绝对值的化简

“绝对值的化简”例题解析

无论是从绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义，都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性，也就是说任何一个有理数的绝对值都是非负数，即：无论a取任意有理数都有

。

下面关于绝对值的化简题作一探讨。

一、含有一个绝对值符号的化简题

1. 已知未知数的取值或取值范围进行化简。

如，当时化简（根据绝对值的意义直接化简）

解：原式。

2. 没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简。

如，化简（必须进行讨论）

我们把使绝对值符号内的代数式为0的未知数的值叫做界值，显然绝对值符号内代数式是，使的未知数的值是5，所以我们把5叫做此题的界值，确定了界值后，我们就把它分成三种情况进行讨论。

（1）当时，则是一个正数，则它的绝对值应是它本身，所以原式。

（2）当时，则，而0的绝对值为0，所以原式或

。

（3）当时，则，是一个负数，而负数的绝对值应是它的相反数，所以原

式。

又如，化简

此题虽含有一个绝对值符号，但绝对值符号内出现了两个未知数，在这种情况下，我们把含有两个未知数的式子看作一个整体，即把2x＋y看作一个整体未知数，找出界值，使

的整体未知数的值是，我们把6叫做此题的界值，这样又可分三种情况进行讨论。

（1）当时，

（2）当时

（3）当时

二、含有两个绝对值符号的化简题

1. 已知未知数的取值或取值范围，进行化简也应根据绝对值的意义直接化简。如：当时，化简

解：原式

2. 没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简也必须进行讨论

如：化简

的界值为－3，的界值为

所以对此类化简题，我们仍从三个方面进行讨论。

解：（1）当时（界值为较大界值，讨论的第（1）种情况为大于大的界值）

原式

（2）当时，（第（2）种情况为小于小的界值）

原式

（3）当时（第（3）种情况大于小界值小于大界值）

原式

又如，化简

此题含有两个绝对值符号，且每个绝对值符号内含有两个未知数，且未知数对应项系数相等或成比例，在这种情况下，我们把含有未知数较小的那个式子看作一个整体

即把看作一个整体分别求出每个绝对值符号内的界值，仍从三个方面进行讨论。

的界值为2，的界值为－2。

解：（1）当时，

原式

（2）当时，

原式

（3）当时，

原式

三、数形结合绝对值化简题

如：有理数a、b、c在数轴上的位置如图，试化简：

。

解：由a、b、c在数轴上的位置可知且、、

所以原式

综上所述，含有绝对值符号的化简题，如已确定某些未知数的取值，就按这个未知数的取值根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，进而化简。如没有告诉某些未知数的取值或取值范围，那么就找出这个绝对值（或两个绝对值）符号内的界值，然后分三种情况进行讨论。