【最新】一章现实世界中的数学模型
数学模型在社会生活中应用浅析
数学模型在社会生活中应用浅析现代社会中，“建模”这个看起来高大上的词变得日益常见。
很多人不理解何为建模，如何建模，那么本文将以解决这个问题为出发点，试图普及在社会生活中如何应用建模来提高问题解决效率。
1.数学模型与生活1.1 数学模型的含义数学模型是使用数学学科中的思想对日产给生活中的实际问题进行概括和描述。
建立模型往往是出于某个或某一类特定的研究目的，为了简化研究问题突出研究重点，在建模之初需要提出一系列简化问题的假设。
通过分析研究问题将复杂的现实问题使用合适的数学结构描述出来，例如使用图表、方程式、图形等。
换句话说，数学建模就是对具体的实际问题加以抽象化，转化成可以求解的数学符号代数式。
这是个复杂的过程，主要包括提出问题、模型建构、模型验证、模型改进、模型应用等几个方面。
1.2 数学建模的重要性数学模型一般分为两大类：概率型和确定型。
但是数学这一学科经过长期的积累和发展，出现了诸多分支。
分支与分支之间又在发展中相互交融，形成许多的派生分支。
因此，对于我们生活中的同一个问题，可以使用多种数学方法对其进行描述和解释，这不足为奇。
值得注意的是，具体情况要具体对待，建立什么类型的数学模型，不仅与研究问题相关，而且跟研究目的和研究思路密切相关[3]。
数学尽管强大，但现实问题往往是极其复杂的，以至于我们无法直接用数学知识对其进行处理。
因此，数学建模其实是一个转化过程，帮助我们利用数学知识解决实际问题。
1.3数学建模的步骤（一）提出问题脱离实际生活的建模是没有任何意义的。
因此，对问题有清晰的了解是建模的基础。
在此基础上然后澄清问题的背景，明确研究对象的具体特点，然后才能进行科学的调查分析获取相关数据支撑。
此外，有必要对建模的目的加以准确和充分的理解，以便抽象成更加合理的问题，进而提高模型的普适性。
（二）模型建构通过分析，理清各个研究变量之间的关系。
然后利用数学符号的组合，使其反映真实问题，得到初步的数学模型。
日常生活中的数学模型ppt课件
• 给出了污染程度降低到初始形状的 α倍时所用的 时间. 取 α =1/2, 那么有 T1/2 0.7 .
• 由此可知, 在完全断绝污染物流入的前提下, 湖
泊污染情况缓解一半所用的时间是湖水保管时间 的0.7倍.
• 2. 情形II. 控制污染：PI(t) = K0e-αt.
•
流入的污染物逐年降低, 污染情况以强度 α
• 普通来说，对于 Ps <= K, 假设给定sPS/K假设 K=0 且 Ps > 0, 那么
•
P(t)PSet/
• 将递减并且趋于零.
• 令 (t)P(t)/Ps , 它表示污染情况相对降低的 强度.
•
那么不难看出
T ln P S/p ((t) )ln (t)
20.30 • 斯卢皮 13.77 2.06 40.00 21.25
• 分析: • 1. 最正确出手角度: 求函数 s(α) 的极大值点 • 满足方程
c2 o v 4 s s 2 2 i n 8 h 2 c g 2o v 2 s s 2 ic n 2 o 2 g s2 h i n 0
• 出手时间 t，投掷远度 s。
• 坐标系：〔x，y〕
• 铅球运动的轨迹为 ( x(t), y(t) ).
• 平衡关系：力与运动的牛顿定律
d d22 xt0, x(0)0, x(0)vcos
d d22 ytg, y(0)h, y(0)vsin
• 有解x(t)(vcos)t
y(t)(vsin)t1gt2 h
度的初速度。
• 2. 在用力阶段，运发动从开场用力推铅球到铅球 出手有一段时间。
• 3. 在用力的时间内作用在铅球上的推力大小不变， 力的方向与铅球出手方向一样。
生活中的简单数学模型
生活中的简单数学模型
在日常生活中，我们经常会用到简单的数学模型来解决实际问题。
比如，当我们想要计算一个物体的体积时，可以使用体积公式V=S×H，其中S表示物体的表面积，H表示物体的高度。
另外，当我们想要计算一个圆的面积时，可以使用面积公式
S=πr²，其中π表示圆周率，r表示圆的半径。
此外，当我们想
要计算一个矩形的面积时，可以使用面积公式S=a×b，其中a
表示矩形的长度，b表示矩形的宽度。
另外，当我们想要计算一个三角形的面积时，可以使用面积公式S=1/2×a×h，其中a表示三角形的底边长度，h表示三角形
的高度。
此外，当我们想要计算一个椭圆的面积时，可以使用面积公式S=πab，其中a表示椭圆的长轴长度，b表示椭圆的
短轴长度。
此外，当我们想要计算一个圆柱的体积时，可以使用体积公式
V=πr²h，其中π表示圆周率，r表示圆柱的底面半径，h表示
圆柱的高度。
另外，当我们想要计算一个圆锥的体积时，可以使用体积公式V=1/3πr²h，其中π表示圆周率，r表示圆锥的底面半径，h表示圆锥的高度。
以上就是日常生活中常用的简单数学模型，它们可以帮助我们解决实际问题，比如计算物体的体积、面积等。
生活中的简单数学模型
生活中的简单数学模型1. 引言数学是一门研究数量和空间关系的学科，它在我们日常生活中扮演着重要的角色。
无论是购物、旅行、烹饪还是理财，数学都扎根在我们的生活中。
在本文中，我们将探讨生活中的一些简单数学模型，并展示它们如何帮助我们更好地理解和解决常见的问题。
2. 百分比计算在日常生活中，我们经常需要进行百分比计算。
无论是计算打折商品的价格、计算概率还是计算利润，百分比都是一个非常常见的概念。
2.1 百分数的计算公式百分数 = （部分 / 总数）* 1002.2 例子：打折商品假设有一件原价为100元的商品，现在打折20%。
我们可以使用百分比计算公式来计算打折后的价格：打折后的价格 = 原价 * （1 - 打折率）打折后的价格 = 100 * （1 - 0.20）打折后的价格 = 100 * 0.80打折后的价格 = 80元通过这个简单的数学模型，我们可以知道打折后的价格是80元。
3. 货币兑换在全球化的今天，货币兑换是一个非常重要的问题。
当我们去旅行或者在网上购物时，我们需要把不同国家的货币进行兑换。
3.1 汇率的计算汇率是不同国家货币之间的比率。
我们可以使用汇率来计算两种货币之间的等值关系。
3.2 例子：人民币兑换美元假设当前的人民币兑换美元的汇率是1美元 = 6.5人民币。
如果我们有1000人民币，我们可以使用以下的计算公式来计算等值的美元数量：美元数量 = 人民币数量 / 汇率美元数量 = 1000 / 6.5美元数量≈ 153.85美元通过这个简单的数学模型，我们可以知道1000人民币约等于153.85美元。
4. 车辆油耗在购买汽车或者长途驾驶时，了解车辆的油耗是非常重要的。
通过计算油耗，我们可以评估驾驶的成本以及行驶的距离。
4.1 油耗的计算油耗是指车辆行驶一定距离所需要的燃料的量。
我们可以使用以下的计算公式来计算油耗：油耗 = 驾驶的距离 / 使用的燃料量4.2 例子：驾驶距离和油耗假设我们驾驶了500公里，并使用了40升的汽油。
数学模型在实际问题中的应用
数学模型在实际问题中的应用教案主题：数学模型在实际问题中的应用导语：数学模型是数学和实际问题相结合的产物，能够帮助人们理解和解决现实生活中的各种问题。
本教案将以数学模型在实际问题中的应用为主题，通过介绍实例和案例，展示数学模型在不同领域的应用，帮助学生了解数学模型在解决实际问题中的重要性和实用性。
一、数学模型在物理领域的应用物理学中有许多现象可以通过数学模型予以描述和分析。
例如，自由落体运动可以用一系列的数学公式来表示，通过这些公式可以计算物体的运动轨迹、速度和时间等相关参数。
同样的，弹簧振动、电磁场、光学等也可以通过数学模型加以解释和计算。
例如：1. 弹簧振子模型弹簧振动是物理学中研究的一个重要课题，可以通过数学模型来分析和计算其振动的频率和振幅。
学生可以通过观察和实验，获得弹簧振子的周期和振幅的关系，然后建立数学模型，通过计算和预测来进一步验证实验结果。
2. 电磁场模型电磁场是物理学中研究的一个重要课题，可以通过数学模型来描述和计算电磁场的分布和变化。
学生可以通过实验和观察，了解不同电荷和电流之间的相互作用，然后建立数学模型，通过计算和预测来进一步验证实验结果。
二、数学模型在经济领域的应用经济学中研究的问题涉及到社会资源的合理利用和分配，可以通过数学模型予以分析和解决。
例如，供求关系、市场价格、投资决策等都可以通过数学模型来研究和计算。
例如：1. 需求曲线和供应曲线模型需求和供应是经济学中的两个重要概念，可以通过数学模型来描述和计算。
学生可以通过观察和调研，了解市场的需求和供应情况，进而建立需求曲线和供应曲线模型，通过计算和仿真来预测市场价格的变化和供求关系的变化。
2. 投资决策模型投资决策是经济学中的一个重要问题，可以通过数学模型来分析和计算。
学生可以通过学习和实践，了解投资的风险和回报关系，进而建立投资决策模型，通过计算和仿真来评估不同投资方案的风险和回报情况。
三、数学模型在生物领域的应用生物学中研究的问题涉及到生物体的生长、繁殖和演化等过程，可以通过数学模型予以描述和分析。
第一章数学建模概述
1数学建模概述⏹ 数学模型 ⏹ 数学建模过程 ⏹ 数学建模示例⏹ 建立数学模型的方法和步骤 ⏹数学模型的分类1数学模型模型：是我们对所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质，模拟不一定是对实体的一种仿造，也可以是对某些基本属性的抽象。
直观模型： 实物模型，主要追求外观上的逼真。
物理模型：为一定目的根据相似原理构造的模型，不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以进行模拟试验，间接地研究原型的某些规律。
思维模型，符号模型，数学模型 数学模型：1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。
它是模型的一种。
2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。
3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用 适当的数学工具得到一个数学结构。
数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。
总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系。
古希腊时期：“数理是宇宙的基本原理”。
文艺复兴时期：应用数学来阐明现象“进行尝试”。
微积分法的产生，使得数学与世界密切联系起来，用公式、图表、符号反映客观世界越来越广泛，越来越精确。
费马（P.Fermal 1601-1665）用变分法表示“光沿着所需时间最短的路径前进”。
牛顿（Newton 1642-1727）将力学法则用单纯的数学式表达，如，牛顿第二定律：结合开普勒三定律得出万有引力定律航行问题：甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各多少？用y x ,分别代表船速、水速，可以列出方程解方程组，得221r m m G F =ma F =⎩⎨⎧=⋅-=⋅+75050)(75030)(y x y x 小时）（千米小时）（千米/5/20==y x答：船速、水速分别为20千米/小时、5千米小时。
数学中的数学模型与实际问题
数学中的数学模型与实际问题数学是自然科学中最基础、最重要的学科之一，它不仅仅是一门学科，更是一种思维方式。
在数学中，数学模型是一个非常重要的概念，它将抽象的数学概念与实际问题相结合，使得我们能够通过一定的数学方法来解决实际问题。
在本文中，我们将探讨数学模型在实际问题中的应用和作用。
一、数学模型的概念和定义数学模型是指将现实世界中的问题抽象化和数学化，用数学语言和数学方法来描述和解决实际问题的一种方法。
数学模型可以是代数模型、几何模型、概率模型、微分方程模型等各种形式。
通过建立数学模型，我们可以对实际问题进行研究、分析和预测，从而得到一些有用的结论和信息。
二、数学模型的应用领域数学模型在各个领域都有广泛的应用，比如物理、经济、生物、环境等。
以下是几个具体的例子：1. 物理学中的数学模型在物理学中，数学模型起着非常重要的作用。
比如，通过建立物体的运动方程，可以预测物体的运动轨迹和速度；利用电磁场的方程可以研究电磁波的传播和反射；通过应用波动方程可以研究声音和光的传播等。
2. 经济学中的数学模型经济学是应用数学最广泛的领域之一，经济学家经常利用数学模型来研究经济现象和问题。
比如，通过建立供求模型可以研究市场价格的形成和变化；利用经济增长模型可以分析经济发展的趋势和影响因素；利用投资组合模型可以进行资产配置和风险管理等。
3. 生物学中的数学模型在生物学中，数学模型可以帮助我们研究生物系统的结构和功能。
比如，通过建立生物遗传方程可以预测物种的遗传变异和进化过程；利用生态模型可以研究物种的数量和分布规律；通过传染病模型可以分析疾病的传播机制和控制策略等。
4. 环境学中的数学模型在环境学中，数学模型可以用来研究环境系统的变化和影响。
比如，建立气候模型可以预测气候变化和全球变暖的趋势；利用水文模型可以分析水资源的分布和利用；通过建立空气质量模型可以评估空气污染的程度和来源等。
三、数学模型的建立和求解建立数学模型是一个复杂而艰巨的任务，需要深入理解实际问题、分析问题的关键因素和变量，确定合适的数学表达和模型假设，以及选择适当的数学方法和技巧。
数学模型在实际问题中的应用
数学模型在实际问题中的应用概述：数学模型是将实际问题抽象化并用数学语言和符号进行描述的工具。
它可以帮助我们理解和解决各种实际问题，无论是在科学研究、工程设计还是经济管理中，数学模型都发挥着重要的作用。
本文将通过几个具体的例子，详细介绍数学模型在实际问题中的应用。
第一部分：物理系统小标题：天体运动在天文学领域，数学模型被广泛用于描述行星、卫星和彗星等天体的运动。
例如，开普勒定律可以用数学模型来表达行星绕太阳的运动轨迹和速度变化规律。
这些数学模型不仅可以帮助我们预测天体的位置和行为，还可以揭示宇宙的奥秘。
小标题：电路分析在电子工程中，电路分析是一个重要的任务。
通过建立电路的数学模型，可以计算电流、电压和功率等物理量的数值。
这些模型可以帮助工程师设计出稳定可靠的电路，并优化电路的性能。
数学模型还可以用于模拟电路的工作过程，从而提前发现潜在问题并进行改进。
第二部分：经济系统小标题：市场供需在经济学中，供求关系是一个核心概念。
通过建立供求模型，可以分析市场上商品的价格和数量变化规律。
这些模型可以帮助经济学家预测市场走势，并为政府决策提供依据。
例如，通过对供求模型的分析，可以确定最优的税收政策和价格调控措施。
小标题：投资组合在金融领域，投资组合是一个重要的问题。
通过建立投资组合的数学模型，可以帮助投资者找到最优的投资策略。
这些模型可以考虑不同投资标的的收益率、风险和相关性等因素，从而平衡投资组合的收益和风险。
数学模型还可以用于评估投资者的风险承受能力，并提供相应的投资建议。
第三部分：社会系统小标题：流行病传播在公共卫生领域，流行病的传播是一个重要的研究课题。
通过建立流行病传播的数学模型，可以预测疾病的传播速度和范围，并制定相应的防控策略。
这些模型可以考虑人口流动、接触网络和病原体特性等因素，从而提高疫情监测和管理的效果。
小标题：交通流量优化在城市规划中，交通流量的优化是一个挑战性的问题。
通过建立交通流量的数学模型，可以优化交通信号灯的配时方案，减少交通拥堵和排队时间。
现实世界中的数学模型
例 甲乙两地相距740km，某船从甲地到乙地顺水需 要30小时，从乙地到甲地逆水需要50小时，问船速、水 速各为多少？
分析：在该问题中，两地之间的距离是已知的，并且
假定在考察问题的时间段中水的流速不变，在这样的假 设之下，我们可以得出问题的解。 求解 设水的流速为 x ，船的行驶速度为 y，则当顺
第一章
现实世界中的数学模型
第一节 现实世界的模型
在现实生活中，我们对“模型”（Model）这个名词 并 不陌生。我们经常谈到“物理模型”、“化学模型”、 “生物
“原型”（Prototype）和“模型”是一对对偶体。 模型”等。 原型：是指人们在现实世界里关心、研究或从事生
产、管理的实际对象。在科技领域中通常使用系统、过 程等词汇来描述相应的对象。
模型：指为了某个特定的目的将原型的一部分信息简 缩、提炼而构成的原型替代物。 尤其要说明的是：模型不是原型原封不动的复制品。
原型有各个方面和各个层次的特征，而模型只要求与某
种目的有关的那些方面和层次。 模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。
一、形象模型 根据某种物体的实际大小，按一定比例制作的模型称 为形象模型。例如汽车模型、建筑模型都是形象模型。 形象模型又称为直观模型。
f 0 0, g 0 0.
则问题归结为是否存在 0 0, , 使得 2
f 0 g 0 0.
解模
由条件对任意 ，有 f
0, g 0. 且
f 0, g 0. 2 2
第三节 数学模型的例子
一、椅子放稳问题 问题 一个有四个脚的方凳能否在地上放稳，如能
的话，给出具体的方法。 假设1 椅子的四个脚是等长的并且四个脚正好位于一
生活中的数学模型
生活中的数学模型
生活中的数学模型无处不在，从日常生活中的购物、旅行，到工作中的生产和管理，数学模型都在发挥着重要的作用。
数学模型是通过数学方法和技术对实际问题进行描述、分析和解决的工具，它可以帮助我们更好地理解和预测世界的运行规律。
在日常生活中，我们常常会遇到各种购物问题。
比如，我们想要在预算有限的情况下购买最多的商品，这就涉及到了优化问题。
通过建立数学模型，我们可以利用最优化算法来找到最佳的购物方案，从而在有限的预算内购买到最多的商品。
另外，旅行中的路径规划问题也是数学模型的一个重要应用。
比如，我们想要在多个景点之间找到最短的游览路径，这就可以通过建立图论模型来解决。
利用最短路径算法，我们可以找到最佳的游览路线，节省时间和精力。
在工作中，数学模型也发挥着重要的作用。
比如，在生产过程中，我们需要通过生产计划来合理安排生产资源，以最大程度地提高生产效率。
通过建立生产规划模型，我们可以利用线性规划等方法来优化生产计划，实现资源的最优配置。
此外，在管理领域，数学模型也可以帮助我们更好地进行决策和风险管理。
比如，通过建立风险评估模型，我们可以对各种风险因素进行量化分析，从而制定更加科学的风险管理策略。
总之，生活中的数学模型无处不在，它们为我们解决各种实际问题提供了有力的工具和方法。
通过深入理解和应用数学模型，我们可以更好地理解和把握世界的规律，提高生活质量和工作效率。
因此，学习和应用数学模型是我们每个人都应该重视的重要课题。
日常生活中的数学模型
日常生活中的数学模型
数学模型广泛应用于我们日常生活中的各个方面。
在购物中，商场根据商品的销售量、消费者购物习惯、季节性等
因素，利用市场研究、广告效应等相关数据构建销售预测模型，从而
有效规划库存、安排促销活动。
在旅游中，旅行社会根据旅游路线、酒店住宿、食品消费等相关
数据构建成本分析模型，从而制定出切实可行的旅游报价方案。
在运动中，教练会利用运动员的身体生理指标、个人技能、比赛
经验等数据构建训练模型，以指导运动员的日常锻炼和比赛应变策略。
在医疗中，医院会通过收集患者病史、检查结果、治疗方案等数据，构建疾病模型，以协助医生制定出最佳的治疗方案。
总之，数学模型已经成为了现代社会生活中不可或缺的一部分，
它的优点在于能够依据数据和相关经验快速而准确地进行决策，从而
指导我们更好地生活和工作。
数学建模——现实生活中的数学
§5 煤矸石的堆积问题一.问题的提出煤矿采煤时,会产出无用废料――煤矸石。
在平原地区，煤矿不得不征用土地堆放矸石，通常矸石的堆积方法是：架设一段与地面角度约为的直线型上升轨道。
用在轨道上行驶的矸车将矸石运到顶端后倾倒。
待矸石堆高后，再借助矸石堆延长轨道，这样逐渐堆起如下图所示的一座矸石山来。
矸石山的底面积为：于是，征地面积至少为矸石山的体积（1）（2）（3）2. 征地面积与采煤出矸率的关系设出矸率为p，年均出矸量为，则从而按矸石容重换算成每年增加的矸石体积：于是t年后矸石上的体积为（4）由（3）和（4）式可得矸石山高度与时间的关系：将（5）代入（2）得t年后占地面积为（亩）（6）这样可得20 年后矸石山高度与占地面积分别为：（亩）特别，当p=0.1 时，（亩）3. 征地计划因为地价涨幅10% 高于贷款利率5% 。
所以应在开始时一次性将用地全部购入，所缺经费想银行贷款。
当p=0.1 时，征地费为（万元）（二）堆积矸石的电费1. 运矸车的机械效率设坡道行程为x, 则2. 运矸车的机械功堆积体积为V的矸石山，所做的总功为：其中，运矸车的机械效率为：其中，（9）（8）按照1度电=3600000 焦耳，并利用和（9）式，可以计算出从开始到t 年的电费当p=0.1,t=1 到t=20 年度电费52.28 50.69 49.08 47.44 45.77 44.07 42.33 40.55 38.73 36.86 电费20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 t（年份）34.93 32.92 30.83 28.64 26.32 23.82 21.09 18.00 14.25 8.5 电费10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 t（年份）（四）结论为了进行经费比较，将所有费用都按利率5% 折合成20 年后的值。
（也可以折合成现值）* 数学建模――现实<B style='color:black;background-color:#ffff66'>生活</B>中的数学胡学刚数学建模与数学建模竞赛§1. 关于数学模型与数学建模随着科学技术的进步，数学的应用已经不再局限于物理学传统领域，生态学、环境科学、医学、经济学、信息科学、管理科学、人文科学以及一些交叉学科都提出了大量涉及数学的实际问题。
浅析数学模型在实际中的应用
浅析数学模型在实际中的应用
浅析数学模型在实际中的应用
摘要：数学模型是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。
本文指是通过对数学模型的定义以及数学模型的作用来展开分析数学模型在实际中的应用。
关键词：数学模型；实际生活；应用
数学模型是一种将现实的问题归结为相应的数学问题，然后在这数学问题对的基础上自然的利用数学的概念和方法，最后对这原本现实的问题进行深入的分析和研究，以此来解决现实的问题，用这数学模型来提供精确的数据。
1、数学模型的基本概念
数学模型的基本概念可以从以下几方面来进行探讨：
1.1数学模型的定义
数学模型针对参照某种事物系统的特征或数量依存的关系，是指根据对研究对象所观察到的现象及实践经验，归结成的一套反映其内部因素数量关系的数学公式、逻辑准则和具体算法，用以描述和研究客观现象的运动规律。
具体的说，也就是将某一个实际问题，经过抽象、明确变量以及简化和参数，然后根据某种“规律”从而建立起数学模型，对其求得结果，并且将这个结果进行再次的验证，直到正确为止。
数学模型的英文名称是：mathematical model。
根据研究目的，对所研究的过程和现象(称为现实原型或原型)的主要特征、主要关系、采用形式化的数学语言，概括地、近似地表达出来的一种结构，所谓“数学化”，指的就是构造数学模型。
数学模型与实际问题
数学模型与实际问题在现代科学和工程领域，数学模型在解决实际问题中扮演着重要的角色。
数学模型是对实际问题进行抽象和描述的一种工具，通过建立数学方程和模拟实验，我们可以深入了解问题的本质和规律。
本文将介绍数学模型的定义、建立方法以及在实际问题中的应用。
一、数学模型的定义数学模型是对实际问题的一种抽象描述，它通过数学语言和符号来表达和解决问题。
数学模型可以是代数方程、微分方程、概率统计模型等形式，它们可以描述系统的关键性质和变量之间的关系。
数学模型可以帮助我们理解问题的内在结构，预测未知情况的发展，并指导实际决策与优化。
二、数学模型的建立方法建立数学模型要从实际问题的特征入手，通过观察和实验来获得问题的基本信息。
然后，我们可以根据问题的特性选择合适的数学方法和模型类型。
常见的建模方法包括几何建模、物理建模、统计建模等。
在建立模型时，需要做出适当的假设和简化，以便获得易于处理和分析的数学形式。
三、数学模型的应用举例1. 生态系统模型生态系统是一个复杂的生物系统，其中包含多种物种之间的相互作用。
通过建立生态系统模型，我们可以研究不同物种之间的竞争关系、食物链、能量流动等生态过程。
根据模型的预测结果，我们可以制定合理的保护措施，维护生态平衡。
2. 金融风险模型金融市场存在着各种风险，如市场风险、信用风险和操作风险等。
建立金融风险模型可以帮助我们更好地评估和管理风险。
通过对历史数据和市场变化的分析，我们可以建立风险评估模型来预测未来的市场波动，并采取相应的风险对冲策略。
3. 流体力学模型在工程领域中，流体力学模型被广泛运用于研究气体和液体的流动行为。
例如，通过建立空气动力学模型，我们可以优化飞机的翼型设计，提高飞行性能。
又如在船舶设计中，通过流体力学模型的研究，我们可以降低船体的阻力，提高节能效益。
四、数学模型的优势与局限数学模型具有一定的优势，如可以准确描述问题、提供定量分析的手段、能够预测未知情况等。
然而，数学模型也存在一些局限，如对实际问题的抽象程度有限、模型中的参数取值需要依靠实验测定、模型预测受到初始条件和假设的影响等。
现实世界中的数学模型28页文档
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
现实世界中的数学模型
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。
数学模型经典实例
模型：
重量 w = w0+g t , 单价 p = p0 – r t , 总花费 C = k t , 总收益 R = p w 净收益的模型 P = R – C=(p0-rt)(w0+gt)-kt
参数估计 w0=200, g=5, p0=0.65, r=0.01, k=0.445 P = R – C = (0.65-0.01 t)(200 + 5 t)- 0.45 t P(t) = 130 + 0.8t – 0.05 t2.
例 3：交通路口红绿灯
十字路口绿灯亮15秒， 最多可以通过多少辆 汽车？
假设
1. 2. 3. 4.
车辆相同，从静止开始做匀加速动。 车距相同，启动延迟时间相等。 直行，不拐弯，单侧，单车道。 秩序良好，不堵车。
车长L，车距D，加速度a，启动延迟T 时间t，车位Sn（t）
模型
2. 分析汽车开始以最高限速穿过路 口的时间。 3. 给出穿过路口汽车的数量随时间 变化的数学模型。
例 4：人员疏散
建模分析意外事件发 生时建筑物内的人员 疏散所用的时间。
假
设
1.单排教室，直走道，一个出口。 2.人员撤离时, 单行、有序、间 隔均匀、匀速地撤出。 3.忽略列队的时间和第一个人到 达教室门口的时间。
问题：赛程如何做到公平安排？ 如何安排比赛的赛程，使相邻比 赛各队
例6. 一个农民有一头重量大约是200磅的猪， 在上一周猪每天增重约5磅。 五天前猪价为70美分/磅，但现在猪价下降为65 美分/磅， 饲养每天需花费45美分。 求出售猪的最佳时间。 假设： 1. 出售前，猪每天以定常的日增重量生长。 2. 猪出售的价格以每天相同的数量减少。 3. 猪饲养的花费每天不变。 4. 猪在饲养和出售期间不再有其他的花费。
数学建模——现实生活中的数学
§5 煤矸石的堆积问题一.问题的提出煤矿采煤时,会产出无用废料――煤矸石。
在平原地区，煤矿不得不征用土地堆放矸石，通常矸石的堆积方法是：架设一段与地面角度约为的直线型上升轨道。
用在轨道上行驶的矸车将矸石运到顶端后倾倒。
待矸石堆高后，再借助矸石堆延长轨道，这样逐渐堆起如下图所示的一座矸石山来。
矸石山的底面积为：于是，征地面积至少为矸石山的体积（1）（2）（3）2. 征地面积与采煤出矸率的关系设出矸率为p，年均出矸量为，则从而按矸石容重换算成每年增加的矸石体积：于是t 年后矸石上的体积为（4）由（3）和（4）式可得矸石山高度与时间的关系：将（5）代入（2）得t年后占地面积为（亩）（6）这样可得20 年后矸石山高度与占地面积分别为：（亩）特别，当p=0.1 时，（亩）3. 征地计划因为地价涨幅10% 高于贷款利率5% 。
所以应在开始时一次性将用地全部购入，所缺经费想银行贷款。
当p=0.1 时，征地费为（万元）（二）堆积矸石的电费1. 运矸车的机械效率设坡道行程为x, 则2. 运矸车的机械功堆积体积为V的矸石山，所做的总功为：其中，运矸车的机械效率为：其中，（9）（8）按照1度电=3600000 焦耳，并利用和（9）式，可以计算出从开始到t 年的电费当p=0.1,t=1 到t=20 年度电费52.28 50.69 49.08 47.44 45.77 44.07 42.33 40.55 38.73 36.86 电费20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 t（年份）34.93 32.92 30.83 28.64 26.32 23.82 21.09 18.00 14.25 8.5 电费10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 t（年份）（四）结论为了进行经费比较，将所有费用都按利率5% 折合成20 年后的值。
（也可以折合成现值）* 数学建模――现实<B style='color:black;background-color:#ffff66'>生活</B>中的数学胡学刚数学建模与数学建模竞赛§1. 关于数学模型与数学建模随着科学技术的进步，数学的应用已经不再局限于物理学传统领域，生态学、环境科学、医学、经济学、信息科学、管理科学、人文科学以及一些交叉学科都提出了大量涉及数学的实际问题。
数学模型与实际问题
数学模型与实际问题数学模型是将实际问题转化为数学表达式或方程组的工具，它在解决各种实际问题中起着重要的作用。
通过数学模型，我们可以定量地描述和分析复杂的实际问题，并得到可行的解决方案。
本文将探讨数学模型在实际问题中的应用，以及构建和求解数学模型的方法。
一、数学模型的作用数学模型的主要作用是将实际问题抽象为可计算的数学形式，从而方便进行分析和求解。
它可以帮助我们理解问题的本质，揭示问题背后的规律，为实际问题提供量化的解决方案。
数学模型广泛应用于自然科学、工程技术、社会经济等领域，包括但不限于以下几个方面：1. 预测与决策：通过建立适当的数学模型，我们可以预测自然现象、经济市场、交通流量等的变化趋势，帮助决策者做出相应的决策。
2. 优化与规划：数学模型可以帮助我们找到最优解或最佳方案。
例如，在工程设计中，我们可以通过建立优化模型来求解最优结构、最佳工艺等问题。
3. 解释与探索：数学模型可以帮助我们理解的问题的本质和内在关系。
通过建立适当的数学模型，我们可以发现问题的规律，并推导出理论结论。
二、数学模型的构建方法构建有效的数学模型是解决实际问题的关键。
下面介绍几种常见的构建数学模型的方法：1. 物理分析方法：通过物理定律和实验数据，建立数学模型来描述实际问题。
例如，用牛顿第二定律和力学方程可以构建运动物体的数学模型。
2. 统计分析方法：通过统计数据和概率论，建立数学模型来描述随机现象和不确定性问题。
例如，用概率分布函数可以构建可靠性模型。
3. 优化方法：通过建立目标函数和约束条件，将实际问题转化为数学规划问题，然后利用优化算法求解最优解。
例如，用线性规划模型可以求解资源分配问题。
4. 质量分析方法：通过质量指标和关键因素，建立数学模型来评估和改进产品或系统的性能。
例如，用质量函数部署可以构建质量管理的数学模型。
三、数学模型的解决方法一旦构建了数学模型，我们就需要选择适当的方法来求解模型并获得结果。
下面介绍几种常见的数学模型求解方法：1. 解析方法：通过解方程、求导、积分等数学方法，获得模型的解析解，即得到问题的精确解。
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建模 设椅子的四只脚位于点 A,B,C,D,其连线构
成一正方形，对角线的交点为坐标原点，对角线 A C ,
B D 为坐标轴（坐标系统如图所示）。
设 f 为 A , C 两点椅子的脚离开地面的距离只和；
g 为B , D 两点的椅子的脚离开
地面的距离之和，则由条件得
B1
y B
年 人口（亿）
年 人口（亿）
1908 3.0 1982 10.3
1933 4.7 1990 11.3
1953 6.0 2000 12.95
1964 7.2
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认识人口数量变化的规律，建立合适的人口模型，作 出准确的预报，是有效控制人口增长的前提。
下面介绍两个基本的人口模型，并利用表1给出的近 两个世纪的美国人口统计数据（单位：百万）对模型作 出检验，最后用它预报2010年美国的人口。
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第三节 数学模型的例子
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一、椅子放稳问题 问题 一个有四个脚的方凳能否在地上放稳，如能 的话，给出具体的方法。 假设1 椅子的四个脚是等长的并且四个脚正好位于一 个四方形的顶点上； 假设2 地面是一张连续变化的曲面； 假设3 在任一时刻。椅子至少有三只脚落地。
dx dt
r
x
x,
x 0 x 0
⑸
其中r x 是 x 的减函数。进一步假定，设 r x 是 x 的线
性函数，即
rx r s x(r ,s 0 )
⑹
这里r 称为固有增长率。引入 x ，称为人口容量，即
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当 x x 时，人口不再增长，即rx0,代入⑹式
得s r , 于是⑹式为
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3
模型：指为了某个特定的目的将原型的一部分信息简 缩、提炼而构成的原型替代物。
尤其要说明的是：模型不是原型原封不动的复制品。 原型有各个方面和各个层次的特征，而模型只要求与某 种目的有关的那些方面和层次。
模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。
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一、形象模型
根据某种物体的实际大小，按一定比例制作的模型称 为形象模型。例如汽车模型、建筑模型都是形象模型。 形象模型又称为直观模型。
A1
fg00,2. C C 1
A
o
x
D
D1
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注意到：f,g C 0, 2 ,f0,g0.并且
椅子的四脚落地意味着 fg0.故不妨假设
f00,g00.
则问题归结为是否存在
0
0,
2
,
使得
f0g00.
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解模 由条件对任意 ，有 f0,g0.且
f 20,g20.
1790 3.9 4.2 6.0 1850 23.2 21.7 20.3
1800 5.3 5.5 7.4 1860 31.4 28.6 24.9
1810 7.2 7.2 9.1 1870 38.6 37.6 30.5
1820 9.6 9.5 11.1 1880 50.2 49.5 37.3
1830 12.9 12.5 13.6 1890 62.9 65.1 45.7
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年
人口 年 人口 年 人口 年 人口
1790
3.9 1850 23.2 1910 92.0 1970 204.0
1800
5.3 1860 31.4 1920 106.5 1980 226.5
1810
7.2 1870 38.6 1930 123.2 1990 251.4
1820
9.6 1880 50.2 1940 131.7 2000 281.4
令
h f g ,
则
h
C
0,
2
,
因
h 0 f0 g 0 0 ,
h2f2g20,
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由闭区间连续函数的零点定理知，存在 0
0,
2
,
使得
h0 0.
注意到条件：椅子的四个脚中在同一时刻至少有三脚落
地，即
f0 0 g 0 0 .
所以由 h00，即有
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f0g00.
分析 当人口增长到一定数量后，自然资源、环境条 件等因素对人口的增长会起到一个阻滞作用，并且随着 人口的不断增加，阻滞作用会越来越大。阻滞增长模型 就是基于这个事实，对指数增长模型的基本假设进行修 改后得到的。
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建模 设增长率 r 随人口数量x 的增长而下降，则关
系式⑵可改写成
x
r
x
r
1
x x
.
⑺
把⑺代入方程⑸，得
dx x
d
t
ห้องสมุดไป่ตู้rx 1
x
,
⑻
x
0
x0 ,
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方程⑻右端的因子 r x 体现人口自身的增长趋势，因子
1
x x
则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用。
注意到：x 越大，前一因子越大，而后一因子越小，人
口的增长是两个因子共同作用的结果。
年 人口（亿）
1625 5
1974 40
1830 10
1987 50
1930 20 1999 60
1960 30
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从表中看出，人口每增加十亿的时间，由一百多年缩 短至十二、三年。常此以往，人口问题将严重困扰世界 经济的发展。
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下表是我国在20世纪中人口发展的状况：
数。
200多年前，马尔萨斯基于增长率不变的基础，建立
了著名的人口指数模型。
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建模 记时刻 t 时的人口为 x t ，并视其为连续变量，
初始时 t 0 的人口为x 0 ，从 t 到 t t 时间内人口的
增量为 x ，则有
x x t t x t r x t t .
yrta,
⑷
其中：ylnx.alnx0。
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以1790年到1900年的数据拟合⑷式，可得
r 0 . 2 7 4 3 / 1 0 年 ,x 0 4 . 1 8 8 4 .
以1790年到2000年的全部数据拟合⑷式，可得
r 0 . 2 0 2 2 / 1 0 年 ,x 0 6 . 0 4 5 0 .
1830
12.9 1890 62.9 1950 150.7
1840
17.1 1900 76.0 1960 179.3
表1 美国人口数据统计
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⑴指数增长模型
一个简单的人口模型是指数模型：记今年人口为 x 0 ，
年增长率为 r ，则以后第 k 年的人口为
xk x01rk.
⑴
在上面的问题中，假定人口的增长率 r 是一个不变的常
12
在上面的例中我们看到数学模型的一般意义：
对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目 的，根据特有的内在规律，作出一些必要的假设，运用 适当的数学工具，得到一个数学结构。
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注意：本课程的重点并不是单单介绍现实世界的数学 模型，而主要的是介绍建立数学模型的全部过程和求解 过程。
令t 0,则得到 x t 应满足的微分方程：
dx
d
t
rx
.
⑵
x 0 x 0
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由这个方程容易解得：
xtx0ert.
⑶
当 r 0 时，⑶式表明人口将按指数规律无限增长。故
称为指数增长模型。
参数估计：⑶式中的 r和 x 0 可以用表1中的数据进行
估计。为了利用简单的最小二乘法，将⑶式取对数后得
水航行时有关系
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xy30750,
当船只逆水航行时，有
yx50750,
即有方程组
x y30 750, y x50 750.
上式即为原问题的数学表达式，又称为数学模型。
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容易求出该问题的解：y20,x5。即船速为
20km/h，水速为5km/h。
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建立模型的过程就称为数学建模。
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第二节 数学建模的重要意义
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一、在一般的工程领域中，数学建模仍然大有用武之 地。
二、在高新技术领域中，数学建模几乎是必不可少 的工具。
三、数学迅速进入一些新兴领域，为数学建模开拓 了许多新的处女地。
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四、数学建模在国民经济和社会活动中的具体表现： 1.预报与决策； 2.分析与设计； 3.控制与优化； 4.规划与管理。
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例 甲乙两地相距740km，某船从甲地到乙地顺水需 要30小时，从乙地到甲地逆水需要50小时，问船速、水 速各为多少？
分析：在该问题中，两地之间的距离是已知的，并且 假定在考察问题的时间段中水的流速不变，在这样的假 设之下，我们可以得出问题的解。
求解 设水的流速为 x ，船的行驶速度为y ，则当顺
合的结果，用这个模型基本上能够描述19世纪以前美国
人口的增长情况，但是进入20世纪后，美国人口增长明
显放慢，此时模型不再适合了。
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年 人口
x1 x2 年 人口
x1 x2
1910 92.0
68.4 1970 204.0