数形结合思想：几何问题中运用代数法解题的三种基本类型

学习利用代数方法解几何问题

学习利用代数方法解几何问题在代数中，我们经常使用代数方法来解决各种各样的问题。

而在几何学中，我们可以运用代数方法将几何问题转化为代数问题，并通过求解代数方程组来得到几何问题的解答。

本文将介绍如何学习并利用代数方法解决几何问题。

一、代数方法的基本原理代数方法是将几何问题转化为代数问题，通过代数方程的求解来解决几何问题。

为了能够应用代数方法解决几何问题，我们需要了解以下几个基本原理。

1. 代数与几何的关系代数与几何是密切相关的学科，它们相互补充和支持。

代数可以提供几何问题的一种抽象表示方法，而几何可以帮助我们直观地理解代数概念。

2. 代数方程组的求解在代数中，我们经常遇到各种各样的方程。

解决方程的过程需要运用代数技巧，并通过变量的求解得到方程的解。

同样，对于几何问题，我们可以将几何条件转化为代数方程组，并得到方程组的解作为几何问题的解答。

3. 几何问题的代数化为了将几何问题转化为代数问题，我们需要将几何条件用代数符号表示。

例如，可以将线段的长度表示为变量，将角的度数表示为未知数等。

通过建立几何问题的数学模型，我们可以得到代数方程组。

二、代数方法解决几何问题的步骤学习代数方法解决几何问题需要遵循一定的步骤和思路。

下面将为大家介绍一种常用的代数方法解题的步骤。

1. 问题的分析首先，我们需要仔细阅读题目并理解问题的要求。

在这一步骤中，我们需要分析几何问题，并找出问题所涉及的几何要素，例如线段、角、三角形等。

2. 几何条件的代数化在获得问题的几何要素后，我们需要将几何条件用代数符号表示。

例如，可以用x表示线段的长度，用θ表示角的度数等。

通过这一步骤，我们可以建立几何问题的数学模型。

3. 建立代数方程组根据题目给出的几何条件，我们可以建立几何问题的代数方程组。

例如，可以根据线段的长度关系建立方程，根据角的性质建立方程等。

通过建立代数方程组，我们可以将几何问题转化为代数问题。

4. 解代数方程组一旦建立了代数方程组，就可以通过求解方程组得到几何问题的解答。

初中数学数形结合解题思想方法探究

初中数学数形结合解题思想方法探究数学是一门精确的科学，其中涉及到的数形结合问题是数学中的一个重要内容。

解决数形结合问题的方法有很多，下面将介绍三种常用的解题思想和方法。

一、几何思想几何思想是解决数形结合问题的一种重要思想。

它通过几何图形的性质和关系来解决问题。

解题时，可以先根据题目中给出的条件画出几何图形，并找出几何图形之间的性质和关系。

然后利用这些性质和关系进行推理和计算，最终得到问题的解答。

有一个矩形，它的周长是30cm，面积是100cm²，求矩形的长和宽。

解：设矩形的长为x，宽为y。

根据题目中的条件，可以得到以下两个方程：2(x+y) = 30xy = 100利用几何思想，可以发现矩形的周长等于长和宽的两倍之和，即2(x+y)，所以可以得到第一个方程。

通过这两个方程，可以解得x=10，y=10。

所以矩形的长和宽分别是10cm。

二、代数思想代数思想是解决数形结合问题的另一种重要思想。

它通过建立代数模型来解决问题。

解题时，可以将问题中的未知量用代数符号表示出来，并建立相应的方程或不等式。

然后利用代数的方法进行运算和计算，得到问题的解答。

有一个数字，它是一个两位数，相反的两个数字之差是36，这个数字是多少？利用代数思想，可以将相反的两个数字表示成10x+y和10y+x。

它们之差是36，所以可以得到上述方程。

三、逻辑思想有5个小方块，它们的边长分别为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm，将这些小方块拼成一个正方形，这个正方形的边长是多少？解：根据题目中给出的条件，可以知道这个正方形一共有5个小方块，而且边长依次增加1cm。

通过观察和推理，可以得到以下结论：1. 正方形的边长一定大于等于最长的小方块的边长，即大于等于5cm。

2. 正方形的边长一定小于等于所有小方块的边长之和，即小于等于1+2+3+4+5=15cm。

根据以上两个结论，可以得到正方形的边长的范围是5cm到15cm之间。

再观察题目中给出的条件，可以发现正方形的边长的值一定在这个范围中。

用代数解决几何问题

用代数解决几何问题在数学中，几何问题的解决通常涉及到图形的性质、形状和关系。

然而，有时候我们可以运用代数的方法来解决几何问题，这为我们提供了一种全新的思维方式。

本文将探讨如何使用代数来解决几何问题。

一、平面几何中的代数方法在平面几何中，我们可以使用代数方法解决许多与线段、角度和面积等有关的问题。

一种常见的方法是使用坐标系来表示几何图形和点。

通过给定点的坐标，我们可以用代数方程来描述线段的性质和关系。

例如，考虑到一个平面上的三角形，我们可以用代数方法来计算其面积。

假设三角形的顶点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）和C（x3，y3）。

根据向量的性质，三角形的面积可以表示为：面积 = 1/2 * |(x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2))|利用这个公式，我们可以通过计算三个顶点的坐标来得到三角形的面积。

二、代数与展平几何代数方法还可以应用于展平几何，即将三维几何问题转化为代数问题并在二维平面上进行求解。

这在计算立体体积、表面积和相关关系时特别有用。

举个例子，考虑到一个球体的表面积。

使用代数方法，我们可以将球体展平成两个半球，并将其表面积转化为圆的周长。

然后，通过计算圆的周长并乘以半径，我们就可以求得球体的表面积。

类似地，对于立体体积的计算，我们可以将立体体积转化为平面形状的求解问题，然后利用代数方法来求解。

三、代数方法与复平面几何复平面是用代数方法处理几何问题的另一种重要工具。

复数可以用来表示平面上的点，其中实部对应于横坐标，虚部对应于纵坐标。

通过复平面几何，我们可以使用代数方法解决与点的位置、距离和对称等有关的问题。

例如，考虑到点和直线之间的关系。

给定一个点P（x, y）和一条直线ax + by + c = 0，我们可以使用代数方法计算点到直线的距离。

距离计算公式为：距离= |(ax + by + c)/√(a^2 + b^2)|通过将点的坐标代入距离公式，我们可以通过代数计算来得到点到直线的距离。

“数形结合”解题

“数形结合”解题作者：周静来源：《成长·读写月刊》2016年第02期一、数形结合思想的提出在高中数学解析几何这一模块中，处理问题的方法常见有代数法和几何法。

代数法是从“数”的角度解决问题、几何法从“形”的角度解决问题，这两种方法相辅相成，相得益彰。

现举例如下：若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，求k的取值范围.解：（代数法）曲线方程可化为x2+y2=1（x≥0），把y=x+k代入x2+y2=1（x≥0）可得：2x2+2kx+k2-1=0（x≥0），由题意可知方程仅有一个非负根①当方程有等根时，即△=（2k）2-8（k2-1）=0，可得k=±，当k=时，方程可化为2x2+2x+1=0，得x=-不合题意;当k=-时，方程为2x2-2x+1=0得x=符合题意，可知k=-;②当方程根为x=0时，得k2-1=0，k=±1，当k=-1时，方程为2x2-2x=0，得方程两个根为x1=0，x2=1不合题意应舍去;当k=1时，方程为2x2+2x=0，得方程两个根为x1=0，x2=-1适合题意，可知k=1;③当方程根为一正一负时，只需x1x2=<0，可得-1<k<1。

综上所述：所求 k的取值范围为k=-或-1<k≤1。

（几何法）曲线x=是单位圆x2+y2=1的右半圆（x≥0），k是直线y=x+k在y轴上的截距.在同一坐标系中画出两曲线图像如图所示知：直线与曲线相切时，k=-，由图形：可得k=-或-1<k≤1。

上述两种解法可以看出利用代数法求解过程较为复杂、繁琐且容易错;而利用几何法即一种数形结合的思想方法，却能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它在数学解题中具有极为独特的指导作用。

二、数形结合思想的概述数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石。

在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，揭示其几何意义;而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法称之为数形结合的思想方法。

代数方法求解几何问题

计算机科学的应用：如算法设计、程序优化、数据挖掘等计算机科学的研究和应用
几何问题概述
几何问题的定义
几何问题是指研究几何图形的性质、关系和度量等问题几何问题包括平面几何、立体几何、解析几何等几何问题的研究方法包括代数方法、几何方法、解析方法等几何问题的应用广泛，如建筑设计、机械设计、计算机图形学等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
通用性强：代数方法可以应用于各种几何问题，具有广泛的应用范围。
易于计算：代数方法可以方便地进行计算，提高解题效率。
代数方法在几何问题中的具体应用
向量法：利用向量的加减法、数乘、内积等运算解决几何问题坐标法：将几何问题转化为代数方程组，利用代数方法求解解析几何法：利用解析几何中的直线、圆、椭圆等概念解决几何问题矩阵法：利用矩阵的运算解决几何问题，如线性变换、投影等
代数方法求解几何问题的未来展望
代数方法的发展趋势
发展更加高效的代数方法，提高求解几何问题的效率
更加注重几何与代数的结合，实现几何问题的代数化
探索新的代数方法，解决传统方法难以解决的几何问题
结合计算机技术，实现代数方法的自动化和智能化
代数方法在几何问题中的新应用
几何问题的代数化：将几何问题转化为代数问题，便于求解代数方法的扩展：引入新的代数方法，如矩阵、向量等，提高求解效率几何问题的计算机求解：利用计算机技术，实现几何问题的快速求解几何问题的优化：通过代数方法，对几何问题进行优化，提高求解精度
几何问题求解的重要性
添加标题
几何问题是数学中的重要组成部分，求解几何问题有助于提高数学思维能力和求解是数学教育的重要内容，有助于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

数学数形结合解题技巧

数学数形结合解题技巧数学是一门抽象而又具体的学科，它以数字和符号为基础，通过逻辑推理和运算规则来研究数量、结构、变化和空间等概念。

而数形结合解题技巧则是指通过数学和几何的结合，来解决一些复杂的问题。

本文将介绍一些数学数形结合解题技巧，帮助读者更好地应对数学难题。

一、平面几何与代数平面几何是数学中的一个重要分支，它研究平面上的点、线、面以及它们之间的关系。

而代数则是数学中的另一个重要分支，它研究数与符号之间的关系。

将平面几何和代数结合起来，可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。

例如，当我们遇到一个关于三角形的问题时，可以尝试使用代数的方法来解决。

假设三角形的三个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，我们可以利用代数中的距离公式来计算三角形的边长。

然后，我们可以利用这些边长来计算三角形的面积、周长等属性。

通过将平面几何和代数结合起来，我们可以更好地理解和解决三角形相关的问题。

二、数学与图形图形是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们更直观地理解和解决一些数学问题。

将数学与图形结合起来，可以帮助我们发现一些规律和性质，从而更好地解决问题。

例如，当我们遇到一个关于函数的问题时，可以尝试将函数的图像绘制出来。

通过观察函数的图像，我们可以发现函数的增减性、极值点、零点等性质。

这些性质可以帮助我们更好地理解和解决与函数相关的问题。

三、数学与实际问题数学是一门应用广泛的学科，它可以帮助我们解决各种实际问题。

将数学与实际问题结合起来，可以帮助我们更好地应对复杂的实际情况。

例如，当我们遇到一个关于比例的问题时，可以尝试使用数学的方法来解决。

假设我们需要计算一个物体的实际长度，但是我们只知道它的缩放比例和图像上的长度。

通过建立比例方程，我们可以利用已知的信息来计算出物体的实际长度。

通过将数学与实际问题结合起来，我们可以更好地解决与比例相关的问题。

四、数学与逻辑推理数学是一门严谨的学科，它强调逻辑推理和推导。

代数法求几何最值

代数法求几何最值题目：代数法求几何最值导语：代数法是数学中的一种常用技巧，可以通过代数运算和方程求解的方法来求解几何问题中的最值。

在解决几何问题时，我们可以通过使用代数法，将几何问题转化为代数问题，从而更方便求解。

本文将详细介绍代数法在求解几何最值问题中的应用，并给出具体的步骤和例子，旨在帮助读者全面理解和掌握代数法求几何最值的方法。

一、代数法求几何最值的基本思想几何最值问题是指在几何图形中，求解与某个特定条件相关的最大值或最小值的问题。

通过使用代数法，可以将几何问题转化为代数问题，通过代数运算和方程求解的方法，找到与几何问题等价的数学表达式，从而求解几何最值问题。

代数法求几何最值的基本思想是：1. 确定几何问题中所涉及的变量和条件；2. 将几何问题转化为代数问题，建立数学模型；3. 使用代数运算和方程求解的方法，解决从而获取几何问题的最值。

二、代数法求几何最值的具体步骤代数法求几何最值的具体步骤如下：1. 分析几何问题，确定所涉及的变量和条件；2. 根据问题的几何特征，建立相应的数学模型；3. 将几何问题转化为代数问题，通过变量和条件建立数学表达式；4. 根据代数表达式，利用代数运算和方程求解的方法，找到与几何问题等价的数学表达式的最值；5. 根据最值问题的定义，解释最值对应的几何特性。

三、代数法求几何最值的例子例（1）：求给定周长条件下，矩形面积的最大值。

分析：假设矩形的长为x，宽为y，周长为2x+2y=C（C为常数）。

步骤：1. 建立数学模型：矩形的面积A为xy，周长为2x+2y=C；2. 转化为代数问题：建立方程2x+2y=C，将y表示为x的函数，得到y=C/2 - x；3. 代入面积表达式：将y代入A=xy，得到A=x(C/2 - x)=Cx/2-x^2；4. 求导数：对A求导数，得到A'=(C-2x)/2；5. 解方程：令A'=0，解得x=C/4；6. 确定最值：代入x=C/4到面积表达式A=C^2/16，得到最大面积。

初中数学学习中的解题技巧——数形结合

初中数学学习中的解题技巧——数形结合数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.用数形结合的思想解题可分两类：(1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常常要建立方程(组)或建立函数关系式等.数形结合所涉及的热点内容：在初中教材中，“数”的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而“形”的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数图象对应一条直线，二次函数的图像对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.1. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．【思路点拨】首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去.第1个图形是2×3-3，第2个图形是3×4-4，第3个图形是4×5-5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n^2+2n．【答案与解析】第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋（2×3-3）个；第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子（3×4-4）个；第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子（4×5-5）个；按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n（n+2）.故答案为n（n+2）=n2+2n.【总结升华】这样的试题从最简单的图形入手.找出图形中黑点的个数与第n个图形之间的关系，找规律需要列出算式，一律采用原题中的数据，不要用到计算出来的结果来找规律.举一反三：【变式】用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第n 个图形比第(n-1)个图形多_____枚棋子．解：设第n个图形的棋子数为S1．第1个图形，S1=1；第2个图形，S2=1+4；第3个图形，S3=1+4+7；第n个图形，Sn=1+4+…+3n-2；第（n-1）个图形，Sn-1=1+4+…+[3（n-1）-2]；则第n个图形比第（n-1）个图形多（3n-2）枚棋子．2.已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-|c-b|的结果是 .A.a+cB.-a-2b+cC.a+2b-cD.-a-c【思路点拨】首先从数轴上a、b、c的位置关系可知：c＜a＜0；b＞0且|b|＞|a|，接着可得a+b＞0，c-b＜0，然后即可化简|a+b|-|c-b|可得结果．具体步骤为：① a,b,c的具体位置，在原点左边的小于0，原点右边的大于0.②比较绝对值的大小.|a|＜|c|＜|b|.③化简原式中的每一部分，看看绝对值内部（二次根式中的被开方数的底数）的性质，若大于零，直接提出来，若小于零，则取原数的相反数.④进行化简计算，得出最后结果.【答案与解析】从数轴上a、b、c的位置关系可知：c＜a＜0；b＞0且|b|＞|a|，故a+b＞0，c-b＜0，即有|a+b|-|c-b|=a+b+c-b=a+c．故选A．【总结升华】此题主要考查了利用数形结合的思想和方法来解决绝对值与数轴之间的关系，进而考察了非负数的运用.数轴的特点：从原点向右为正数，向左为负数，及实数与数轴上的点的对应关系．非负数在初中的范围内，有三种形式：绝对值（|a|），完全平方式(a±b)2，二次根式.性质：非负数有最小值是0；几个非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0.3. 图①是一个边长为的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是A.B.C.D.【思路点拨】这是完全平方公式的几何背景，用几何图形来分析和理解完全平方公式的实质.是一个很典型的“数形结合”的例子，用图形的变换来帮助理解代数学中的枯燥无味的数学公式.根据图示可知，阴影部分的面积是边长为（m+n）的正方形的面积减去中间白色的小正方形的面积（m2+n2），即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答．【答案】B.【解析】（m+n）2-（m2+n2）=2mn．故选B．【总结升华】本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2-（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．举一反三【变式】如图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个空心正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长是多少？（2）请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积；（3）观察图2，你能写出下列三个代数式：（m+n）2、（m-n）2、mn之间的关系吗？解：（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于（m-n）；（2）（m-n）2；（m+n）2-4mn；（3）（m-n）2=（m+n）2-4mn．4.我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短．这种“数形结合”的思想方法，非常有利于解决一些实际问题中的最大（小）值问题．请你尝试解决一下问题：（1）在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是_____.（2）在图2中，相距3km的A、B两镇位于河岸（近似看做直线CD）的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你：①作图确定水塔的位置；②求出所需水管的长度（结果用准确值表示）.（3）已知x+y=6，求的最小值？此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下：①如图3中，作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA= ____DB= ____.②在AB上取一点P，可设AP= _____，BP= _____.最小值为 ___．【思路点拨】（1）利用二次函数的顶点坐标就可得出函数的极值；（2）①延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，交直线CD 于点P，则点P即为所求；②过点A作AF⊥BD，垂足为F，过点E作EG⊥BD，交BD 的延长线于点G，则有四边形ACDF、CEGD都是矩形，进而利用勾股定理求出即可；（3）①作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=3，BD=5，②在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y；最小值利用勾股定理求出即可.【答案与解析】（1）抛物线所对应的二次函数的最大值是4；（2）①如图所示，点P即为所求．（作法：延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，交直线CD 于点P，则点P即为所求.说明：不必写作法和证明，但要保留作图痕迹；不连接PA不扣分；（延长BD，同样的方法也可以得到P点的位置．）②过点A作AF⊥BD，垂足为F，过点E作EG⊥BD，交BD 的延长线于点G，则有四边形ACDF、CEGD都是矩形．∴FD=AC=CE=DG=1，EG=CD=AF．∵AB=3，BD=2，∴BF=BD-FD=1，BG=BD+DG=3，∴在Rt△ABF中，AF2=AB2-BF2=8，∴AF=2EG=2.∴在Rt△BEG中，BE2=EG2+BG2=17，∴BE=（cm）.∴PA+PB的最小值为cm.即所用水管的最短长度为cm.（3）图3所示，①作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=3，BD=5，②在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y，③的最小值即为线段 PC和线段 PD长度之和的最小值，∴作C点关于线段AB的对称点C′，连接C′D，过C′点作C′E⊥DB，交BD延长线于点E，∵AC=BE=3，DB=5，AB=C′E=6，∴DE=8，..∴最小值为10．故答案为：①4；②x，y；③PC，PD，10．【总结升华】此题主要考查了函数最值问题与利用轴对称求最短路线问题，结合已知画出图象利用数形结合以及勾股定理是解题关键．作图题不要求写出作法，但必须保留痕迹.最后点题，即“xx即为所求”.5.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,图象过点(-1,2)和(1,0),且与y轴相交与负半轴.以下结论（1）a＞0；（2）b＞0；（3）c＞0；（4）a+b+c=0；（5）abc<0；（6）2a+b＞0;（7）a+c=1；（8）a＞1中,正确结论的序号是.【思路点拨】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【答案与解析】解：①由抛物线的开口方向向上，可推出a＞0，正确；②因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x=＞0，又因为a＞0，∴b＜0，错误；③由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，错误；④由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，正确；⑤∵a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，错误；⑥由图象可知：对称轴x=＞0且对称轴x=＜1，∴2a+b ＞0，正确；⑦由图象可知：当x=-1时y=2，∴a-b+c=2， ---①当x=1时y=0，∴a+b+c=0， ---②①+②，得2a+2c=2，解得 a+c=1，正确；⑧∵a+c=1，移项得a=1-c，又∵c＜0，∴a＞1，正确．故正确结论的序号是①④⑥⑦⑧．【总结升华】考查二次函数的解析式、图象，及综合应用相关知识分析问题、解决问题的能力．二次函数y=ax2+bx+c图象与系数之间的关系：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．存在着“左同右异”，即a,b同号.对称轴在y轴的左边，a,b异号，对称轴在y轴的右边.（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．（5）当x=±1时，ax2+bx+c就变成了a±b+c了.这道题的第7小题：当x=1时，a+b+c=0……①当x=-1时，a-b+c=2……②,①+②得，2a+2c=2，即a+c=1.举一反三【变式】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，x=是该抛物线的对称轴．根据图中所提供的信息，请你写出有关a，b，c的四条结论，并简单说明理由．解：①∵开口方向向上，∴a＞0，②∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，③∵对称轴为x=＞0，∴a、b异号，即b＜0，④∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，⑤当x=1时，y=a+b+c＜0，⑥当x=-1时，y=a-b+c＞0．结论有：a＞0，b＜0，c＜0，a+b+c＜0，a-b+c＞0等．。

解析几何初步的数形结合(最新整理)

解析几何初步的数形结合一．关于数形结合数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。

数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。

”数形结合在数学研究中有着不可忽视的作用。

二．课题背景高中数学不少问题都涉及数形结合，数形结合是高中数学新课程中所渗透的重要思想方法之一。

阶级初步这部分内容能很好的培养和发展学生的数形结合思想，特别是覆盖范围极广！一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。

二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。

函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。

三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。

四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。

五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。

从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。

六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。

用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。

七、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。

八、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。

高中数学几何题用代数解题

首先，我们要明确一点，代数法和几何法是两种不同的解题思路。

代数法主要是通过代数运算和方程求解来解决问题，而几何法则是通过图形的性质和关系来解决问题。

对于高中数学中的几何题，我们通常可以采用以下步骤来用代数法解题：
1. 建立坐标系：根据题目的具体情况，选择合适的坐标系，将几何问题转化为代数问题。

2. 设定变量：在坐标系中设定一些变量，这些变量通常代表点、线、面的坐标。

3. 建立方程：根据题目条件，建立关于这些变量的方程。

这些方程通常是一些代数表达式，可以反映几何图形的性质和关系。

4. 解方程：通过代数方法求解这些方程，得到变量的值。

5. 得出结论：根据解得的变量值，得出几何问题的答案。

下面我们通过一个具体的例子来说明如何用代数法解几何题：
题目：已知圆C的方程为x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0，求圆C的圆心和半径。

解法：
1. 建立坐标系：以圆心为原点，建立直角坐标系。

2. 设定变量：令圆心为(a, b)，半径为r。

3. 建立方程：根据题目条件，圆的方程可以表示为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2。

将这个方程与题目给出的方程x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0 对比，可以得到两个方程：
-2a = -2, -4b = -4。

4. 解方程：解这两个方程，得到a = 1, b = 2。

5. 得出结论：根据解得的a和b的值，可以得出圆心为(1, 2)，半径为r = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{5}。

高中数学二轮专题复习——数形结合思想

思想方法专题数形结合思想【思想方法诠释】一、数形结合的思想所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。

三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时，应注意以下几点：1．准确画出函数图象，注意函数的定义域；2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象，由图求解。

四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2．要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3．要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。

15 求解几何问题的代数法

例3 下列四个命题是同真的: 命题1 若直线a平行于平面β 上的一条直线b，则a//β . 命题2 若直线a垂直于直线b上的一个平面β ，则a⊥b. 命题3 若平面α 平行于直线b上的一个平面β ，则α //b. 命题4 若平面α 垂直于平面β 上的一条直线b，则α ⊥β .
注意，在这组对偶命题中，在把某一直线换成平面时，
单对偶命题，双对偶命题，三对偶命题，… 有时为了保证对偶命题有意义，必须同时调换一个命题中的多个元素及其相应的关系。
• 例如，若是平面换直线，则“在平面上的直线”必须相应地换成“在直线上的平面”，反之亦然.
例1 下列四个命题是同真的. 命题l 通过空间一点能作且仅能作一条直线与已知直线平行. 命题2 通过空间一点能作且仅能作一个平面与已知直线垂直. 命题3 通过空间一点能作且仅能作一个平面与已知平面平行. 命题4 通过空间一点能作且仅能作一条直线与已知平面垂直.
向量知识在处理立体几何问题中的重要应用主
要是通过向量的各种运算来体现的. 这一节，我们重点来看一看向量的内积与外积在处理立体几何问题中的一些应用与应用方法.
向量的内积
空间向量的数量积与两向量所成的角紧密联系
在一起，因此，在讨论空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系时，常可运用向量的数量积运算来处理.在讨论空间二直线共面或异面时，因均可归结为共面的情形处理，因而也可运用向量的数量积运算来处理. 这样处理，可以把几何论证代数化. 立体几何中的一些垂直问题，运用向量的空间结构特点及数量积来处理非常方便.
题的工具. 在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或面积比表示有关几何量或其比，从而把要论证的几何量之间的关系转化为有关面积之间的关系，并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，我们称之为面积法. 所谓面积法，就是运用图形的面积关系，建立一个或几个关于面积的方程或不等式，通过推理或演算，解决问题的一种方法．这种方法对研究等底、等高或同底、同高图形的性质特别有效．

(完整word)数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)汇总,推荐文档

数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。

这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

二、例题分析例1.的取值范围。

之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法：令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。

例析几何问题的代数解法

例析几何问题的代数解法作者：陈雄来源：《现代职业教育·中职中专》2017年第06期[摘要] 几何问题代数化，是一种重要且构思巧妙的数学思维方法。

几何问题的代数解法主要有坐标法、三角法、向量法，这三种解法开阔了解题思路，各有其特点、解题步骤及适用范围。

[关键词] 几何问题；代数解法；数形结合[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）17-0114-02几何在建筑、工程、设计及日常生活中都有广泛的应用。

我们把涉及几何图形的数学问题称为几何问题。

传统的纯几何解法是从形到形的推理，学习起来有一定的难度且有时候无法解决问题。

解决几何问题时，我们可以引入“数形结合”的思想，将几何问题代数化，以数助形，借助于几何图形所蕴含的数量关系及代数的算法化优势，使问题获解。

几何问题的代数解法主要有坐标法、三角法、向量法。

这三种解法开阔了解题思路，各有其特点，下面将通过实例，依次进行介绍。

一、坐标法通过建立坐标系，把几何问题“翻译”成代数问题，用代数方法来研究几何图形的形状、位置关系和大小的方法叫做坐标法，又称解析法。

坐标法的核心思想是几何问题代数化、图形性质坐标化。

用坐标法来求解几何问题的一般步骤为：第一步，在所讨论的几何图形上建立适当的坐标系，其中原点、坐标轴的选取要使计算尽可能简单。

第二步，用坐标形式把已知条件表示出来，把几何问题“翻译”成代数问题。

第三步，选取合适的计算公式和途径（如消元法、韦达定理与判别式等），进行坐标系内的推理演算，得出代数结论。

第四步，把代数结论“翻译”成相应的几何结论。

下面举例说明。

例1 一个需要磨削加工的零件尺寸如图1所示，磨削加工的过程中需要知道点到直线的距离，试求出这个距离.■图1解：在图1所示的坐标系中，点O为原点，设点M的坐标为（x1，x2），则x1=-19.58，y1=16.82-5.82=11因为直线MN的倾斜角α=180°-57°27'所以kMN=tan（180°-57°27'）=-tan57°27≈-1.5667由点斜式方程得直线MN的方程y-11=-1.5667（x+19.58）即1.5667x+y+19.676=0由点到直线的距离公式得所求距离d=■≈10.59坐标是几何代数化的产物，是点与数的统一体，它同时具备形与数的特性，为用数量关系来研究几何图形性质创造了条件。

初中数学学习中的解题技巧——数形结合

初中数学学习中的解题技巧——数形结合数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.用数形结合的思想解题可分两类：(1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常常要建立方程(组)或建立函数关系式等.数形结合所涉及的热点内容：在初中教材中，“数”的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而“形”的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数图象对应一条直线，二次函数的图像对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.1. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．【思路点拨】首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去.第1个图形是2×3-3，第2个图形是3×4-4，第3个图形是4×5-5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n^2+2n．【答案与解析】第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋（2×3-3）个；第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子（3×4-4）个；第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子（4×5-5）个；按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n（n+2）.故答案为n（n+2）=n2+2n.【总结升华】这样的试题从最简单的图形入手.找出图形中黑点的个数与第n个图形之间的关系，找规律需要列出算式，一律采用原题中的数据，不要用到计算出来的结果来找规律.举一反三：【变式】用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第n 个图形比第(n-1)个图形多_____枚棋子．解：设第n个图形的棋子数为S1．第1个图形，S1=1；第2个图形，S2=1+4；第3个图形，S3=1+4+7；第n个图形，Sn=1+4+…+3n-2；第（n-1）个图形，Sn-1=1+4+…+[3（n-1）-2]；则第n个图形比第（n-1）个图形多（3n-2）枚棋子．2.已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-|c-b|的结果是 .A.a+cB.-a-2b+cC.a+2b-cD.-a-c【思路点拨】首先从数轴上a、b、c的位置关系可知：c＜a＜0；b＞0且|b|＞|a|，接着可得a+b＞0，c-b＜0，然后即可化简|a+b|-|c-b|可得结果．具体步骤为：① a,b,c的具体位置，在原点左边的小于0，原点右边的大于0.②比较绝对值的大小.|a|＜|c|＜|b|.③化简原式中的每一部分，看看绝对值内部（二次根式中的被开方数的底数）的性质，若大于零，直接提出来，若小于零，则取原数的相反数.④进行化简计算，得出最后结果.【答案与解析】从数轴上a、b、c的位置关系可知：c＜a＜0；b＞0且|b|＞|a|，故a+b＞0，c-b＜0，即有|a+b|-|c-b|=a+b+c-b=a+c．故选A．【总结升华】此题主要考查了利用数形结合的思想和方法来解决绝对值与数轴之间的关系，进而考察了非负数的运用.数轴的特点：从原点向右为正数，向左为负数，及实数与数轴上的点的对应关系．非负数在初中的范围内，有三种形式：绝对值（|a|），完全平方式(a±b)2，二次根式.性质：非负数有最小值是0；几个非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0.3. 图①是一个边长为的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是A.B.C.D.【思路点拨】这是完全平方公式的几何背景，用几何图形来分析和理解完全平方公式的实质.是一个很典型的“数形结合”的例子，用图形的变换来帮助理解代数学中的枯燥无味的数学公式.根据图示可知，阴影部分的面积是边长为（m+n）的正方形的面积减去中间白色的小正方形的面积（m2+n2），即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答．【答案】B.【解析】（m+n）2-（m2+n2）=2mn．故选B．【总结升华】本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2-（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．举一反三【变式】如图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个空心正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长是多少？（2）请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积；（3）观察图2，你能写出下列三个代数式：（m+n）2、（m-n）2、mn之间的关系吗？解：（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于（m-n）；（2）（m-n）2；（m+n）2-4mn；（3）（m-n）2=（m+n）2-4mn．4.我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短．这种“数形结合”的思想方法，非常有利于解决一些实际问题中的最大（小）值问题．请你尝试解决一下问题：（1）在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是_____.（2）在图2中，相距3km的A、B两镇位于河岸（近似看做直线CD）的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你：①作图确定水塔的位置；②求出所需水管的长度（结果用准确值表示）.（3）已知x+y=6，求的最小值？此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下：①如图3中，作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA= ____DB= ____.②在AB上取一点P，可设AP= _____，BP= _____.最小值为 ___．【思路点拨】（1）利用二次函数的顶点坐标就可得出函数的极值；（2）①延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，交直线CD 于点P，则点P即为所求；②过点A作AF⊥BD，垂足为F，过点E作EG⊥BD，交BD 的延长线于点G，则有四边形ACDF、CEGD都是矩形，进而利用勾股定理求出即可；（3）①作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=3，BD=5，②在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y；最小值利用勾股定理求出即可.【答案与解析】（1）抛物线所对应的二次函数的最大值是4；（2）①如图所示，点P即为所求．（作法：延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，交直线CD 于点P，则点P即为所求.说明：不必写作法和证明，但要保留作图痕迹；不连接PA不扣分；（延长BD，同样的方法也可以得到P点的位置．）②过点A作AF⊥BD，垂足为F，过点E作EG⊥BD，交BD 的延长线于点G，则有四边形ACDF、CEGD都是矩形．∴FD=AC=CE=DG=1，EG=CD=AF．∵AB=3，BD=2，∴BF=BD-FD=1，BG=BD+DG=3，∴在Rt△ABF中，AF2=AB2-BF2=8，∴AF=2EG=2.∴在Rt△BEG中，BE2=EG2+BG2=17，∴BE=（cm）.∴PA+PB的最小值为cm.即所用水管的最短长度为cm.（3）图3所示，①作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=3，BD=5，②在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y，③的最小值即为线段 PC和线段 PD长度之和的最小值，∴作C点关于线段AB的对称点C′，连接C′D，过C′点作C′E⊥DB，交BD延长线于点E，∵AC=BE=3，DB=5，AB=C′E=6，∴DE=8，..∴最小值为10．故答案为：①4；②x，y；③PC，PD，10．【总结升华】此题主要考查了函数最值问题与利用轴对称求最短路线问题，结合已知画出图象利用数形结合以及勾股定理是解题关键．作图题不要求写出作法，但必须保留痕迹.最后点题，即“xx即为所求”.5.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,图象过点(-1,2)和(1,0),且与y轴相交与负半轴.以下结论（1）a＞0；（2）b＞0；（3）c＞0；（4）a+b+c=0；（5）abc<0；（6）2a+b＞0;（7）a+c=1；（8）a＞1中,正确结论的序号是.【思路点拨】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【答案与解析】解：①由抛物线的开口方向向上，可推出a＞0，正确；②因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x=＞0，又因为a＞0，∴b＜0，错误；③由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，错误；④由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，正确；⑤∵a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，错误；⑥由图象可知：对称轴x=＞0且对称轴x=＜1，∴2a+b ＞0，正确；⑦由图象可知：当x=-1时y=2，∴a-b+c=2， ---①当x=1时y=0，∴a+b+c=0， ---②①+②，得2a+2c=2，解得 a+c=1，正确；⑧∵a+c=1，移项得a=1-c，又∵c＜0，∴a＞1，正确．故正确结论的序号是①④⑥⑦⑧．【总结升华】考查二次函数的解析式、图象，及综合应用相关知识分析问题、解决问题的能力．二次函数y=ax2+bx+c图象与系数之间的关系：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．存在着“左同右异”，即a,b同号.对称轴在y轴的左边，a,b异号，对称轴在y轴的右边.（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．（5）当x=±1时，ax2+bx+c就变成了a±b+c了.这道题的第7小题：当x=1时，a+b+c=0……①当x=-1时，a-b+c=2……②,①+②得，2a+2c=2，即a+c=1.举一反三【变式】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，x=是该抛物线的对称轴．根据图中所提供的信息，请你写出有关a，b，c的四条结论，并简单说明理由．解：①∵开口方向向上，∴a＞0，②∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，③∵对称轴为x=＞0，∴a、b异号，即b＜0，④∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，⑤当x=1时，y=a+b+c＜0，⑥当x=-1时，y=a-b+c＞0．结论有：a＞0，b＜0，c＜0，a+b+c＜0，a-b+c＞0等．。

数形结合的几种基本形式

热点追踪 &
数形结合的几种基本形式
广西南宁三中 ( 530022)
数形结合是数学解题的一种重要的思想方法 . 它既可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性 , 也可以借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系 . 要想灵活的运用数形结合的思想指导解题 , 除了要准确理解数学概念、运算的几何意义和曲线的代数特征外 , 还必须熟悉数学问题中数形结合的一些基本形式 , 使解题思维迅速奔向数形结合的通道 , 实现数形的转化 . 本文着重说明借助几何直观性解决与数有关的数学问题的解法 . 1 . 斜率型过 A ( x 1, y 1) 、 B ( x 2 , y 2) ( x 1 x 2 ) 两点的直线斜率 y 2- y 1 , 因此涉及此类比值的问题 , 可考虑转化为直是 x 2- x 1 线斜率来求解 . 例 1 已知点 P ( x , y ) 是圆 ( x + 2 ) 2 + y 2 = 1 上任意一点 , 求 y- 2 的最大、最小值 . x- 1 y- 2 是连结 x- 1 点 P ( x , y ) 与定点 A ( 1 , 2 ) 的直线解析由于 k = PA : kx - y + 2- k = 0 的斜率 , 如图知 , y - 2 的最大、最 x- 1 小值是 PA 与圆的两切线的斜率 , 由圆心到切线的距离等于半径可知 - 2k - k + 2 = 1 解得 k = 3 3 , 故 4 1+ k2
2
4. 图象分析型由于函数图象、方程、不等式有着极其密切的联系 , 因此诸多关于方程或不等式的问题 , 常需转化为研究方程或不等式两边的函数图象关系来解决 . 例8 + 1. 解析函数 y = 在同一坐标系内作出 2x + 5 与函数 y = x + 1 2x + 5 = x 解不等式 2x + 5 > x

用代数方法解决几何问题

用代数方法解决几何问题几何问题是数学中的重要部分，而代数方法是解决几何问题的有效工具之一。

本文将探讨如何利用代数方法解决几何问题，以及代数方法的优势和应用。

1. 引言几何问题涉及到图形的性质、定理和相关计算。

传统的几何解题方法通常基于几何原理和定律，而代数方法则将几何问题转化为代数方程或方程组，进而通过求解方程来得到几何问题的答案。

代数方法的优势在于它可以通过代数运算和代数符号的变换，简化几何问题的求解过程。

2. 解决几何问题的代数方法代数方法可以在解决几何问题时提供更为灵活的思路。

通过引入代数变量和方程，我们可以将几何问题抽象化为代数问题，从而更好地利用代数方程的性质和求解技巧。

举例来说，假设我们需要解决一个求解三角形边长的问题。

根据传统的几何方法，我们需要利用三角形的各种性质和定理，进行角度和边长的计算。

而代数方法则可以通过引入代数变量，将三角形的边长表示为代数表达式，并建立相应的方程，进而求解出边长的具体值。

3. 代数方法的优势代数方法在解决几何问题时具有以下优势：3.1 抽象化问题代数方法可以将几何问题转化为代数问题，通过引入代数变量和方程，将问题的求解与数学符号和运算相结合。

这种抽象化的过程可以简化问题的求解，并使问题更具一般性。

3.2 符号计算代数方法利用代数符号进行计算，可以通过代数运算的规则和性质，对方程进行化简和变形。

这种符号计算的过程更加直观，可以减少人工计算的繁琐性，并提高计算的准确性。

3.3 推广性代数方法通常具有更强的推广性。

通过建立代数方程，我们可以研究一般情况下的几何问题，并得到一般性的结论。

这种推广性使得代数方法在解决复杂几何问题时更具优势，并可以得到更深刻的结果。

4. 代数方法在几何问题中的应用代数方法在几何问题中有广泛的应用。

除了解决三角形边长的问题外，代数方法还可以应用于以下几个方面：4.1 解决二次方程和高次方程与几何图形的关系问题：通过建立代数方程，我们可以探索二次方程和高次方程与几何图形的根和系数之间的关系。

中考代数几何-用数形结合的思想解题

中考用数形结合的思想解题1. 用数形结合的思想解题可分两类:（1）利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；（2）运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等.2. 热点内容：在初中教材中，数的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而形的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数的图象对应着一条直线，二次函数的图象对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现.在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.事实上，数a 决定抛物线的开口方向, b 与a 一起决定抛物线的对称轴位置, c 决定了抛物线与y 轴的交点位置，与a、b 一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线的平移的图形关系只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c 的大小变化.可分两类:（1）利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；（2）运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等.方法点拨数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.数形结合问题，也可以看作代数几何综合问题.从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也会融入开放性、探究性等问题.经常考查的题目类型主要有坐标系中的几何问题(简称坐标几何问题)，以及图形运动过程中求函数解析式的问题等．解决这类问题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题；第三，要善于联系与转化，进一步得到新的结论.尤其要注意的是，恰当地使用综合分析法及方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题．类型一、利用数形结合探究数字的变化规律1. 如图，网格中的每个四边形都是菱形．如果格点三角形ABC的面积为S，按照如图所示方式得到的格点三角形A1B1C1的面积是，格点三角形A2B2C2的面积是19S，那么格点三角形A3B3C3的面积为（）.A. 39SB. 36SC. 37SD. 43S答案与解析举一反三【思路点拨】设网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S，则小菱形的面积为2S；从图上观察可知三角形A2B2C2三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形A n B n C n三顶点分别在边长为（2n+1）个单位的菱形的内部，此菱形与三角形A n B n C n不重合的部分为三个小三角形；由此得到关于三角形A n B n C n面积公式，把n=3代入即可求出三角形A3B3C3的面积．【答案】C.【解析】网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于ABC的面积为S，则小菱形的面积为2S；从图上观察可知三角形A2B2C2三个顶点分别在边长为3个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点在与前一顶点不相连的两边上，三角形A n B n C n三顶点分别在边长为2n+1个单位的菱形的内部，此菱形与三角形A n B n C n不重合的部分为三个小三角形；而三角形A n B n C n 面积=边长为2n+1个单位的菱形面积-三个小三角形面积=2S（2n+1）2-,=S（8n2+8n+2-2n2-n-2n2-3n-1-n2-n），=S（3n2+3n+1），把n=3分别代入上式得：S3=S（3×32+3×3+1）=37S．故选 C．【总结升华】此题主要考查菱形的性质，也考查了学生的读图能力以及探究问题的规律并有规律解决问题的能力．【变式】正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线(k＞0)和x轴上，已知点B1(1，1)，B2(3，2)，则B n的坐标是______________．答案与解析【答案】解：∵B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），∴正方形A1B1C1O1边长为1，正方形A2B2C2C1边长为2，∴A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），代入 y=kx+b得：解得：则直线A1A2的解析式是：y=x+1．∵A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），∴点A3的坐标为（3，4），∴A3C2=A3B3=B3C3=4，∴点B3的坐标为（7，4），∴B1的纵坐标是：1=20，B1的横坐标是：1=21-1，∴B2的纵坐标是：2=21，B2的横坐标是：3=22-1，∴B3的纵坐标是：4=22，B3的横坐标是：7=23-1，∴B n的纵坐标是：2n-1，横坐标是：2n-1，则 B n（2n-1，2n-1）．∴B4的坐标是：（24-1，24-1），即（15，8）．故答案为：（15，8）．类型二、利用数形结合解决数与式的问题2. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|2-a|+的结果为__________.答案与解析【思路点拨】由数轴可知，0＜a＜2，由此去绝对值，对二次根式化简．【答案与解析】解：∵0＜a＜2，∴|2-a|+=2-a+a=2.故答案为：2．【总结升华】本题考查了绝对值的化简和二次根式的性质与化简，实数与数轴的对应关系．关键是根据数轴上的点的位置来判断数a的取值范围，根据取值范围去绝对值，化简二次根式．类型三、利用数形结合解决代数式的恒等变形问题3.（1）在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是__________________（用字母表示）．（2）设直角三角形的直角边分别是a，b，斜边为c，将这样的四个完全相同的直角三角形拼成正方形，验证等式a2+b2=c2成立。

初中数学教学中数形结合思想的应用类型

初中数学教学中数形结合思想的应用类型作者：***来源：《辽宁教育·教研版》2020年第09期数形结合思想是最古老也是最基本的数学思想方法，数与形可以互相转化，他们之间有深入的联系。

数形结合的应用可以分为两种情形，一是将数作为工具求解图形问题，二是将图形作为工具求解代数问题。

应用数形结合的思想可以将抽象的数学问题转化为具体、表象化的图形问题，变抽象为形象，使得问题生动直观。

通过转化，许多问题就能比较容易地求解出来。

数形结合的应用十分广泛，比如解方程和解不等式，求函数的性质问题等。

在初中阶段应用数形结合思想，大致可以分为四个类型。

一、利用数轴和坐标系解几何题数轴与全体实数有着一一对应的关系，在数轴上可以知道两个实数的大小关系，绝对值的含义等，因此是很重要的解题工具。

坐标系可以将几何图形代数化，坐标对与实数对是一一对应关系，可以计算平面里两个点之间的距离。

在教学这两个知识点时，可以结合例题，让学生体会数轴和坐标系的实用性，从而加深学生对数形结合方法的印象，使他们产生主动学习的欲望。

在课堂上，可以巧用数学情境，让学生在求解过程中慢慢学会数形结合的方法。

如在教学人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册“点和直线”这一知识点时，有如下教学片段。

师：同学们，我们在前面已经学习了点与点之间的距离公式，谁知道点与点之间的距离是怎么求的？生：根据距离公式d=[x1-y12+x2-y22]来求。

生：他说的是平面上的点，直线上的点用数轴来求就行。

师：在求解的时候我们需要知道点的坐标，或者点在数轴上的某个位置，然后再根据点的坐标进行求解。

点用坐标表示，用的就是数学中的数形结合思想，今天我们来学习点到直线的距离公式。

师：同学们想一下，点到直线的距离应该怎么定义的呢？生：是指点到直线的垂线段。

师：按照定义，我们将直线过该点的垂线表示出来。

根据垂直直线的斜率公式，我们知道垂线与直线的斜率关系是k1·k2 = -1，那么已知斜率和一点，可以求直线的解析式吗？请小组内探究一下，可以设点为（x0，y0）。

代数式数形结合

代数式数形结合是一种重要的数学思想，它通过代数式与图形之间的联系，将抽象的代数式问题与具体的图形相结合，从而更直观地理解和解决代数问题。

下面将从以下几个方面阐述代数式数形结合：1. **直观理解**：代数式通常是抽象的符号语言，而图形则是具体的形式表达。

通过将代数式与图形相结合，我们可以更直观地理解代数式的意义和求解方法。

例如，对于二次函数y = x2，我们可以将其在平面直角坐标系中表示出来，通过观察图形的变化趋势，更直观地理解二次函数的性质和特点。

2. **简化问题**：代数式数形结合可以简化一些复杂的问题。

通过将抽象的代数式问题转化为具体的图形问题，我们可以更容易地找到问题的解决方案。

例如，在求解一元二次方程时，我们可以将方程的根与图形的交点相对应，从而更直观地找到方程的解。

3. **培养数学思维**：代数式数形结合有助于培养数学思维。

通过将代数式与图形相结合，我们可以更好地理解数学问题的本质，从而更有效地解决问题。

此外，这种思维方式还可以应用于其他数学领域，如几何、三角函数等。

4. **应用领域广泛**：代数式数形结合在许多领域都有应用。

在物理、化学、生物等自然科学领域，以及在工程、经济、金融等社会科学领域，都有大量的代数式问题需要解决。

通过代数式数形结合，我们可以更直观地理解和解决这些问题。

5. **促进学科交叉**：代数式数形结合有助于促进学科交叉。

在解决某些问题时，仅依靠单一的数学领域知识可能无法得到全面解答。

通过将代数式与图形相结合，我们可以将不同学科的知识相互融合，从而更全面地解决实际问题。

综上所述，代数式数形结合是一种非常重要的数学思想。

它通过将抽象的代数式问题与具体的图形问题相结合，有助于更直观地理解和解决数学问题，培养数学思维，并在许多领域得到广泛应用。

未来，随着科技的进步和数学的发展，代数式数形结合的应用范围还将不断扩大，为解决实际问题提供更多可能。