数字信号处理-时域离散随机信号处理(丁玉美)章 (5)

第五章 时 频 分 析 5.2 短时傅里叶变换
5.2.1 短时傅里叶变换的定义及其物理解释
1.
短时傅里叶变换的定义有两种形式, 下面分别叙述。
(1) 定义一:
STFT X (n,) x(m)w(n m)e-jm m
(5.2.1)
式中w(n)是一个窗函数，其作用是取出x(n)在n时刻附近的一小段
(5.2.3)
上式是STFT定义的一种频域表示形式。这里如果x(n)是时变信号， 式中用了它的傅里叶变换，是不合适的，但可以理解为信号在时间 窗外变为 0 以后，取信号的傅里叶变换;或者说是时间窗内的信号 傅里叶变换的平滑形式。
第五章 时 频 分 析
（2） 由线性滤波角度解释。将定义一重写如下：
STFTX (n,) x(m)e-jmw(n m) m
x(n)
×
STFT x(n , )
w(n)
图 5.2.2 定义一的物理解释
第五章 时 频 分 析
exp (－ j n)
x(n)
w(n) exp ( jn )
STFT x(n , )
图 5.2.3 定义二的物理解释
第五章 时 频 分 析 5.2.2 短时傅里叶变换的性质
短时傅里叶变换是建立在一般傅里叶变换基础上的一种变换， 因此它具有许多和傅里叶变换相似的性质。
第五章 时 频 分 析
利用定义二可以得到线性滤波的另一种物理解释， 将定义二
重写如下:
STFT X (n,) e-jωn w(m)e jωmx(n m)
m
公式中求和号部分可看成w(n)ejωn与x(n)的线性卷积，因此上式
可以写成
STFT X (n,) e-jωn w(m)e jωmx(n m)
上式表明, 短时傅里叶变换可以看成x(n)e-jωn与w(n)的线性卷积， 如将w(n)看成一个低通滤波器的单位脉冲响应， 短时傅里叶变换 则可用图5.2.2表示。图 5.2.2 表明, 首先将信号x(n)调制到-ω， 然后通过低通滤波器w(n)， 其输出就是短时傅里叶变换。 实质 上是将x(n)在ω附近的频谱搬移到零频处， 作为短时傅里叶变换。 为使其频率分辨率高， 希望w(n)是一个低通窄带滤波器， 带外 衰减愈大愈好。
看作n是参变量，x(m)w(n-m)对m的傅里叶变换，因此它是（n,ω） 的 函 数 。 因 为 STFT 是 x(m)w(n-m) 的 傅 里 叶 变 换 ， 可 以 用 x(m) 和 w(n-m)分别的傅里叶变换的卷积表示。 设：
X (e jω ) FT[ x(m)], W (e jω ) FT[ w(m)]
换和逆变换分别用下面两式表示：
X (e j ) x(n)e-jωn
n
(5.1.1)
x(n) 1 π X(ej )ejnd 2π -π
(5.1.2)
式中ω是一个连续变量,限制了用计算机在频域进行分析与处理，
而离散傅里叶变换(DFT)将频域离散化, 使之借助计算机可以在时
域也可以在频域对信号进行分析与处理。由于傅里叶变换物理概
信号进行傅里叶变换，当n变化时，窗函数随n移动，从而得到信
号频谱随时间n变化的规律。此时的傅里叶变换是一个二维域
(n,ω)的函数。窗函数沿时间轴移动情况如图 5.2.1 所示。
第五章 时 频 分 析
(n－m )
x(m )
n
m
图 5.2.1 窗函数的移动
第五章 时 频 分 析 令 n′=n-m 将n′代入定义一中, 再将 n′用m代替,
可得到第二种定义形式。
(2) 定义二：
STFTX (n,) w(m)x(n m)e- jω(n-m) n e- jωω w(m)x(n m)e jωω m
第五章 时 频 分 析 2. 对以上STFT的定义形式，从傅里叶变换和线性滤波两个角
度，可以有两种不同的物理解释。 (1) 由傅里叶变换角度解释。按照(5.2.1)式，STFT可以
于能量无限信号，如周期信号、平稳随机信号等，傅里叶变换不
存在， 可以用功率谱密度（简称功率谱）P(ejω)表示:
P(e jω ) rxx (m)e-jωm m
（5.1.4）
式中rxx(m)是x(n)的自相关函数。频谱、能量谱以及功率谱都是
信号变换到频域的一种表示方法，对于频谱不随时间变化的确定
性信号以及平稳随机信号都可以用它们进行分析和处理。
m
式中w(n)是低通滤波器，w(n)ejωn就是以ω为中心的带通滤波器。
按照上式，STFT就是信号首先通过带通滤波器，选出以ω为中心 的频谱，再乘以exp(-jωn)，将选出的频谱搬移到零频处。 短时
傅里叶变换如按照定义二的物理解释，则可用图 5.2.3 表示。
第五章 时 频 分 析
exp (－ j n )
念清晰,同时也是正交变换, 因此长期以来科技界及各工程领域广
泛使用傅里叶变换和离散傅里叶变换。
第五章 时 频 分 析
X(ejω)称为信号x(n)的频谱， 它表示了信号在频域的分
布规律。也可以用下面公式表示:
e() | X (e j ) |2
（5.1.3）
e(ω)称为信号x(n)的能量谱，它仅包含信号的幅度信息。但对
第五章 时 频 分 析 第五章 时 频 分 析
5.1 引言 5.2 短时傅里叶变换 5.3 维格纳变换(WD) 5.4 时域离散信号的维纳变换 5.5 时频分布的统一表示式 5.6 时频分析在编队目标架次检测中的应用
第五章 时 频 分 析 5.1 引 言
传统的信号分析与处理的数学工具是傅里叶变换，它的正变
1. 线性性质 设 z(n)=c·x(n)+d·y(n), c,d 为常数, 则
STFTZ (n,) c STFTX (n,) d STFTY (n,)
(5.2.4)
第五章 时 频 分 析 2. 频移性质——调制特性
设 x(n) y(n)e j0n , 则
STFT X (n,) STFTY (n, 0 )
W (e-jω ) FT[ w(m)], e jωnW (e-jω ) FT[ w(n m)]
第五章 时 频 分 析
那么
STFTxx (n, )
1
2
W (e j )e jn X (e j(- ) )d
如果再将θ改换成-θ， 得到
STFTxx (n, )
1
2
W (e j )X (e j( ) )e-jnd