05-第五章 快速傅里叶变换
数学物理方法 复变函数 第五章 傅立叶变换
∫
ρ (x) d x = m......(4)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
也即
-∞
∫
∞
-∞
lim ρ l (x) d x = m
l→ 0
由 (3) 、（ 4）可以看出质点线密度
分布函数的直观图像。
它在
x ≠ 0时 , 为 0; 在 x = 0时，为 ∞ 。它的积分值为 m. 也即由 (3) 、 共 (4) 同来描述。
因此 , 在 Dirac 首次引入 δ 函数时，曾遭到许多数 学家的非难 但它在近代物理学中有 许多重要的应用 , 它可以用来描述物 理学中的一切点量 (点质量 \ 点电荷 \ 瞬时源 )且物理图象清 晰 .这样迫使数学家对 δ 函数的性质等进行研究 和解释 .
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
-∞
第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
五 δ函数的性质
2 δ 函数具有挑选性
若 a = 0, 则有
这 一 性 质 表 明 , 虽 然 δ (x) 是 广 义 函 数 ， 但 它 和 任 何 连 续 函 数 的 乘 积 在 （ － ∞， ＋ ∞） 内 的 积 分 都 有 明 确 的 意 义 。 这 使 得 它在近代物理和工程技术中有广泛的应用。
..........
...(1)
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
引入δ 一 引入δ函数的物理背景
注意 rect() 的写法 : 即保证 rect() 中的量的绝对值 >
第五章 第一节 傅里叶变换
bk
1 l
l l
f sin k
l
d ,...... 5.1.5
练习解答
解：计算傅立叶系数有
a0
1
2
f (x)dx 1
2
0
xdx
1
2
x2
2
0
4
1
1
an
f (x) cos nxdx
x cos nxdx
0
1 x sin nx
n 0
1
n2
cos
nx 0
1
n 0 sin nxdx
幂函数没有周期性，所以周期函数展开为幂级数后，周期性就很 难体现出来。这样在研究函数的周期性的时候，幂级数展开并不 适用，需要采用其他函数作为基本函数族。
在科学技术的各个领域里广泛存在振动和波这类周期现象如弹性 振子、机械振动、声振动和声波、交变电流、电磁振荡和电磁波。 我们以前接触较多的是正弦和余弦函数所描写的振动和波。实际 情况千变万化，如锯齿波、矩形波(开关)。可能的复杂振动方式 不计其数，经过研究发现，这些复杂的振动可以分解为一系列各 种频率的谐振动的叠加。在数学上，这就是把周期函数分解为傅 里叶级数。
f
x
a0
k 1
a
k
cos
kx
l
bk
sin
kx
l
..........
..5.1.3
ak
1
kl
l f cos k d ,
l
l
k 2.......k 0 k 1.......k 0
bk
1 l
l l
f
sin k
l
d ,...... 5.1.5
f
《快速傅里叶变换》课件
FFT的历史背景
01
1960年代，Cooley和Tukey提 出了基于“分治”思想的FFT 算法，为快速傅里叶变换的实 用化奠定了基础。
02
随后，出现了多种FFT算法的 变种和优化，如Radix-2、 Radix-4等。
03
随着计算机技术的发展，FFT 算法在硬件实现上也得到了广 泛应用，如FPGA、GPU等。
《快速傅里叶变换》ppt课件
contents
目录
• FFT简介 • FFT基本原理 • FFT实现 • FFT的应用 • FFT的优化与改进 • FFT的挑战与未来发展
01 FFT简介
FFT的定义
快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换的 算法。它将复杂度为$O(N^2)$的DFT计算降低到$O(Nlog N)$，大大提高了计 算效率。
详细描述
混合基数FFT算法结合了基数-2和基数-4算法的特点，利用两者在计算过程中的 互补性，减少了计算量，提高了计算效率。同时，该算法在处理大规模数据时 ，能够保持较高的精度。
分段FFT算法
总结词
分段FFT算法将输入数据分成若干段，对每一段进行快速傅里叶变换，以降低计算复杂度和提高计算效率。
详细描述
02 FFT基本原理
离散傅里叶变换（DFT）
定义
应用
DFT是时间域信号到频域的变换，通 过计算信号中各个频率成分的幅度和 相位，可以分析信号的频谱特性。
DFT在信号处理、图像处理、频谱分 析等领域有广泛应用。
计算量
DFT的计算量随着信号长度N的增加 而呈平方关系增长，因此对于长信号 ，计算量巨大。
05-第五章-快速傅里叶变换(蝶形运算)
W
r N
的确定
W
r N
的确定
以N=8为例：
m 1 时 W N r W ， N j/4 W 2 j m W 2 0 ,j 0
m 2 时 W N r W ， N j/2 W 2 j m W 4 j,j 0 , 1
m 3 时 W N r W N ， j W 2 j m W 8 j,j 0 , 1 , 2 , 3 N2M,第L级：
8.0 1024 1 048 576 5 120 204.8
12.8 2048 4 194 304 11 264 372.4
64 4049 192
21.4
24
5.3.3 按时间抽取的FFT算法的特点
序列的逆序排列
同址运算（原位运算）
蝶形运算两节点间的距离
W
r N
的确定
25
序列的逆序排列
序列的逆序排列
以N/2点序列x1(r)为例
x1x (1 2 (l2 l)1 ) x3 x(4 l()l)
l0,1, ,N1 4
则有
N21
N4 1
N4 1
X1(k) x1(r)WNrk2 x1(2 l)W N 2l2k x1(2 l 1 )W N (2 2 l 1 )k
r0
l 0
l 0
N41
N41
x3(l)W N lk 4W N k2 x4(l)W N lk 4
FFT并不是一种与DFT不同的变换，而是 DFT的一种快速计算的算法。
3
5.2 直接计算DFT的问题及改进的途径
DFT的运算量
设复序列x(n) 长度为N点，其DFT为
N1
X(k) x(n)WNnk n0
k=0，，…，N-1
第五章 第二节 傅里叶积分与傅里叶变换
(一)实数形式的傅里叶积分和傅里叶变换
周期为2l 的函数f (x)的傅立叶级数为：
f
x
a0
k 1
ak
cos k
l
x bk
sin
k
l
x ............5.1.3
ak
1
kl
l f cos k d ,
l
l
bk
1l
l l
f
sin
k
l
d ,......5.1.5
对于定义在区间 ， 上的函数f (x)
解：rect t 2T
1,...... t 1 即t T 2T 2
0,...... t 1 即t T 2T 2
f(t)是偶函数，可按(5.2.8)展为余弦积分
f(t) h
-T O T t
f t Acostd,
0
其中
A
2
0
f
cosd
2
T
0
h
cosd
2h
s in T
A的图形如图5-2所示，是连续谱。即f (t)代表的脉冲电波， 含有一切频率(应除去 T的整数倍频率)，它到达无线电接收机
第一节讨论的是周期为2l的函数的傅里叶级数展开，下面讨论
定义在区间 ，上的函数 f x的情形。
§5.2 傅里叶积分与傅里叶变换
(一) 实数形式的傅里叶积分和傅里叶变换 (二) 复数形式的傅里叶积分 (三) 傅立叶变换的基本性质
如何将定义在无穷区间上的函数展开？
方法：先将f (x)看成是周期为2l 的函数，再取2l 趋于无穷大时 的极限结果。最后f (x)可以用积分表示，称为傅里叶积分。
根据上面提出的方法，有
chapt05傅立叶变换
由于对称性，其展开系数为
若周期函数
是偶函数，则由傅里叶系数计算公
式可见，所有 均等于零，展开式(5.1.3)成为
(5.1.6)
这叫作傅里叶余弦级数．
同样由于对称性，其展开系数为
(5.1.7)
由于余弦级数的导数是正弦级数，所以余弦级数的导数在
处为零．
而对于定义在有限区间上的非周期函数
的傅里叶级
数展开，需要采用类似于高等数学中的延拓法，使其延拓为周
所谓积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数 ，经过某种可逆的积分方法（即为通过含参变量 的积分）
变为另一函数类 B中的函数
这里
是一个确
定的二元函数，通常称为该积分变换的核．
称为
的像函数或简称为像，
称为
的原函数．
在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的偏 微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方程； 原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在像
若函数
以 为周期，即为
的光滑或分段光滑函数，且定义域为 函数族
，则可取三角 (5.1.2)
作为基本函数族，将 级数）
展开为傅里叶级数（即下式右端 (5.1.3)
式（5.1.3）称为周期函数
的傅里叶级数展开式
（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简
称傅氏系数）．
函数族 (5.1.2)是正交的．即为：其中任意两个函数的乘 积在一个周期上的积分等于零，即
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何周
期信号都可用正弦函 数级数表示”
1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件
拉格朗日反对发表
1822年首次发表在 “热的分析理论”
快速傅里叶变换解析课件PPT学习
(2)两个N/2点的DFT运算量:复乘次数: N 2
2
复加次数: N ( N 1)
2
(3)N/2个蝶形运算的运算量:复乘次数: N
复加次数:
2 2
N
2
N
总共运算量:
复乘: 复加:
N2 N
N(N
1)/ 2 N 2
22
2
N(N
1) N
N2
2
2
*N点DFT的复乘为N2 ;复加N(N-1);与分解后相比可知,
X (k) X1(k) WNk X 2 (k) , k 0,1,
, N 1 2
（4-11）
X
k
N 2
X1
k
N 2
W
k
N 2
N
X 2
k
N 2
X1(k) WNk X 2 (k), k 0,1,, N 1 （4-12） 2
13
第13页/共57页
这样，就可将X(k)表达为前后两部分：
n0
n0
N 1
{Re[x(n)]Re[WNnk ] Im[x(n)]Im[WNnk ]
n0
j(Re[x(n)]Im[WNnk ] Im[x(n)]Re[WNnk ])}
（4-3）
由此可见，一次复数乘法需用四次实数乘法和二次实数加法； 一次复数加法需二次实数加法。 因而每运算一个X(k)需4N次实 数乘法和2N+2(N-1)=2(2N-1)次实数加法。 所以，整个DFT运算 总共需要4N2次实数乘法和2N(2N-1)次实数加法。
2
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N 1
正变换： X (k ) x(n)WNnk
n0
反变换：
x(n)
信号分析与处理课后习题答案
信号分析与处理课后习题答案第五章 快速傅里叶变换1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需要50us ，每次复加需要10us ，用来就散N=1024点的DFT ，问：（1）直接计算需要多少时间？用FFT 计算呢？（2）照这样计算，用FFT 计算快速卷积对信号进行处理是，估计可实现实时处理的信号最高频率？ 解：分析：直接利用DFT 计算：复乘次数为N 2，复加次数为N(N-1)；利用FFT 计算：复乘次数为20.5log N N ，复加次数为2log N N ；（1） 直接DFT 计算：复乘所需时间2215010245052.4288T N us us s =⨯=⨯=复加所需时间2(1)101024(10241)1010.47552T N N us us s =-⨯=-⨯= 所以总时间1262.90432DFT T T T s =+=FFT 计算：复乘所需时间3220.5log 500.51024log 1024500.256T N N us us s =⨯=⨯⨯⨯= 复加所需时间422log 101024log 1024100.1024T N N us us s =⨯=⨯⨯= 所以总时间为340.3584FFT T T T s =+= （2） 假设计算两个N 长序列1()x n 和2()x n 的卷积计算过程为如下：第一步：求1()X k ，2()X k ；所需时间为2FFT T ⨯第二步：计算12()()()X k X k X k =•，共需要N 次复乘运算所需时间为501024500.0512To N us us s =⨯=⨯=第三步：计算(())IFFT X k ，所需时间为FFT T所以总时间为230.35840.0512 1.1264FFT T T To s s s =⨯+=⨯+= 容许计算信号频率为N/T=911.3Hz2.设x(n)是长度为2N 的有限长实序列，()X k 为x(n)的2N 点得DFT 。
数学物理方法 第5章 傅里叶变换
0 xl l x 0 x l
-l 0
F(x)
l
x
图5.7(a)
1 l 1 l 1 l l a0 F ( x)dx f ( x) xdx l 0 l 0 l 0 2
2 l kx 2 l kx 2 l kx ak F ( x) cos dx f ( x) cos dx x cos dx 0 0 0 l l l l l l
k 1
a0 E (t )dt 2 2
1
0
E0 cost E 0 sin tdt 2
0
E0
E0 a k E0 sin t cos ktdt 0 2
0
[sin(k 1)t sin(k 1)t ]dt
解：
l 2 l kx 2 l kx l bk x sin dx x( ) cos 0 l l l k l 0 k
l 2 l l 2 kx 2l l ( )( 1) k ( ) sin (1) k 1 l k k l 0 k
f ( x)
0
A( ) cosxd
0
B( ) sin xd
（称为傅里叶积分式）
A( )
B( )
1
1
f ( x) cosxdx
f ( x) sin xdx
（称为傅里叶变换式）
在 f (x) 的间断点，傅里叶积分的值
1 [ f ( x 0) f ( x 0)] 2
例4：定义在区间 (0, l ) 上的函数 f ( x) x ，试把它 展开为傅里叶级数。 解:方法一：偶延拓法，所找的周期函数 F (x)为偶 函数,如图5.7(a)所示。
快速傅里叶变换
快速傅⾥叶变换快速傅⾥叶变换快速傅⾥叶变换（FFT ）是根据计算量的最⼩化原理来设计和实施离散傅⾥叶变换(DFT)计算的⽅法。
1965年，库利（T.W.Cooley ）和图基（J.W.tukey ）发表了著名的《计算机计算傅⾥叶级数的⼀种算法》论⽂。
从此掀起了快速傅⾥叶变换计算⽅法研究的热潮。
快速傅⾥叶变换（FFT ）的出现，实现了快速、⾼效的信号分析和信号处理，为离散傅⾥叶变换(DFT)的⼴泛应⽤奠定了基础。
1.1离散傅⾥叶变换(DFT)的计算设x(n)是⼀个长度为M 的有限长序列，则定义x(n)的N 点离散傅⾥叶变换为∑-===10)()]([)(N n kn NW n x n x DFT k X 其中由于计算⼀个X(k)值需要N 次复乘法和(N-1)次复数加法，因⽽计算N 个X(k)值，共需N2次复乘法和N(N-1)次复加法。
每次复乘法包括4次实数乘法和2次实数加法，每次复加法包括2次实数加法，因此计算N 点的DFT 共需要4N2次实数乘法和(2N2+2N ·(N-1))次实数加法。
当N 很⼤时，这是⼀个⾮常⼤的计算量。
1.2减少DFT 计算量的⽅法减少DFT 的计算量的主要途径是利⽤k N W 的性质和计算表达式的组合使⽤，其本质是减少DFT 计算的点数N 以便减少DFT 的计算量。
k N W 的性质：（1）对称性： (2)周期性： (3) 可约性： (4) 特殊点：选择其中⼀个证明N N j k N j N k N j N k N e e e W 222)2(22πππ--+-+==ππj k N j e e --=2k N j e π2--=k N W -=FFT 算法是基于可以将⼀个长度为N 的序列的离散傅⾥叶变换逐次分解为较短的离散傅⾥叶变换来计算这⼀基本原理的。
这⼀原理产⽣了许多不同的算法，但它们在计算速度上均取得了⼤致相当的改善。
0,1,,1k N =-()*nk nk N N W W -=()()nk N n k n N k N N NW W W ++==nk mnk N mN W W =//nk nk m N N mW W =01N W =/21N N W =-(/2)k N k N NW W +=-在这⾥讨论两类基本的FFT 算法。
05_傅里叶变换
f ( x ) = ∫ A (ω ) cos ω xd ω + ∫ B (ω ) sin ω xd ω
0 0
∞
∞
1 A (ω ) = π B (ω ) = 1 π
∫ ∫
∞
−∞ ∞
f (ξ ) cos ωξ d ξ f (ξ ) sin ωξ d ξ
−∞
该式右边的积分称为傅里叶积分，该式称为非周期函数f(x)的 该式右边的积分称为傅里叶积分，该式称为非周期函数 的 傅里叶积分表达式。 称为f(x)的傅里叶变换式。 的傅里叶变换式。 傅里叶积分表达式。A(ω)、B(ω) 称为 、 的傅里叶变换式 傅里叶积分定理：若函数f(x)在(-∞, ∞)上满足条件 (1) f(x)在 傅里叶积分定理：若函数 在上满足条件 在 任一有限区间上满足Dirichlet条件，(2) f(x)在(-∞, ∞)上绝对可 条件， 任一有限区间上满足 条件 在 ∞ 上绝对可 ∞ 收敛)， 可表示成傅里叶积分， 积(即 ∫ f ( x ) dx 收敛 ，则f(x)可表示成傅里叶积分，且傅里 即 可表示成傅里叶积分 −∞ 叶积分值=[f(x+0)+f(x-0)]/2。 叶积分值 。
(k = 0) (k ≠ 0)
若 lim l →∞
∫
l
−l
1 l f (ξ )d ξ 有限，则 a0 = lim ∫ f (ξ )d ξ = 0 有限， l →∞ 2l − l
余弦部分
1 l lim ∑ ∫ f (ξ ) cos ωk ξ dξ cos ωk x −l l →∞ k =1 l ∞ 1 l = lim ∑ ∫ f (ξ ) cos ωk ξ dξ cos ωk x ⋅ ∆ωk l →∞ π −l
离散傅里叶变换及其快速算法
第五章离散傅里叶变换及其快速算法 1离散傅里叶变换(DFT)的推导(1) 时域抽样：目的：解决信号的离散化问题。
效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。
⑵时域截断： 原因：工程上无法处理时间无限信号。
方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。
结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。
(3)时域周期延拓：目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。
方法：周期延拓中的搬移通过与 、：(t _nT s )的卷积来实现。
表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。
结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。
经抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。
过程见图抽样后0 fJif-用于截断原函数J L<Z 用于抽样i4LJI Ji WWtin1 f=1 ----------> --------------t-------------- ►fVtt截断后有卷积波纹i------------- ►t0 I------------------ rfJL 」L延拓后7角ii t飞7Vtfft \ \ t \ f定义DFT用于延拓「ITf处理后信号的连续时间傅里叶变换:I'U N *|nT sr 0 N图1 DFT 推导过程示意图〜 oo "N 4l ~(f)=£ IS h(nTs)ek =^O「j2 飞n/Nn=0-kf o )(i) l~(f)是离散函数，仅在离散频率点f二kf o k—处存在冲激，强度为a k,其T o NT s余各点为0。
〜N N 1(ii) H(f)是周期函数，周期为Nf o == 工，每个周期内有N个不同的幅值。
T o NT s T s(iii) 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。
2 DFT及IDFT的定义DFT定义：设hnT s是连续函数h(t)的N个抽样值n=0,1,…,N J，这N个点的宽度为N 的DFT 为：DFT N h(nT s)]=^ h(nT s)e」2邢/N =H —— J (k =0,1,…，N _1)7 l NT s 丿IDFT定义：设H 上是连续频率函数H(f)的N个抽样值k =0,1，…，N J，这N个点(NT s 丿的宽度为N的IDFT为：DFT N1 H k丄7 H L e」2「nk/N厶nTs , (k =0,1,…，N —1)|L Ns N k 卫NT se^Rk/N称为N点DFT的变换核函数，e j2 flk/N称为N点IDFT的变换核函数。
fft 快速傅里叶变换 (fast fourier transform)
FFT 快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform) 是一种用于快速计算傅里叶变换的算法，是在傅里叶变换的基础上发展而来的。
FFT 算法被广泛应用于数字信号处理、图像处理、声音处理、卷积操作、解析几何等领域，它的高效性和实时性使得它成为了当今计算机科学领域不可或缺的一部分。
一、傅里叶变换简介傅里叶变换是将一个时域信号转换为频域信号的过程，其公式如下：$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$其中，$f(t)$ 表示时域信号，$F(\omega)$ 表示频域信号，$\omega$ 表示角频率。
傅里叶变换可以分为连续傅里叶变换和离散傅里叶变换两种。
连续傅里叶变换仅适用于连续信号，而离散傅里叶变换适用于离散信号。
二、离散傅里叶变换离散傅里叶变换是一种将离散信号变换为频域信号的方法，其公式如下：$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{-\frac{2\pi i}{N}kn},k=0,1,...,N-1$其中，$x_n(n=0,1,...,N-1)$ 表示原始离散信号，$X_k(k=0,1,...,N-1)$ 表示变换后的频域信号。
但是，使用该公式直接计算离散傅里叶变换的时间复杂度为$O(N^2)$，计算效率低下。
三、FFT 快速傅里叶变换FFT 快速傅里叶变换是一种基于DFT 离散傅里叶变换的高效算法，它的时间复杂度可以达到$O(NlogN)$，较之直接计算DFT 的时间复杂度要低得多。
FFT 算法的基本思想是将 DFT 分治成多个较小的 DFT，并利用其重复性降低运算次数。
1.蝴蝶运算蝴蝶运算是 FFT 算法的基本运算，通过它可以将 DFT 的计算复杂度降低为 $O(N)$。
蝴蝶运算的实质是将两个相邻点之间的信号进行乘法和加法运算，其公式如下：$X_k=X_{k1}+W_{N}^kX_{k2},X_{k+N/2}=X_{k1}-W_{N}^kX_{k2}$其中，$X_{k1}$ 表示 $X_k$ 中偶数项，$X_{k2}$ 表示 $X_k$ 中奇数项，$W_N$ 是DFT 的核函数。
数学物理方法第五章傅里叶变换
l
l
l
l kx nx
sin cos dx0
l
l
l
l
1 2 dx 2 l
l
l
sin
2 k x dx
l
l
l
cos
2 k x dx
l
l
2、可以由函数的正交性求出傅立叶级数中的系数；
a f 1 l
0 2l l
xdx
a f 1l n l l
xconsxdx
l
(n1,2,3, )
b f 1l n l l
( a k cos
kπx l
b k sin
kπx )
l
k 1
2
2l l
说明 1、三角函数族是两两正交的
l kx
cos d x 0
l
l
(k 0),
l kx
sin d x 0
l
l
l kx nx
cos cos d x 0 (k n)
l
l
l
l kx nx
sin sin dx0 (kn),
f (x)
a
x
l
延拓到（- l，l）后再周期延拓，如图做偶延拓：
f (x)
a
l 0 l
x
所以
1l
x
a
a0
l
a(1
0
l
)dx 2
ak2 l0 la(1x l)co k lx sd x 2(2 4 n a 0 1 )2(k (k 2n )2n1 )
如图做奇延拓： f (x)
a
l
0l
x
2l x kx 2a
An 2cn
A n 称为f ( x)的振幅频谱（简称为频谱）.它描述了各次谐波 的振幅随频率变化的分布情况。它清楚地表明了一个非正旋 周期函数包含了哪些频率分量及各分量所占的比重（如振幅 的大小）。因此频谱图在工程技术中应用比较广泛.所谓频谱 图，通常是指频率和振幅的关系图。
第五章 快速傅里叶变换
例子
• 例1:当N=1024点时，直接计算DFT需要： N2=220=1048576次，即一百多万次的复乘运算 这对实时性很强的信号处理(如雷达信号处理)来 讲，它对计算速度有十分苛刻的要求-->迫切 需要改进DFT的计算方法，以减少总的运算次 数。 • 例2：石油勘探，24道记录，每道波形记录长 度5秒，若每秒抽样500点/秒， 每道总抽样点数=500*5=2500点 24道总抽样点数=24*2500=6万点 DFT运算时间=N2=(60000)2=36*108次
5.1直接计算DFT 的问题及改进的 基本途径
一、直接计算DFT计算量
• 问题提出： 设有限长序列x(n),非零值长度为N,计 算对x(n)进行一次DFT运算，共需多 大的运算工作量?
1.比较DFT与IDFT之间的运算量
x(n) X (k ) x(n)W
DFT n 0 N 1 IDFT N 1 kn N
• 快速付里时变换(FFT)就是在此特性基础上 发展起来的，并产生了多种FFT算法，其基 本上可分成两大类： • 按抽取方法分： 时间抽取法(DIT);频率抽取法(DIF) • 按“基数”分：基-2FFT算法；基-4FFT算 法；混合基FFT算法；分裂基FFT算法 • 其它方法：线性调频Z变换(CZT法)
+
N 2
N
2
N 2 ( ) 2
X (k )
N 4
N 2 ( ) 2
X (k )
=
N 2
2
X (k ) N 4 N 2 N 2 N 2 N 2 N ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 4 4 4 4 4 这样一直分下去，剩下两点的变换。 X (k )
《快速傅里叶变换》课件
应用广泛：快速傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。
04 快速傅里叶变换的算法
快速傅里叶变换的基本步骤
输入信号：将输入信号分解为频率和相位 快速傅里叶变换：将输入信号进行快速傅里叶变换，得到频谱 频谱分析：对频谱进行分析，得到信号的频率和相位 逆傅里叶变换：将频谱进行逆傅里叶变换，得到输出信号 输出信号：输出信号与输入信号相同，但频率和相位发生了变化
信号压缩：快速傅里叶变换可以用于信号的压缩和去噪
信号识别：快速傅里叶变换可以用于信号的识别和分类，如语音识别、图 像识别等
在图像处理中的应用
图像去噪：通过快速傅里叶变换去 除图像中的噪声
图像压缩：通过快速傅里叶变换实 现图像的压缩和存储
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图像增强：通过快速傅里叶变换增 强图像的对比度和清晰度
快速傅里叶变换在机器学 习领域的应用
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分块算法：将数据分成多个 块，分别进行FFT计算，提 高计算效率
并行算法：利用多核处理器 或分布式计算，实现FFT的 并行计算，提高计算速度
05 快速傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
信号分析：快速傅里叶变换可以用于分析信号的频率成分和相位信息
滤波器设计：快速傅里叶变换可以用于设计各种滤波器，如低通滤波器、 高通滤波器等
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种数学变换，可以 将时域信号分解为频率域信号
傅里叶变换是信号处理、图像处理 等领域的重要工具
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傅里叶变换可以将信号从时域转换 为频域，从而分析信号的频率成分
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2
5.1 引言
DFT在实际应用中很重要 DFT在实际应用中很重要: 可以计算信号的频 在实际应用中很重要: 功率谱和线性卷积等。 谱、功率谱和线性卷积等。 直接按DFT变换进行计算，当序列长度N 直接按DFT变换进行计算，当序列长度N很 变换进行计算 大时，计算量非常大，所需时间会很长。 大时，计算量非常大，所需时间会很长。 FFT并不是一种与 FFT并不是一种与DFT不同的变换，而是 并不是一种与DFT不同的变换， 不同的变换 DFT的一种快速计算的算法。 DFT的一种快速计算的算法。 的一种快速计算的算法
∑
l =0
x3 (l )W
lk N /4
=
lk x3 (l )WN / 4 ∑ l =0
1
k=0, 1
0 0 X 3 (0) = x3 (0) + W20 x3 (1) = x(0) + W2 x(4) = x (0) + WN x(4)
X 3 (1) = x3 (0) + W21 x3 (1) = x(0) + W21 x(4) = x(0) − WN0 x(4)
由按时间抽取法FFT的信号流图可知，当N=2L时，共有 L 级 蝶形运算；每级都由 N/2 个蝶形运算组成，而每个蝶形有 1 次复乘、 2 次复加，因此每级运算都需 N/2 次复乘和 N 次复加。
22
级运算总共需要： 这样 L 级运算总共需要：
N N 复数乘法： ⋅ L = log 2 N 2 2
k=0,1,…,
N −1 4
17
且
N X 1 + k = X 3 ( k ) − WNk / 2 X 4 ( k ) 4
k=0,1,…,
N −1 4
由此可见，一个N/2点DFT可分解成两个 点DFT。 可分解成两个N/4点 由此可见，一个 点 可分解成两个 。 同理，也可对 进行同样的分解， 同理，也可对x2(n)进行同样的分解，求出 2(k)。 进行同样的分解 求出X 。
=
n=0 n为偶数
∑ x(n)W
nk N
+
n=0 n为奇数
nk x (n)WN ∑
10
=
2 ( = ∑x(2r)WN rk + ∑x(2r +1)WN2r+1)k r =0 r =0
N −1 2 r=0 N −1 2 r =0
n =0 n为偶数 N −1 2
∑ x(n)W
N −1
nk N
+
n =0 n为奇数 N −1 2
复数乘法次数： 复数乘法次数： N 复数加法次数： 复数加法次数： N－1
4
5.2.1 DFT的运算量 DFT的运算量
（2）计算全部 个X(k) 值的运算量 ）计算全部N个
复数乘法次数： 复数乘法次数： N2 复数加法次数： 复数加法次数： N(N－1)
（3）对应的实数运算量 ）
X ( k ) = ∑ x( n)W
nk x(n)WN ∑
N −1
rk k rk = ∑x1 (r)WN +WN ∑x2 (r)WN 2 2
k = X1 (k) +WN X 2 (k)
式中， 分别是x 式中，X1(k)和X2(k)分别是 1(n)和x2(n)的N/2的DFT。 和 分别是 和 的 的 。 另外，式中 的取值范围是 的取值范围是： ， ， ， 另外，式中k的取值范围是：0，1， …，N/2－1 。 －
k=0，1， …，N/2－1 ， ， ， －
13
蝶形运算
k X (k) = X1(k) +WN X2 (k)
蝶形运算式
X ( k ) = X 1 ( k ) − WNk X 2 ( k )
蝶形运算信 号流图符号
因此，只要求出 个 点的DFT，即X1(k)和X2(k)，再 因此，只要求出2个N/2点的 点的 ， 和 ， 经过蝶形运算就可求出全部X(k)的值，运算量大大减少。 的值， 经过蝶形运算就可求出全部 的值 运算量大大减少。
18
以8点为例第二次按奇偶分解
19
算法原理
对此例N=8，最后剩下的是4个N/4= 2点的 ，最后剩下的是 个 点的DFT，2点 对此例 点的 ， 点 DFT也可以由蝶形运算来完成。以X3(k)为例。 也可以由蝶形运算来完成。 为例。 也可以由蝶形运算来完成 为例
X 3 (k ) =
即
N / 4 −1
14
以8点为例第一次按奇偶分解
为例， 以N=8为例， 为例 分解为2个 点 分解为 个4点 的DFT，然后 ， 做8/2=4次蝶形 次蝶形 运算即可求出 所有8点 所有 点X(k)的 的 值。
0 WN
1 WN
2 WN
3 WN
15
蝶形运算量比较
N点DFT的运算量 DFT的运算量
复数乘法次数： N2 复数加法次数： N(N－1)
rk N 2
∑ x1 (r )W
=
N 4 −1 l =0
∑ x1 (2l )W
N 4 −1 l =0 k N 2 4
2 lk N 2
+
N 4 −1 l =0
( l x1 (2l + 1)WN22+1) k ∑
=
N 4 −1 l =0
∑ x (l )W
3
lk N 4
+W
∑ x (l )W
lk N 4
k = X 3 ( k ) + WN / 2 X 4 ( k )
mnk WmN = WNnk
/ WNnk = WNnk mm /
( k WN k + N / 2 ) = −WN
WNN / 2 = −1
8
5.3 按时间抽取的基2-FFT算法 按时间抽取的基2 FFT算法
算法原理 按时间抽取基-2FFT算法与直接计算 按时间抽取基-2FFT算法与直接计算 DFT运算量的比较 DFT运算量的比较 按时间抽取的FFT算法的特点 按时间抽取的FFT算法的特点 按时间抽取FFT算法的其它形式流程图 按时间抽取FFT算法的其它形式流程图
9
5.3.1 算法原理
设N＝2L，将x(n)按 n 的奇偶分为两组： ＝ 按 的奇偶分为两组：
x(2r ) = x1 (r )
x(2r + 1) = x2 (r )
r =0，1，…， − 1 ， ， ，
N 2
则
nk X (k) = DFT[x(n)] = ∑x(n)WN n=0
N −1 N −1
N−1
复数加法：N ⋅ L = N log2 N 直接DFT算法运算量 算法运算量 直接 复数乘法： N2 复数加法： N(N－1) 直接计算DFT与FFT算法的计算量之比为 与 算法的计算量之比为M 直接计算 算法的计算量之比为 N2 2N M= = N log 2 N log 2 N 2
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FFT算法与直接DFT算法运算量的比较 FFT算法与直接DFT算法运算量的比较
N log 2 N 2
计算量 之比M 36.6 64.0 113.8 204.8 372.4
1 4 12 32 80 192
448 1 024 2 304 5 120 11 264
24
5.3.3 按时间抽取的FFT算法的特点 按时间抽取的FFT算法的特点
序列的逆序排列 同址运算（原位运算） 蝶形运算两节点间的距离
N 2 −1 r =0
∑ x (r )W
1
r ( N 2+ k ) N 2
rk = ∑ x1 (r )WN 2 = X 1 (k ) r =0
N 2 −1
同理可得
X2(
N + k ) = X 2 (k ) 2
12
考虑到 及前半部分X(k) 及前半部分
( WN N 2 + k ) = WNN 2 ⋅ WNk = −WNk
16
进一步按奇偶分解
由于N＝2L，因而N/2仍是偶数 ，可以进一步把每个N/2点 子序列再按其奇偶部分分解为两个N/4点的子序列。 以N/2点序列x1(r)为例 则有
X 1 (k ) =
N 2 −1 r =0
x1 (2l ) = x3 (l ) N l = 0,1,…, − 1 x1 (2l + 1) = x4 (l ) 4
N 2 4 8 16 32 64 N2 4 16 64 256 1028 4049
N log 2 N 2
计算量 之比M 4.0 4.0 5.4 8.0 12.8 21.4
N 128 256 512 1024 2048
N2 16 384 65 536 262 144 1 048 576 4 194 304
k X (k) = X1(k) +WN X2 (k)
因此可得后半部分X(k) 因此可得后半部分
X (k +
k=0，1， …，N/2－1 ， ， ， －
N N N k ) = X 1 (k + ) + WN + N 2 X 2 (k + ) 2 2 2
k = X 1 ( k ) − WN X 2 ( k )
分解一次后所需的运算量＝ N/2的DFT＋ 分解一次后所需的运算量＝2个N/2的DFT＋ N/2蝶形 N/2蝶形： 蝶形：
复数乘法次数： 2*(N/2)2+N/2=N2/2+N/2 复数加法次数： 2*(N/2)(N/2－1)+2*N/2=N2/2
因此通过一次分解后，运算工作量减少了差 因此通过一次分解后， 不多一半。 不多一半。
n =0
N −1 n =0
N −1
nk N
= ∑ [Re x( n) + j Im x( n)][Re WNnk + j Im WNnk ]