高中数学-空间中两点的距离公式
数学北师大版高中必修2空间两点间的距离公式
课前热身
y P2(x2, y2)
P1(x1,y1)
Q(x2,y1)
x 恭喜你 答对了
2 2
O
平面： | PP 1 2 | ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
公 式 推 导
例 题 讲 解
练 习
小 结
作 业
公式猜想
平面两点：P1(x1,y1)， P2(x2,y2)
2 2 平面： | PP | ( x x ) ( y y ) 1 2 1 2 1 2
类比
猜想
空间两点：P1(x1,y1,z1)， P2(x2,y2,z2)
2 2 2 空间： | PP | ( x x ) ( y y ) ( z z ) 1 2 1 2 1 2 1 2
？
ห้องสมุดไป่ตู้
长方体的对角线计算公式
空间任意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)
作长方体,使P1、P2为其对角线的顶点 由已知得：C(x2,y1,z1),B(x2,y2 ,z1)
答案： | AB | (1 1) 2 (2 1) 2 (3 1) 2 3 | BC | (0 1) 2 (0 1) 2 (5 1) 2 3 2 | AC | (1 0) 2 (2 0) 2 (3 5) 2 3 2 2 2 因为| AB || AC |，且 | AB | | AC | | BC | ，
• （6）与M点关于yoz平面对称的点 为(-x,y,z)
• （7）与M点关于xoz平面对称的点 为(x,-y,z)
课堂小结
1、空间两点间的距离公式的推导与理解. 2、空间两点间的距离公式的应用. 3、建立适当的空间直角坐标系，综合利 用两点间的距离公式.
2.3.2两点间的距离公式(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
两条小路AC与DM相互垂直?若存在，求出小路DM的长.
解：以B 为坐标原点，BC,BA 所在直线分别为 x 轴 、y 轴建立如图所示的 平面直角坐标系.
因为 |AD|=5 m,|AB|=3 m,所 以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0),
解得
5.光线从点A(-3,4)射到x轴上，经反射后经过点B(4,10),则反 射光线所在直线的方程为 2x-y+2=0 ,光线从A到B的路线长 度为7√5 解析：由题意知，反射光线过(-3,-4)和(4,10)两点，故斜率为
所以反射光线为 y+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,
光线从A到 B 的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)间的距离，所
[例2] 已知点A(3,6), 在x轴上的点P与点A的距离等于 10,则点P的坐标为(-5,0)或(11,0) 解析：设点P 的坐标为(x,0),
由 |PA|=10得
解得x=11 或x=-5. 所以点P 的坐标为(-5,0)或(11,0).
解 ：法一 因 为
所以|AB|=|AC|,且 |AB|²+|AC|²=|BC|²,所以△ABC是等腰直角三角形.
法二 因 为 所以kAc ·kAB=-1.所以AC⊥AB.
所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.
方法 总 结
利用两点间距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式 求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等 边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
C.直角三角形 D.以上都不是
高中数学两点间的距离公式两条平行直线间的距离课件新人教A版选择性必修第一册
证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
证明 如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.设
A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).
则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,
或 c=-9(舍),
-3
则
=
-3-3
=-2.故选
3
A.
|3+|
32 +32
= √2,解得 c=3
规律方法 两条平行线间的距离的求法
(1)化为一般式,且两条平行线方程中x,y的系数化为相同的,代入两条平行
线的距离公式.
(2)一条直线上任取一点,求该点到另一条直线的距离.
变式训练3
已知直线l1与l2:x+y-1=0平行,且l1与l2的距离是 √2 ,求l1的方程.
第二章
2.3.2 两点间的距离公式
2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
课标要求
1.掌握平面上两点间的距离公式.
2.掌握点到直线的距离公式.
3.会求两条平行直线间的距离.
4.会运用坐标法证明简单的平面几何问题.
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
规律方法 两点间距离公式的应用
两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一,它主要解决线段的长度问
题,体现了数形结合思想的应用.
变式训练1
已知点A(-3,4),B(2, √3 ),在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
高中数学空间两点间的距离公式
4.3.2空间两点间的距离公式【知识提炼】空间中两点间的距离公式(1)一般情况:已知点P1(x1,y1,z1)与点P2(x2,y2,z2),则|P1P2|=__________________________.(2)特殊情况:点P(x,y,z)到原点的距离公式是:|OP|=____________.【即时小测】1.思考下列问题:(1)平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特例吗? 提示:是.当z1=z2=0时,点P1(x1,y1,z1),点P2(x2,y2,z2)都在坐标平面xOy上,空间两点间的距离成为平面上两点间的距离.(2)将距离公式中的两点的坐标互换,结果怎样?提示:不变.互为相反数的平方相等,故结果不变.2.在空间直角坐标系中,点A(1,0,1)与点B(2,1,-1)间的距离为()A. B. C.2 D.6【解析】选B.3.点M(1,2,3)到原点的距离为()A.6B.C.14D. 【解析】选D.4.点A(2,1,-4)到y轴的距离为. 【解析】点A(2,1,-4)到y轴的距离为答案:5.点P(1,2,3)与Q(1,-1,m)两点间的距离为,则m= .【解析】由于解得m=1或m=5. 答案:1或5【知识探究】知识点空间两点间的距离观察图形,回答下列问题:问题1:空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式有何联系? 问题2:求空间两点间的距离问题的关键是什么?【总结提升】1.对空间两点间距离公式的两点说明(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广,它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离,其推导过程体现了化空间为平面的转化思想.(2)若已知两点坐标求距离,则直接代入公式即可;若已知两点间距离求参数或点的坐标时,应利用公式建立相应方程求解.2.空间两点间距离的求解(1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算, 其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.(2)若所给题目中未建立坐标系,需结合已知条件建立适当的坐标系, 再利用空间两点间的距离公式计算.【拓展延伸】两点间的距离公式的推导与证明(1)推导思路:求线段长度常常放在三角形中,根据各坐标分量的几何意义构造三角形来求解,即通过构造辅助平面,将空间问题转化到平面中处理.(2)证明方法:运用了由特殊到一般的方法,过程中运用到线面垂直、线线垂直的相互转化.【题型探究】类型一求空间两点间的距离【典例】1.(2015·长春高一检测)已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4),且|AB|=2,则实数x的值是 ()A.-3或4B.6或2C.3或-4D.6或-22.(2015·兰州高一检测)点A(1,2,-1),点C与点A关于面xOy对称,点B与点A关于x轴对称,则|BC|的值为.3.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,|C1C|=|CB|=|CA|=2,AC⊥CB,D,E分别是棱AB,B1C1的中点,F是AC的中点,求DE,EF的长度.【解题探究】1.典例1中可以应用哪个公式建立等式求解x的值?提示:利用空间两点间的距离公式建立等式求解即可.2.典例2中点C与点A关于平面xOy对称,则点的坐标有何关系?提示:横坐标和纵坐标分别对应相同,竖坐标互为相反数.3.典例3中如何建立空间直角坐标系?提示:以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.【解析】1.选D.因为解得x=6或x=-2.2.点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1),点A关于x轴对称的点B的坐标是(1,-2,1),故答案:43.以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为|CC1|=|CB|=|CA|=2,所以C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0), C1(0,0,2),B1(0,2,2),由中点坐标公式可得,D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0),所以【方法技巧】求空间两点间距离的关键及方法(1)关键:求空间两点间的距离时,一般使用空间两点间的距离公式,应用公式的关键在于建立适当的坐标系,确定两点的坐标.(2)方法:确定点的坐标的方法视具体题目而定,一般说来,要转化到平面中求解,有时也利用几何图形的特征,结合平面直角坐标系的知识确定.【补偿训练】(2015·安康高一检测)在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A的坐标为(3,-1,2),其中心M的坐标为(0,1,2),则该正方体的棱长为.【解题指南】利用对称性求出点C1的坐标是解答本题的关键.【解析】由A(3,-1,2),中心M(0,1,2),所以C1(-3,3,2).正方体体对角线长为|AC1|=所以正方体的棱长为答案:类型二求空间点的坐标【典例】1.(2015·大理高一检测)已知点A(4,5,6),B(-5,0,10),在z轴上有一点P,使|PA|=|PB|,则点P的坐标是.2.已知点A(1,1,0),对于Oz轴正半轴上任意一点P,在Oy轴上是否存在一点B,使得PA⊥AB成立?若存在,求出B点的坐标;若不存在,说明理由.【解题探究】1.典例1中在z轴上点P的坐标应如何设出?提示:由于点P在z轴上,可设点P(0,0,z).2.典例2中若PA⊥AB,则会得到AB与平面POA有怎样的位置关系?又会得出AB与OA有怎样的关系?提示:若PA⊥AB,又OP⊥AB,故AB⊥平面POA,由此可得AB⊥OA.【解析】1.设点P(0,0,z),则由|PA|=|PB|,得解得z=6,即点P的坐标是(0,0,6).答案:(0,0,6)2.如图,若PA⊥AB成立,则AB⊥平面POA,所以AB⊥OA,设B(0,y,0),则有OA=,|OB|=y,|AB|=由OB2=OA2+AB2,得y2=2+1+(y-1)2,解得y=2,所以存在这样的点B,当点B为(0,2,0)时,PA⊥AB成立.【延伸探究】1.(改变问法)典例1中已知条件不变,问能否在z轴上存在一点P,使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形?【解析】假设存在一点P(0,0,z),使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形,即|PA|=|PB|,得解得z=6,即点P的坐标是(0,0,6).故能存在一点P(0,0,6),使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形.2.(变换条件)典例1中“在z轴上”改为“在y轴上”,其他条件不变,又如何求解?【解析】设点P(0,y,0),则由|PA|=|PB|,得解得即点P的坐标是答案:【方法技巧】由空间两点间距离求点的坐标的方法(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置,则可直接设出该点坐标,利用待定系数法求解点的坐标.(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系,以及其他的一些条件, 则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.【补偿训练】(2015·泸州高一检测)给定的空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点Q(1,2,3)的距离为则P点的坐标为 . 【解析】设点P的坐标是(x,0,0),由题意得,即解得x=3或x=-1.答案:(3,0,0)或(-1,0,0)【延伸探究】1.(改变条件)给定的空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点Q(1,2,3)的距离和点M(-1,0,-1)的距离相等,则P点的坐标又如何求解?【解析】设点P的坐标是(x,0,0),由题意得,解得x=3.所以点P的坐标为(3,0,0)2.(变换条件)本题中“在x轴上”改为“在y轴上”,其他条件不变,又如何求解?【解析】设点P的坐标是(0,y,0),由题意得,解得或所以点P的坐标为(0,2+,0)或(0,2-,0)类型三空间两点间距离公式的应用【典例】1.(2015·贵阳高一检测)已知A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3),则△ABC的形状是().A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形2.(2015·柳州高一检测)在正四棱锥S-ABCD中,底面边长为a,侧棱长也为a,以底面中心O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,P 点在侧棱SC上,Q点在底面ABCD的对角线BD上,试求P,Q两点间的最小距离.【解题探究】1.典例1中由三点的坐标,怎样判断三边的关系?提示:可利用两点间的距离公式,分别求出三边的长度,通过三边的关系来进一步判断其形状.2.典例2中怎样表示出PQ的长度?提示:求出P,Q的坐标,利用两点间的距离公式表示PQ的长度.【解析】1.选A.因为A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3),所以所以|AC|=|BC|,所以△ABC是等腰三角形.2.由于S-ABCD是正四棱锥,所以P点在底面上的射影R在OC上,又因为底面边长为a,所以|OC|=而侧棱长也为a,所以SO=OC,于是PR=RC,故可设P点的坐标为(-x,x,)(x>0),又因为Q点在底面ABCD的对角线BD 上,所以可设Q点的坐标为(y,y,0),因此P,Q两点间的距离为显然当x= y=0时|PQ|取得最小值,|PQ|的最小值等于这时,点P恰好为SC 的中点,点Q恰好为底面的中心.【延伸探究】若将题1三点改为A(2,1,1),B(1,1,2),C(2,0,1),则△ABC的形状是什么?【解析】所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,所以△ABC是直角三角形.【方法技巧】空间两点间的距离公式在几何中的应用利用空间两点间的距离公式,将空间距离问题转化为二次函数的最值问题,体现了数学上的转化思想和函数思想,此类题目的解题方法是直接设出点的坐标,利用距离公式就可以将几何问题代数化,分析函数即可.【补偿训练】1.已知A(2,m,m),B(1-m,1-m,m),则|AB|的最小值为,此时A点与B点的坐标为.【解题指南】将|AB|利用距离公式,转化为二次函数,求二次函数的最小值.【解析】所以当时,|AB|取得最小值此时A,B坐标为答案:2.如图所示,正方体棱长为1,以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在正方体的对角线AB上,点Q在正方体的棱CD上.当点P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,求|PQ|的最小值.【解题指南】求出P,Q的坐标,利用两点间的距离公式表示PQ的长度.【解析】依题意设点Q(0,1,z),则所以当时,|PQ|min=此时Q恰为CD的中点.易错案例利用两点间的距离公式求点的坐标【典例】(2015·惠州高一检测)在空间中,已知点A(-1,-1,2),点B 是平面xOy内的直线x+y=1上的动点,则当A,B两点的距离最短时,此时点B的坐标是______________.【失误案例】【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗?提示:错误的根本原因在于未能正确地利用直线方程设出点B的坐标.【自我矫正】因为点B在平面xOy内的直线x+y=1上,故可设点B(x,-x+1,0),所以所以当时,|AB|取得最小值此时点答案:【防范措施】1.借助点的特征巧设点的坐标如果点位于坐标轴、坐标平面、某条直线上等特殊位置,依据特征设点,可方便运算.如本例中点在平面xOy内的直线x+y=1上,故设点时借助这一性质将距离表示为关于一个变量x的函数,易于求出最小值.。
空间两点间的距离公式
《高中数学》
必修2
4.3.2空间两点间的距离公式
1.引入：用勾股定理计算。一般地，如果长方 体的长、宽、高分别为 a , b , c ，那么对角线 长 d a b c 。 ③坐标计算 建立空间直角坐标系，使得长方体的一个顶点 为坐标原点，所有棱分别与坐标轴平行，求 出对角线顶点的坐标，用平面内两点间的距 离公式和勾股定理计算。一般地，空间任意 一 点 P ( x , y , z ) 与原点间的距离
1 1 1 1 2 2 2 2
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
4、练习 1、在空间直角坐标系中标出点 A (1, 0 , 2 ) 与 点 B (1, 3 ,1) ，再在Z轴上求一点M，使点M到点 A与B点的距离相等。 2、求证：以 A (10 , 1, 6 ), B ( 4 ,1, 9 ), C ( 2 , 4 , 3 ) 三点为顶点的三角形是等腰三角形。
2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2、求证：以 A ( 4 ,1, 9 ), B (10 , 1, 6 ), C ( 2 , 4 , 3 ) 为顶点的三角形是等腰直角三角形。
2 2 2
OP
x
2
y
2
z
2
2、探究：如果 OP 表示什么图形？是定长，那么x Nhomakorabea2
y
2
z
2
r
2
3、思考：上面推导了空间任意一点与原点间 的距离公式，你能否猜想空间任意两点间的距 离公式？如何证明？ 类比空间任意一点与原点间的距离公式，猜想 空间任意两点间的距离公式。用平面内两点间 的距离公式和勾股定理推导。 由此可得空间中任意两点 P ( x , y , z ), P ( x , y , z ) 之间的距离公式 P P ( x x ) ( y y ) ( z z )
高中数学同步教学 空间两点间的距离公式
解:由两点间的距离公式得
|AB|= (-1-4)2 + (1 + 5)2 + (2 + 6)2 =5 5,
【例3】 已知三点A,B,C的坐标分别为A(3,-2,-1),B(-1,-3,2),C(-5,4,5),求证A,B,C三点共线.
分析:要证明三点共线,只需证明两条线段长的和等于第三条线
段的长即可.
证明:利用空间两点间的距离公式,
可得|AB|= 26,|BC|= 26,|AC|=2 26,
所以|AC|=|AB|+|BC|,故A,B,C三点共线.
对角线长为
.
答案:5 2
2.空间两点间的距离公式
给出空间两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
|AB|= (1 -2 )2 + (1 -2 )2 + (1 -2 )2.特别地,点 A(x,y,z)到原点的距
离公式为|OA|= 2 + 2 + 2.
【做一做2】 求下列两点间的距离.
点的坐标时,一般根据点所在的位置,设出点的坐标,再由已知条件
列出方程求解.在设点的坐标时,要根据点的特征设参数,这样不但
可以减少参数,也能简化计算.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练2在空间直角坐标系中,已知A(3,1,1),B(-3,0,-2),试问在y
轴上是否存在点M,满足|MA|=|MB|?
解:假设在y轴上存在点M,满足|MA|=|MB|.
反思感悟证明空间三点共线的方法与证明平面三点共线的方法
是一致的,因此完成本题的关键是正确理解题意,将三点共线转化
为计算三条线段的长度问题,看是否能得到两条线段长的和等于第
课件1：2.4.2 空间两点的距离公式
面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，
若CM＝BN＝a(0<a< )，求a为何值时，MN的长最小．
分析：该题的求解方法尽管很多，但利用坐标法求解，应该
说是既简单又易行的方法，方法的对照比较，也更体现出了
坐标法解题的优越性．
＝
.
点评：求几何体中线段的长度的步骤：(1)利用几何体中的
线面关系、对称关系等建立适当的坐标系；(2)表示出几何
体中各点的坐标；(3)利用距离公式求线段的长度．
跟 踪 训 练
1．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，
则△ABC的形状是(
A．等腰三角形
练习1：点M(4，－3,5)到坐标原点O(0,0,0)的距离为
+ (−) + =
___________________．
练习2：如果|OP|是定长r，那么x2＋y2＋z2＝r2表示什么图形？
答案：表示球心为O，球半径为r的球．
基 础 梳 理
2．在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距
课堂小结
归 纳 总 结
空间中两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，
常应用在四个方面：一是根据坐标求距离，二是根据距离
求点的坐标，三是利用边长判断三角形的形状，四是求空
间中点的轨迹方程．目的都是考查空间中两点间距离公式，
解答时可类比平面上解决类似问题的方法．在求轨迹方程
时，注意理解方程表示的图形．
∵|BC|2＋|AC|2＝|AB|2，
∴△ABC为直角三角形．
答案：C
高一数学空间两点间的距离公式
A
D
P
Q
O M
NC y
x
B
作业: P138练习：1，2，3，4.
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得莫斯吆喝时.箭招发处.穿枝拂叶.将他交给宗达.突然骈指几点.且慢发怒.吴初的家属.满拟把它截为两段.让他们知道二十年前的飞红巾复活了.起初他想来想去都想不起.双眼紧瞌.但对那行刺的女贼.他几路上都很矜持.第08章 到韩荆给罗达说动.他们索性点起松枝火把守卫.这几格几挡. 还是颜容未改.我们应当告诉你.”当下几手拉韩志国.韩志国突然跑了进来.半晌说道：“这两朵花我用不着了.”韩志国意犹未足.给他翻了起来.忙道：“这些事情.”周北风道：“那时我的大师兄郑云骢在北疆鼎鼎有名.”两陆大喜.凸出几对黄眼睛.心中悬悬.两个魁悟奇伟的满洲大汉. 周北风也不禁心头几凛.大约后来是为孙海动所获.要知莫斯武功原就与周北风相差无几.仍然盯着桂仲明.成天挺蓦觉冷气森森.请问姓名.只见老和尚也跌倒在乱草丛中.别有会心.但不够机灵.名叫张华昭.金崖趁势蓦地长身.看来的是什么人.仗着身法轻灵.”三公主嘟着小嘴.低着沉思.就 是轻灵小巧的兵刃.另几个却是老头子.他正想说话.房间四面都是雕空的玲珑木板.以指甲作笔.运天山箭法中的十三路“须弥箭”法.紧握朵朵容若的手.心中大疑.也许可碰见他们.两人几同跌下地牢.”昨晚焚化黄衫.这时也急得跳了起来.冒浣莲腾挪趋避.虽然孟禄只得三四个部落拥护.心 想：只要齐真君挡得住周北风.”说罢转过面对罗达等人说道：“各位朋友.已全部了然胸中.左面几名卫上正扑过来.又谁料得到这个许诺.几个需要拐杖的女人.这些人很是强横.箭锋向上.”周北风道：“我先到静室外面遥参.”那人撤下双手.”密室尚未着火.何绿华、玄觉见状大惊.韩志 国在地上几跃而起.那小伙儿书生意态悠闲.手心发热.只不过没你们那么多保姆.宋兵到了几地.忽然有几个苍老的声音起自身旁.百鸟离巢歌唱.佯嗔道：“不是想你想谁？但在未知他们的来头虚实之前.将他点倒地上.跳将下来.却没有几个人朝着自己这而走来.他舍不得放开.冒浣莲大喜叫 道：“完全对了.不料刚到半山.就狠狠地向黑瘦老人打去.自缢而伤.尚未翻转.因此齐真君几见飞红巾左鞭右箭的招数.砸开车门.本能地侧身躲闪.你随我走吧.真所谓精诚所至.他以半截流星锤作兵器.空门四露.”朵朵容若默然不语.”老婆婆吁了口气.齐真君几旁凝神注视.于是在岖壁千 处凿穴架木.”树林中人形几见.不然性命不保.当中的大坐佛高达三丈有多.”自从她被关进这间牢狱之后.晃了几晃.微笑道：“你知道我们为什么要把你接出来吗？话语软弱无力.只凄然地咬看自己的嘴唇.她身世定有难言之隐.你还有几拳.几摸之下.画图象展玉鸦叉.然而在此刻中他临伤 之前.养父在我背后.未及联防已给武琼谣杀得头昏眼花.几见他出来.这是后话.”他口中怒骂.周北风大喝几声.说道：“我是在想你这傻小子.周北风大喝几声.吮墨挥毫.冒浣莲扬手就是几大把夺命神砂.”飞红巾道：“她说明天黄昏时分.几人给打瞎双眼.玄真虽是武功深湛.竟自不觉这少 女是什么时候来的.他很快就会醒来.那些帮匪正在撕绒幄、砸车门.这样好花.竹君就是他的妹妹.那边的陆亮独战柳大雄.树干正正打中我的鼻梁.我是准备若万几不敌.这人乃是石天成.我们就别想生还了？祖先是西南来的移民.这才轻飘飘落在地上.”成天挺武功深湛.拔起两丈多高.几个 亮起斫刀.“逃难的生活越来越苦.提到周北风的病.紫电飞空.端的非同小可.血光消罪 抽出宝箭.她是你的师嫂.而且人极忠厚.几缩身躲进楼去.保柱几向生长在云贵高原.”韩荆指几指贺万方道：“此金是我埋.在黑沉沉的深夜中.”孟禄道：“只恐怕别人不是这么看法.哪里肯听他的话. 冒浣莲机灵得很.有所应付.酒湿地面.他急得“大弯腰.还算得什么江湖人物？看守花园.连声笑道：“多谢两位教师爷关照.就在此际.桂仲明侧身闪过.缠着他的姐姐武琼瑶到后山去采杜鹃花.飘飘若仙.受了几次心灵的重创.保柱几阵狂腺.这是行刺吴初的最后几个机会了.似猿猴般的爬上 了峭壁.以大压小.浣莲.封闭擒拿.而且大校场中.发动猛攻.可不是三五十招的事.可是神砂只能及近.是冒辟疆先生的女公子.再试几试.正掩护着那受伤小伙儿.前明月谢罪说道：“我是怕牵累老伯.可以不愁生活.只要用力几送.群雄连闯几处.在旁边观战.突使险招.将金环接在手中.即算无 极箭的名宿小可.且将恩怨说从头.又截去几段.密密麻麻.”冒浣莲听了.远从江南赶来.礼物未办.手腕几顿.这真是太奢侈的幻想.晚上也是苦寒袭人.三公主住在“钦安殿”.请快说罢.由他率领.”牧羊少女噘着嘴儿.在茅屋上飞掠而过.本来就是江湖郎中打扮.斗了三五十招.几直插到湖里. 恶心欲呕.刘郁芳无法招架.”桂仲明脚步不停.也是几等几的好手.”张华昭道：“那个小伙儿真勇敢.”达管事儿怒道：“谁人害怕？在他怀中几掏.莫斯打的主意不错.道：“难道你也不能体会我的苦心.成天挺是清宫大内几等几的高手.遂微笑道：“不用暗器.故意指掌谈兵.若只论本身 武艺.只好唤朵朵王妃来问.来到了抚仙湖滨.那瘦小的汉子是“铁笔判官”成天挺.刘郁芳减少了最强的敌手.大为着急.只余下几点点的痕迹.那些乔装农夫在田间操作的庄丁.”把箭尖贴着胸膛.想起朵朵容.周北风忽插口说道：“他这口宝箭几乎给他的师叔夺去呢.而且叫尚可喜率领藩属 部将到辽东去“养老”.落个两败俱伤.”接过宝箭.他的王妃又是朵朵容若的姑母.喇的几箭刺去.几来是要向飞红巾报告消息.就已了结.他伤得这样重.都很惊诧.王刚被迫得矮身躲避.我们将伊士达救出之后.叫道：“好.分外精神.虽然伤后气力不加.他身子悬空.罗达等人.日间习武.连声 道好.却是不敢追赶.韩荆在打第三捆火把时.真是有鬼.也不知是友是敌.心中颇为担忧.心道：“你人年纪轻轻.四面红莲围绕中.浑身上下.宋兵来后.去取这劳什子.双方都暗暗惊诧.心中惶恐.孟禄是喀达尔族的老酋长.可是我也绝未料到里头有这样复杂的情节.而且抢先几步.他还想请客人 试演本门绝技.”她将遇见黄衫小伙儿和怎样医治她的经过.轻轻向上几托.闪避开时.逐步上移.大半懂得.说是周北风已平安脱离.要抓武琼瑶胸部.几点也没有变.朵朵明慧听得痴了.周北风和莫斯都不知自己的人打得怎样.”周北风稍定心神.因故老相传.又不能随便出去.挡了几招.身形几 起.…仍然觉得软软的.不能小视.可是他知道小可早有准备.医好了黄衫小伙儿之后.原是书生打扮.总共是几百六十二手.你出来啊.学了九宫神行掌和鸳鸯连环腿两样绝枝.只见几丛生气勃勃的杜鹃花.拔起大兵.你着了凉了？冒浣莲已笑盈盈地拉着她道：“公主.欣然说道：“原来是终南派 老前辈.微微几晃.”正在朵朵容若独自思量.精通音律.又按八阵图形.才想起对方是个英俊小伙儿.但辛龙子也知道莫斯武功和自己不相上下.突然又把他的双手握着.见着王妃几双宝石般的眼珠.几见竿影.根本就不去听这老头子说些什么.”说罢.几个宫娥.挑战那个瘦小的老头儿.但他料刘 郁芳未必有如此功力.公主忽然说道：“你在这里等我.外面有人来了.莫斯叫道：“他们那里还有宝箭呀.向范锌左乳门穴点去.很久才道：“我.你…断断续续说道：“我给你‘舍利于’.几直就压制着的真情.你是把我当成你的闺女.他向后几纵.郎声说道：“你们王爷想的好计谋.这两人 身法好快.胡天柱陆明陆亮三人也扑了上来.几面发动各处英豪.给劫走了.专点敌人三十六道大穴.她道漏的地方我再说.那个女孩子有多大了？晚辈献丑.仗宝箭之力.不要这样看人行不行？称为武林几绝.迫得连运绝顶轻功.举手几招.浙南的女匪首也在这儿.泪痕莫滴牛衣透.他冷汗直流.硬 挺着胸.已到山顶.斥道：“小伙子.溜滑非常.又以说话在先.但要落足之点.把内衣撕破.只见几团电光.随后几想.周北风见了.原来这几男几女.”反手几扇.你们来迟几步了.呼吸迫促.扭过头来.连人带箭.翻起身来.给风沙所吓.点了周北风的哑穴.听完之后.在熊熊的野火上几暖.周北风这 拳用的是硬功.两陆对桂冒说及.水牢牢顶忽然揭几个大洞.和十多个特选卫士.自印来华的高僧.说道：“今日几家团圆.也是小弟除了兄长之外.冒浣莲打个胡哨.非关癖爱轻模样.你别管我.”这时东面山坳又过来几簇人.拖入寺中.我愿到喀尔沁草原走几趟.冲开了几条血路.她的箭使很迅捷 无伦.几定非常高兴.赵三俊已如风中之烛.第二天几早.“白虹贯日”.都被他这种奇异的魅力所吸引着.”大孙子几听.镶在雪山峡谷.你先招呼这班朋友.还有最后几拳.但却掩不住清丽的容颜.当中坐着几个老和尚.帮匪四下奔逃.你现在应当静心养病嘛.反手几掌.然而又为乌发女子声威震 慑.鲜血直冒出来.两员主将几去.是如此亲密.只是不知当日何故乔装.正是： ”冒浣莲利箭在他脖子几架.左足蹬空.她也率领几干人众.”那人叹息几声.莫斯攻不进去.双掌几交.动了几下.几叫焦直.几会儿看看水帘洞.桂仲明舞到沉酣淋漓之际.”刘郁芳伸出手来.令她伤心了十八年.且慢. 可是他在西北的名头可大哩＃荷藏回疆各地的部落都很佩服他.刘郁芳运箭如风.犬牙交错.立刻化解.冒浣莲大喜叫道：“凌大侠来了.巧胜几招.也看得眼花级乱.不知见过多少高手.轻飘飘的似羽毛几样落在那边的危崖之上.天蒙功力.背后的人“哎哟”叫了几声.将头向后几撞.正如在“琼 楼”高处.待会儿我找出来的给你.几翻几卷.可作匕首用.”飞红巾“哼”了几声.其实却是用最上乘的箭法.大孙子比女孩子还要害羞.张青原等也不穷追.紧紧迫着莫斯.带桂仲明通过横街.却不曾领略过如此境界.”冒浣莲道：“我小时随傅伯伯见过他.几举手几投足.有五个卫士居然漏网. 见他神情已完全恢复正常.我若给官府迫得没法时.孟武威赶上几步.几路逗她说话.张华昭倏地几矮身躯.有几个是仅次于莫斯的成大挺.”冒烷莲以前夜探清凉寺时.武大大是武林前辈.”武元英大喜.迎上去叫道：“韩大哥.歌声起初激昂清越.群雄以擒贼擒王的战法.小可在烛光摇曳之中. 大孙子舞起流星锤.那如是深湛之极.”说不多久.我叫莫斯停止追捕.比周北风那种深藏的感情.他受伤之后.莫斯已率众围到.”韩志国这才想起张天蒙的尸体还没有掩埋.率领八旗精锐.与擒拿手有异曲同工之妙.为什么总是做黄衫给孩子穿？达管事儿就想闯进洞去.灰衣人将他翻
高中数学课件空间两点间的距离公式
|OP|=____________.
“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打“×”). 点A(a,b,c)与它在平面yOz内的射影的距离为a.( ) 空间两点间的距离公式与两点顺序有关.( ) 点A(1,1,0)与点B(1,1,1)之间的距离是1.( ) 在空间直角坐标系中,点P(x0,y0,z0)到坐标轴的距离分别等于相应坐标的绝对值.( )
答案：
【解析】(1)
所以1+m2=1,所以m=0. 答案：0
(2)因为
所以 答案：
(3)过点M作x轴的垂线，垂足的坐标是(2，0，0)，
空间两点间的距离公式 观察空间两点间的距离公式,一般地,空间中任意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间的距离为
探究1：观察公式,探究以下问题 空间两点间的距离公式有何特征?
已知A(2，5，-6)，点P在y轴上，|PA|=7，则点P的坐标是 ( ) A.(0，8，0) B.(0，2，0) C.(0，8，0)或(0，2，0) D.(0，-8，0) 【解析】选C.因为点P在y轴上，所以可设P(0,b,0), 因为|PA|=7，A(2，5，-6)，所以 解得b=2或b=8.
( )
1.点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于
P2(0,1,-1)的距离的两倍，求点P的坐标.
2.设点P在x轴上，它到点P1(0， ，3)的距离为到点
【解题指南】1.先求出点B的坐标，再由距离公式求解.
先根据x轴上点的坐标特点设出点P的坐标(a,0,0),再根据两点间距离公式列出关于a的方程，然后解方程即可.
人教A版高中数学必修2《4.3.2空间两点间的距离公式》10
空间两点间的距离公式目标使学生掌握空间两点的距离公式由来及应用．要点要点：空间两点的距离公式难点难点：空间两点的距离公式的推导。
教具课时多媒体一个课时准备安排教课方法、教课手段教课过程与教课内容与学法、学情一、复习准备：发问：平面两点间的距离公式？2.给你一块砖，你怎样量出它的对角线长，说明你的原因．建筑设计中经常要计算空间两点间的距离公式，你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？二、讲解新课：1．空间两点的距离公式（1）设问：你能猜想一下空间两点P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)间的距离公式吗？怎样证明？，因空间直角坐标系是在平面直角坐标系的基础上，经过原点O再作一条垂直于这个平面的直线，所以学生完整能借助平面上两点间的距离公式，考虑到此距离与竖坐标相关，猜想出空间两点间的距离公式|P1P2|(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2．故在介绍空间两点间的距离公式时，没有直接体现公式结论，而是先让学生猜想、证明，从中培育学生对陌生问题经过已学的近似问题，要敢于提出猜想的意识．在推导空间两点间的距离公式时，教材成心让学生经历一个从易到难，从特别到一般的目的在于让学生掌握类比的方法和养成谨慎的思想习惯．2）学生阅读教材P136-P137内容，教师给与适合的指导．思虑：1）点M（x，y，z）与坐标原点O（0，0，0）的距离？2)M1，M2两点之间的距离等于0M1=M2，两点重合，也即x1=x2，y1=y2，z1=z2．议论：假如OP是定长r,那么x2y2z2r2表示什么图形？2．例题1：求点P1(1,0,-1)与P2(4,3,-1)之间的距离．要修业生熟记公式并注意公式的正确运用练习：求点A(0,0,0)到B(5,2,2)之间的距离3．例题2：已知A(x，2,3)、B(5,4，7)，且|AB|=6，求x的值．剖析：利用空间两点间的距离公式，找寻对于x的方程，解方程即得．解：|AB|=6，∴(x 5)2 (2 4)2 (3 7)26即(x 5)2 16，解得x=1或x=9x=1或x=9总结：求字母的值，常利用方程的思想，经过解方程或方程组求解．练习：已知A(2,5，-6)，在y轴上求一点B，使得|AB|=7．答案：B(0,2，0)或B(0,8，0)．z轴上求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点．2.试在xOy平面上求一点，使它到A(1,-1,5)、B(3,4,4) 和C(4,6,1)各点的距离相等．三．稳固练习：1．P练习1、31382．已知三角形的极点为A（1，2，3），B（7，10，3）和C（4，10，0）．试证明A角为直角．四．小结：1．空间两点的距离公式的推导．2．公式的应用五．作业空间两点间的距离公式1．空间两点的距离公式的推导．板2．公式的应用书教课反省。
人教版高中数学必修24 空间两点间的距离公式牛老师
1.理解空间两点间距离公式的推导过程和方法.
2.掌握空间两点间的距离公式及其简单应用.
空间两点间的距离公式
空间中点 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离|P1P2|=
(1 -2 )2 + (1 -2 )2 + (1 -2 )2 .
regrets take the place of dreams.
只要一个人还有追求，他就没有老。直到后悔取代了梦想，一个人才算老。
►Suffering is the most powerful teacher of life.
苦难是人生最伟大的老师。
►For man is man and master of his fate.
所以点 M 的坐标为(1,1,2).
由两点间的距离公式,得
|MN|=
3
-1
2
2
+ (3-1)2 + (1-2)2 =
故 M,N 两点间的距离为
21
2
21
2
.
.
反思求空间两点间的距离时,一般使用空间两点间的距离公式,应
用公式的关键在于建立适当的空间直角坐标系,以确定两点的坐标.
确定点的坐标的方法视具体题目而定,一般来说,要转化到平面中
►So let us seize it, not in fear, but in gladness. ·
命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。
因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰
凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯
高中数学必修二——空间两点间的距离公式
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4.3.2
跟踪训练 1 在 z 轴上求一点 M，使点 M 到点 A(1,0,2)与点 B(1， －3,1)的距离相等．
本 课 时 栏 目 开 关
解
设点 M 的坐标是(0,0，z)．依题意，
得 0－12＋0＋z－22＝ 0－12＋0＋32＋z－12.
解得 z＝－3.即 M 点坐标为(0,0，－3)．
2．若点 P1(x1，y1,0)，P2(x2，y2,0)， 2 2 则|P1P2|＝ x1－x2 ＋y1－y2 . 3．若点 P1(x1,0,0)，P2(x2,0,0)， 则|P1P2|＝ |x1－x2| .
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4.3.2
本 课 时 栏 目 开 关
[问题情境] 我们已经学习了平面上任意两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)之间 的距离公式 |AB|＝ x1－x22＋y1－y22.那么空间中任意两 点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间距离的公式是怎样的？ 本节我们就来探讨这个问题．
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4.3.2
例 2 已知正方形 ABCD、 ABEF 的边长都是 1， 且平面 ABCD⊥ 平面 ABEF，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM＝BN＝a(0＜a＜ (1)求 MN 的长；
答
问题 2 答
M(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)；|MN|＝ x1－x22＋y1－y22.
若直线 P1P2 垂直于 xOy 平面，则点 P1，P2 之间的距离如 |P1P2|＝|z1－z2|；|P1P2|＝|MN|＝ x1－x22＋y1－y22.
何？若直线 P1P2 平行于 xOy 平面， 则点 P1、 P2 之间的距离如何？
高一数学空间两点间的距离公式
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作业: P138练习：1，2，3，4.
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三小格这里寻找出来壹些珠丝马迹。事不宜迟，说办就办，三天之后，就让八小格寻到壹各绝好の机会！皇上身体微恙，免咯议政，免咯 行围。众人请过安后，全都自由咯。第壹卷 第296章 设局这壹次，八小格约上咯他の九弟、十弟，当然还有他最可爱の二十三弟，他必 须再找两各帮手，否则只有他和二十三小格两各人，担心老二十三定会起疑心。八小格找の理由和借口也很简单，趁今天没有啥啊事情， 兄弟几各去围猎，但是他并没有跟九小格和十小格说出他の真实目の。现在他还没有十足の把握，他不能打草惊蛇，特别是十小格，与二 十三小格の关系更是好得不得咯，难免不会走露咯风声。没有任何悬念，能弓擅射の二十三小格の成绩是他们四各人中最好の。为咯免得 分心，八小格忍咯壹天，壹直到返程の路上，才终于挑起咯话头：“二十三弟真是墙里开花墙外香啊！那天在皇阿玛面前行围打猎输得那 么惨，今天赢得这么漂亮，真是亏大发咯。”“八哥，这有啥啊亏不亏の。不论哪各哥哥赢咯，皇阿玛都很高兴。”“老二十三现在真是 会说话咯，几日不见，八哥真是要刮目相看呢。噢，对咯，你那天失手是怎么回事儿？”“没啥啊，头壹天睡得有些晚，壹整天脑子都昏 昏沉沉の，怎么着都找不好准星儿。”“睡得晚？干啥啊去咯？不会是跟哪各诸人……”“八哥！您怎么这么想？老二十三是这种人 吗？”“怎么是八哥多想？不是你亲口说の，‘她已经嫁人咯’？九弟、十弟，八哥说得有没有错？”“没错，壹点儿错都没有，十弟证 明，二十三弟跟兄长们就是这么说の！”“十哥！您怎么……”“哎，对咯，二十三弟，那各诸人你到底怎么着咯！二百两银子她夫家都 不干？还是想狮子大开口？二百两可是只多不少，有这二百两银子，她夫家再娶三各诸人都够咯！”“够咯！十哥，您不要再说咯！”眼 看着二十三小格马上就要跟他关系最好の十哥翻脸，把九小格吓咯壹跳：没事儿吧老二十三，不就是各诸人嘛，瞧他护得跟各心肝儿宝贝 似の！不要说见不得碰不得，现在连说都说不得咯，至于吗？就算是你老二十三年轻，不擅男女情事，可你从来也没有这么认真过，看来 这回是真の陷进去咯。只是，这回看着有点儿情况不妙呢，不仅是陷进去，而且更是拔不出来呢。不过说实话，你九哥见过の诸人，真是 比你老二十三吃过の咸盐都多！诸人不就是那么壹回事儿，没得到手の时候百爪挠心，壹旦得咯手，还不是都壹样？两只眼睛壹张嘴，真 不知还能出咯啥啊新花样！现在老二十三就是还没有得到手，才会这么相思苦挨，只有让你得咯手，才能壹咯百咯！想到这里，壹门心思 想帮二十三小格脱离苦海の九小格开口劝道：“哟，二十三弟急啥啊？你十哥那不是给你出主意想办法呢嘛。你年经最小，经の事儿也最 少，别看府里好几各诸人，照样还是啥啊都不懂！兄长们可都是过来人，来，九哥教你几招有用の！你呢，就是心太软，追诸人，必须心 狠手快才行。你先把那诸人搞到手，最好把肚子搞大咯，生米煮成咯熟饭，不信她夫家不放人！然后…………哎哟！”第壹卷 第297章 内讧九小格の话还没有说完，他胯下の坐骑突然就像壹匹脱咯缰の野马壹般，撩着撅子撒开腿就跑咯起来，猝不及防の九小格壹各趔趄， 差点儿被直接甩下马来！那匹马是被二十三小格の鞭子抽得发咯疯，才冷不丁地狂跑咯起来！刚才十小格再次劝他花银子买人咯事の时候， 他就已经十分不高兴咯，现在九小格居然用那种污言秽语来玷污他心中の仙子，士可忍孰不可忍！二十三小格原本是想将鞭子直接抽到九 哥の脸上，但是在鞭子落下の那壹刹那，他还是及时恢复咯理智，随之转动咯手腕，那鞭子才狠狠地落到咯马屁股上。虽然改变咯方向， 但力度却是壹点儿都没有减轻，反而更是几乎使尽咯他全身の力气。他心中无限の憎恨无处发泄，因此全部集中到咯那鞭子上，以二十三 小格十壹力半の臂力，马儿哪里吃得咯这各痛，自然是片刻未停、撒蹄就跑。只是壹眨眼の功夫，九小格就被狂颠の马儿带得无影无踪， 好在众人都知道他の身手，只要刚壹开始の时候没有被掀翻下马，现在就应该没有大碍。但是这突如其来の变故仍是吓咯众人壹跳，还是 八小格首先反应过来，眼看着险些酿成大祸，虽然仍是心有余悸，不过壹看到壹脸铁青の二十三小格，也顾不得心中の狂跳，赶快上前打 圆场：“二十三弟，你这是何苦呢！你九哥这不是为咯你好？看你心里这么难受，还不是帮你出主意，想办法，想让你早日抱得美人归 嘛。”“八哥！老二十三今天明白无误地告诉您！弟弟这心里，没有任何诸人！哥哥们の心，老二十三心领咯！今天，念在兄弟情分上， 只是让马儿吃咯痛，假如再有下次，不要怪老二十三の鞭子不长眼睛！”“二十三弟！你怎么这么跟八哥说话！不管是八哥还是九哥，不 都是为咯你好吗？你怎么人越长大，越是不懂人事儿咯！你刚才那鞭子真要是落在咯九哥の身上，看你怎么跟皇阿玛交代！现在你大咯， 就长本事咯，敢跟兄长们发脾气咯，可是你怎么没有本事跟那各诸人发脾气？有本事你就自己把那各诸人弄到手，也算你老二十三有能 耐！兄长们也不会再为你操这份闲心！最好你再把那诸人领来，让哥哥们好好长长见识，这天底下到底有啥啊样の诸人，能让你老二十三 迷咯心窍，失咯心智！连兄弟情分都不顾咯！”十小格与二十三小格最是亲厚，壹
高中数学 空间点到直线的距离公式
空间点到直线的距离公式点到直线距离公式总公式：设直线L的方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为（Xo，Yo），则点P到直线L的距离为：|AXo+BYo+C|/√（A²+B²）。
考虑点(x0，y0，z0)与空间直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有d=|(x1-x0，y1-y0，z1-z0)×(l，m，n)|/√(l²+m²+n²)引申公式：公式①：设直线l1的方程为Ax+By+C1=0；直线l2的方程为Ax+By+C2=0。
《点到直线的距离》教学设计一、教学内容分析“点到直线的距离”是新课标《数学必修2》第三章第3节“直线的交点与距离公式”中的重要知识点。
教材按照“提出问题（如何求点到直线的距离）、解决问题（推导公式）、应用公式”的线索展开研究，既是直线方程应用的延续，又是坐标法这一核心知识的发展，同时还是充分展现用代数方法研究几何问题优越性的载体。
作为直线方程的一个应用，公式的推导过程蕴涵了丰富的数学思想方法，转化思想，数形结合，分类讨论，属于具有较高思维价值和探究价值的教学内容。
同时，该公式还将在学生今后的代数、立体几何及圆锥曲线学习过程中，作为解析几何的一个重要工具广泛用之于问题的求解过程当中，因此，该内容又具有很大的应用价值。
不仅如此，该内容还是刚刚学过的两直线交点及两点间距离公式的用武之地。
就内容本身来说，作为公式的学习与应用又是引领学生运用平面几何知识、强化直线方程的建立过程的好素材。
因此，这是一节具有承上启下、继往开来作用的一个重要基础内容，是今后进一步学习研究解析几何的重要工具。
二、教学目标分析教学目标：1、知识与技能在经历发现推导公式的基础上，理解推导方法，掌握公式特点，学会公式的运用范围。
2、过程与方法让学生在对教学过程的充分参与中，体会由特殊到一般、从具体到抽象的数学研究方法，领会蕴涵在公式推导及范例解决过程中的数学思想与方法，从而有效培养学生分析、探究能力、灵活运用公式能力及用解析法分析解决问题的能力。
间距公式于涵定理
间距公式于涵定理一、间距公式（以常见的点与点、线与线、面与面间距公式为例，人教版高中数学知识范围）1. 两点间距离公式。
- 在平面直角坐标系中，若有两点A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，则两点间的距离d(A,B)=√((x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2)。
- 例如，已知A(1,2)，B(4,6)，则x_1 = 1,y_1=2,x_2 = 4,y_2 = 6。
根据公式d(A,B)=√((4 - 1)^2+(6 - 2)^2)=√(9 + 16)=√(25)=5。
- 这个公式的推导可以基于勾股定理。
在平面直角坐标系中，两点间的横向距离为| x_2 - x_1|，纵向距离为| y_2 - y_1|，那么两点间的距离就相当于直角三角形的斜边，根据勾股定理c^2=a^2 + b^2（这里c为斜边，a=| x_2 - x_1|，b=| y_2 - y_1|），去掉绝对值符号并开方就得到两点间距离公式。
2. 点到直线的距离公式。
- 对于直线Ax+By+C = 0（A、B不同时为0）和点P(x_0,y_0)，点P到直线的距离d=(| Ax_0+By_0 + C|)/(√(A^2+B^2))。
- 例如，对于直线2x + 3y-6=0和点P(1,1)，这里A = 2，B=3，C=-6，x_0 = 1，y_0=1。
则d=(|2×1 + 3×1-6|)/(√(2^2+3^2))=(| - 1|)/(√(13))=(1)/(√(13))=(√(13))/(13)。
- 其推导可以通过设直线上一点Q(x,y)，利用向量垂直的性质以及两点间距离公式推导得出。
3. 两平行线间的距离公式。
- 对于两条平行直线Ax+By+C_1 = 0和Ax+By+C_2 = 0（A、B不同时为0），它们之间的距离d=(| C_1 - C_2|)/(√(A^2+B^2))。
- 例如，对于直线2x+3y - 4 = 0和2x+3y+6 = 0，这里A = 2，B = 3，C_1=-4，C_2 = 6。
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新知探究
例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)，求:
(2)BC边上中线AM的长。
解:
zyx215242232513
3
9 2
11 2
M
3,
9 2
,
11 2
AC
1 32
5 9 2
2
11
2
66
2 2 2
新知探究
例2:求证以 M1(4,3,1) , M2 (7,1,2) , M3 (5,2,3) ,
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
新知探究
例4:已知 A( 3,3,3 2), B( 3,1, 2) ，在平面Oyz上是否存在一点C，使 ABC 为等边三角形，如果
存在求C坐标，不存在说明理由。
解:假设存在一点C(0,y,z)，满足条件：
AB AC BC
3
3 2 3 12 3
新知探究
例3:设P在x轴上，它到 P1(0, 2,3)的距离为到点 P2(0,1,1) 的距离的两倍，求点P的坐标。
解:因为 P 在 x轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
O
z0
x0 y
y
d y x02 z02 d z x02 y02
0
x
新知探究
(1) 在空间直角坐标系中，任意一点P(x,y,z)到原点的距离：
如果 OP 是定长r，
z
那么x2 y2 z2 r 2 表示什么图形？
P(x,y,z)
O x
P` (x,y,0)
| OP | x2 y2 z2
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14,
解:
M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6,
M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
M2M3 M3M1 ,
原结论成立.
所以存在一点C，满足条件.
课堂练习
1、在空间直角坐标系中，求点A、B的中点，并求出它们之间的距离： (1) A(2,3,5) B(3,1,4) (2)A(6,0,1) B(3,5,7) 2、在Z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等。
课堂练习
2、如图，正方体OABC-D`A`B`C`的棱长为a，|AN|=2|CN|，|BM|=2|MC`|，求MN的长.
y
新知探究
两点间距离公式
平面：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
类比
猜想
空间：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
新知探究
(1) 在空间直角坐标系中，任意两点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)间的距离：
2
2
2
3 0 2 3 y2 3
2
2z
3 0 2 1 y2
2
2z
新知探究
例4:已知 A( 3,3,3 2), B( 3,1, 2) ，在平面Oyz上是否存在一点C，使 ABC 为z
4 2
或z
y
3
0 2
C 0,4, 2 或 0,0,3 2
人教版高中数学必修二
第4章 圆与方程
4.3.2 空间中两点的距离公式
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲解人：xxx 时间：2020.9.1
新知探究
长a，宽b，高c的长方体的对角线，怎么求？
d
c
a
b
d a2 b2 c2
新知探究
在空间直角坐标系中点O(0，0，0)到点P(x0，y0，z0)的距离，怎么求？
z
d O
y 0
x
P z0
x0
y
d
x
2 0
y
2 0
z
2 0
新知探究
在空间直角坐标系中,点P(x，y，z)到点xOy平面的距离，怎么求？
z
O
zP
y
x y
x
d xOy z d yOz x d xOz y
新知探究
在空间直角坐标系中,点P(x0，y0，z0)到坐标轴的距离，怎么求？
z
dP
d x y02 z02
| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
z
P1(x1,y1,z1) O M
P2(x2,y2,z2)
H y
N
x
新知探究
二、空间中点坐标公式： 在空间直角坐标系中，点P(x1,y1,z1)和点Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):
x
y
z
z
D`
C`
A`
B` M
O
A x
C y
N
B
人教版高中数学必修二
第4章 圆与方程
感谢你的聆听
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲解人：xxx 时间：2020.9.1
x1 y1 z1
x2
2 y2
2 z2
2
x3 y3 z3
新知探究
例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)，求: (1)三角形三边的边长；
解: AB 1 22 5 32 2 42 3 BC 2 32 3 12 4 52 6 AC 1 32 5 12 2 52 29