经典联立方程计量经济学模型：理论与方法

2．一个由两个方程组成的联立模型的结构形式如下（省略t-下标）t t t t t u A S N P ++++=3210αααα t t t t v M P N +++=210βββ（1）指出该联立模型中的内生变量与外生变量。

（2）分析每一个方程是否为不可识别的，过度识别的或恰好识别的？ （3） 有与μ相关的解释变量吗？有与υ相关的解释变量吗？ （4）如果使用OLS 方法估计α，β会发生什么情况？（5）可以使用ILS 方法估计α吗？如果可以，推导出估计值。

对β回答同样的问题。

（6）逐步解释如何在第2个方程中使用2SLS 方法。

解答：（1）内生变量：P 、N ；外生变量：A 、S 、M （2）容易写出联立模型的结构参数矩阵P N 常量 S A M()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=Γ20132010101βββααααβ 对第1个方程，()()200ββ-=Γ，因此，()100=Γβ秩，即等于内生变量个数减1，模型可以识别。

进一步，联立模型的外生变量个数减去该方程外生变量的个数，恰等于该方程内生变量个数减1，即4-3=1=2-1，因此第一个方程恰好识别。

对第二个方程，()()3200ααβ--=Γ，因此，()100=Γβ秩，即等于内生变量个数减1，模型可以识别。

进一步，联立模型的外生变量个数减去该方程外生变量的个数，大于该方程内生变量个数减1，即4-2=2>=2-1，因此第二个方程是过渡识别的。

该模型对应于13.3届中的模型4。

我们注意到该模型为过渡识别的。

综合两个方程的识别状况，该联立模型是过渡识别的。

（3）S,A,M 为外生变量，所以他们与μ，υ都不相关。

而P,N 为内生的，所以他们与μ，υ都相关。

具体说来，N 与P 同期相关，而P 与μ同期相关，所以N 与μ同期相关。

另一方面，N 与v 同期相关，所以P 与v 同期相关。

（4）由（3）知，由于随机解释变量的存在，α与β的OLS 估计量有偏且是不一致的。

（5）对第一个方程，由于是恰也识别的，所以间可用接最小二乘法（ILS ）进行估计。

对第二个方程，由于是过渡识别的，因此ILS 法在这里并不适用。

（6）对第二个方程可采用二阶段最小二乘法进行估计，具体步骤如下：第1阶段，让P 对常量，S,M,A 回归并保存预测值t P ˆ；同理，让N 对常量，S,A,M 回归并保存预测值tN ˆ。

第2阶段，让t N 对常量、t P ˆ、tM 作回归求第2个方程的2SLS 估计值 6-11) 联立问题：经济现象是极为复杂的，其中诸因素之间的关系，在很多情况下，不是单一方程所能描述的那种简单的单向因果关系，而是相互依存，互为因果的，这时，就必须用联立的计量经济学方程才能描述清楚。

联立方程计量经济学模型以经济系统为研究对象，揭示经济系统中各部分、各因素之间的数量关系和系统的数量特征。

2) 间接最小二乘法：先对关于内生解释变量的简化式方程采用普通最小二乘法估计简化式参数，得到简化式参数估计量，然后通过参数关系体系，计算得到结构式参数的估计量。

3) 识别问题：联立方程计量经济学模型是由多个方程组成，对方程之间的关系有严格的要求，否则模型就可能无法估计。

所以在进行模型估计之前首先要判断它是否可以估计，这就是模型的识别。

如果联立方程模型中某个结构方程不具有确定的统计形式，则称该方程为不可识别。

如果一个模型中的所有随机方程都是可以识别的，则认为该联立方程模型系统是可以识别的。

反过来，如果一个模型系统中存在一个不可识别的随机方程，则认为该联立方程模型系统是不可以识别的。

4) 二阶段最小二乘法：估计联立方程模型中的某个结构式方程时，先用普通最小二乘法对其中内生解释变量的简化式进行估计，得到内生解释变量的估计值，用此估计值代替原结构式方程中的内生解释变量，再对变换了的结构式方程用普通最小二乘法进行估计。

5) 三阶段最小二乘法：三阶段最小二乘法是估计联立方程模型全部结构方程的系统估计方法，基本思路是3SLS=2SLS+GLS ，即首先用两阶段最小二乘法估计模型系统中的每一个结构方程，然后再用广义最小二乘法估计模型系统。

6) 简化式模型：将联立方程模型的每个内生变量表示成所有先决变量和随机误差项的函 7) 结构式模型：根据经济理论和行为规律建立的描述经济变量之间直接关系结构的计量经济学方程系统称为结构式模型。

结构式模型中的每一个方程都是结构方程，将一个内生变量表示为其它内生变量、先决变量和随机误差项的函数形式，被称为结构方程的正规形式。

6-3．对于联立方程模型系统而言，将变量分为内生变量和外生变量两大类，外生变量与滞后内生变量又被统称为先决变量。

内生变量是具有某种概率分布的随机变量，它是由模型系统决定的，同时也对模型系统产生影响，内生变量一般都是经济变量。

外生变量一般是确定性变量，或者是具有临界概率分布的随机变量。

外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。

外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、虚变量。

6-6．联立方程模型的识别状况可以分为可识别和不可识别，可识别又分为恰好识别和过度识别。

如果联立方程模型中某个结构方程不具有确定的统计形式，则称该方程为不可识别，或者根据参数关系体系，在已知简化式参数估计值时，如果不能得到联立方程模型中某个结构方程的确定的结构参数估计值，称该方程为不可识别。

如果一个模型中的所有随机方程都是可以识别的，则认为该联立方程模型系统是可以识别的。

反过来，如果一个模型系统中存在一个不可识别的随机方程，则认为该联立方程模型系统是不可以识别的。

如果某一个随机方程具有一组参数估计量，称其为恰好识别；如果某一个随机方程具有多组参数估计量，称其为过度识别。

6-8．联立方程计量经济学模型的结构式B ΓN Y X +=中的第i 个方程中包含g i 个内生变量（含被解释变量）和k i 个先决变量（含常数项），模型系统中内生变量和先决变量的数目用g 和k 表示，矩阵()B Γ00表示第i 个方程中未包含的变量（包括内生变量和先决变量）在其它g -1个方程中对应系数所组成的矩阵。

于是，判断第i 个结构方程识别状态的结构式条件为：如果R g ()B Γ001<-，则第i 个结构方程不可识别；如果R g ()B Γ001=-，则第i 个结构方程可以识别，并且 如果k k g i i -=-1，则第i 个结构方程恰好识别， 如果k k g i i ->-1，则第i 个结构方程过度识别。

其中符号R 表示矩阵的秩。

一般将该条件的前一部分称为秩条件，用以判断结构方程是否识别；后一部分称为阶条件，用以判断结构方程恰好识别或者过度识别。

6-9．单方程估计方法有：狭义的工具变量法（IV ），间接最小二乘法(ILS)，两阶段最小二乘法（2SLS ）；系统估计方法有：三阶段最小二乘法（3SLS ），完全信息最大或然法（FIML ）。

狭义的工具变量法（IV ）和间接最小二乘法(ILS)只适用于恰好识别的结构方程的估计。

两阶段最小二乘法（2SLS ）、三阶段最小二乘法（3SLS ）、完全信息最大或然法（FIML ）既适用于恰好识别的结构方程，又适用于过度识别的结构方程。

6-11．内生变量：内生变量是具有某种概率分布的随机变量，它的参数是联立方程系统估计的元素，内生变量是由模型系统决定的，同时也对模型系统产生影响。

内生变量一般都是经济变量。

一般情况下，内生变量Y 满足：C o vY i i (,)μ≠0即 E Y i i ()μ≠0因为外生变量：外生变量一般是确定性变量，或者是具有临界概率分布的随机变量，其参数不是模型系统研究的元素。

外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。

外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、虚变量。

外生变量X 一般满足： E X i i ()μ=0外生变量与滞后内生变量统称为先决变量。

6-17．一个完备的结构式模型可以写成：B ΓN Y X += 或()B ΓN Y X ⎛⎝ ⎫⎭⎪= Y =⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪Y Y Y g 12 X =⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪X X X k 12 N N N N =⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪12 g用n 表示样本容量，则Y =⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥Y Y Y y y y y y y y y y g n n g g gn 12111212122212X =⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥X X X x x x x x x x x x k n nk k kn 12111212122212N N N N =⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥12111212122212g n ng g gn μμμμμμμμμ参数矩阵为： B =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥βββββββββ111212122212g g g g ggΓ=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥γγγγγγγγγ111212122212k k k k kk()BΓ为结构参数矩阵。

6-18．简化式模型的矩阵形式为：Y X =+∏E (1) 其中 ∏=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥πππππππππ111212122212k k g g gkE E E E =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥12111212122212g εεεεεεεεεn ng g gn∏表示简化式参数矩阵。

将结构式模型 B ΓN Y X += 作如下变换：B ΓN B ΓB NY X Y X =-+=-+--11与(1)比较，可以得到：∏B Γ=--1(2)该式描述了简化式参数与结构式参数之间的关系，称为参数关系体系。

6-24．下列为一完备的联立方程计量经济学模型：t t t tu P Y M1210+++=αααt t t u M Y 210++=ββ其中：M 为货币供给量，Y 为国内生产总值，P 为价格总指数。

要求：（1）指出模型的内生变量、外生变量、先决变量；（2）写出简化式模型，并导出结构式参数与简化式参数之间的关系；（3）用结构式条件确定模型的识别状态；（4）从方程之间的关系出发确定模型的识别状态；（5）如果模型不可识别，试作简单的修改使之可以识别；（6）指出ILS 、IV 、2SLS 中哪些可用于原模型第1、2个方程的参数估计。

（1）内生变量为t M ，t Y ；外生变量为t P 和常数项；先决变量为t P 和常数项。

（2）简化式模型为)111(11211111111211010t t t tu u P Mβααβαβααβαβαα-+-+-+-+=)111(112111111111211100t t t t u u P Y βαβαββαβαβαβαβ-+-+-+-+=结构式参数与简化式参数之间的关系体系为11010101βαβααπ-+=112111βααπ-=11100201βαβαβπ-+=1112211βαβαπ-=（3）用结构式条件确定模型的识别状态； 结构参数矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=BΓ011)(01201ββααα 模型系统中内生变量的数目为g=2，先决变量的数目为k =2（包括常数项）。