. 已知实数x 、y 、z 在数轴上的对应点如图
试化简：x z x y y z x z x z
---++++
-。
1. (1) 2+32—52 (2) |23-
| + |23-| + 2)2(-
2. （1）036252=-x （2）27（x －3）3＝－64
3. 已知a 31-和︱4b －3︱互为相反数，求ab －27 的值。
4. 已知a 、b 满足05102=-++b a ，解关于x 的方程()142
-=++a b x a 。
5、已知a －1的算术平方根是它本身，3a ＋b －1的算术平方根是4，求a ＋2b 的值。
6. 阅读下列解题过程：
45)
45)(45()45(14
51-=-+-⨯=
+，
56)
56)(56()56(15
61-=-+-⨯=
+，请回答下列回题：
（1）观察上面的解答过程，请写出n
n ++11
= ；
（2）利用上面的解法，请化简：
y x
z。