第四章能量方程及动量方程小结
流体力学第4章9
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通过流管中有效截面面积为A的流体体积流量和质量流量分 别积分求得，即
qV vdA
qm vdA
在工程计算中为了方便起见，引入平均流速的概念。平均 流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相 同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍
A
A
与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。
述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。当然
拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题 中还是方便的。
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第二节 流体运动的一些基本概念
一、流动的分类 （1）按照流体性质分为理想流体的流动和粘性流体的流动， 不可压缩流体的流动和可压缩流体的流动。 （2）按照运动状态分为定常流动和非定常流动，有旋流动 和无旋流动，层流流动和紊流流动，亚声速流动和超声速 流动
在流场中的一些点，流体质点不断流过空间点，空间点上 的速度指流体质点正好流过此空间点时的速度。
用欧拉法求流体质点其他物理量的时间变化率也可以采用
下式的形式，即
D( ) ( ) (V )( ) Dt t
式中，括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量，如密
D( ) 度、温度、压强，可以是标量，也可以是矢量。 称为 Dt ( ) 全导数， 称为当地导数， (V )( )称为迁移导数。 t
1、系统：包含确定不变的物质的任何集合。 系统以外的一切称为外界。 边界的性质： ① 边界随流体一起运动； ② 边界面的形状和大小可随时间变化； ③ 系统是封闭的，没有质量交换，可以有能 量交换； ④ 边界上受到外界作用在系统上的表面力；
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2、控制体：被流体所流过的，相对于某 个坐标系来讲，固定不变的任何体积。 控制面的性质： ① 总是封闭表面； ② 相对于坐标系是固定的； ③ 在控制面上可以有质量、能量交换； ④ 在控制面上受到控制体以外物体加在 控制体内物体上的力；
大学物理复习第四章知识点总结
大学物理复习第四章知识点总结大学物理复习第四章知识点总结一．静电场：1.真空中的静电场库仑定律→电场强度→电场线→电通量→真空中的高斯定理qq⑴库仑定律公式：Fk122err适用范围：真空中静止的两个点电荷F⑵电场强度定义式：Eqo⑶电场线：是引入描述电场强度分布的曲线。
曲线上任一点的切线方向表示该点的场强方向，曲线疏密表示场强的大小。
静电场电场线性质:电场线起于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷远，不闭合，在没有电荷的地方不中断，任意两条电场线不相交。
⑷电通量：通过任一闭合曲面S的电通量为eSdS方向为外法线方向1EdS⑸真空中的高斯定理：eSoEdSqi1int只能适用于高度对称性的问题：球对称、轴对称、面对称应用举例：球对称：0均匀带电的球面EQ4r20(rR)(rR)均匀带电的球体Qr40R3EQ240r(rR)(rR)轴对称：无限长均匀带电线E2or0(rR)无限长均匀带电圆柱面E(rR)20r面对称：无限大均匀带电平面EE⑹安培环路定理：dl0l2o★重点：电场强度、电势的计算电场强度的计算方法：①点电荷场强公式+场强叠加原理②高斯定理电势的计算方法：①电势的定义式②点电荷电势公式+电势叠加原理电势的定义式：UAAPEdl(UP0)B电势差的定义式：UABUAUBA电势能：WpqoPP0EdlEdl(WP00)2.有导体存在时的静电场导体静电平衡条件→导体静电平衡时电荷分布→空腔导体静电平衡时电荷分布⑴导体静电平衡条件:Ⅰ.导体内部处处场强为零,即为等势体。
Ⅱ.导体表面紧邻处的电场强度垂直于导体表面，即导体表面是等势面⑵导体静电平衡时电荷分布:在导体的表面⑶空腔导体静电平衡时电荷分布:Ⅰ.空腔无电荷时的分布：只分布在导体外表面上。
Ⅱ.空腔有电荷时的分布(空腔本身不带电，内部放一个带电量为q的点电荷)：静电平衡时，空腔内表面带-q电荷，空腔外表面带+q。
3.有电介质存在时的静电场⑴电场中放入相对介电常量为r电介质，电介质中的场强为：E⑵有电介质存在时的高斯定理：SDdSq0,intE0r各项同性的均匀介质D0rE⑶电容器内充满相对介电常量为r的电介质后，电容为CrC0★重点：静电场的能量计算①电容：②孤立导体的电容C4R电容器的电容公式C0QQUUU举例：平行板电容器C圆柱形电容器C4oR1R2os球形电容器CR2R1d2oLR2ln()R1Q211QUC(U)2③电容器储能公式We2C22④静电场的能量公式WewedVE2dVVV12二.静磁场：1.真空中的静磁场磁感应强度→磁感应线→磁通量→磁场的高斯定理⑴磁感应强度：大小BF方向：小磁针的N极指向的方向qvsin⑵磁感应线：是引入描述磁感应强度分布的曲线。
机械系统动力学知识点总结
机械系统动力学知识点总结机械系统动力学是研究对象在外力作用下的运动规律和相互作用关系，是机械领域的基础知识之一。
了解机械系统动力学不仅可以帮助我们理解机械系统的工作原理，还能指导我们设计和优化机械系统，提高机械系统的性能。
本文将就机械系统动力学的相关知识进行总结，包括运动描述、牛顿定律、动量与冲量、角动量、能量和动力学方程等内容。
一、运动描述机械系统动力学研究的对象是物体在外力作用下的运动规律，因此对于机械系统中的物体运动进行描述是非常重要的。
在机械系统动力学中，常用的运动描述方法包括位移、速度和加速度。
位移描述了物体的位置变化，速度描述了物体的位置变化速率，而加速度描述了物体的速度变化速率。
1. 位移在机械系统动力学中，位移是描述物体位置变化的重要参数。
位移通常用矢量来表示，其方向表示位移的方向，大小表示位移的大小。
位移可以分为线性位移和角位移两种，线性位移是描述物体沿直线方向的位置变化，而角位移是描述物体绕固定轴旋转的位置变化。
2. 速度速度是描述物体位置变化速率的参数，通常用矢量来表示。
线性速度描述物体在直线方向上的位置变化速率，角速度描述物体绕固定轴旋转的位置变化速率。
线性速度的大小表示速度的大小，方向表示速度的方向，而角速度的大小表示角速度的大小，方向表示角速度的方向。
3. 加速度加速度是描述速度变化速率的参数，通常用矢量来表示。
线性加速度描述物体在直线方向上的速度变化速率，角加速度描述物体绕固定轴旋转的速度变化速率。
线性加速度的大小表示加速度的大小，方向表示加速度的方向，而角加速度的大小表示角加速度的大小，方向表示角加速度的方向。
以上就是机械系统动力学中常用的运动描述方法，通过对位移、速度和加速度进行描述，可以帮助我们理解物体在外力作用下的运动规律。
二、牛顿定律牛顿定律是机械系统动力学的基础法则，它描述了物体在外力作用下的运动规律。
牛顿定律一共包括三条，分别是惯性定律、动量定律和作用-反作用定律。
传输原理 4 动量微分方程
• 不难看出，位变加速度是专属于流体力学的新概念。
4.3 伯努利方程
• 根据对于欧拉方程，考虑以下特殊条件：
1. 理想流体； 2. 稳定流动； 3. 不可压缩流体； 4. 质量力只有重力；5. 质点沿一条特定流线运动。
x x x 1 P D x x x y z X t x y z x Dt
4.1 连续性微分方程
由前面的方程可以得到连续性方程
式中未涉及力的问题，是运动学方程，对理想流体和 粘性流体均适用，实际存在的流体都必满足连续性方程
x y z 0 t x y z
D x y z 将上式展开，考虑 Dt t x y z
• 微元控制体(流体的密度为ρ)
C G F
dz
z
y x
o
流进ABCD面 的质量流量 B
( x ) x x dx dydz
流出EFGH面 的质量流量
x dydz
vz
D A
vy
vx
H
dy
dx
E
X轴方向的净流入的质量(流入和流出之差)。
x x dydz x dx dydz x
d y dt x y x y y y z y z
d z z z z x y z dt x y z
• 在流体力学中，从上面的 x x x, y, z 等对时间的全 微分不为零看出，流体力学中有了新的加速度概念， 称为位置变化造成的加速度，简称位变加速度，而 x 等不为零时对应的加速度称为时变加速度。
x x x 1 P 两边乘 Xdx dx x dx y dx z dx 以dx x x y z
流体力学第四章
动量方程16－运动控制体
已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 出口截面A11= 0.003m22，求Rxx和 Ryy 出口截面A = 0.003m ，求R 和 R
解：(1) 坐标系 (2) 控制体
r r r Vr = V − U
流体力学
动量方程15－运动控制体
∂ ∂t
∫
CV
r r r r r ρVr dτ + ∫ ρVrVr ⋅ ndS = ΣF
CS
流体仅在控制面的有限个区域流入流出且 ρ，V 在进出口截面均布，定常流动
r r & ∑ F = ∑ mriVri
(
)
out
−∑
(
r & mriVri
)
in
r r r 其中 Vr = V − VCV
φ
流体力学
雷诺输运方程1
欧拉方法描述系统物理量对时间的变化率
CSIII CSI I
t
r V
II
III
dS3
dS1 r n
r n
r V
t +δ t
DN sys Dt
流体力学
= lim
N sys (t + δt ) − N sys (t )
δt → 0
δt
雷诺输运方程2
DN sys Dt
DN sys Dt
流体力学
质点导数与系统导数
质点导数
r Dφ ∂φ = + (V ⋅ ∇ )φ Dt ∂t
流体质点某物理量随时间的变化率同空 间点上物理量之间的关系 系统导数
DN ∂ = Dt ∂t r r φV ⋅ ndS
运动物体的能量守恒与动量守恒方程
运动物体的能量守恒与动量守恒方程在物理学中，能量守恒和动量守恒是两个基本的守恒定律。
它们描述了物体在运动过程中能量和动量的守恒关系。
本文将探讨运动物体的能量守恒和动量守恒方程，并分析它们在实际应用中的意义。
一、能量守恒方程能量守恒是指在一个封闭系统中，能量的总量保持不变。
对于运动物体来说，能量守恒方程可以表达为：能量初 = 能量末其中，能量初代表物体在运动开始时的总能量，能量末则代表物体在运动结束时的总能量。
在运动物体的能量守恒方程中，能量可以分为两种形式：动能和势能。
动能是物体由于运动而具有的能量，可以表示为1/2mv²，其中m为物体的质量，v为物体的速度。
势能则是物体由于位置而具有的能量，可以表示为mgh，其中g为重力加速度，h为物体的高度。
以一个自由落体的物体为例，当物体从高处下落时，它的势能逐渐转化为动能。
当物体触地时，势能完全转化为动能，而动能则达到最大值。
根据能量守恒方程，物体在下落过程中的能量初等于能量末，即mgh = 1/2mv²。
通过简化计算，可以得到v = √2gh。
这个公式表明，物体的下落速度只与重力加速度和高度有关，而与物体的质量无关。
能量守恒方程在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在机械工程中，我们可以利用能量守恒方程来计算机械系统中的能量转换效率。
在能源领域，我们可以利用能量守恒方程来研究能源转换和利用的效率。
能量守恒方程的应用不仅可以帮助我们理解物体的能量变化过程，还可以指导实际工程和科学研究中的问题解决。
二、动量守恒方程动量守恒是指在一个封闭系统中，物体的总动量保持不变。
动量可以定义为物体的质量乘以速度，即p = mv。
对于运动物体来说，动量守恒方程可以表达为：动量初 = 动量末在动量守恒方程中，动量的改变可以通过外力的作用来实现。
根据牛顿第二定律，力可以表示为质量乘以加速度，即F = ma。
通过对动量守恒方程的推导，我们可以得到FΔt = Δmv，其中Δt为时间间隔，Δm为物体的质量改变量。
第4章-流体流动守恒原理-讲义1-守恒方程
工 程 流 体 力 学 ENGINEERING FLUID MECHANICS
4 流体流动的守恒原理
(2) 动量矩守恒方程
Sichuan University
d(r v)m 控制面净输出 控制体内总动 M M + 的动量矩流量 量矩的变化率 dt 系统
一般形式的动量矩守恒方程：
M (r v) ( v n)dA
CS
d (r v) dV dt CV
平均速度表示的动量方程：
d F v q v q vx dV 2 x m2 1 x m1 x dt CV d F v q v q v y dV y 2 y m2 1 y m1 d t CV d Fz v2 z qm 2 v1z qm1 vz dV dt CV
工 程 流 体 力 学 ENGINEERING FLUID MECHANICS
4 流体流动的守恒原理
4.2 质量守恒方程
(1) 控制面上的法向速度及质量流量
法向速度： vn | v | cos v n
>0, 即 / 2, 流体输出控制面 v n =0, 即 / 2, 流体平行控制面 <0, 即 / 2, 流体输入控制面
v ( v n)dA
CS
d dt
dmv 输出控制体 输入控制体 控制体内的 F + F 的动量流量 的动量流量 动量变化率 dt 系统
一般形式的动量守恒方程： F v ( v n)dA
流体动力学三大方程
流体动力学三大方程流体动力学是研究流体运动和流体力学性质的学科，它以三大方程为基础，这三大方程分别是连续性方程、动量方程和能量方程。
在本文中，将对这三大方程进行详细的介绍和解释。
1. 连续性方程连续性方程是描述流体质点的质量守恒的基本方程。
它表明在流体运动中，质量是守恒的，即单位时间内流入某一区域的质量等于单位时间内流出该区域的质量。
连续性方程的数学表达式是通过流体的速度场和流体密度来描述的。
在一维情况下，连续性方程可以表示为流体密度乘以速度的横向梯度等于零。
2. 动量方程动量方程描述了流体力学中质点的动量变化。
根据牛顿第二定律，动量方程可以表达为流体质点的质量乘以加速度等于质点所受到的合力。
在流体动力学中，动量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场和粘性力来描述的。
动量方程是解决流体力学问题的基础方程之一，它可以用来计算和预测流体的速度和压力分布。
3. 能量方程能量方程描述了流体质点的能量变化。
在流体动力学中，能量方程的数学表达式是通过流体的速度场、压力场、密度和温度来描述的。
能量方程包括了流体的动能、压力能和内能的变化。
能量方程在研究流体的热力学性质和能量转化过程中起着重要的作用。
通过能量方程，可以计算和预测流体的温度分布和能量转化效率。
这三大方程是流体动力学研究中的核心内容，它们相互联系、相互依赖，共同构成了流体运动的基本规律。
连续性方程保证了质量守恒，动量方程描述了力学平衡，能量方程描述了能量转化。
在实际应用中，这些方程可以用来解决各种流体力学问题，如流体的流动特性、压力分布、速度场、能量转化等。
流体动力学三大方程——连续性方程、动量方程和能量方程是研究流体运动和流体力学性质的基础。
它们通过数学表达式描述了质量守恒、力学平衡和能量转化的规律。
这些方程的应用广泛，能够帮助我们理解和预测流体的运动和性质，对于工程设计、自然灾害和环境保护等领域都具有重要意义。
通过研究和应用这些方程，我们可以更好地掌握和利用流体动力学知识，为社会发展和人类福祉做出贡献。
水力学课程总结
九. 局部水头损失的计算
计算局部水头损失的公式
hj
v2 2g
hj
(v1
v2)2 2g
hj 2 v 1 g 2(1v v 1 2)2(1A A 1 2)22 v 1 g 212 v 1 g 2 hj 2 v2 g 2(v v 1 2 1 )2(A A 1 2 1 )22 v2 g 222 v2 g 2
第一章 小节
量纲、单位；
液体的主要物理性质：
惯性与万有引力特性- 、、S
粘性-牛顿内摩擦定律
du
dy
压缩性与表面张力特性
作用在液体上的力
1
第二章 小节
一.静水压强的特性
1.沿受压面的内法线；
2.作用在同一点各方向的静水压强大小相等.
二.液体平衡微分方程
X
1
p x
0
Y
1
p y
0
Z
1
dy dy dy dy
紊流时均切应力
dux dy
ux' u'y
牛顿粘滞切应力
紊流附加切应力 23
六.紊流中的流速分布
1. 层流底层
紊流中靠近固体边界处，粘滞力起主要作用作层流运动的极 薄层，叫做层流底层或粘性底层（厚度l）。在层流底层，粘性 应力占主导地位；在紊流区，由流体微团的脉动流速引起各层 流体间动量交换产生的紊流附加切应力占主导地位。
p z
0
综合式 d p(X dYxd Z y)dz
积分式
pC
2
等压面方程 Xd Yxd Z yd 0 z
等压面的性质 （1）等压面也是等势面； （2）等压面与质量力正交。
三.重力作用下静水压强的分布规律
1.水静力学基本方程
化工原理小结(动量传递)
⑦流体流动类型的判据——雷诺数 Re; Re = 流体流动类型的判据——雷诺数 —— 层流： 层流：Re≤2000;u=0.5umax； ∆p =
duρ
µ
；λ =
(1)非圆形管一定用当量直径计算 Re。
32 µlu d2
湍流：Re≥4000；u=0.82umax； λ = f (Re,
ε
d
64 Re
Ne
p a − pV − ∆h − Σh f ( 0→1) [m] ρg
② Hg = Hs −
u2 − Σh f ( 0→1) [m] 2g
pV 1000 ′ H S = H S − ( H a − 10) − − 0.24 [ m] 3 9.81 × 10 ρ
（4）注意区别以下概念：离心泵的扬程 H[m]、液体的升扬高度ΔZ[m]、离心泵 注意区别以下概念： 的安装高度 Hg[m]；风机风压 Pa(全风压、静风压、动风压)。 离心泵的扬程 H:柏努利方程中外加有效压头（能量）项： H:柏努利方程中外加有效压头（能量） 柏努利方程中外加有效压头
⑥Ha：当地大气压 [m]，以 10m 水柱 计。
H = ∆Z +
∆p ∆u 2 + + ΣH f [m] ρg 2 g
液体升扬高度： 两液面的垂直距离， 即将液体由液面 1 送到液面 2 （高位槽距离） 液体升扬高度： ） Hg： 泵的安装高度 Hg：泵的吸入口到储槽的垂直高度，此值可以为负值。 离心泵的运行与调节： ；转速调节。 离心泵的运行与调节：阀门调节（简单易行） 工作点：离心泵的特性曲线与管路特性曲线交点。 工作点：离心泵的特性曲线与管路特性曲线交点。 管路特性曲线； 管路特性曲线； 离心泵的并联： 离心泵的并联：提高输送液体流量； 离心泵的串联：提高输送压头，即提高能量。 离心泵的串联： 风机风压： 风机风压：风机提供给气体的能量表示方法。风机要考虑动风压，而离心泵不考 虑动压头。 （离心泵与通风机的区别） 往复泵与离心泵的主要区别： 往复泵与离心泵的主要区别：离心泵无自吸能力，往复泵有自吸能力；离心泵的 Q 与 H 成反比，往复泵无此关系；离心泵可以用阀门调节，往复泵 旁路调节。 容积式泵类:往复泵、计量泵
流体动力学4章节小结
xx xy xz yx yy yz zx zy zz
作用在微元体邻域的任意方位n的表面力为：
xx xy xz p = px , p y , pz n nx ,n y ,nz yx yy yz zx zy zz
dv v 1 (v )v f p 2v dt t ρ
NS方程分量形式
du 1 p 2u 2u 2u fx 2 2 dt x ρ x y z 2 dv 1 p 2 v 2v 2v fy 2 2 2 dt x ρ x y z dw 1 p 2 w 2 w 2 w fz 2 2 2 dt x ρ x y z
流体动力学章节小结
一、Reynolds输运定理——物质(随流)导数的积分表达式
系统中的某一与质量相关的物理量N 由单位体积的物理量积分得到：
当＝1 时，N代表质量 m (kg)；
N dV
V
当 ＝
v 时， N代表质量系统动量 K (kg.m/s)；
当 ＝r F 时， N代表质量系统动量矩 M (kg.m2/s)； 当 ＝u+ v2/2时， N代表质量系统能量E (kg.m2/s2)。
v 1 +(v )v =f + t
xy xz u u u u 1 xx u v +w fx t x y z ρ x y z yy yz v v v v 1 yx u v +w fy t x y z ρ x y z zy zz w w w w 1 zx u v +w fz t x y z ρ x y z
水力学三大方程
水力学三大方程指的是连续性方程、动量方程和能量方程。
这三大方程是描述流体力学过程的基本方程，也是水力学研究和应用的基础。
连续性方程
连续性方程也称为质量守恒方程，它表述了流体在运动过程中质量守恒的基本原理。
连续性方程的数学表达式为：
∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0
其中，ρ表示流体密度，t表示时间，u表示流体的速度，∇表示偏微分算符。
这个方程的物理含义是：任何一段流体管道中的质量流量都相等，即在单位时间内通过截面积相同的两个截面的流体质量相等。
动量方程
动量方程是描述流体运动动力学过程的方程，它表述了流体的动量守恒原理。
动量方程的数学表达式为：
ρ(∂u/∂t + u·∇u) = -∇p + ∇·τ+ ρg
其中，p表示流体的压力，τ表示流体的应力张量，g表示重力加速度。
这个方程的物理含义是：流体的动量随时间和空间的变化而改变，动量的变化量等于受到的力的作用量。
能量方程
能量方程描述了流体运动过程中能量守恒的基本原理。
能量方程的数学表达式为：
ρCv(∂T/∂t + u·∇T) = -p∇·u + ∇·(k∇T) + Q
其中，T表示流体的温度，Cv表示比热容，k表示导热系数，Q表示单位时间单位体积内的热源项。
这个方程的物理含义是：流体在运动过程中受到的压力和内能的变化，以及受到的热量和能量的变化，都会影响流体的温度和温度的变化。
流体力学三大方程公式及符号含义
流体力学是研究流体运动和力学的学科，涉及流体的运动规律、压力、密度等物理性质。
在流体力学的研究中，三大方程公式是非常重要的理论基础，它们分别是连续方程、动量方程和能量方程。
本文将对这三大方程公式及其符号含义进行详细介绍。
一、连续方程连续方程是描述流体连续性的重要方程，它表达了流体在运动过程中质点的连续性。
连续方程的数学表达式为：\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \]其中，符号和含义说明如下：1.1 ∂ρ/∂t：表示密度随时间的变化率，ρ为流体密度。
1.2 ∇·(ρv)：表示流体质量流动率的散度，∇为Nabla算子，ρv为流体的质量流速矢量。
这一方程表明了在运动的流体中，质量是守恒的，即单位体积内的质量永远不会减少，这也是连续方程的基本原理。
二、动量方程动量方程描述了流体运动过程中动量的变化和传递，是流体力学中的核心方程之一。
其数学表达式为：\[ \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau} + \mathbf{f} \]其中，符号和含义说明如下：2.1 ∂(ρv)/∂t：表示动量随时间的变化率。
2.2 ∇·(ρv⃗v)：表示动量流动率的散度。
2.3 -∇p⃗：表示流体受到的压力梯度力。
2.4 ∇·τ⃗：表示应力张量的散度，τ为流体的粘性应力张量。
2.5 f⃗：表示单位体积内流体受到的外力。
动量方程描述了流体内部和外部力之间的平衡关系，它是研究流体运动规律和动力学行为的重要方程。
三、能量方程能量方程描述了流体在运动过程中的能量变化规律，包括内能、压力能和动能等能量形式。
流体力学基本原理
流体力学基本原理流体力学是研究流体运动规律和流体力学特性的科学领域。
它涉及到众多的概念和原理，这些基本原理给我们提供了了解流体力学现象的基础，以及解决与流体有关的问题的工具。
在本文中，我们将简要介绍流体力学的基本原理。
1. 连续方程连续方程是描述流体运动过程中质量守恒的一个基本原理。
它表明在一个控制体内，流体通过的质量流率与质量的变化率成正比。
这个原理是由质量守恒定律导出的，可以用数学形式表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，∂ρ/∂t是密度的变化率，v是流体的速度矢量，∇·(ρv)是速度矢量的散度。
这个方程的解可以揭示流体的质量分布和运动规律。
2. 动量方程动量方程是描述流体运动过程中动量守恒的一个基本原理。
它表明控制体内的动量变化率等于作用在控制体上的合外力。
它可以用数学形式表示为：ρ(Dv/Dt) = ∇·σ + ρg其中，ρ是流体的密度，Dv/Dt是速度变化率，∇·σ是应力张量的散度，g是重力加速度。
这个方程的解可以揭示流体的速度分布和运动规律。
3. 能量方程能量方程是描述流体运动过程中能量守恒的一个基本原理。
它表明控制体内的能量变化率等于作用在控制体上的热力功和各种能量转化的总和。
它可以用数学形式表示为：ρ(De/Dt) = -∇·q + σ·∇v + ρv·g其中，ρ是流体的密度，De/Dt是能量变化率，∇·q是热通量的散度，σ是应力张量，v是速度矢量，g是重力加速度。
这个方程的解可以揭示流体的能量分布和能量转化规律。
4. 流体静力学流体静力学是研究静止流体的力学特性的分支领域。
它基于牛顿第二定律，通过平衡方程研究流体静态的力学平衡情况。
其中包括了静压力和浮力的计算。
流体静力学的基本原理是静力学定律和平衡方程。
5. 流体的流动类型在流体力学中，流体的流动可以分为层流和紊流两种类型。
流体力学第四章
1.渐变流及其特性
渐变流过水断面近似为平面，即渐变流是流线接近于
平行直线的流动。均匀流是渐变流的极限。
动压强特性：在渐变流同一过水断面上，各点动压强
按静压强的规律式分布，即
注：上述结论只适用于渐变流或均匀流的同一过水断面上 的 各点，对不同过水断面，其单位势能往往不同。
选取：控制断面一般取在渐变流过水断面或其极限情况均匀 流断面上。
即J=JP。 5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段
的流速水头。
6.如果测压管水头线在总流中心线以上，压强就 是正职；如相反，则压强为负值，则有真空。
4.总流能量方程在推导过程中的限制条件
（1）不可压缩流体；
（2）恒定流；
（3）质量力只有重力，所研究的流体边界是静止 的（或处于平衡状态）；
取管轴0-0为基准面，测压管所在断面
1,2为计算断面（符合渐变流），断面的形
心点为计算点，对断面1,2写能量方程（4-
15），由于断面1，2间的水头损失很小，
可视
，取α1=α2=1，得
由此得：
故可解得：
式中,K对给定管径是常量，称为文丘里流 量计常数。
实际流量 ： μ——文丘里流量计系数，随流动情况和管
流体力学
第四章 流体动力学基础
本章是工程流体力学课程中最重要的一 章。本章建立了控制流体运动的微分方程， 即理想流体运动微分方程和实际流体的运 动微分方程；并介绍了求解理想流体运动 微分方程的伯努利积分形式；构建了工程 流体力学中应用最广的恒定总流运动的三 大基本方程：连续性方程、伯努利方程 （即能量方程）和动量方程。通过本章的 学习要培养综合运用三大基本方程分析、 计算实际总流运动问题的能力。
道收缩的几何形状而不同。
理想流体动力学基本方程
三、恒定总流能量方程应用 四、恒定总流动量方程与能量方程
的综合应用
3
，致使所研究的问题比较复杂。 理想流体：指粘性为零的流体，实际上并不存在，但在有些问题
中，粘性的影响很小，可以忽略不计，致使所研究的 问题简单化。 理想流体动力学规律可以应用于粘性的影响很小的实 际流体中，所以本章的研究具有实际意义。
C点（六面体的中心点）:
坐标：x、y、z
平均密度：ρ 动压强：p 速度： ux、uy、uz
方向沿坐标轴的正向
11
x 轴方向受到的表面压力：
p p dx dydz p p dx dydz p dxdydz
x 2
x 2
x
单位质量力为：
f fx i fy j fz k
流体微团受到 x 轴 方向的质量力：
动量的增量对总流过流断面进行积分，得：
dK
A2
dA2u2
dtu2
A1 dA1u1dtu1
dt[
A2 dA2u2u2
A1 dA1u1u1]
用过流断面的平均流速 v 来代替上式中未知的点速 u 分布，
主要内容
动量方程：反映了流体的动量变 化与外力之间的关系
能量方程：机械能守恒定理
4
粘性流体：实际流体都具有粘性。既有粘性切应力，又有法向压应力。
0
理想流体：理想流体可忽略粘性。即无粘性切应力，只有法向压应力。
0
粘性流体：
理想流体：
5
一、动量方程——流体的运动方程
1、积分形式的动量方程——流体的运动方程
质量力：用 f 表示，具有加速度的量纲
f d
( v)d
【大学物理】第四章 动量 动量守恒定律
o f
dv mg F k Av m dt v t mdv mg F k Av dt 0 0
m mg-F-k Av ln t kA mg F mg F k Av e mg F
kA t m
v
vm
t
kA t mg F m 1 e v kA
质心的运动 ~ 质点 质量 M 受力 F外
位于 rc
其运动与系统 内质点相互作 用无关
11
小结
质点
质点系
p mv dp F dt p pi Mvc dp F外 dt
i
v c F ma F外 Mac
基本方法：用质心作为物体（质点系）的代表， 描述质点系整体的平动。
f kmv
求： 轨道方程
解： 先建立 x，y 方向的运动微分方程， 受力情况如图：
y
dv x k mvx m dt k mvy mg m dv y dt
v0 f m
o
mg
17
x
dv x k mvx m dt k mvy mg m
用积分法求解
19
以地面为参考系, 列 M 的运动方程：
受力情况如图：
M
y Q
aM
x
Mg
N N
Fx N sin MaM Fy Q Mg N cos 0
(1) (2)
aM 0 , M不是惯性系。
20
以地面为参考系, 列 m 的运动方程： 由相对运动加速度关系， y
r2
rc
C
质心位矢是各质点 位矢的加权平均
动量方程和动量方程能量方程
d (mC u · r) dt
d (mCu r ) dm2C2u r2 dm 1C1u r 1
将上式代入动量矩定律数学表达式得
(C2u r2 C1u r1 ) M m
该式即为流动气体的动量矩方程。它表明，作用于 控制体内气体上外力的合力对任一轴线之力矩，等 于每秒钟内流出和流入该控制体内气体对同一轴线 的动量矩之差。
C2 dq外 dw d ( ) di 2
图 2-2-2
CAdC
故
dp CdC
该式表明，气流沿流管作增速运动时，其压强必然 要降低；反之，减速时压强必然要升高。
三、动量矩方程 从力学中知道，作用于物体上外力的合力对任一 轴线之力矩，等于该物体对同一轴线之动量矩随时 间的变化率，即动量矩定律，其数学表达式为
M
将这一定律应用于流动气体，就可得到一维定常流的 动量矩方程。设有一维定常管流，控制体和体系取法 如图2—2—5所示。由于流场是定常的，区域 1 2 段内气体动量矩不变，气体动量矩的变化量等于区域 1 1和 2 2 段内气体动量矩之差，即
( 2C2 A2 dt)C2 x ( 1C1 A1dt)C1x m(C2 x C1x dt)
式中 m 1C1 A1 2C2 A2 是质量流量。 设流体所受控制区边界给它的作用力的合力在X轴 方向的分量为P，则其微元冲量为 Px dt 根据动量定理有：
。
x
(C2 x C1x )dt Px dt m
dQ dQ外 dQ内
2．机械功 dW
dW 为体系中叶轮旋转对气体所作的功。 3．推动功 dW12
dW12 dm( p1v1 p2 v2 )
4．损失功 dW损
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（1）水流必需是恒定流； （2）作用于液体上的质量力只有重力； （3）在所选取的两个过水断面上，水流应符合渐变流的条件，但所 取的两个断面之间，水流可以不是渐变流； （4）在所取的两个过水断面之间，流量保持不变，其间没有流量加 入或分出。若有分支，则应对第一支水流建立能量方程式，例如图示 1 有支流的情况下,能量方程为： 3 p 3 α 3V 32 p1 α 1V12 Q1 Z1 + + = Z3 + + + hw1− 3 1 2 2g 2g ρg ρg Q3 Q2 p 3 α 3V 32 p 2 α 2V 22 3 Z2 + + = Z3 + + + hw 2 − 3 2 2g 2g ρg ρg （5）流程中途没有能量H输入或输出。若有，则能量方程式应为： p1 α 1V12 p 2 α 2V 22 Z1 + + ± Ht = Z2 + + + hw 2g 2g ρg ρg
αV A =
3
αV 2
2g
ρ gQ
∫ h ′ ρ gdQ
w Q
取平均的hw
hw ρ g ∫ dQ = hw ρ gQ
Q
前进
方程式的物理意义： p1 α 1V12 p 2 α 2V 22 Z1 + + = Z2 + + + hw 2g 2g ρg ρg
H1 = H 2 + hw E1 = E2 + hw
返回
理想液体恒定流微小流束的能量方程式
设在理想液体恒定流中， 设在理想液体恒定流中，取一微小流束 依牛顿第二定律： 依牛顿第二定律 ∑ Fs = ma s 其中： 其中 a s =
dA 1 p
Z
2 p+dp α
Z + dZ
du dt
dG=ρgdAds
du du ds du 0 = ⋅ =u 一元流时 u = u ( s ) ⇒ dt ds dt ds
的能量，称为水头损失。 的能量，称为水头损失。
′ hw
2 1
Z2 Z1
0
0
返回
实际液体恒定总流的能量方程式
p1 α1V1 p2 α 2V2 Z1 + + p + u ) ρ g d Q = ZZ2 + p + u ++ h ′ ) ρ g d Q+ hw + (Z + = ∫( ∫ ρρ g 2 g 2 g ρ ρ g2 g g g 2g
p1 A1 − FRx = ρ Q(0 − β1V1 )
FRx = p1 A1 + β1 ρ QV1
FRx = p1 A1 + β1 ρ QV1
方向列动量方程为： 沿z方向列动量方程为： 方向列动量方程为
方向列动量方程为： 沿y方向列动量方程为： 方向列动量方程为
p2 A2 − FG − FRz = ρ Q(− β 2V2 − 0)
返回
能量方程式的应用
p1 α1V12 p2 α2V22 Z1 + + = Z2 + + + hw ρ g 2g ρ g 2g
应用能量方程式的注意点： 应用能量方程式的注意点： （1）选取高程基准面； 选取高程基准面； 选取两过水断面； （2）选取两过水断面； 所选断面上水流应符合渐变流的条件，但 所选断面上水流应符合渐变流的条件， 两个断面之间，水流可以不是渐变流。 两个断面之间，水流可以不是渐变流。 选取计算代表点； （3）选取计算代表点； 选取压强基准面； （4）选取压强基准面； 动能修正系数一般取值为1.0 1.0。 （5）动能修正系数一般取值为1.0。
实际液体恒定总流的能量方程式
水流的能量方程就是能量守恒规律在水流运动中的 具体表现。 具体表现。根据流动液体在一定条件下能量之间的相互 转换，建立水流各运动要素之间的关系。 转换，建立水流各运动要素之间的关系。 方程式建立的思路： 方程式建立的思路： •理想液体恒定流微小流束的能量方程式 理想液体恒定流微小流束的能量方程式 •实际液体恒定流微小流束的能量方程式 实际液体恒定流微小流束的能量方程式 •实际液体恒定总流的能量方程式 实际液体恒定总流的能量方程式
单 位 位 能 单 位 势 能
单 位 压 能 单 位 总 机 械 能 理 的
单 位 动 能
1
Z2 Z1
2
0
0
返回
实际液体恒定流微小流束的能量方程式
2 p1 u 12 p2 u2 ′ Z1 + + = Z2 + + + hw ρg 2g ρg 2g
′ hw ——单位重量液体从断面1-1流至断面2-2所损失 单位重量液体从断面1 流至断面2 单位重量液体从断面
2
若考虑水头损失，实际流量会减小， 若考虑水头损失，实际流量会减小，则 Q = µ K h
返回
实际液体恒定总流的动量方程式 ∑ F = ρ Q (β V 动量方程的投影表达式： 动量方程的投影表达式： ∑ F = ρ Q ( β V ∑ F = ρQ (β V
x 2 y z 2 2
2x 2y 2z
FRy − p2 A2 = ρ Q( β 2V2 − 0) FRy = p2 A2 + β 2 ρ QV2
返回
FRz = p2 A2 − FG + β 2 ρ QV2
水流对建筑物的作用力
1
FR FP
2
FP1=ρgbh12/2
FP2= ρgbh22/2
x
1 2
沿x方向列动量方程为： 方向列动量方程为： FP1 − FP 2 − FR = ρ Q( β 2V2 − β1V1 )
p (Z + ) ρ gdQ ∫ ρg Q
均匀流或渐变 流过水断面上 p (Z + )=C ρg
(Z +
p p ) ρ g ∫ dQ = ( Z + ) ρ gQ ρg ρg Q
α=
∫
Q
u ρ gdQ 2g
2
dQ = udA
ρg
2g
∫ u dA
3 A
∫u
A
3
V→u，
dA
V 3A
ρg
2g
动能修正系数,1.05~1.1
前进
返回
管轴竖直放置
弯管内水流对管壁的作用力
1 V1 FRz
管轴水平放置
FR
FRx V1 Fry
FR
FRx
z
1
FP1=p1A1
V2
FP1=p1A1 x y
V2
2
2
y
x
FG FP2=p2A·2
FP2=p2A·2
沿x方向列动量方程为： 方向列动量方程为：
沿x方向列动量方程为： 方向列动量方程为：
p1 A1 − FRx = ρ Q(0 − β1V1 )
前进 返回
例1.如图所示，一等直径的输 1.如图所示， 如图所示 水管，管径为d=100mm d=100mm， 水管，管径为d=100mm，水箱水位 恒定， 恒定，水箱水面至管道出口形心点 的高度为H=2m H=2m， 的高度为H=2m，若不水流运动的水 头损失，求管道中的输水流量。 头损失，求管道中的输水流量。
h h1 1 2 2
收缩段 喉管 扩散段
1
2
h h2
h1
h2 B1
1
2 B2
1
1
2
以管轴线为高程基准面，暂不计水头损失， 以管轴线为高程基准面，暂不计水头损失， 对1-1、2-2断面列能量方程式： 断面列能量方程式：
V1 2 V 22 h1 + = h2 + +0 2g 2g
V 22 当水管直径及喉管直径确定后，K为 − V12 当水管直径及喉管直径确定后， 为 整理得： 整理得： h1 − h 2 = h = 2 g 一定值，可以预先算出来。 一定值，可以预先算出来。 d V1 A2 d 22 V2 = V1 ( 1 ) 2 由连续性方程式可得： 由连续性方程式可得： V = A = d 2 或 d2 2 1 1 µ称为文丘里管的流量系数， 称为文丘里管的流量系数， 称为文丘里管的流量系数 2 gh πd12 2gh 代入能量方程式，整理得： 代入能量方程式，整理得： V1 = d1 4 则 Q = AV1 = 4 d 4 = K h 1 一般约为0.95~0.98 一般约为 ( ) −1 ( 1 ) −1 d2 d
实际液体恒定总流的能量方程式表明： 实际液体恒定总流的能量方程式表明：水流总是从水头大处流向水头 小处；或水流总是从单位机械能大处流向单位机械能小处。 小处；或水流总是从单位机械能大处流向单位机械能小处。 实际液体总流的总水头线必定是一条 逐渐下降的线， 逐渐下降的线，而测压管水头线则可能是 下降的线也可能是上升的线甚至可能是一 条水平线。 条水平线。 单位长度流程上的水头损失， 水力坡度J——单位长度流程上的水头损失，1 单位长度流程上的水头损失
FR z FP1
３．建立坐标系
y
x
FG FP2
右侧为(下游断面的动量) 上游断面的动量) ４．右侧为(下游断面的动量)-(上游断面的动量) ５．设β１≈1，β２≈1。
前进
动量方程式在工程中的应用
•弯管内水流对管壁的作用力 弯管内水流对管壁的作用力 •水流对建筑物的作用力 水流对建筑物的作用力 •射流对平面壁的冲击力 射流对平面壁的冲击力
J= dhw −dH = dL dL
Z1
αV 2
2g
总水头线
hw
测压管水头线
2
2 1
Z2
p −d ( Z + ) ρg 测管坡度 J p = dL