第8章 静电场 (参考答案)

U Q 4 π 0 (R x )
2 2 1 2
R Q O x
r
由电荷的轴对称分布可判断,该场点的电场强度方向应沿轴向，故有
E Ex
U x
Qx
3
4 π 0 (R 2 x ) 2
y
这个结果与直接由点电荷的电场强度叠加的结果相同. 10. 一个细玻璃棒被弯成半径为 R 的半圆形，沿其 上半部分均匀分布有电荷+Q，沿其下半部分均匀分布有 电荷－Q，如图所示．试求圆心 O 处的电场强度．
v v 答案： Ñ L E d l =0
单位正电荷在静电场中沿任意闭合路径绕行一周， Ñ L E d l =0 ；
v
v
电场力作功等于零；有势（或保守力）
1
二、计算题 5.电荷线密度为 的“无限长”均匀带电细线， 弯成图示形状。若半圆弧 AB 的半径为 R，试 圆心 O 点的场强。 求
/2 Q Q Ey 2 cos d cos d 2 2 2 0 R 0 0R2 /2
所以
v v v Q v E Ex i E y j = 2 j。 π 0 R2
5
11. 半径为 R 的均匀带电球面， 带有电荷 q． 沿 某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度 为 ，长度为 l，细线左端离球心距离为 r0．设球 和线上的电荷分布不受相互作用影响， 试求细线所受球面电荷的电场力和细线在 该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)．
E2 dE
a
则x
2 a 2
7. 一球体内均匀分布着电荷体密度为 的正电荷， 若保持电 荷分布不变,在该球体中挖去半径为 r 的一个小球体，球心为 O ， 两球心间距离 OO d ，如图所示. 求: (1) 在球形空腔内，球心 O 处的电场强度 E 0 . (2) 在球体内 P 点处的电场强度 E .设 O 、 O 、 P 三点在同一直径上，且
2
（1） M1 处的场强大小为
a kx ka 2 dx dx 0 2 0 2 4 0 0 0 同理， M 2 处的场强为
E1 dE
a
a kx ka 2 dx dx 0 2 0 2 4 0 0 0 (2) M 处 x (0 x a ) 的场强为 x a k E dE dx dx (2 x 2 a 2 ) 0 2 x 2 0 4 0 0 (3)场强最小为 Emin 0 k 即， (2 x2 a 2 ) 0 4 0
r1 R
球外电势：
q q dr 2 4 0 r 4 0 r2
r2 R
9. 均匀带电圆环，电量为 Q，半径为 R，试由电势梯度求圆环轴线上任一点 的电场强度. 参考答案
4
解题分析 由电荷元的电势叠加可求带电圆环轴线上场点的电势，则可按题 目要求求解. 解题过程 设场点与环心相距为 x，由 电势叠加原理可求该点电势为

r1
0
qr qr14 2 4 r d r R 4 0R 4
E 1 得：
qr12 4 0 R 4
uu v (r1≤R)， E1 方向沿半径向外
2 在球体外作半径为 r2 的高斯球面，按高斯定理： 4r2 E 2 q / 0
得：
uu v (r2 >R)， E2 方向沿半径向外 v v uu v v R uu (3) 球内电势： U1 E1 gdr E2 gdr
参考答案：设 x 轴沿细线方向，原点在球心处，在 x 处取线元 dx ，其上电荷 为 dq dx ，
dx O R r0 x r0+l x
该线元在带电球面的电场中所受电场力为： q dx dF 4 0 x2 整个细线所受电场力为： q r0 l dx ql F ，方向沿 x 正方向． 2 r 4 0 0 x 4 0 r0 r0 l 电荷元在球面电荷电场中具有电势能：
r3 E E P1 E P2 (d 2 ) 方向为径向 3 0 4d
3
8. 一半径为 R 的带电球体，其电荷体密度分布为： 正的常量)， 0
qr (r≤R) (q 为一 R4
(r R) . 求：(1) 带电球体的总电荷；(2) 球内、外各点的电
场强度；(3) 球内、外各点的电势。
R
A O
∞
B
∞
参考答案：以 O 点作坐标原点，建立坐标如图所示。半无限长直线 A∞在 O
uu v uu v 点产生的场强 E1 : E1
v v (i j) 4 0 R
E2 E1
y A O B
半 无 限 长 直 线 B∞ 在 O 点 产 生 的 场 强
uu v uu v E2 : E2
r1 R
E 2
q 4 0 r22

qr 2 q dr dr 4 r 1 4 R R 4 r 2 0 0 R
r13 q q qr13 4 3 R 3 0 R 12 0 R 4 12 0 R
R U 2 E2 d r r2 r2
，求：（1） 2 0
用连续带电体场强叠加原理计算板外两侧任一 点 M1 、 M 2 的场强大小； （2）用连续带电体场强叠加原理计算板内任一点 M 的场强大小； （3）求场强最小的点在何处。 参考答案：在平板内任取厚度为 dx 的簿层，作为电荷元，如图所示。 其电荷面密度为 = dx ，簿层两侧的场强大小为 dx dE 2 0
E ( R ) ，可知地球表面的电流密度 j ( R ) 及电流强度 I ；由 E ( R ) ，运用高斯定理可
得 e ； 由于电流强度 I 恒定， 电流密度 j ( r ) 的分布可求出， 从而电场强度 E ( r ) 的 分布可求出，再用高斯定理可求 e (r ) ；对电场强度作积分可得电位差 V .
3. 在点电荷 q 的静电场中，若选取与点电荷距离为 r0 的一点为电势零点， 则与点电荷距离为 r 处的电势 U＝__________________。 答案：
q 1 1 ( ) 4 0 r r0
4. 静电场的环路定理的数学表示式为：_______________________________， 该式的物理意义是：________________________________________________， 该定理表明，静电场是________________________场。
E (R)
e 0
地球表面的面电荷密度为
e 0 E ( R ) 8.85 10 10 C m 2
（3）地球大气中体电荷密度的分布 e (r ) ：由于电流强度恒定，由电流强度可找 出电流密度的分布，由电流密度的分布可找出电场强度的分布，再根据高斯定理 可求出电荷密度的分布，根据以上分析有
OP d .
参考答案： （1）利用补偿法，以 O 为圆心，过 O 点作一个半径为 d 的高斯 面。根据高斯定理有 4 d 3 d 3 E 方向从 O 指向 O E d S 0 0 3 0 0 （2）过 P 点以 O 为圆心，作一个半径为 d 的高斯面。根据高斯定理有 4 d 3 d 3 E E d S P P 1 1 3 0 0 过 P 点以 O 为圆心，作一个半径为 2d 的高斯面。根据高斯定理有 4 r3 r3 3 E P21 E P2 dS 0 12 0 d 2
dW
q dx 4 0 x
整个线电荷在电场中具有电势能： r0 l q r0 l d x q W ln 4 0 r0 x 4 0 r0
12. 天气晴朗时， 地球大气中沿径向有正的体电荷密度 e (r ) 分布， 地球表面 则有负的均匀面电荷密度 e ，这样，在大气中便有径向电场 E ( r ) ，从而形成径 向电流.已知大气的电导率分布为
(r ) 0 a(r R ) 2
式中 0 3.0 10 14 1 m 1 ，a 0.5 10 20 m 3 ，R 6 10 6 m ( R 为地球半径)，
6
r 从地球中心算起. 已知地球表面的电场强度为 E ( R) 100V m 1 ，负号表示场
强指向地球中心 . 设地球作为导体，其内部无电荷，并设大气中的体电荷密度
e (r ) 及 地球表面的面电荷密度 e 均不随时间变化（稳态近似） ，即大气中的径
向电流是稳恒的.试求： （1）地球表面的总电流强度 I ； （2）地球表面的面电荷密度 e ； （3）地球大气中体电荷密度的分布 e (r ) ； 参考解答 解题分析 根据欧姆定律，由地球表面的电荷面密度 e ( R ) 及电场强度
－Q +Q
R O x
参考答案： 把所有电荷都当作正电荷处理. 在 处取微 小电荷 dq dl 2Qd / ，它在 O 处产生场强
dq Q 2 d 2 4 0 R 2 0 R 2 按 角变化，将 dE 分解成二个分量： Q dEx dE sin 2 sin d 2 0 R 2 Q dE y dE cos 2 cos d 2 0 R 2 对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷 / 2 Q Ex sin d sin d 0 2 2 2 0 R 0 /2 dE
v v (i j) ： 4 0 R
E3
x
∞
∞
uu v uu v 半圆弧线段在 O 点产生的场强 E3 : E3
v i 2 0 R u v uu v uu v uu v 由场强叠加原理，O 点合场强为： E E1 E2 E3 0
6. 一厚度为 a 的无限大带电平板，电荷体密度 为 kx (0 x a) ， k 为正常数，已知无限 大带电平面的电场强度为 E
2. 如图所示 , 真空中有两个点电荷 , 带电量分别 为 Q 和Q, 相距 2R.若以负电荷所在处 O 点为中心, 以 R 为半径作高斯球面 S, 则通过该球面的电场强度通量
a
S
R Q O
b 2R
+Q
=
；若以 r0 表示高斯面外法线方向的单 、 .
位矢量， 则高斯面上 a、 b 两点的电场强度分别为 答案：Q/0, 2Qr0/(90R2), Qr0/(20R2).
参考答案：(1) 在球内取半径为 r、厚为 dr 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为： dq = dV = 4qr3dr/R4 则球体所带的总电荷为：
Q d V 4q / R 4
V

r
0
r
3
dr q
(2) 在球内作一半径为 r1 的高斯球面，按高斯定理有： 4r12 E1 1 0
第 8 章 静电场
一、填空题 1. 真空中一半径为 R 的均匀带电球面，总电量为 Q (Q 0) 。 今在球面上挖去非常小块的面积 S （连同电荷） ，且假设不影响 原来的电荷分布。则挖去 S 后，球心处电场强度的大小 E ____________，其方向为____________。 Q S 答案： ， 由圆心 O 指向 S 16 2 0 R 4
解题过程
（1）地球表面的总电流强度 I ：地球表面的电流密度 j ( R ) 为 j ( R) ( R) E ( R) 0 E ( R)
地球大气中稳恒的径向电流强度 I 为
I 4πR 2 j ( R) 4πR 2 0 E ( R) 1357(A)
（2）地球表面的面电荷密度 e ：由于地球内部没有电荷，故地球表面的电场强 度为