圆锥曲线中轨迹问题

圆锥曲线中轨迹问题

曲线轨迹方程的探求一直是高考中的重点和热点，涉及面广，综合性强。曲线轨迹方程的探求有两种类型，第一种类型是几何关系已知，轨迹未知；第二种类型是曲线形状已知，求方程。类型一常用的方法有直接法、相关点法和参数法。类型二常用的方法有定义法和待定系数法。

（1）直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何的基本知识推出等量关系，求方程时便可利用直接法。

（2）定义法：如果所给几何条件能够确定符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。

（3）相关点法：如果动点P（x，y）依赖于另一动点Q（a，b），而Q（a，b）又在某一已知曲线上运动，则可先列出关于x，y，a，b的方程组，利用x，y表示出a，b，把a，b代入已知曲线方程便可得出动点P的轨迹方程，又称为代入法。

（4）参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

（5）交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，如求两动直线的交点时常用这种方法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。

（6）几何法：利用平面几何或解析几何的有关基础知识去分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然后求出动点的轨迹方程。

热点透析

题型1：直接法

【例1】已知定点A、B，且AB=2a。如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2：1，求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？

【解】本题首先要建立坐标系，建立坐标系的要求是保持对称性，以使所求方程简单，容易看出方程表示什么曲线。

如图，取AB所在的直线为x轴，从A到B为正方向，以AB的中点O为原点，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则A（-a，0）、B（a，0）。

设P（x，y）。∵即

化简整理，得，

即。

这就是动点P的轨迹方程。它表示以为圆心，为半径的圆。

热身训练1已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.

解:建立坐标系如图所示，设|AB|=2a,则A(－a,0),B(a,0).设M(x,y)是轨迹上任意一点.

则由题设，得=λ,坐标代入，得=λ,化简得

(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0

(1)当λ=1时，即|M A|=|M B|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴).

(2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0.

点M的轨迹是以(－，0)为圆心，为半径的圆.

热身训练2、给定抛物线y2=8(x+2)，其焦点和准线分别是椭圆的一个焦点和一条准线，求椭圆的短轴端点的轨迹方程。

解：抛物线y2=8(x+2)的焦点为（0，0），准线为x= -4,由题意知，x= -4必为椭圆的左准线，设椭圆短轴端点为B(x,y)

(1)若（0，0）点为椭圆左焦点，则c=x,b=,e=,

由定义得

(2)若（0，0）点为椭圆右焦点，则c= -x,b=,e=,而左焦点为（2x,0）,

由定义得

题型2：定义法

【例2】已知方程为，定点A（4，0）。求过点A且和相切的动圆圆心P 的轨迹。

【分析】由于动圆过A点，所以|PA|是动圆的半径。当动圆P与圆O外切时，|PO|=|PA|+2，即|PO|-|PA|=2；当动圆P与圆O内切时，有|PO|=|PA|-2，所以有||PO|-|PA||=2。可以看出动点P的运动满足双曲线的定义，因此可将问题转化为用定义法求轨迹方程。

【解】设动圆圆心为P（x，y），因为动圆过定点A，所以|PA|是动圆半径。

当动圆P与外切时，|PO|-|PA|=2；

当动圆P与内切时，|PA|-|PO|=2；

∴有||PO|-|PA||=2。

∴P点的轨迹是以O、A为焦点，2为实轴长的双曲线，

中心在OA的中点（2，0），实半轴长为a=1，半焦距c=2，虚半轴长。

∴所求点P的轨迹方程为。

【例3】已知双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，且以y轴为右准线，并过定点R（1，2）。

（1）求此双曲线右焦点F的轨迹；

（2）过R与F的弦与右支交于Q点，求Q点的轨迹方程。

【解】（1），又，

∴，设右焦点F（x，y），由双曲线定义，得

，∴。

∴双曲线的右焦点F的轨迹是以（1，2）为圆心，为半径的圆。

（2）设Q（x，y），由双曲线的定义得

，∴，

∴，即。

热身训练1 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP 运到P处，其中AP=100m，BP=150m，∠APB=600，问怎能样运才能最省工？

解：半圆上的点可分为三类：一是沿AP到P较近，二是沿BP到P较近，三是沿AP或BP一样近。

其中第三类的点位于前两类的分界线上，设M为分界线上的任一点，则有

，

即，故M在以A，B为焦点的双曲线的右支上。

建立如图直角坐标系，得边界的方程为,故运土时为了省工，

在双曲线弧左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处，在曲线上面的土两边都可运。

说明：利用双曲线的定义可直接写出双曲线方程。

热身训练2、已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为（-6，0），M为圆O上任一点，AM 的垂直平分线交OM于点P，求点P的方程。

解：由中垂线知，故，

即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P点的方程为

热身训练3某检验员通常用一个直径为2.cm和一个直径为1.cm的标准圆柱，检测一个直径为3.cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？

解:设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,

使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r, 则|PA|+|PO|=(1+r)+(1.5－r)=2.5

∴点P在以A、O为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为

=1

①

同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为

(x－)2+y2=1 ②

由①、②可解得，

∴r=故所求圆柱的直径为cm.

题型3：相关点法