数字信号处理 第五章04
数字信号处理-第五章
系 统 函 数
：
H (z) n M 0h (n )z n Y X ( (z z ) ) b 0 b 1 z 1 b 2 z 2 b M z M
单位脉冲响应的值等于差分方程系数：
h
h(n)=bn
n=0,1,·····,M
33
FIR数字滤波器的特点：
系统函数：
N1
H(z) h(n)zn n0
有N-1个零点分布于z平面 z=0处 是N-1阶极点
h
26
还可以如下式这样进行分解： H (z)1 1 0 0..6 4z z 1 11 1 0 0..5 3z z 1 1H 3(z)H 4(z)
h
27
级联型结构的特点：
调整某一路的分子系数能单独调整滤波器的一组 零点，而不影响其它零极点； 调整某一路的分母系数能单独调整滤波器的一组 极点，而不影响其它零极点；便于调整滤波器频 率响应性能
直接型
h
38
将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 按照上式画出它的级联型结构如图所示。
级联型
h
39
5.5 线性相位网络结构
FIR滤波器单位抽样响应h(n)为实数，0 n N 1 且满足：
偶对称： h (n ) h (N 1 n ) 或奇对称 h (n ) h (N 1 n ) ： 即对称中心在 (N-1) / 2处 则这种FIR滤波器具有严格线性相位。
bi zi
i0 N 1 ak zk
k 1
基本运算：加法，乘法（乘以常数），移位（时延）
h
3
信号流图由基本支路构成
1.基本支路箭头表示信号流向，两个圆点表示输入输出节点，箭头旁边的 符号表示增益（缺省为1）
数字信号处理,第5章课后习题答案
第五章习题与上机题5.1 已知序列12()(),0 1 , ()()()nx n a u n a x n u n u n N =<<=--，分别求它们的自相关函数，并证明二者都是偶对称的实序列。
解：111()()()()()nn mx n n r m x n x n m a u n au n m ∞∞-=-∞=-∞=-=-∑∑当0m ≥时，122()1mmnx n ma r m aaa∞-===-∑ 当0m <时，122()1m mnx n a r m aaa -∞-===-∑ 所以，12()1mx ar m a =-2 ()()()()N x n u n u n N R n =--=22210121()()()()()1,0 =1,00, =()(1)x NN n n N mn N n m N r m x n x n m Rn R n m N m N m N m m Nm N m R m N ∞∞=-∞=-∞--=-=-=-=-⎧=--<<⎪⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪⎪⎪⎩-+-∑∑∑∑其他从1()x r m 和2()x r m 的表达式可以看出二者都是偶对称的实序列。
5.2 设()e()nTx n u n -=，T 为采样间隔。
求()x n 的自相关函数()x r m 。
解：解：()()()()e()e ()nTn m T x n n r m x n x n m u n u n m ∞∞---=-∞=-∞=-=-∑∑用5.1题计算1()x r m 的相同方法可得2e()1e m Tx Tr m --=-5.3 已知12()sin(2)sin(2)s s x n A f nT B f nT ππ=+，其中12,,,A B f f 均为常数。
求()x n 的自相关函数()x r m 。
解：解：()x n 可表为)()()(n v n u n x +=的形式，其中)2sin()(11s nT f A n u π=，=)(n v 22sin(2)s A f nT π，)(),(n v n u 的周期分别为 s T f N 111=，sT f N 221=，()x n 的周期N 则是21,N N 的最小公倍数。
高西全版数字信号处理 第五章+课后答案
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数字信号处理 第五章
+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
6
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +
-1 a1 z
y(n)
+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
7
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
z z
2 2
H (z)
1 1k z 1 1k z
1 1
x(n)
H 1(z)
y (n )
H 2(z)
H k (z)
数字信号处理—第五章
22
数字信号处理—第五章
23
IIR数字滤波器的级联型结构优点
1) 每个二阶或一阶子系统单独控制零、极点。 2）级联顺序可交换，零、极点对搭配任意，因此级联 结构不唯一。有限字长对各结构的影响是不一样的， 可通过计算机仿真确定子系统的组合及排序。 3）级联各节之间要有电平的放大和缩小，以使变量值 不会太大或太小。太大可能导致运算溢出；太小可 能导致信噪比太小。 4）级联系统也属于最少延时单元实现，需要最少的存 储器，但乘法次数明显比直接型要多。 4）级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算 误差积累比直接型小。
数字信号处理—第五章
4
基本单元(数字滤波器结构）有两种表 示方法
数字信号处理—第五章
5
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +
《数字信号处理导论_第5章》
1 H ( ) b(n )cos n 2 n 1
N /2
1 时 cos n 0 2
则 H ( ) 0 z 1是零点
H ( )对 0, 2 呈偶对称 H ( )对 呈奇对称
0
10
20
y2 ( n )
0
-2 -10
0
10
20
定义：
d ( ) g ( ) d
为系统的群延迟 (Group Delay, GD)
显然，若系统具有线性相位，则其GD为
常数。
GD可作为相频响应是否线性的一种度量，同 时，它也表示了系统输出的延迟。
若： 则：
x(n) xa (n) cos( 0 n), c 0 x(n) : Narrowband Signal
z e j
j N21 N 1 N 1 " " h(n)cos 2 n e n 0 N 1 N 1 j je 2 h ( n )sin N 1 n " " 2 n 0
为第一类线性相位
N 1 2
2）h(n)奇对称
h( n) h( N 1 n)
j N 1 N 1 2
频率响应：
j
N 1 H (e ) H ( z ) z e j je h(n)sin 2 n n 0 N 1 j j N 1 N 1 2 2 e h(n)sin 2 n n 0
z 1为零点 故不能设计成高通、带阻滤波器
3）h(n)奇对称，N为奇数
数字信号处理_第5章4
FIR优化设计
问题的提出
设计的物理可实现FIR滤波器H (ejW )与理想滤波 器Hd (ejW )的逼近程度?
只有矩形窗函数法设计出的FIR滤波器是积分平 方误差最小意义下的最优FIR滤波器。 解决方法：采用优化设计！
FIR数字滤波器优化设计的基本思想：
在一定的误差准则下，设计线性相位FIR滤波器 H(z)，使得H(z)所对应的幅度函数A(W)和理想滤波器 的幅度函数D(W)的误差在区间上达到最小。
~
~
-6
FIR优化设计
优化设计的MATLAB实现
等波纹FIR滤波器设计 估计滤波器阶数M，并获得调用remez函数的参数 [M,fo,ao,w] = remezord(f,a,dev)
f：需设计的FIR数字滤波器的频带(B个)构成的向量 a：B个元素的向量,分别表示FIR滤波器在B个频带 中的幅度值。一般对通带取值为1，阻带取值为0。 dev：B个元素的向量,分别表示FIR滤波器在B个频 带中的波动值
FIR优化设计
等波纹FIR滤波器设计
等波纹线性相位FIR滤波器的设计步骤：
(5) 寻找新的极值点 { W k }，并求出最大误差值
~
~
(6) 如果 T (如 T=10 )，执行(7)。 否则用 { W k } 交换 { W k } 回到(3)。
(7) 解方程获得g[k]。 (8) 由g[k]求出h[k]。
上例的设计结果
（设计指标为Wp=0.5p，Ws=0.6p, p=s=0.0017）
0
M=59
20 G a in, dB 55 80 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Normalized frequency 0.9 1
数字信号处理第三版(姚天任、江太辉) 答案 第五章-unprotected
2
N −1 N −1
E[x(i)x( j)]
N n=0
N2 i=0 j=0
N2 i=0 j=0
∑ ∑∑ =
1 N
N −1
E[x2 (n)] −
n=0
1 N2
N −1 N −1
E[x(i)x( j)]
i=0 j=0
∑ ∑ ∑∑ =
1
N −1
E[x2 (n)] −
1
N −1
N −1 N −1
∫ = 1
q
0 −q
xdx
=
1 2q
x2
|0−q =
−
q 2
∞
∫ mx2 = E[x2 ] = −∞ xpx2 (x)dx
∫ = 1
q
q/2 −q/2
xdx
=
1 2q
x2
|−q
/2 q/
2
=
0
∞
∫ mx3 = E[x3 ] = −∞ xpx3 (x)dx
∫ = 1
2π
2π 0
xdx =
1 4π
x2
|02π = π
∞ −∞
(x
−
mx2
)2
px2
( x)dx
∫ = 1 q
q/2 −q / 2
x2dx
=
1 3q
x3
|q / 2
−q/
2
=
q2 12
∫ σ 2 x3
=
E[( x3
− mx3 )2 ] =
∞ −∞
(x
−
mx3
)2
px3
( x)dx
∫ = 1
2π
2π 0
精品文档-数字信号处理(吴瑛)-第5章
第5章 数字滤波器概论
5.3 实际滤波器的设计指标
5.3.1 图5.3.1是理想低通滤波器的幅频响应，该理想低通滤波
器具有截止频率ωd。可以看出，理想滤波器在通带内幅度为常 数(非零)，在阻带内幅度为零。另外，一般理想滤波器 要求具有线性相位(在第8章讨论)，这里假设相频响应 θ(ω)=0
h(n) sin(nd )
第5章 数字滤波器概论
1. 根据H(ejω) 一般数字滤波器从滤波功能上分类，和模拟滤波器一样， 可以分成低通、高通、带通和带阻等滤波器。它们的理想幅频 响应如图5.2.2
第5章 数字滤波器概论
图5.2.2 (a) 低通; (b) 高通; (c) 带通; (d) 带阻
第5章 数字滤波器概论
需要注意的是，数字滤波器的频率响应H(ejω)都是以2π 为周期的，滤波器的低通频带处于2π的整数倍处，而高通频 带处于π
5.3.2 当滤波器形状为非理想时，要用一些参数指标来描述其关
键特性。图5.3.5表示低通滤波器的幅频响应。滤波器的通带 定义了滤波器允许通过的频率范围。在阻带内，滤波器对 信号严重衰减。ωp和ωs分别称为通带截止频率(或通带上限频 率)和阻带截止频率(或阻带下限频率)。参数δ1定义了通带波 纹(Pass Band Ripple)，即滤波器通带内偏离单位增 益的最大值。参数δ2定义了阻带波纹(Stop Band Ripple)，即 滤波器阻带内偏离零增益的最大值。
截短脉冲响应自然会对频率响应产生影响。截短后，滤波 器幅频响应曲线不再是理想矩形，通带不再平坦，有过渡带， 同时阻带衰减不再为零。图5.3.4给出了因果脉冲响应 的幅频响应。当然，脉冲响应保留的采样点越多，即滤波器阶
第5章 数字滤波器概论 图5.3.4 非理想低通滤波器因果脉冲响应的幅频响应
数字信号处理作业 第五章 参考答案
(1) 由极点构成 H a ( s ) 的分母多项式，分子为分母多项式的常数。 (2) H a ( s ) 展成部分分式。 (3) 据有理分式变换得到对应的 H ( z ) 各分式，整理得到最后的 H ( z ) 。 22、 取 T=1， 预畸， 由已知列出对模拟滤波器的衰减要求， 解出 N=6.04， 取 N=7， 得到
−0.5
Z −1
−1
0.9
−0.81
4、 H ( z ) = −4.9383 +
2.1572 4.7811 − 1.5959 z −1 + 1 + 0.5 z −1 1 − 0.9 z −1 + 0.81z −2
−4.9383
x ( n) y ( n)
2.1572 −0.5
Z −1
4.7811
Z
0.9 −0.81
= H 2 ( z)
α 02 + α12 z -1 -3.1986 + 0.2591z -1 = 1 +z 2 1 + 1.618 z - 4π 2 2 1 + r z 1 - 2rz -cos 5
频率取样型实现流程图：
−10.125
Z −1
18.3236
x ( n)
Z −1
x ( n)
Z −1
Z −1
+
Z −1
− 7 4
+
Z −1
− 69 8
+
y ( n) 4） 频率取样型：取 r=1，N=5，得到 DFT{h(n)}为：
{-10.1250 9.1618 + 6.6564i -1.5993 - 4.9221i -1.5993 + 4.9221i 9.1618 - 6.6564i}
数字信号处理_吴镇扬_第二版_第五章习题答案
5.7 （1）由于h2(n)是h1(n)圆周移位的序列，根据DFT的 2π 性质有： −j 4k − jπ k
H 2 (k ) = e
8
H 1 (k ) = e
H 1 (k )
~ ~ H1 ( k ) = H 2 ( k ) 成立 所以
(2)由于h1 (n ) 和h2 (n ) 均为偶对称序列，以其构成的低通滤波器
(3)若采用海明窗设计，则
⎡ ⎛ 2πn ⎞⎤ wHam ( n) = ⎢0.54 − 0.46 cos ⎜ ⎟ ⎥ RN ( n ) ⎝ N − 1 ⎠⎦ ⎣ 2 h( n) = sin[(n − α )ωc ]cos[(n − α )ω0 ]wHam (n) N 为奇数时， (n − α )π
h( n N 为偶数时， ) =
0 −ωc
e − jωα e jω nd ω
可见h(n)关于(N-1)/2偶对称，即 h( n) = h( N − 1 − n)
(1)当 N 为奇数时，为第一类滤波器。 (2)当N为偶数时，为第二类滤波器
⎧hd ( n) h( n) = hd ( n) ⋅ R(n ) = ⎨ ⎩0 0 ≤ n ≤ N −1
解：由经验公式可知若 不小于 At 40dB , 则
β = 0.5842 At - 21)0.4 + 0.07886(At - 21) ≈ 3.3953 （ At − 8 40 − 8 N= = ≈ 22.28 2.286∆ω 2.286× 0.2π ωc + ωr ωc′ = = 0.2π 2 ′ ⎧ωc ′ ⎪ π Sa[ωc (n − α )] n ≠ α ′ 1 ωc − jωα jωn ⎪ hd (n) = ∫ ′ e e dω = ⎨ ′ 2π −ωc ωc ⎪ n =α ⎪ ⎩ π
数字信号处理 第五章
第五章离散时间信号的数字处理Q5.1运行程序P5.1，产生连续时间序号及其抽样形式，并显示它们。
clf;t = 0:0.0005:1;f = 13;xa = cos(2*pi*f*t);subplot(2,1,1)plot(t,xa);gridxlabel('时间, msec');ylabel('振幅');title('连续时间序号 x_{a}(t)');axis([0 1 -1.2 1.2])subplot(2,1,2);T = 0.1;n = 0:T:1;xs = cos(2*pi*f*n);k = 0:length(n)-1;stem(k,xs);grid;xlabel('时间 n');ylabel('振幅');title('离散事件序号 x[n]');axis([0 (length(n)-1) -1.2 1.2])Q5.2 正弦信号的频率是多少赫兹？抽样周期是多少秒？正弦信号的频率f=13Hz，抽样周期T=0.1s。
Q5.3 解释两个axis命令的效果。
给x,y轴标刻度。
Q5.4 以比在程序P5.1中列出的抽样周期低的两个抽样周期和高的两个抽样周期的四个其他值，运行程序P5.1.评论你的结果。
T=0.04s T=0.08sT=0.15s T=0.3s由上图可以发现：当取的T越小时，得到的图形越接近原图形。
Q5.5 通过将正弦信号的频率分别变为3HZ和7HZ，重做习题Q5.1。
相应的等效离散时间信号与习题Q5.1中产生的离散时间信号之间有差别么？若没有，为什么没有？f=3Hz f=7Hz由图可以看出，变换频率得到的两个图没有区别，因为他们的抽样周期一样。
Q5.6 运行程序P5.2，产生离散时间信号x[n]及其连续时间等效ya[t]，并显示它们。
clf;T = 0.1;f = 13;n = (0:T:1)';xs = cos(2*pi*f*n);t = linspace(-0.5,1.5,500)';ya = sinc((1/T)*t(:,ones(size(n))) - (1/T)*n(:,ones(size(t)))')*xs;plot(n,xs,'o',t,ya);grid;xlabel('时间, msec');ylabel('振幅');title('重构的连续时间序号 y_{a}(t)');axis([0 1 -1.2 1.2]);图1 图2Q5.7 在程序P5.2中，t的范围和时间增量的值是什么？在图中，t的范围是什么？改变t的范围，显示上述程序所计算的全范围ya[t]并再次运行程序P5.2,。
2011数字信号处理第5章-4
5.4 Relationship between magnitude and phaseFor SY described by rational system functions, there is some constraint between magnitude and phase.magnitude magnitudethe number of poles and zeros⎛ ⎞ 1 ⎟ jω * | H (e jω ) |2 = H (e jω )H * (e jω ) = H(e )H ⎜ jω * ⎟ ⎜ e z = e jω ⎝ ⎠ * *Explore the possible choices of system function, given the square of the magnitudeC( z) = H ( z)H (1/ z )M( )1/rrθ* 1/ ckaafinite choices for the phase finite choices for the phasephase phasethe number of poles and zeros* (1 − ck z −1 ) (1 − ck z ) ⎛ b0 ⎞ ∏ ⎛ b0 ⎞ ∏ k =1 k =1 =⎜ ⎟ N ⋅⎜ ⎟ N ⎝ a0 ⎠ (1 − d z −1 ) ⎝ a0 ⎠ (1 − d * z )Mck∏kk =1 M∏k =1kaafinite choices for the magnitude finite choices for the magnitude⎛b ⎞ =⎜ 0 ⎟ ⎝ a0 ⎠2∏ (1 − c zk k =1 N k k =1−1)(1 − c z )* k * )(1 − d k z )∏ (1 − d z−1zeros: poles:* ck ,1/ ck* d k ,1 / d kOccur in conjugate Occur in conjugate reciprocal pairs reciprocal pairsExample 5.112(1 − z−1 )(1+ 0.5z −1 ) H1 ( z) = (1− 0.8e jπ / 4 z−1 )(1− 0.8e− jπ / 4 z −1)Geometric explanation(1− z−1)(1+ 2z−1) H2 ( z) = (1− 0.8e jπ / 4 z−1)(1− 0.8e− jπ / 4 z−1)z = e jωv1v3z = e jωv4−0.5w4−2w1w3w2v2− 0.5−2| H1 (e jω ) |= K1v3 v4 v1 v2Z2z = e jωw4| H2 (e jω ) |= K2θv4Z1ωw3 w4 w1 w2C1(z)C2 ( z)−2 − 0.5* C2 ( z) = H2 ( z)H2 (1/ z* )C1 ( z) = H1 ( z)H1* (1/ z* )r1/ r| H1 (e jω ) | K1 v4 K1 = ⋅ = ⋅ r — constant | H 2 (e jω ) | K 2 w4 K2C1 ( z ) = C2 ( z )| H1 (e jω ) |2 =| H 2 (e jω ) |2形状相同 形状相同So, | H1 (e jω ) |=| H 2 (e jω ) |, butH1 (e jω ) ≠ H 2 (e jω )Example 5.12C(z) = H(z)H* (1/ z* )how? how?H1(z) :{Z 1 , Z 2 } , Z 3z1H 2 ( z) :{Z1 , Z 2 } , Z 6z1 p1j Im(z)p1z3 p2 p3determine the zeros and poles to associate with H(z) H(z): causal and stable SY H(z): causal and stable SY Poles of H(z): P, P , P 1 2 3 Let H(z) be real SY, Let H(z) be real SY,Re (z)p3z6z2 p2z2H 1 ( e jω ) = H 2 ( e jω )H 3 ( z) :z4 p1{Z 4 , Z 5 } , Z 3H 4 ( z) :z4{Z 4 , Z 5 } , Z 6p1H 3 ( e jω ) = H 4 ( e j ω ){Z1, Z2} or {Z4 , Z5} , {Z3} or {Z6}p3z3 p2p3p2z5z6zeros and poles either are real or zeros and poles either are real or occur in complex conjugate pairs. occur in complex conjugate pairs.z5=(constant=1)=1If the number of poles and zeros of H(z) is unspecified, then, the number of choices for H(z) would be unlimited.j Im(z)Summary1) zeros and poles of H(z)expand ⎧H1(z)p1z3 p2Re (z)z1C1 ( z)1⎫ ⎧ 1⎫ ⎨ck , * ⎬ , ⎨ d k , * ⎬ ⎩ ck ⎭ ⎩ d k ⎭p3z21 a*C(z) z =ejω| H(ejω )|2⎧ H (z): c1k , d1k 2) Let ⎨ 1 , if ⎩H2 (z): c2k , d2k 3) C(z) = H(z)H* (1/ z* )* 1 = A —constant ⎧ c1k =1/ c2k ⎪ , then ⎨| H2 (e jω ) | ⎨ * d1k =1/ d2k ⎪ H (e jω ) ≠ H (e jω ) ⎩ ⎩ 1 2aj Im(z)⎧ | H (e jω ) |1 a*z1 ap1z3 p2Re (z)H ( z ) = H1 ( z ) ⋅z −1 − a* 1 − az −1p3z2C ( z)N* z−1 − ak In general, if H(z) = H1(z) ⋅ ∏ , then C( z) = C1 ( z) −1 k =1 1− ak zthe number of poles and zerosCausal and stable H(z), not unique, same magnitude5.5 All-pass systemsDefinition: | H (e ) |= 1jω2) General AP-SY:H ap ( z ) = A∏* z −1 − a k ——N th-order AP-SY Let −1 k =1 1 − ak z * 1/ ak conjugate reciprocal pairs ak Na = re jθ— all-pass system (AP-SY)H ap ( z ) = z −1 − a * 1 − az −11) AP factor (First-order AP-SY):1 a*zeros: poles:H ap (e jω ) = AN ⎛ ⎡ r sin(ω − θ k ) ⎤ ⎞ H ap (e jω ) = ∑ ⎜ −ω − 2 arctan ⎢ ⎥⎟ ⎜ ⎟ k =1 ⎝ ⎣1 − r cos(ω − θ k ) ⎦ ⎠ For real Nth-order AP-SYazero: 1/ a pole: a*conjugate reciprocal pairH ap (e jω ) = 1⎡ r sin(ω − θ ) ⎤ jθ H ap (e jω ) = −ω − 2 arctan ⎢ ⎥ (Let a = re ) ⎣1 − r cos(ω − θ ) ⎦H ap ( z ) = A ⋅ ∏* z −1 − d k M c ( z −1 − ek )( z −1 − ek ) ( N = M r + 2M c ) ⋅ −1 ∏ −1 * −1 k =1 1 − d k z k =1 (1 − ek z )(1 − ek z ) Mrreal poles/zeros complex conjugate poles/zerosPropertiesThe zeros and poles occurs in conjugate reciprocal pairs. For a stable and causal AP-SY, the group delay is always positive, and the continuous phase is always nonpositive for 0 < ω < π.grd [ H ap (e jω )] > 0 arg[ H ap (e )] ≤ 0, 0 < ω < πjωExample: a second-order and real AP-SY.H ap ( z ) = ( z −1 − a * ) ( z −1 − a ) ⋅ (1 − az −1 ) (1 − a * z −1 )conjugate reciprocal pairsa∗Leta = re jθ1zeros: 1/ a * , 1/ a poles: a,H ap (e jω ) = 1a*a*a1a⎡ r sin(ω − θ ) ⎤ ⎡ r sin(ω + θ ) ⎤ Hap (e jω ) = −2ω − 2arctan ⎢ ⎥ − 2arctan ⎢1− r cos(ω + θ ) ⎥ ⎣1 − r cos(ω −θ ) ⎦ ⎣ ⎦2ApplicationsAny rational system can be expressed as: H(z) = Hmin(z)Hap(z) Used as compensators for phase (group-delay) distortion (相位失真的补偿器)H d ( z ) ：非线性相位系统H ap ( z )：全通系统线性相位Example. Transform an unstable SY into stable SY by cascading a AP-SY1 d*1 d*H ( z ) = H d ( z ) H ap ( z )幅度关系：？×H ( z)d=H s ( z)dH (e jω ) = H d (e jω )H ap ( z )相位关系： ϕ (ω ) = ϕ d (ω ) + ϕ ap (ω )τ 群延迟关系： (ω ) = τ d (ω ) + τ ap (ω )要使H(z)具有线性相位，只需构造 τ ap (ω ) ，使H s ( z ) = H ( z ) H ap ( z )H s (e ) = H (e )jω jω—— stableτ (ω ) = τ d (ω ) + τ ap (ω ) = τ 0 （常数）Homework5.4, 5.6, 5.8, 5.24, 5.363。
数字信号处理第五章习题解答
————第五章————数字滤波网络5.1 学 习 要 点本章主要介绍数字滤波器的系统函数()z H 与其网络结构流图之间的相互转换方法，二者之间的转换关系用Masson 公式描述。
由于信号流图的基本概念及Masson 公式已在信号与系统分析课程中讲过，所以下面归纳IIR 系统和FIR 系统的各种网络结构及其特点。
5.1.1 IIR 系统的基本网络结构1. 直接型结构如果将系统函数()z H 化为标准形式(5.1)式：()∑∑=-=--=Nk kkMk kkz az bz H 11 (5.1) 则可根据Masson 公式直接画出()z H 的直接II 型网络结构流图如图5.1所示（取N=4，M=3）。
二阶直接II 型网络结构最有用，它是级联型和并联型网络结构的基本网络单元。
优点：可直接由标准形式(5.1)或差分方程()()()∑∑==-+-=Mk kN k kk n x b k n y a n y 01画出网络结构流图，简单直观。
缺点：对于高阶系统：（1）调整零、极点困难；（2）对系数量化效应敏感度高；（3）乘法运算量化误差在系统输出端的噪声功率最大。
2. 级联型结构将(5.1)式描述的系统函数()z H 分解成多个二阶子系统函数的乘积形式()()()()z H z H z H z H m 21⋅= (5.2) (),1221122110------++=zzzzz H i i i i i i ααβββ m i ,,2,1 = (5.3)画出的级联型方框图如图5.2所示。
图中每一个子系统均为二阶直接型结构，根据()z H 的具体表达式确定()z H i 的系数i i i i 1210,,,αβββ和i 2α后，可画出()z H i 的网络结构流图如图5.3所示。
优点：（1）系统结构组成灵活；（2）调整零、极点容易，因为每一级二阶子系统()z H i 独立地确定一对共轭零点和一对共轭极点；（3）对系数量化效应敏感度低。
中国石油大学《数字信号处理》第五章 有限离散傅立叶变换与快速傅立叶变换
X ( f ) x(n)e
n 0
N 1
j2nf
第一节 离散傅立叶变换
对于一个周期信号，只需研究其在一个周期内的 变化过程和规律。
因此，对XΔ(f )只要分析[0,1/Δ]范围内的频谱即可。
频谱XΔ(f )在一个周期内[0,1/Δ]是连续的，即所 对应的采样点数是无穷多个。实际上在计算有限离 散序列的频谱时，只能计算有限个点上的值，因此 1 把XΔ(f )在区间[0,1/Δ]分成N等份，每份的间隔为 N 则得到有限离散频谱：
对于非周期连续时间信号x(t)，其频谱X(f )为一 个无限长的非周期连续频谱函数 。
x(t ) X ( f )
F
若用采样间隔Δ对信号x(t)进行离散采样，则得到离 散序列x(nΔ) ，其频谱XΔ(f )是周期连续，可以表示 为：以1/Δ为周期将X(f )向两边延拓而得到的。则有
m X( f ) X ( f ) m
第一节 离散傅立叶变换 二、离散傅立叶变换(DFT)
上面讨论的离散傅立叶级数中xp(n)和Xp(k)都是周期性 的序列，是无限长的。
1、有限长离散序列和周期离散序列的关系
有限长序列x(t)
周期延拓 T T N
周期性的序列xp(n)
离散采样
x(t ) x p (t ) x p (n)
第一节 离散傅立叶变换
数字信号处理
Digital Signal Processing（D S P ）
中国石油大学
数字信号处理
Digital Signal Processing（D S P ）
第五章 有限离散傅立叶变换与快速傅立叶变换
第五章 有限离散傅立叶变换与快速傅立叶变换
数字信号处理教程(程佩青)第五章习题讲解
考虑分子分母的组合及级联的次序，共有以下 四种级联型网络：
2023/11/3
信号处理
3、给出以下系统函数的并联型实现：
H z= 5.2 1.58z1 1.41z2 1.6z3 1 0.5z1 1 0.9z1 0.8z2
解：对此函数进行因式分解并展成部分分式，得
H z 5.2 1.58z1 1.41z2 1.6z3 1 0.5z1 1 0.9z1 0.8z2
1 0.5z1 1 0.9z1 0.8z2
则 A4
11 1 21 0 0.5 2023/11/311 21 0
12 1.4 22 1 信号处理12 0.9 22 0.8
11 1 21 0 11 0.5 21 0
12 1.4 22 1 12 0.9 22 0.8
H z
1 z1
1
1
6
10
z 1
1
1
6
10
z 1
1 7 10
1 7 10
2 20
2 20
1 1 10 z1 1 1 10 z1
6
6
1
1.61 0.69 z 1
1
0.61 0.36 z 1
2023/11/3
信号处理
H
z
1
1.61 0.69 z 1
1
0.61 0.36 z 1
H z=
1 z1
1 z1 1 z1 z2
5 3z3 1 z1 z2
2023/11/3
信号处理
由 H z 5 3z3 1 z1 z2
得
Hk
H
z
5 3e jk
z2 k N
j k
j 2 k
1 e 3 e 3
数字信号处理 第5章
【例5.2.1】 求图5.2.2（a）信号流图决定的系统函数H(z)。
解 图5.2.2（a）信号流图的节点变量方程为(5.2.1)式， 对 （5.2.1）式进行Z变换，得到：
w1 (n) w2 (n 1) w (n) w (n－1) 2 2 －a －a w2 (n) x(n) 1 w2 (n) 2 w1 (n) y (n) b2 w1 (n) b1 w2 (n) b0 w2 (n)
23
第4章 FFT
Hj(z)如下式：
H j ( z)
0j 1j z 1 2 j z 2
1 a1 j z a2 j z
1 2
（5.3.2）
式中，β0j、β1j、β2j、α1j和α2j均为实数。这样H(z)就分解
成一些一阶或二阶的子系统函数的相乘形式：
H ( z ) H1 ( z ) H 2 ( z ) H k ( z )
的。例如，一个简单的一阶IIR网络的差分方程为
y(n) ay(n 1) x(n)
其单位脉冲响应h(n)=anu(n)。这两类不同的网络结构各 有不同的特点，下面分类叙述其网络结构。
14
第4章 FFT
5.3 无限长脉冲响应基本网络结构
IIR网络的基本网络结构有三种：直接型、级联型、并 联型。 1． 直接型 将N阶差分方程重写如下：
第5章 时域离散系统的网络结构
5.1 引言 5.2 用信号流图表示网络结构 5.3 无限长脉冲响应基本网络结构
5.4 有限长脉冲响应基本网络结构
5.5 线性相位结构
5.6 频率采样结构
5.7 格型网络结构
1
第4章 FFT
5.1 引方程、单位脉冲
数字信号处理-第五章数字滤波器的基本结构(new)
H ( z) A
将两个一阶因子组合成二阶因子,则
数字信号处理－第五章 数字滤波器络结构及 FIR数字滤波器的基本网络结构
数字信号处理－第五章 数字滤波器的基本结构
滤波器表示方式
（1）系统函数
k b z k M
Y ( z) H ( z) X ( z)
1 ak z k
k 1
k 0 N
1 ak z k
k 1
k 0 N
N2 M N Ak Bk (1 g k z 1 ) k G z k 1 1 * 1 1 c z ( 1 d z )( 1 d z ) k 1 k 1 k 0 k k k N1
一般IIR滤波器满足
N1
数字信号处理－第五章 数字滤波器的基本结构
5.2 无限长单位冲激响应（IIR)滤波器的基本结构）
IIR滤波器有以下几个特点： （1）系统的单位冲激响应 （2）系统函数
h( n)
是无限长的
H ( z)
在有限z平面（
0 z
）上有极点存在
（3）结构上存在输出到输入的反馈，也就是结构是递归的 1、直接Ⅰ型 一个IIR滤波器的有理系统函数为：
x n
3 1.5 -1.5 0.5
z 1 z 1 z 1
-3.5 2.5
y n
数字信号处理－第五章 数字滤波器的基本结构 级联型：
3z 3 3.5z 2 2.5z 3 3.5z 1 2.5z 2 1 H ( z) 2 2 z z 1 z 0.5 1 z z 1 0.5z 1
数字信号处理第5章
第5章 数字滤波器的基本结构5.1 学习要求1 掌握IIR 数字滤波器的基本网络结构，包括直接型、级联型和并联型；2 掌握FIR 数字滤波器的基本网络结构，包括直接型、级联型和频率抽样型；3 了解数字信号处理中的量化效应和数字信号处理的实现。
5.2 学习要点5.2.1 数字滤波器的结构特点与表示方法一个数字滤波器可以用系数函数表示为：01()()()1Mkk k N kk k b zY z H z X z a z -=-===-∑∑ (5-1) 直接由此式可得出表示输入输出关系的常系数线性差分方程为：1()()()N Mk k k k y n a y n k b x n k ===-+-∑∑ (5-2)由式(5-2)看出，实现一个数字滤波器需要几种基本的运算单元—加法器、单位延时和常数乘法器。
这些基本的单元可以有两种表示法：方框图法和信号流图法，如图5-1所示。
用方框图表示较明显直观，用流图表示则更加简单方便。
z ⊕aa单位延时乘常数相加方框图表示法信号流图表示法图5-1 基本运算过程的表示5.2.2 无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的基本结构无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器有以下几个特点：(1) 系统的单位脉冲响应()h n 是无限长的；(2) 系统函数()H z 在有限z 平面(0z <<∞)上有极点存在； (3) 结构上存在着输出到输入的反馈，也就是结构上是递归型。
同一种系统函数()H z 的基本网络结构有直接I 型、直接Ⅱ型、级联型和并联型四种。
1直接I 型直接型按式(5-2)差分方程式将输入采样值（序列）)(n x 延迟并乘以系数k b ，将输出采样（序列）)(n y 延迟并乘以系数k a ，再把它们加起来，这种结构称为直接I 型，结构流图如图5-2所示。
由图可看出，总的网络)(z H 由Mkk k b z-=∑和11Nkk k a z-=-∑两部分网络级联组成，第一个网络实现零点，第二个网络实现极点，从图中又可看出，直接I 型结构需要N M +级延时单元。
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H (e j )
1 1 j Ha Ha j T T T
Ha(j)
T-1
h (n ) Tha (nT ) H (z )
i 1 N
1 s i z 1
sT Ha j T j 2 T
TAi
H (e )
s1,2 = −0.18 ± j 0.70;
, k = 1, 2,L , N
s3,4 = −0.50 ± j 0.50;
s5,6 = −0.70 ± j 0.18 K = 0.12 ( H a ( s ) s =0 = 1)
K ; 2 2 2 ( s + 0.36 s + 0.49)( s + 0.99 s + 0.49)( s + 1.36 s + 0.49)
2、IIR数字低通滤波器 的频率变换（高通、带 通、带阻数字滤波器的 设计 1、IIR数字低通滤波器 的频域直接设计方法 2、IIR数字低通滤波器 的时域直接设计方法
IIR数字滤波 器设计
二、直接设计IIR数 字滤波器
三、IIR数字滤波器 的优化设计方法
1、最小均方误差方法 2、最小p误差方法 3、最小平方逆设计法 4、线性规划设计方法
√
解：(1)由已知条件列出对模拟 滤波器的衰减要求 20 lg H a ( jΩp ) ≥ −1dB ⇒ 20 lg H a ( jΩs ) ≤ −15dB ω H (e jω ) = H a ( j ) = H a ( jΩ), ω ≤ π T ω = ΩT , T = 1 ωp ω ⇒ Ωp = = 0.2π , Ωs = s = 0.3π , T T 20 lg H a ( j 0.2π ) ≥ −1dB ⇒ 20 lg H a ( j 0.3π ) ≤ −15dB 1 2 A2 ( Ω ) = H a ( j Ω ) = 2N Ω 1+ Ωc
Ω 2 N ⇒ 20 lg H a ( jΩ) = −10 lg 1 + Ω c 0.2π 2 N −10 lg 1 + ≥ −1dB Ω c ⇒ 0.3π 2 N −10 lg 1 + ≤ −15dB Ω c 0.2π 1 + Ωc 取等号 0.3π 1 + Ωc
2、IIR数字低通滤波器 的频率变换（高通、带 通、带阻数字滤波器的 设计 1、IIR数字低通滤波器 的频域直接设计方法 2、IIR数字低通滤波器 的时域直接设计方法
IIR数字滤波 器设计
二、直接设计IIR数 字滤波器
三、IIR数字滤波器 的优化设计方法
1、最小均方误差方法 2、最小p误差方法 3、最小平方逆设计法 4、线性规划设计方法
脉冲响应不变法--变换原理
ha(t) Ha()
t h(n)=ha(nT)
W H(T)--H(ejw)
n h1(n)=ha(nT1)
…
W 2/T
…
H1(T1) --H(ejw1)
n
…
W 2/T1
…
Time domain
Frequency domain
脉冲响应不变法--变换原理
ha(t) ) ha (t ) ha (t ) h(n ) H (z ) ˆ (s ) H a (s ) H a
sit i 1
n
s si
Ai
并联，部分分式
N N siTn i 1
u(nT )
z
1
H (z )
Ai lim
i 1
n N
h(n )z
N i 1 sT | z ||e i | N
1 (e z ) 1 e i z 1 Ai
sT siT
n i 1 siT 1 N
数字信号处理
周治国
2016.11
第五章 数字滤波器
IIR数字滤波器 脉冲响应不变变换法
1、从模拟低通滤波器 设计数字低通滤波器 一、从模拟滤波器 设计数字滤波器
（1）脉冲/阶跃响应不 变法 （2）双线性变换法 （1）直接由模拟原型 到各种类型数字滤波器 的转换 （2）从数字低通滤波 器到各种类型数字滤 波器的转换 （1）零、极点位置累 试法（点阻滤波器） （2）幅度平方函数法 （1）帕德逼近法 （2）波形形成滤波器 设计
H (z )
?
n
h(n )z
n
) ha (t )
) ) t H h (t ) s L ( ) a a ) H (z ) H a (s ) ) 1 H a (s ) T
n
h (nT )e
a
sTn
h(n)=ha(nT)
2 Ha sj m H a (s ) T m n 1 2 j H (e ) H (z ) |z e j j j m Ha H T T m a T T T 1 1 H (e j ) H a j H j T T a T n
03A(05-06)
提示： (1)所有小数均计算到小数点后两位 (2)假设取样间隔T = 1 (3)双线性变换的频率变换关系为： Ω = 2 Ttg (ω 2) (4)模拟巴特沃斯低通滤波器H a ( s )的极点为： sk = Ωc e jπ [1 2+ (2 k −1)/(2 N )] , k = 1, 2,L , N (4)模拟巴特沃斯低通滤波器平方函数为： A2 (Ω) = 1 [1 + (Ω Ωc ) 2 N ]
⇒ H ( z) =
IIR滤波器设计2--往年真题
如果所要设计的数字低通滤波器满足下列条件： (a)在ω ≤ π / 8的通带范围内幅度变化不大于3dB， (b)在π / 2 ≤ ω ≤ π 的阻带范围内幅度衰减不小于20dB， 试用脉冲响应不变变换法，设计相应的数字巴特沃斯 低通滤波器， (1)确定滤波器的阶数N (2)确定滤波器的系统函数H ( z ) (3)确定滤波器的频率响应H (e jω ) (4)给出滤波器的直接I型结构实现形式
模拟原型滤波器数字化设计方法
原理（Principle） 首先按一定指标设计出满足要求的模拟原型滤波器，再将 其通过某种方式数字化 转换方法（Conversion methods） — 将微分方程转换为差分方程 — 脉冲响应不变变换法 — 双线性变换法 — 匹配Z变换 要求（Requirement） ① s-平面的左半平面应映射至z-平面的单位圆内，即系统 稳定性要在转换中能够保持； ② 保形要求（频率选择能力）
1、从模拟低通滤波器 设计数字低通滤波器 一、从模拟滤波器 设计数字滤波器
（1）脉冲/阶跃响应不 变法 （2）双线性变换法 （1）直接由模拟原型 到各种类型数字滤波器 的转换 （2）从数字低通滤波 器到各种类型数字滤 波器的转换 （1）零、极点位置累 试法（点阻滤波器） （2）幅度平方函数法 （1）帕德逼近法 （2）波形形成滤波器 设计
Ω 2 N ⇒ 20 lg H a ( jΩ) = −10 lg 1 + Ω c π / 8 2 N −10 lg 1 + ≥ −3dB Ω c ⇒ 2N π /2 −10 lg 1 + ≤ −20dB Ω c π / 8 2 N 0.3 1 + = 10 (a ) Ωc 取等号 2N π / 2 2 1 + = 10 (b) Ωc Ωc = π / 8 = 0.39 解出：N = 1.66，取N = 2
或直接由表5-1 Ωc 6 H a (s) = 6 s + 3.863Ωc s 5 + 7.464Ωc 2 s 4 + 9.141Ωc 3 s 3 + 7.464Ωc 4 s 2 + 3.863Ωc 5 s + Ωc 6 展成部分分式 A B C D H a (s) = + + + s − (−0.18 + j 0.70) s − ( −0.18 − j 0.70) s − ( −0.50 + j 0.50) s − ( −0.50 − j 0.50) E F + + s − ( − 0.70 + j 0.18) s − ( − 0.70 − j 0.18) 解得： A =; B =; C =; D =; E =; F = 由 1 1 z ⇔ = s − si 1 − e siT z −1 z − e siT
2N
= 100.1 (a )
2N
1.5 = 10 (b) 解出：N = 5.89，Ωc = 0.7047取N = 6
代入( a), Ωc = 0.7032 代入(b), Ωc = 0.7080
(2)由巴特沃斯滤波器极点公式得到 sk = Ωc e H a (s) =
1 2 k −1 jπ [ + ] 2 2N
A (e
i
N
siT n
) z u(n )
n
A e
N i 1 i n 0
siT
n
1e
Ai
z 1
此处把课本（5-23）和 （5-43）（5-46）统一起来 Ai Ai z
s si
1 e z
siT
1
z e i
sT
优缺点
1、增益过高（T-1）
H(ejω)