高中数学定积分知识点说课材料

数学选修2-2知识点总结

一、导数

1．函数的平均变化率为

=

∆∆=∆∆x

f

x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x

x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim

lim

0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或

0|'x x y =，即)(0'x f =x

x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim

lim

0000.

3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；

6、常见的导数和定积分运算公式:若()

g x均可导（可积），则有：

f x，()

用导数求函数单调区间的步骤:

①求函数f(x)的导数'()

f x

②令'()

f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.

③令'()

f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；

[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f(x)的极值的步骤：

(1)确定函数的定义域。

(2) 求函数f(x)的导数'()

f x

(3)求方程'()

f x=0的根

(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，

f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如检查/()

果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值

8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；

⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；

9．求曲边梯形的思想和步骤:分割→近似代替→求和→取极限 （“以直代曲”的思想）

10.定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1

a b dx b

a

-=⎰1

性质5 若[]b a x x f ,,0)(∈≥，则0)(≥⎰b a

dx x f

①推广：1212[()()()]()()()b

b

b

b

m m a

a

a

a

f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰L L

②推广:12

1

()()()()k

b

c c b

a

a

c c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰L

11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.

( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x 轴上方的图形面积；

（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x 轴上方图形面积的相反数；

（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x 轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．

12．物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。

二、推理与证明知识点

13.归纳推理的定义： 从个别事实．．．．中推演出一般性．．．的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。 归纳推理是由部分到整体．．，由个别到一般．．的推理。

14.归纳推理的思维过程大致如图：

15.归纳推理的特点:

实验、观察

概括、推广

猜测一般性结论

①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。

②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。

③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

16.类比推理的定义：

根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊

．．的推理。

．．到特殊

17.类比推理的思维过程

18.演绎推理的定义：

演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法

则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般

．．的推理。

．．到特殊

19．演绎推理的主要形式：三段论

20.“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M ③结论：S是P。

其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；

③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。

22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。

23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。

要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。

24反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

25.反证法的一般步骤

（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；

（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

（3）从矛盾判定假设不正确

．．．，即所求证命题正确。

26常见的“结论词”与“反义词”