水力火箭数学模型建立和实验验证

《工程热力学》三级项目

《水力火箭》

项

目

总

结

报

告

汕头大学工学院机械电子工程系

2014年12月

一、项目目的

1、利用工程热力学所学的知识理论分析水火箭发射的理论高度。与实际的

高度进行对比

2、用本课程的知识为最优灌水比提供理论依据，分析当灌水量低于或者高

于最优值时发射高度下降的原因。

3、在正负10%和正负25%的范围内修改阻力系数和空瓶质量，并计算在相

应发射最优化设计下火箭能达到的高度，用一张清楚简明的表格展示估

算结果。

4、分析不同次试射实验结果存在变化的可能原因。分析须以简明、观点清

晰的段落化分析的形式，而非仅仅原因的罗列；分析试射结果与数据表

估算结果之间差异的可能原因。哪些数学模型的假设和局限性是造成这

些差异最直接的原因。同样，观点清晰、段落化的分析为佳。

二、项目要求

1、完成一张与同伴共同设计和试射的水力火箭的图纸。要求对图进行正确

地标注，并提供足够的细节内容以便别人能够模仿复制相同的设计。不

能剪切瓶子，但可以使用多个不同大小的瓶子，或其它减小阻力的用具

等列出一张所有重要设计特征的列表并说明支持各相应设计的理由。利

用数据表估算火箭能够达到的最大高度。

2、确定发射最优化设计（即达到最大高度时的灌水比例）。

3、需要水火箭能垂直发射（一定范围内的偏离可以允许）。

三、实施条件

1、材料：1.25L的可乐瓶×1，KT板×1，卡纸×1，双面胶、电胶布；工

具：剪刀×1，直尺×1，秒表×1

2、场地：足球场

3、发射工具：脚踏式打气筒，可控制发射架

4、合作人：吴已帆

四、原理、数据处理及分析

1、发射原理：

盖上阀门，形成一个密闭的空间，把气体打入到火箭机身里,使得机身内空气的气压增大，压强够大时，箭内水向后喷出，水火箭由于反作用力射

出。水火箭和现实中火箭最大的不同是在发射水火箭前我们会在机身内注入空气使其达到一定压力，由于高压会自然向低压流去，故在喷嘴被打开时，空气自然向喷嘴流去，但由于水挡在前方，故水会被空气推出火箭，而火箭也借此获得向前的动力。发射原理简单言之是利用瓶内压强与大气压的差喷出水，水与地面冲击，从而使瓶子获得一个向上的力，该力大于重力时，使瓶子获得一个向上的加速度，得以上升。

2、估算水力火箭发射高度

1)

2） 水力火箭水流速度的方程式求解：

设在t 时刻的瞬时时候，火箭空载的质量与火箭装载的剩余的水的总质量为m1，整体的速度为V ；则由动量定理可知：

此时火箭以及其装载的水的整体总动量为：=1t p m v

（1）

当时间经过

dt 后，设火箭尾部喷出来的气体的质量为dm ，整体速度增加到+(

)v dv ； 以火箭为动系，地面为定系，火箭尾部喷出的气体为动点，设动点的相对速度为恒定值r v ，动点的绝对速度为a v ，牵连速度为e v

；则有速

度合成定理得：

=-a r e v v v 又由于=+e v v dv

，则

=--||a r v v v dv （方向为竖直向下）（2）

则在

+t dt 时刻，由动量定理可得：

+=+-++-1()()()

t dt r p v dv v dm v dv m dm （3）

由于火箭装载的水的减少量等于火箭所喷出的水的量，则：

=-1dm dm （4）

则由式子（3）和（4），得：

+=-+-+++111()()()

t dt r p v dv v dm v dv m dm （5）

则根据冲量定理，得：

+=-外t dt t F dt p p （6）

设想火箭是在理想状态下运动, 即这时不存在外力的因素影响。

外=0F

+=t dt t

p p （7）

由（1）（3）（5）（7）式子，得：

=-+-+++1111()()()

r m v v dv v dm v dv m dm （8）

化简（8）式，得：

+=110r m dv v dm

=-1

1r

dm dv v m （9）

又由于火箭初速度为零，初质量为m ，对式子（9）两边积分可得：

=

-⎰⎰1

10

1m v

r

m

dm v

v m

=0

1

ln

r m v v m （10）

如果考虑到外力对火箭飞行的影响,，则： 由（9）式可知：

=-11r

dm dv

m v dt dt

由==1

dv m ma F dt ，得：

=-1

r

dm F v dt

对于外力的作用，一般只要老虑重力和空气阻力这二个主要因素就够了，空气阻力的公式：

ρ空气

2

1=C 2

SV F

（C 为空气阻力系数，ρ为空气密度，S 物体迎风面积，V 为物体与空气的相对运动速度）

ρθ--2

111SV sin 1m =-C 2r

dm m g v dv dt dt

（11）

θ为火箭飞行方向和水干面的夹角,，由于火箭都是垂直上升，

θ=900，则：

ρ--1211SV 1m =-C 2r

dm m g v dv dt dt

由于火箭上升的速度不大， ρ21

-C 2

SV 的值很小，在此为了方便计算，因此将ρ21

-

C 2

SV 等于零，即： --111m =r

d dm m v v

g dt dt （12）

对（12）两边进行积分，得：

=-0

1

ln r m v v gt m （13）

=--()r v v f t gt (14)

对（14）两边积分得:

=--⎰2

1()2t

r s v f t dt gt (15)

式（15）中的f(t)是未知函数，因此必须对质量的变化做出假定，下面利用直线

率来分析：

当火箭在单位时简内喷放的质量相同时, 则质量的变化率为一常数: