D111对弧长曲线积分(代余)

L
L上
L下
2x
2x()
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第二节
第十一章
对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念 与性质
二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系
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一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功.
y L
设一质点受如下变力作用
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练习题
1. 设 C 是由极坐标系下曲线 ra,0及 π4
所围区域的边界, 求
2. 已知椭圆 L: x2 y2 1周长为a , 求 43
(2x y3x24y2)ds
L
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练习题
1. 设 C 是由极坐标系下曲线 ra,0及 π4
所围区域的边界, 求
1 a2 ds 1a22πa
3
3
2 πa3 3
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思考: 例5中 改为
, 如何
计算
Байду номын сангаасX x1
解: 令
Y
y
1
,
则
Z z
:X2 XY2YZZ2a02
(X1)2ds
利用形心公式
2 Xds
2 π a 3 2X2πa 3
圆 的形心
在原点, 故
X0
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A
F ( x ,y ) ( P ( x ,y ) ,Q ( x ,y ))
B x
在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移
动过程中变力所作的功W. 变力沿直线所作的功
解决办法: “大化小”
F
A
WFAB cos
B FAB
“常代变” “近似和” “取极限”
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n
lim f 0k1
(k,k)sk
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设各分点对应参数为
点 (k,k)对应参数为
skttkk 1 2(t)2(t)dt
2 (k ) 2 (k ) tk,
则
n
lim
0
k
f[(k),(k)]
1
注意 2(t)2(t)连续
lim
0
n k 1
n
f[(k )l, im 0(kk 1)f](k,k)sk
解: (x2y2z2)ds
其中 为螺旋
的一段弧.
a2k2 2π[a2k2t2]dt 0
2πa2k2(3 a24π2k2) 3
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例3. 计算
其中 为球面
被平面
所截的圆周.
解: 由对称性可知
x2 ds y2 ds z2 ds
x 2 d s 1 3 (x 2 y 2 z2 )d s
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解: L :yx2(0x 1 )
1
0 x
1
x
14x2dx
0
112(14x2)3210
1 (5 51) 12
上点 O (0,0)
y B(1,1) y x2
L
O
1x
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例2. 计算曲线积分 线
(由
组成)
( l 为曲线弧 的长度)
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二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分
定理:
是定义在光滑曲线弧
上的连续函数, 则曲线积分
且
L f( x ,y ) d s f[( t) ,
( t)] 2 ( t) 2 ( t) d t
证: 根据定义
1) “大化 小”. 把L分成 n 个小弧段, F 沿
所做的功为
则
n
W Wk
k 1
2) “常代变”
y F(k,k)
L
M yk k B
Mxkk1
A
x
有向小弧段
用有向线段
近似代替, 在
上任取一点
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因此
说明:
( 1 ) s k 0 , tk 0 ,因此积分限必须满足 !
(2) 注意到
ds (d x)2(d y)2
y
2(t)2(t)dt
ds dy dx
因此上述计算公式相当于“换元法”. O x x
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如果曲线 L 的方程为
则有
b
y
yx ra
提示: 分段积分
π 4
O y 0 ax
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2. 已知椭圆 L: x2 y2 1周长为a , 求 43
y
3
(2x y3x24y2)ds
L
2 O 2x
提示: 利用对称性 2xyds0 L
原式 = 12 (x2 y2)ds 12 ds 12a
L4 3
L
分析: 2xyds 2xyds 2xyds
(3) dsl ( l 曲线弧 的长度)
(由 1,2组)成
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3. 计算
• 对光滑曲线弧
Lf(x,y)dsf[(t) , (t)]2(t)2(t)dt
• 对光滑曲线弧
f(x,y)ds
b
f
(x,(x))
12(x)dx
L
a
• 对光滑曲线弧
L f (x, y)ds f(r()c o,rs ()sin ) r2()r2()d
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3. 性质
(1 )f(x ,y,z)g(x,y,z)d s f(x,y,z)dsg(x,y,z)ds
（, 为常数)
(2) f(x,y,z)ds 1f(x ,y ,z )d s 2f(x ,y ,z )d s
内容小结
1. 定义 f(x,y)ds L
f(x,y,z)ds
2. 性质
( 1 )f(x ,y ,z )g (x ,y ,z )d s
g(x,y,z)ds(,为常数 )
( 2 ) f( x ,y ,z ) d s 1 f( x ,y ,z ) d s 2 f( x ,y ,z ) d s
f
(x,(x))
a
12(x)dx
如果方程为极坐标形式: L :r r ()()则,
f(r()c o,rs ()s in )r2()r2()d
推广: 设空间曲线弧的参数方程为 : x ( t ) y , ( t ) , z ( t ) ( t )
则 f(x,y,z)ds f((t),(t) ,(t))2 (t) 2 (t) 2 (t)d t
例4. 计算
其中 为球面
x2y2z29 2与平 x面 z1的交 . 线
解: :12(x12)214y21, 化为参数方程 xz1
: yx 2s2cino s1 2 0 2π
则
z1 2 2cos
d s( 2sin)2
( 2sin)2d 2d
I92π2d1π 8 20
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