高等数学第七章微分方程微分方程

例
例
解
解
微分方程
微分方程
初始条件 通解 特解
有何想法？
初始条件 通解 特解
3
积分曲线（解的几何意义）
常微分方程解的几何图形称为它的积分曲线。 通解的图形是一族积分曲线。 特解是这族积分曲线中过某已知点的那条曲线。
介绍常微分方程的解法
分离变量法
常微分方程的初等方法
常数变易法 积分因子法
变量代换法
降阶法
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第五节 二阶常系数线性微分方程
二阶常系数齐线性方程 特征方程 特征根
二阶常系数非齐线性方程
一、二阶常系数齐次线性微分方程
形如 的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，
即
特征方程
二阶常系数齐线性微分方程 的特征方程为
由求根公式
二阶常系数齐线性微分方程 的特征方程为
是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通解为
故原方程为 对应齐次方程通解: 原方程通解为
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二、
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
第二步 求出如下两个方程的特解
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形
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第二步 求如下两方程的特解 ②
③
设
是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
例1
解 原方程即 对上式两边积分，得原方程的通解
例2
解
对上式两边积分，得原方程的通解 经初等运算可得到原方程的通解为
4
原方程的解为
例3
解 两边同时积分，得
故所求通解为
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例4
解 原方程即 两边积分，得 故通解为
曲线族的包络。
例6求解微分方程 解 分离变量
两端积分
工程技术中 解决某些问题时， 需要用到方程的 奇解。
齐次方程
变量代换
代入原方程，得
变量分离方程
例 解：
还原变量：
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例 解：
还原变量：
四、一阶线性微分方程
形如 的方程称为一阶线性微分方程。
方程称为一阶齐次线性方程。 方程称为一阶非齐次线性方程。
习惯上，称 为方程 所对应的齐次方程。
一阶齐次线性方程的解
运用分离变量法，得
两边积分，得 故
表示一个 原函数
的解存在，且唯一，其通解为
6
例
解 故该一阶齐线性方程的通解为
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例
解 先求此一阶齐线性方程的通解：
故该初值问题的解为
一阶非齐次线性方程的解
比较两个方程：
我想：它们的解的形式应该差不多。但差了一点
故
什么东西呢？
即
上式两边积分，求出待定函数
以上的推导过程称为“常数变易法”。这种方 法经常用来由齐次问题推出相应的非齐次问题、由 线性问题推出相应的非线性问题。
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推广
的解，则它们的线性组合 也是方程 (2) 的解。
在什么情况下，叠加所得可以成为方程 (2) 的通解？
(2) 线性无关、线性相关
11
例
证
由三角函数知识可知，这是不可能的，故
(3) 二阶齐线性微分方程解的结构 定理 1
的两个线性无关的解，则 是方程 (2) 的通解。
性质 2 的一个特解，则 是方程 的一个特解。
例3
一般说来，不含有任意常数的解，称为方程的特解。
通常由一定的条件出发，确定方程通解中的任意常 数来得到特解。但有些特解不能由通解求出，必须利用 其它方法直接由方程解出。
所有解＝通解＋不能包含在通解内的所有特解。
12
2
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例1
例
解
例2
例3
代入方程，得
微分方程的解不一定都能用初等函数表示出来。 此时可求数值解
在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。 自由项为零的方程，称为齐方程。 自由项不为零的方程，称为非齐方程。
一阶齐线性方程
二阶非齐线性方程
一阶非齐非线性方程
方程的解、通解、特解、所有解
例1
能使微分方程成为恒等式的函数，称为方程的解。
如果 n 阶微分方程的解中含有n 个相互独立的任意
例2
常数，则称此解为 n 阶微分方程的通解。
由多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解:
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定理 1 当二阶常系数非齐线性方程 它有下列形式的特解：
其中：
例
解 对应的齐方程的特征方程为
特征根为 对应的齐方程的通解为
将它代入原方程，得
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比较两边同类项的系数，得
故原方程有一特解为 综上所述，原方程的通解为
例 求微分方程
你认为方程应该 有什么样子的特解？
单根 二重根 一对共轭复根
假设方程
有下列形式的特解：
则
代入方程 (2) ，得 即
方程 (3) 的系数与方程 (2) 的特征根有关。
由方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解:
由多项式求导的特点可知，应有 方程 (2) 有下列形式的特解:
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初始条件（定解条件）
由自然科学、社会科学以及数学本身建立微 分方程时，往往同时知道微分方程的解应满足某 些已知的条件。这些已知条件就称为微分方程的 初始条件或定解条件。
常微分方程 初始条件
称为初值问题（柯西问题）
初始条件（定解条件）
为了确定n阶微分方程
的某个特解，
需要给出该特解应满足的附加条件，称为定解条件。一般而 言,n阶微分方程 有n个定解条件。常见的定解条件如下：
为实数 ) . 解: 特征方程
对应齐次方程通解: 时,
故原方程通解为
时, 故原方程通解为
的通解 (其中 特征根: 代入原方程得
代入原方程得
例
解 对应的齐方程的特征方程为
特征根为 对应的齐方程的通解为
将它代入原方程，得
例 已知二阶常微分方程
求微分方程的通解 .
解: 将特解代入方程得恒等式
有特解
比较系数得
只需连续进行 n 次积分即可求解这类方程，但请注意： 每次积分都应该出现一个积分常数。
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例
ห้องสมุดไป่ตู้
例
解
解:
例
解
例
解 两边积分，得 即 再积分，得原方程的通解
这是一个一阶微分方程。设其通解为 连续积分即可求解。
例
解 分离变量，得 积分，得 连续积分 4 次，得原方程的通解为
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例
证
2. 二阶非齐线性微分方程解的结构 (1) 解的性质
性质 1 的一个特解，则 是原方程的一个特解。
性质 3 是其对应的齐方程 的一个特解。
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常
数
定理 3
变
易
法
的通解，则
是方程 (1) 的通解。
如何求特解？
由性质1 以及通解的概念立即可以得知该定理成立。
常数变易法
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例5:求解微分方程
解 分离变量
两端积分
例7:某商品的需求量Q对价格p的弹性为－pln3,已知该商品的最大需 求量为1200（即当p＝0时，Q＝1200）,求需求量Q对价格p的函数 关系式。
解 由需求弹性的定义，有
分离变量，得
两边积分，得
所以 由初始条件
该商品需求量与价格的关系为：
5
二、齐次方程
求解方法：
7
例1
解 所以，方程的通解为
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例2 解：
课堂练习
解
课堂练习
解
第三节 几种可降阶的高阶常微分方程
二阶和二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程。 通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的微 分方程进行求解的方法，称为“降阶法”。
“降阶法”是解高阶方程常用的方法之一。
这是变量可分离的方程，两边积分，得 即
高阶线性常系数微分方程解法
特征值法 变量代换法
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练习
2.在下列各题中,确定函数关系式中所含的参数，使函数满足 所给的初始条件
解 解
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一、变量可分离方程
如果一阶微分方程可以化为下列形式： 则称原方程为变量可分离的方程。
运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：
为微分方程的解. 其中C 为积分后出现的任意常数。 将一个方程化为变量分离方程并求出其通解的过程， 称为分离变量法。
于是，原方程化为 这是一个一阶微分方程。设其通解为 这是一个变量分离方程，它的通解就是原方程的通解。
例
解 于是，原方程化为
两边积分，得 运用分离变量法，得此方程的通解为 综上所述，原方程的通解为
例
解
即 从而 即 运用分离变量法求解此方程，即得原方程的通解：
第四节 二阶常系数线性微分方程
一、高阶线性微分方程的一般理论 二、二阶常系数齐线性微分方程的解 三、二阶常系数非齐线性微分方程的解
了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法.
熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. 掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余
弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法.
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第一节 微分方程的基本概念
解
2
在许多物理、力学、生物等现象中，不能直接找到联 系所研究的那些量的规律，但却容易建立起这些量与它们 的导数或微分间的关系。
由刘维尔公式求另一个解： 于是，当特征方程有重实根时，方程 ( 1 ) 的通解为
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二阶常系数齐线性微分方程 的特征方程为
3) 特征方程有一对共轭复根： 是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解为
利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位 i 。
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欧拉公式： 由线性方程解的性质： 均为方程 ( 1 ) 的解，且它们是线性无关的：
一、高阶线性微分方程的一般理论
n 阶线性方程的一般形式为
二阶线性微分方程的一般形式为
通常称 ( 2 ) 为 ( 1 ) 的相对应的齐方程。 我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可 自然推广至 n 阶线性方程中。
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1. 二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构
证
(1) 叠加原理
的解，则它们的线性组合 也是方程 (2) 的解，
故当特征方程有一对共轭复根 时，原方程的通解可表示为
二阶常系数齐线性微分方程 特征方程
特征根
通解形式
例
例
解
解
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三、二阶常系数非齐线性微分方程
形如 的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程，
它对应的齐方程为 我们只讨论函数 f ( x ) 的几种简单情形下，(2) 的特解。
方程 (2) 对应的齐方程 (1) 的特征方程及特征根为
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例.
的通解.
解: 特征方程为
其根为
对应齐次方程的通解为
为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为
代入方程: 比较系数, 得 因此特解为 所求通解为
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特解:
故
等式两边取共轭 :
为方程 ③ 的特解 .
第三步 求原方程的特解 原方程 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
均为 m 次多项式 .
第四步 分析
因
本质上为实函数 ,
均为 m 次实多项式 .
内容小结
为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根, 则设特解为
为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为 3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
常 数 变 易 法
则有 令
以下推导的前提
联立 (3)、(4) 构成方程组 解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到
于是 对上式两边关于 x 求导，得
这两部分 为零。
即
例
解 由常数变易法，解方程组
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两边积分，取积分常数为零，得
两边积分，取积分常数为零，得 故原方程有一特解 从而，原方程的通解为
未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。
未知函数为多元函数的微分方程，称为偏微分方程。
常微分方程 偏微分方程
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微分方程的阶
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 称为微分方程的阶。
一阶
解
二阶
一阶
练习
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线性方程、非线性方程
定义
一阶 线性 二阶 线性 一阶 非线性
齐方程、非齐次方程
含有未知函数的导数（或微分）的关系式。
第一节 微分方程的基本概念
微分方程 方程的阶数 线性方程、非线性方程 齐次方程、非齐次方程 方程的解、通解、特解、所有解 积分曲线（解的几何意义） 初始条件（定解条件） 初值问题、初值问题的解
微分方程
例
未知函数可以不出现，但其导数一定要出现。
含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程。
第七章 微分方程
本章学习要求：
了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. 了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方
程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. 会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. 知道下列高阶方程的降阶法：