空间向量解决立体几何(建系)

向量解决立体几何

１．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：PE⊥BC（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．

２.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．

３．如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠

BAD=，M 为BC上的一点，且BM=，MP⊥AP．（Ⅰ）求PO的长；（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．

４．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．

５.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且

AB=AC=A1B=2．（1）求棱AA1与BC所成的角的大小；

（2）在棱B1C1上确定一点P ，使，并求出二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值．

６.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．

（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；．（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值．

７.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD．△PAD为等腰直角三角形，且PA⊥AD．E，F分别为底边AB和侧棱PC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：EF⊥平面PCD；（Ⅲ）求二面角E﹣PD﹣C的余弦值．

８.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC 于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示．

（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A﹣DC﹣B的余弦值．

（Ⅲ）在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在，请指明点M的位置；若不存在，请说明理由．

９.在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF∥AC，AB=，EF=EC=1，

（1）求证：平面BEF⊥平面DEF；

（2）求二面角A﹣BF﹣E的大小．

１０.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，P是平面ABCD外一点，P在平面ABCD的射影O恰在AD上，PA=AB=BC=2AO=2，BO=．

（1）证明：PA⊥BO；（2）求二面角A﹣BP﹣D的余弦值．

１１.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC=CA=AA1，D为AB的中点．（1）求证：BC1∥平面DCA1；（2）求二面角D﹣CA1﹣C1的平面角的余弦值．

１２.如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣E的平面角的余弦值．

１３.如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AB⊥平面BCE，DC⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=2，

∠BCE=．（I）求证：平面ADE⊥平面ABE；（Ⅱ）求二面角A﹣EB﹣D的大小．

１４如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1．

（Ⅰ）求证：CD=C1D；

（Ⅱ）求二面角A1﹣B1D﹣P的平面角的正弦值．

１５如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD ，，AD=2．

（1）求证：平面FCB∥平面AED；

（2）若二面角A﹣EF﹣C为直二面角，求直线BC与平面AEF所成的角θ的正弦值．

１６.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC 的中点D．（Ⅰ）求证：AC1⊥BA1；（Ⅱ）求A﹣A1B﹣C的余弦值．

１７.如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥平面ABC，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，点D、E、F分别为AC、AB、BC的中点．

（I）求证：EF⊥PD；

（Ⅱ）求三棱锥D﹣PEF的体积；

（Ⅲ）求二面角E﹣PF﹣B的正切值．

１８.在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，若PD=DA，M是PC 的中点．

（Ⅰ）证明：PA∥平面BDM；

（Ⅱ）求二面角B﹣DM﹣C的余弦值．

１９.四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB=135°，BC=2，SB=SC=AB=2，F为线段SB的中点．

（1）求证：SD∥平面CFA；（2）求面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值大小．

２０.AB为圆O的直径，点E、F在圆上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面与圆O所在平面互相垂直，已知AB=2，BC=EF=1（Ⅰ）求证：BF⊥平面DAF（Ⅱ）求平面ADF与平面CDFE所成的二面角的余弦值．

２１.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，平面PAB⊥平面ABCD，

PA=PB=2AB．（1）证明：PC⊥AB；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．

２２.己知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧面A1ACC1为菱形，∠A1AC=60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，N是CC1的中点．（I）求证：A1C⊥BN；（Ⅱ）求二面角B﹣A1N﹣C的余弦值．

２３.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．（1）求证：BD⊥平面AA1C1；（2）（理）设点E是直线B1C1上一点，且DE∥平面AA1B1B，求平面EBD与平面ABC1夹角的余弦值．

２４.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=4AD=2，BD=2，PD⊥底面

ABCD．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D 大小为，求AP与平面PBC 所成角的正弦值．

２５.在直角梯形中ABCD中．AB∥CD，AB⊥BC，F为AB上的点，且BE=1，AD=AE=DC=2，将△ADE 沿DE折叠到P点，使PC=PB．

（Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面ABCD；