人教版-数学-八年级上册-整式的基础知识回顾

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人教版八年级上册数学整式的乘除全章课件

17个10 =1017
3个10
通过观察可以发现1014、 103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1014×103的运算叫做
同底数幂的乘法 .
请同学们先根据自己的理解，解答下列各题. 103 ×102 =（10×10×10）×（10×10） = 10（ 5 ） 23 ×22 =（2×2×2）×（2×2）=2×2×2×2×2 =2（ 5 ）
2.计算：（1）23×24×25
（2）y · y2 · y3
【解析】（1）23×24×25=23+4+5=212 （2）y · y2 · y3 = y1+2+3=y6
3.计算:（-a）2×a4
【解析】原式 = a2×a4 =a6
（-2）3×22 原式 = -23 ×22
= -25
当底数互为相反数时，先化为同底数形式.
（an）3·（bm）3·b3=a9b15 a3n ·b3m·b3=a9b15 a3n ·b3m+3=a9b15 3n=9，3m+3=15
n=3,m=4.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
积的乘方法则 (ab)n =anbn （n为正整数）积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.am·an =am+n(m、n都是正整数) 2.am·an·ap = am+n+p （m、n、p都是正整数）
14.1.2 幂的乘方
1.经历探索幂的乘方运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力. 2.了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.
【解析】xm·x2m= x3m =2 x9m =(x3m)3 = 23 =8 6.若a3n=3，求（a3n）4的值.

整式的乘法(6大知识点15类题型)(知识梳理与题型分类讲解)(人教版)(教师版25学年八年级数学上册

专题14.3整式的乘法（6大知识点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解）第一部分【知识点归纳与题型目录】【知识点1】同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm na a a -÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）【要点提示】（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.【知识点2】单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.【要点提示】（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.【知识点3】单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.【要点提示】（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质利用乘法分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.【知识点4】多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.【要点提示】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.知识点与题型目录【知识点一】同底数幂的除法【题型1】同底数幂的除法运算及逆运算.........................................3;【知识点二】单项式相乘【题型2】单项式相乘.........................................................4;【题型3】利用单项式相乘求字母或代数式的值...................................5;【知识点三】单项式乘以多项式【题型4】单项式乘以多项式的运算与求值.......................................7;【题型5】单项式乘以多项式的应用.............................................8;【题型6】利用单项式乘以多项式求字母的值....................................10;【知识点四】多项式相乘【题型7】计算多项式乘以多项式..............................................11;【题型8】计算多项式乘以多项式化简求值......................................12;【题型9】（x+p）（x+q)型多项式相乘.........................................14;【题型10】整式乘法中的不含某个字母问题.....................................15;【题型11】多项式相乘中的几何问题...........................................16;【知识点五】多项式除以单项式【题型12】多项式除以单项式.................................................18;【知识点六】多项式除以单项式【题型13】整式乘法混合运算.................................................19;【直通中考与拓展延伸】【题型14】直通中考.........................................................21;【题型15】拓展延伸.........................................................22.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】同底数的除法运算及逆运算【例1】（23-24八年级上·天津滨海新·期末）计算：()()23432253339xy x x y xy x y ⎡⎤-÷⎢⎥⎦⋅-⋅⎣．【答案】523y y -【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，先算乘方，再算乘法，最后算除法即可．解：()()23432253339xyx x y xy x y ⎡⎤-÷⎢⎥⎦⋅-⋅⎣()2832233539279x y x x y x y x y =⋅-⋅÷()5855539279x y x y x y ÷=-523y y =-．【变式1】（22-23七年级下·广东深圳·阶段练习）若4m a =，8n a =，则32m n a -的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】B【分析】本题考查了逆用同底数幂除法法则和幂的乘方的运算法则，先逆用同底数幂除法法则、然后再运用幂的乘方的运算法则将32m n a -化成含有m a 和n a 的形式，然后代入即可解答．解：()()32323232481m n m n m n a a a a a -=÷=÷=÷=，故选：B ．【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知2320x y --=，则()()231010x y ÷=．【答案】100【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂除法计算，先根据题意得到232x y -=，再根据幂的乘方计算和同底数幂除法计算法则得到()()2323101010x y x y -÷=，据此求解即可．解：∵2320x y --=，∴232x y -=∴()()231010x y ÷231010x y =÷2310x y -=210=100=，故答案为：100．【题型2】单项式相乘【例2】（22-23八年级上·福建厦门·期中）计算：(1)()2243623a a a a ⋅+-；(2)()()23225x x y -⋅-【答案】(1)0；(2)820x y-【分析】本题考查了单项式乘以单项式，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，熟练掌握公式是解题的关键．（1）根据单项式乘以单项式，幂的乘方，合并同类项解答即可．（2）根据积的乘方，单项式乘以单项式解答即可．解：（1）()2243623a a a a ⋅+-66623a a a =+-0=．（2）()()23225x x y -⋅-()6245x x y=⋅-820x y =-．【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算()222133x y xy ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的结果为（）A ．45x y -B ．4513x y C ．3213x y -D ．4513x y -【答案】D【分析】本题考查整混合运算，熟练掌握幂的乘方和积的乘方法则、单项式乘以单项式法则是解题的关键．先计算乘方，再计算运用单项式乘以单项式法则计算即可．解：()222133x y xy ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭()224139x y x y =-⋅4513x y =-，故选：D ．【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算：()()3222324623418ab a b a b a b -⋅+⋅=．【答案】0【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以单项式，合并同类项，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可．解：()()3222324623418ab a b a b a b -⋅+⋅3642788972a b a b a b =-⋅+78787272a b a b =-+0=，故答案为：0．【题型3】利用单项式相乘求字母或代数式的值【例3】（22-23七年级下·广东梅州·期中）先化简，后求值：2332223141644x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫⋅-+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0.4x =，2.5y =-．【答案】7533944x y x y -，16325【分析】此题考查了整式的混合运算，首先根据积的乘方和单项式乘以单项式运算法则化简，然后代入求解即可，解题的关键掌握运算法则．解：2332223141644x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫⋅-+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()33423394416x y x y x y +-⋅=7533944x y x y =-当20.45x ==，52.52y =-=-时，原式753349252545252⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-3757592525445252⎛⎫=-⨯⨯-⨯-⨯ ⎪⎝⎭9425=-+16325=．【变式1】（2024·陕西榆林·三模）已知单项式24xy 与313x y -的积为3n mx y ，则m ，n 的值为（）A ．43m =-，4n =B ．12=-m ，2n =-C ．43m =-，3n =D ．12=-m ，3n =【答案】A【分析】此题考查了单项式的乘法运算，按照单项式乘单项式计算单项24xy 与313x y -的积，再根据单项式24xy 与313x y -的积为3n mx y ，即可求得答案．解：∵234314433xy x y x y ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，单项式24xy 与313x y -的积为3n mx y ，∴43m =-，4n =，故选：A ．【变式2】（23-24七年级下·全国·假期作业）若()()1221253m n n n a b a b a b ++-⋅=，则m n +的值为．【答案】143/243【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到1212253m n n n a b a b ++-++=，据此可得25323m n n +=⎧⎨+=⎩，解之即可得到答案．解：∵()()1221253m n n nababa b++-⋅=，∴1212253m n n n a b a b ++-++=，∴25323m n n +=⎧⎨+=⎩，∴13313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴143m n +=，故答案为：143．【题型4】单项式乘以多项式的运算与求值【例4】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）先化简，再求值：()()223243234a a a a a -+-+，其中1a =-．【答案】2209a a -+，29-【分析】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．先根据单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，即可化简，然后把1a =-代入化简式计算即可．解：()()223243234a a a a a -+-+，3232612968a a a a a =-+--，2209a a =-+．当1a =-时，原式()()22019129=-⨯-+⨯-=-．【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）计算132xy x y ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的结果是（）A ．223x y xy +B ．22332x y xy --C ．22332x y xy -+D ．22132x y xy -+【答案】C【分析】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．解：132xy x y ⎛⎫-⋅-⎪⎝⎭22332x y xy =-+．故选：C ．【变式2】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）若220240a a +-=，代数式()()220241a a -+的值是．【答案】2024-【分析】此题考查了代数式的值，整体代入是解题的关键．首先根据220240a a +-=，可得22024a a -=-，把22024a a -=-代入()()220241a a -+，然后把22024a a +=代入化简后的算式计算即可．解：∵220240a a +-=，∴22024a a -=-，∴()()220241a a -+()1a a =-+()2a a =-+．∵220240a a +-=，∴22024a a +=，∴原式()2a a =-+2024=-．故答案为：2024-．【题型5】单项式乘以多项式的应用【例5】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）小红的爸爸将一块长为322455a b ⎛⎫+⎪⎝⎭分米、宽55a 分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为412a 分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子．(1)用含a ，b 的整式表示盒子的外表面积；(2)若1a =，0.2b =，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？【答案】(1)8522325a a b +（平方分米）；(2)360元【分析】此题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；（2）把a 与b 的值代入计算，再根据每平方分米喷漆价格为15元，求出喷漆的费用即可．解：（1）根据题意得：2325424155452a b a a ⎛⎫⎛⎫+⋅-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭85282425a a b a =+-8522325a a b =+（平方分米）∴盒子的外表面积为()8522325a a b +平方分米；（2）当1a =，0.2b =时，85285223252312510.224a a b +=⨯+⨯⨯=（平方分米）则喷漆的费用为1524360⨯=（元）．答：喷漆共需要360元．【变式1】（23-24七年级下·山东菏泽·期中）某同学在计算一个多项式乘24x 时，因抄错运算符号，算成了加上24x ，得到的结果是2321x x +-，那么正确的计算结果是（）A ．432484x x x -+-B ．432484x x x +-C ．43244x x x -+-D ．432484x x x --【答案】A【分析】设这个多项式为M ，根据题意可得221M x x =-+-，最后利用单项式乘以多项式的运算法则即可解答．本题考查了整式的加减运算法则，单项式乘以多项式的运算法则，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．解：设这个多项式为M ，∵计算一个多项式乘24x 时，因抄错运算符号，算成了加上24x ，得到的结果是2321x x +-，∴224321M x x x +=+-，∴222321421M x x x x x =+--=-+-，∴正确的结果为()()22432214484x x x x x x -+-=-+-，故选A ．【变式2】（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）已知：2210x x --=，则352020x x -+=．【答案】2022【分析】本题考查了整式的乘法的应用，熟练掌握求高次式子时的思路：降次是解题的关键．将2210x x --=变形为221x x =+，利用降次的思想求352020x x -+即可．解：∵2210x x --=，∴221x x =+，∴352020x x -+252020x x x =⋅-+()2152020x x x =+-+2252020x x x =+-+()22142020x x =+-+2022=故答案为：2022．【题型6】利用单项式乘以多项式求字母的值【例6】（21-22七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知x （x ﹣m ）+n （x +m ）＝2x +5x ﹣6对任意数都成立，求m （n ﹣1）+n （m +1）的值．【答案】-7【分析】把x （x ﹣m ）+n （x +m ）去括号、合并同类项，然后根据与2x +5x -6对应项的系数相同，即可求得m 、n 的值，然后代入求值即可．解：x （x ﹣m ）+n （x +m ）＝2x ﹣mx +nx +mn ＝2x +（n ﹣m ）x +mn ，∴56n m mn -=⎧⎨=-⎩，则m （n ﹣1）+n （m +1）＝n ﹣m +2mn ＝5﹣12＝﹣7．【点拨】此题考查单项式乘多项式和代数式求值，解题关键在于掌握运算法则．【变式1】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若()24x ax x x +=+，则a 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】C【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的计算法则求出()4x x +的结果即可得到答案．解：∵()24x ax x x +=+，∴224x ax x x +=+，∴4a =，故选：C ．【变式2】（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）要使()32412x x ax x -+++中不含有x 的四次项，则a =．【答案】2【分析】本题主要考查了多项式的混合运算．先算乘法，再合并，然后根据原多项式中不含有x 的四次项，可得20a -=，即可求解．解：()32412xxax x -+++45432x x a x x --+=-()4352x x a x =-+--，∵()32412xxax x -+++中不含有x 的四次项，∴20a -=，∴2a =．故答案为：2【题型7】计算多项式乘以多项式【例7】（24-25八年级上·全国·单元测试）计算：(1)()()()222323x x x x +---+；(2)22(1)(1)x x x x ++-+；(3)2(1)(2)(2)x x x x +-++【答案】(1)312x -；(2)421x x ++；(3)4244x x x ---.【分析】本题考查了多项式的乘法：（1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可；（2）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可；（3）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可．解：（1）()()()222323x x x x +---+222436226x x x x x =+---+-312x =-．（2）22(1)(1)x x x x ++-+4323221x x x x x x x x =-++-++-+421x x =++．（3）2(1)(2)(2)x x x x +-++22(2)(2)x x x x =--++43232222224x x x x x x x x =++------4244x x x =---．【变式1】（22-23七年级下·甘肃张掖·期中）下列计算正确的是（）A ．()()324242ab ab a b ⋅-=B ．()()22356m m m m +-=--C ．()()245920y y y y +-=+-D ．()()21454x x x x ++=++【答案】D【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．解：A 、()()324248ab ab a b =-⋅-，原式计算错误，不符合题意；B 、()()22233266m m m m m m m +-=-+-=--，原式计算错误，不符合题意；C 、()()2245452020y y y y y y y +-==-+---，原式计算错误，不符合题意；D 、()()22144454x x x x x x x ++=+++=++，原式计算正确，符合题意；故选：D ．【变式2】（22-23七年级下·山东菏泽·期中）如果()()()()32912x x x x ---+-=，那么x 的值是．【答案】1【分析】本题考查了多项式乘以多项式，以及解一元一次方程，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．根据多项式乘以多项式的法则进行计算，然后解一元一次方程即可．解：()()()()3291x x x x ---+-22236(99)x x x x x x =--+--+-1315x =-+∴13152x -+=，解得1x =，故答案为：1．【题型8】计算多项式乘以多项式化简求值【例8】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）先化简，再求值：()()()222112a a a a a a +--+-，其中3a =-．【答案】2-a a ，12【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据单项式乘以多项式的计算法则，多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．解：()()()222112a a a a a a +--+-()3232222222a a a a a a a =+--+--3232222222a a a a a a a=+---++2a a =-，当3a =-时，原式()()2339312=---=+=．【变式1】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）我们规定a b ad bc cd=-，例如121423234=⨯-⨯=-，已知2523m n nm n m n+=-+-，则代数式2261m n --的值是（）A ．4B ．5C ．8D ．9【答案】D【分析】本题主要查了整式的混合运算．根据新定义可得()()()2235m n m n n m n +---+=，从而得到235m n -=，再代入，即可求解．解：根据题意得：()()()2235m n m n n m n +---+=，∴22222235m mn mn n mn n n +---+-=，即235m n -=，∴()22232610m n m n -=-=，∴22611019m n --=-=．故选：D【变式2】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知235a ab +=，则2()(2)2a b a b b ++-的值为．【答案】5【分析】本题考查整式的化简求值，把要求的式子展开化简后，利用整体思想求值即可．解：∵235a ab +=，∴22222()(2)222235a b a b b a ab ab b b a ab ++-=+++-=+=．故答案为：5．【题型9】（x+p）（x+q)型多项式相乘【例9】（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）先化简，再求值：()()()()()23333442x x x x x +-++---，其中2x =．【答案】1361x -，35-【分析】本题考查了整式的化简求值．熟练掌握平方差公式，完全平方公式，多顶式乘多项式法则，是解题的关键．先根据平方差公式，完全平方公式，多顶式乘多项式法则展开，合并同类项化简，最后将字母的值代入求解即可．解：()()()()()23333442x x x x x +-++---()()2229312444x x x x x =-+----+2229333641616x x x x x =-+---+-1361x =-，当2x =时，原式1326135=⨯-=-．【变式1】（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）若()()2315x x n x mx ++=+-，则mn 的值为（）A ．5-B ．5C ．10D ．10-【答案】C【分析】此题考查了多项式的乘法，根据多项式的乘法法则展开对比得到3,315n m n +==-，求出m 、n 的值，即可得到答案.解：∵()()()2333x x n x n x n ++=+++，()()2315x x n x mx ++=+-，∴3,315n m n +==-，解得2,5m n =-=-∴()()2510mn =-⨯-=，故选：C【变式2】（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）若()()228x m x x nx +-=+-，则2m n +=．【答案】8【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则，将等式左边展开，进而求出,m n 的值，进一步求出代数式的值即可．解：()()()222228x m x x m x m x nx +-=+--=+-，∴2,28m n m -==，∴4,2m n ==，∴24228m n +=+⨯=；故答案为：8．【题型10】整式乘法中的不含某个字母问题【例10】（22-23七年级下·四川达州·期中）已知代数式()22mx x +与()232x nx ++积是一个关于x 的三次多项式，且化简后含2x 项的系数为1，求m 和n 的值．【答案】0m =，16n =【分析】此题考查了多项式乘多项式的计算能力，运用多项式乘多项式的运算法则进行求解即可．解：()()22232mx x x nx +++4323232264mx mnx mx x nx x=+++++()()43232264mx mn x m n x x =+++++，由题意得，0m =，261m n +=，解得0m =，16n =．【变式1】（23-24七年级下·全国·期中）已知多项式x a -与221x x +-的乘积中2x 的项系数与x 的项系数之和为4，则常数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】A【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则得()()()()23221212x a x x x a x a x a -+-=+--++，然后根据“乘积中2x 的项系数与x 的项系数之和为4”，据此得到()()2124a a --+=，解此方程即可求出a ．解：()()221x a x x -+-32222x x x ax ax a=+---+()()32212x a x a x a =+--++，乘积中2x 的项系数与x 的项系数之和为4，∴()()2124a a --+=，∴1a =-，故答案为：A ．【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）若()()23x m x x n +-+的积中不含2x x 、项，则m =，n =．【答案】39【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出()()23x m x x n +-+的结果，再根据乘积中不含2x x 、项，即含2x x 、项的系数为0进行求解即可．解：()()23x m x x n +-+32233x x nx mx mx mn =-++-+()()3233x m x n m x mn =+-+-+，∵()()23x m x x n +-+的积中不含2x x 、项，∴3030m n m -=-=，，∴39m n ==，，故答案为：3；9．【题型11】多项式相乘中的几何问题【例11】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）学校需要设计一处长方形文化景观，分为中央雕塑区和四周绿化区．中央雕塑区的长边为（33m -）米，短边为2m 米，绿化区外边沿的长边为（42m -）米，短边为（31m -）米．试比较雕塑区和绿化区的面积大小．（m 为正数）【答案】绿化区面积大于雕塑区面积．【分析】本题考查的是多项式的乘法运算与图形面积，先分别列式计算绿化区面积，雕塑区面积，再作差比较大小即可．解：绿化区面积为()()()4231233m m m m ----221246266m m m m m =--+-+2642m m =-+．雕塑区面积为()223366m m m m -=-．因为()()226426622m m m m m -+--=+，由m 为正数，所以得220m +>，即2264266m m m m -+>-，所以，绿化区面积大于雕塑区面积．【变式1】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）下面四个整式中，不能．．表示图中阴影部分面积的是（）A ．(4)(3)3x x x ++-B ．24(3)x x ++C ．24x x +D ．(4)12x x ++【答案】C【分析】本题主要考查整式与图形，根据题意，结合图形，分别判断得到答案即可．解：A ．图中阴影部分面积用整个长方形的面积-空白部分的面积，即(4)(3)3x x x ++-，故该选项不符合题意；B ．图中阴影部分面积用右边阴影部分长方形的面积+左边阴影部分正方形的面积，即24(3)x x ++，故该选项不符合题意；C ．24x x +只有左边阴影部分正方形的面积+右边上面阴影部分长方形的面积，缺少右边下面长方形的面积，故该选项符合题意；D ．图中阴影部分面积用上面阴影长方形的面积+右边下面长方形的面积，即(4)12x x ++故该选项不符合题意；故选：C ．【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）有若干张如图所示的正方形A 类、B 类卡片和长方形C 类卡片．如果要拼成一个长为()2a b +，宽为()32a b +的大长方形，那么需要C 类卡片张．【答案】7【分析】本题考查了多项式乘以多项式，计算出长为()2a b +，宽为()32a b +的大长方形的面积以及A 类、B 类卡片和长方形C 类卡片的面积，即可得出答案．解：长为()2a b +，宽为()32a b +的大长方形的面积为()()22222326432672a b a b a ab ab b a ab b ++=+++=++，A 类卡片的面积为：2a ，B 类卡片的面积为：2b ，C 类卡片的面积为：ab ，∴要拼成一个长为()2a b +，宽为()32a b +的大长方形，需要6块A 类卡片，2块B 类卡片，7块C 类卡片，故答案为：7．【题型12】多项式除以单项式【例12】（22-23七年级下·宁夏银川·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，2211322xy x y xy xy ⨯=-+(1)求所捂的多项式；(2)若2132x y ==，，求所捂多项式的值．【答案】(1)621x y -+;(2)4.【分析】本题主要考查了代数式求值，多项式除以单项式：（1）根据乘除法互为逆运算，只需要计算出2211322x y xy xy xy ⎛⎫⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果即可得到答案；（2）把2132x y ==，代入（1）所求结果中计算求解即可．解：（1）2211322x y xy xy xy ⎛⎫⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭621x y =-+，∴所捂的多项式为621x y -+；（2）当2132x y ==，时，21621621411432x y -+=⨯-⨯=-+=．【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）若22233241216m x y x y x y ⨯=-，则m =（）A ．43x y -B ．43x y-+C ．43x y+D ．43x y--【答案】B【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据一个因数等于积除以另一个因数，即可解答．解：∵22233241216m x y x y x y ⨯=-，∴()233222121643443m x y x y x y y x x y =-÷=-=-+，故选：B ．【变式2】（22-23七年级下·浙江温州·期末）若223615xy A x y xy =- ，则A 代表的整式是．【答案】25x y-【分析】本题考查的是多项式除以单项式，多项式除以单项式的运算法则的实质是把多项式除以单项式的的运算转化为单项式的除法运算．根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．解：()226153A x y xy xy-÷=2263153x y xy xy xy=÷-÷25x y =-．故答案为：25x y -．【题型13】整式乘法混合运算【例13】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）先化简，再求值：(1)()()()()22224x y x y x y x x y -+-+--，其中1x =-，2y =．(2)已知2210x x +-=，求代数式()()()()21433x x x x x ++++-+的值．【答案】(1)2243x y +；16;(2)5-.【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．（1）先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可；（2）先根据整式混合运算法则进行化简，然后再整体代入进行计算即可．解：（1）()()()()22224x y x y x y x x y-+-+--222224444x xy y x y x xy =-++--+2243x y =+，当1x =-，2y =时，原式()224132=⨯-+⨯412=+16=．（2）()()()()21433x x x x x ++++-+2222149x x x x x =+++++-2368x x =+-，∵2210x x +-=，∴221x x +=，∴原式()2328x x =+-318=⨯-38=-=5-．【变式1】（21-22六年级下·全国·单元测试）等式()()324322xyz x y z y ⎡⎤÷-⋅=⎣⎦中的括号内应填入（）A ．6538x y z B ．228x y zC ．222x y zD ．222x y z±【答案】C【分析】运用整式的乘法运算法则、乘除法互为逆运算及幂的运算法则求解．解：由原式，得()()32432224366322322428(2)y xyz x y z y x y z x y z x y z x y z ⎡⎤=⋅-⋅=⋅⋅==⎣⎦∴括号中式子应为222x y z ．故选C ．【点拨】本题主要考查整式的乘法运算、乘除法互为逆运算、幂的运算法则等知识；能够运算乘、除法互为逆运算的性质，对原等式进行变形是解题关键．【变式2】（2024·福建厦门·二模）已知11x x-=-，则()()22131x x x +-+的值为．【答案】2【分析】本题考查整式的混合运算、代数式求值，熟练掌握运算法则，利用整体代入思想求解是解答的关键．先根据11x x -=-得出21x x +=，然后利用完全平方公式、单项式乘多项式化简原式，再整体代值求解即可．解：∵11x x-=-，∴21x x +=，()()22131x x x +-+2244133x x x x=++--21x x =++11=+2=．第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型14】直通中考【例1】（2024·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（）A ．223a a a +=B ．523a a a ÷=C ．235()a a a -⋅=-D ．()23622a a =【答案】B【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方逐项运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．解：A 、23a a a +=，该选项错误，不合题意；B 、523a a a ÷=，该选项正确，符合题意；C 、235()a a a -⋅=，该选项错误，不合题意；D 、()23624a a =，该选项错误，不合题意；故选：B ．【例2】（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，7()a b +展开的多项式中各项系数之和为．【答案】128【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．解：根据题意得：()5a b +展开后系数为：1,5,10,10,5,1，系数和：515101051322+++++==，()6a b +展开后系数为：1,6,15,20,15,6,1，系数和：61615201561642++++++==，()7a b +展开后系数为：1,7,21,35,35,21,7,1，系数和：71721353521711282+++++++==，故答案为：128．【点拨】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律．【题型15】拓展延伸【例1】（23-24八年级上·四川眉山·期中）观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-；…根据规律计算：202220212020201943222222222-+-+⋯⋯+-+-的值是（）A ．2023223-B ．202321-C ．20232-【答案】A 【分析】根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为()()12321111n n n n x x x x x x x x --+-+++++++=- ，利用规律，当2x =-，2022n =时，代入其中即可求解．本题考查了平方差公式、及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规律解决问题．解：由2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-；…观察发现：()()12321111n n n n x x x x x x x x --+-+++++++=- ，当2x =-，2022n =时，得202220212020201943220232122222222121()()()---+-+-+-+=-- ，∴2023202320232022202120202019432212121222222221333()----+-+-+-+-+===-- ，∴202320232022202120202019432212222222222133+--+-+-+-=-= ．故选：A ．【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）按如图所示的程序进行计算，如果第一次输入x 的值是3-，则第2024次计算后输出的结果为．【答案】8-【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，代数式求值，仔细计算，观察出即从第2次开始，以5-、8-、3-为一个循环组循环出现，是解题的关键．总结规律后结合202436742÷=⋅⋅⋅，即可得到答案．解：第1次输出的结果为：()33191522⨯----==-；第2次输出的结果为：()351151822⨯----==-；第3次输出的结果为：8232-+=-；第4次输出的结果为：()33191522⨯----==-；第5次输出的结果为：()351151822⨯----==-；第6次输出的结果为：8232-+=-…，则从第1次输出开始，以5-、8-、3-为一个循环组循环出现，∵202436742÷=⋅⋅⋅，∴第2024次输出的结果为8-．故答案为：8-．。

数学人教版八年级上册第14章整式的乘法与因式分解小结与(教案)

其次，因式分解这一部分，学生对于提公因式法、平方差公式法、十字相乘法等方法的应用还不够熟练。他们有时候不能迅速判断出应该采用哪种方法来分解因式。我觉得在这方面，我需要通过更多的例题和练习，帮助学生总结规律，提高他们解决问题的能力。
此外，在新课讲授过程中，我尽量以生动的语言和实际案例来讲解，让学生能够更好地理解和接受。但从学生的反馈来看，我觉得还可以尝试更多有趣的授课方式，比如运用多媒体教学、实物演示等，以提高学生的学习兴趣。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解整式的乘法与因式分解的基本概念。整式的乘法是指将两个或多个整式相乘，它是代数运算的基达式中有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将一个复杂的整式通过因式分解简化，以及它在实际中的应用。
在实践活动和小组讨论环节，学生们表现得相当积极，能够主动参与到讨论和实验操作中。但我也注意到，有些学生在小组讨论中发言不够积极，可能是因为他们对问题不够了解或者缺乏自信。针对这个问题，我打算在今后的教学中多关注这些学生，鼓励他们大胆发言，增强他们的自信心。
最后，通过这节课的教学，我意识到教学反思的重要性。在今后的教学中，我会更加关注学生的学习情况，及时发现并解决他们在学习中遇到的问题。同时，我也会不断调整和改进教学方法，努力提高教学质量，让每个学生都能在数学课堂上有所收获。
6.简单的分组分解法及应用；
二、核心素养目标
本节课旨在培养学生的以下核心素养：
1.掌握整式乘法与因式分解的基本法则，提高学生的数学运算能力；
2.通过运用完全平方公式、平方差公式等，培养学生的逻辑思维能力和数学建模素养；
3.能够灵活运用提公因式法、十字相乘法等分解因式，提升学生的问题解决能力和创新意识；

初中数学八年级上册第十五章《整式的乘除与因式分解》简介

新课标人教版初中数学八年级上册第十五章《整式的乘除与因式分解》简介人教版《义务教育课程标准实验教科书?数学》第十五章是“整式的乘除与因式分解”。

本章的主要内容是整式的乘除运算、乘法公式以及因式分解。

本章内容建立在已经学习了的有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上。

整式的乘除运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要意义，同时，这些知识也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识.本章共安排了4个小节，教学时间约需13课时（供参考）：15.1 整式的乘法4课时15.2 乘法公式2课时15.3 整式的除法2课时15.4 因式分解3课时数学活动小结2课时一、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图（二）教科书内容本章共包括4节15.1 整式的乘法整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分。

本节分为四个小节，主要内容是整式的乘法，这些内容是在学生掌握了有理数运算、整式加减运算等知识的基础上学习的。

其中，幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础，教科书把它们依次安排在前三个小节中，教学中应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义。

在学生掌握了幂的运算性质后，作为它们的一个直接应用，教科书在第四小节安排一般整式乘法的教学内容。

首先是单项式与单项式相乘，由于进行单项式与多项式、多项式与多项式相乘的前提是熟练地进行单项式与单项式相乘，因此，对于单项式与单项式相乘的教学应该予以充分重视。

在学生掌握了单项式与单项式相乘的基础上，教科书利用分配律等进一步引入单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，这样使整式乘法运算的教学从简到繁，由易到难，层层递进。

15.2乘法公式本节分为两个小节，分别介绍平方差公式与完全平方公式。

乘法公式是整式乘法的特殊情形，是在学习了一般的整式乘法知识的基础上学习的，运用乘法公式能简化一些特定类型的整式相乘的运算问题，教科书在本节开始首先指出了这一点。

人教版八年级数学上册整式的乘法与因式分解全章复习

例已知10m=5，10n=3，求102m+3n的值.
解： 102m+3n=102m·103n =(10m)2·(10n)3.
将10m=5，10n=3代入，原式=52×33=25×27=675.
巩固练习
计算: 0.12516 817.
分析： (ab)n=anbn 逆用：anbn=(ab)n
a2 b2 a b2
a+b，a-b，
①+②，(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2) ab，a2+b2，
知二求二.
巩固练习
已知长方形ABCD的周长为20，面积为28，求分别以
长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？
分析：
2x y
xy 28
20， xxyy2810.
x2 y2 x y2 2xy
例判断下面的计算对不对？如果不对，
（2）amn=(am)n(m，n都是正整数)；
幂的运算性质（2）(am)n=amn(m，n都是正整数)；
(am)n=amn
102m+3n=102m·103n
a a =a （1）am+n=am·an(m，n都是正整数)；
求 x*(x+2y).
m.
n
m+n
(a ) =a =2x(x+2y)-(x+2y)2
2.求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差正确：a10÷a2=a10-2=a8.
例若定义一种新运算，a*b=2ab-b2，
应该怎样改正？
(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
同学们，再见！
使用法则时，要明确法则和具体内容.

人教版八年级数学上册整式的乘法与因式分解知识点总结及同步练习

整式乘除与因式分解一．知识点（重点） 1．幂的运算性质：a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．例：(－2a )2(－3a 2)3 2．()nm a ＝ a mn （m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．例： (－a 5)53．()n n nb a ab = （n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．例：(－a 2b )3 练习：（1）y x x 2325⋅ （2）)4(32b ab -⋅- （3）a ab 23⋅（4）222z y yz ⋅ （5）)4()2(232xy y x -⋅ （6）22253)(631ac c b a b a -⋅⋅4．nm a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）同底数幂相除，底数不变，指数相减．例：（1）x 8÷x 2 （2）a 4÷a （3）（a b ）5÷（a b ）2（4）（-a ）7÷（-a ）5 （5） (-b ) 5÷(-b )25．零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．例：若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件？6．负指数幂的概念：a －p ＝pa 1 （a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数．也可表示为：ppn m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数）7．单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例：（1）223123abc abc b a ⋅⋅ （2）4233)2()21(n m n m -⋅-8．单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．例：（1）)35(222b a ab ab + （2）ab ab ab 21)232(2⋅-（3）)32()5(-22n m n n m -+⋅ （4）xyz z xy z y x ⋅++)(23229．多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．例：（1）)6.0(1x x --）（（2）))(2(y x y x -+ （3）2)2n m +-（练习：1．计算2x 3·(－2xy)(－12xy) 3的结果是2．(3×10 8)×(－4×10 4)＝3．若n 为正整数，且x 2n ＝3，则(3x 3n ) 2的值为 4．如果(a n b ·ab m ) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是5．－[－a 2(2a 3－a)]＝6．(－4x 2＋6x －8)·(－12x 2)＝ 7．2n(－1＋3mn 2)＝8．若k(2k －5)＋2k(1－k)＝32，则k ＝ 9．(－3x 2)＋(2x －3y)(2x －5y)－3y(4x －5y)＝10．在(ax 2＋bx －3)(x 2－12x ＋8)的结果中不含x 3和x 项，则a ＝，b ＝11．一个长方体的长为(a ＋4)cm ，宽为(a －3)cm ，高为(a ＋5)cm ，则它的表面积为，体积为。

人教版八年级数学上册课件：14章整式的乘法与因式分解--知识点复习 (共53张PPT)

A.(6a3+3a2)÷
1 2
a=12a2+6a
B.(6a3-4a2+2a)÷2a=3a2-2a
C.(9a7-3a3)÷(﹣
1 3
a3)=﹣27a4+9
C.( 14a2+a)÷(﹣12a)=﹣12 a-2
5.一个多项式与﹣2x2的积为﹣2x5+4x3﹣x2，则这个多项式
为
.
6.计算：⑴
(9x2y-6xy2)÷3xy;
2.已知M＝ a-1，N＝a2- a(a为任意实数)，则M，N的
大小关系为( A ) A. M＜N B. M=N C. M＞N D.不能确定
3.若x2+y2+ =2x+y，则y-x= .
3、am﹣n=am ÷ an(a≠0,m,n都
是正整数，并且m＞n).
10
知识点一：幂的运算性质
巩固练习
1.(易错题)若(1-x)1-3x＝1，则x的取值有（ C ）个.
A.0 B.1 C.2 D.3 4
2.若3x＝4，9y＝7，则3x-2y的值为 7 . 3.已知am＝3，an＝2，则a2m-n的值为 4.5 .
为( B ) A M<N
B M＞N
C M=N D.不能确定
10.计算：(1)(x+1)(x+4)； (2)(y-5)(y-6)； (3)(m-3)(m+4)
(x+p)(x+q)
18
知识点二：整式的运算
知识回顾
单项式的除法法则：系数、同底数幂分别相除只在被除式里含有的字母
19Βιβλιοθήκη 知识点二：整式的运算2
重点难点
重点:运用整式的乘法法则和除法法则进行运算;因式分解. 难点:应用整式的乘法和因式分解决问题.

人教版八年级上册数学《整式的乘法》整式的乘法与因式分解说课研讨复习教学课件拔高

例
计算：
(1)28x4y2 ÷7x3y；
解:(1)原式=(28 ÷7)x4–3y2–1
(2)–5a5b3c ÷15a4b.
(2)原式=(–5÷15)a5–4b3–1c
=4xy；
= –
1
2c.
ab
3
多项式除以单项式要按照法则逐项进行，不得
漏项，并且要注意符号的变化.
巩固练习
下列计算错在哪里？怎样改正？
计算．
巩固练习
计算：
(1)(–xy)13÷(–xy)8；
(2)(x–2y)3÷(2y–x)2；
(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2.
解：(1)原式＝(–xy)13–8＝(–xy)5＝–x5y5；
(2)原式＝(x–2y)3÷(x–2y)2＝x–2y；
(3)原式＝(a2＋1)6–4–2＝(a2＋1)0＝1.
探究新知
单项式除以单项式的法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的
因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作
为商的一个因式.
理解
商式＝系数 • 同底的幂 • 被除式里单独有的幂
被除式的系数
除式的系数
底数不变，
指数相减.
保留在商里
作为因式.
探究新知
素养考点 3 单项式除法以单项式法则的应用
探究新知
素养考点 2
同底数幂除法法则的逆运用
例2 已知am＝12，an＝2，a＝3，求am–n–1的值．
解：∵am＝12，an＝2，a＝3，
∴am–n–1＝am÷an÷a＝12÷2÷3＝2.
方法总结：解此题的关键是逆用同底数幂的除法，对am–n–1进
行变形，再代入数值进行计算．

人教版八年级上册数学课本知识点归纳

人教版八年级上册数学课本知识点归纳第十五章：整式的乘除与因式分解一、整式的乘法1.同底数幂的乘法规则是：am·an＝am+n（m，n都是正整数）。

即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

2.幂的乘法规则是：（am）n＝amn（m，n都是正整数）。

即幂的乘方，底数不变，指数相乘。

3.积的乘法规则是：（ab）n＝an·bn（n为正整数）。

即乘方的积等于积的乘方。

4.单项式与单项式相乘的规则是：（1）系数与系数相乘；（2）同底数幂与同底数幂相乘；（3）其余字母及其指数不变作为积的因式。

5.单项式与多项式相乘的规则是：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

6.多项式与多项式相乘的规则是：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

二、乘法公式1.平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2.2.完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2.口诀：前平方，后平方，积的两倍中间放，中间符号看情况。

（这个情况就是前后两项同号得正，异号得负。

）3.添括号：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里面的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号。

三、整式的除法1.am÷an==am－n（a≠，m，n都是正整数，且m＞n）。

即同底数幂相除，底数不变，指数相减。

2.a=1（a≠）。

任何不等于1的数的次幂都等于1.3.单项式除以单项式的规则是：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里的幂不变。

4.多项式除以单项式的规则是：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

四、因式分解1.因式分解是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

2.公因式是一个多项式中各项都含有的相同的因式。

3.分解因式的方法：1) 提公因式法：ma+mb+mc =m(a+b+c)。

人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解小结与复习教学课件

∴420>1510.
考点二整式的运算
例3 计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)] ÷3x2y,其中x=1,y=3.
解析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练
正确地运用运算法则.
解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) ÷3x2y
=(2x3y2-2x2y) ÷3x2y
例6 把多项式2x2－8分解因式，结果正确的是( C )
A．2(x2－8)
B．2(x－2)2
C．2(x＋2)(x－2) D．2x(x－ )
4 x
归纳总结
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止.
3.(1)已知3m=6,9n=2,求3m+2n,32m-4n的值. (2)比较大小：420与1510. 解：(1)∵3m=6,9n=2, ∴3m+2n=3m·32n=3m·(32)n=3m·9n=6×2=12. 32m-4n=32m÷34n=(3m)2÷(32n)2=(3m)2÷(9n)2=62÷22=9. (2) ∵420=（42）10=1610， ∵1610>1510,
=a2－(b－3)2=a2－b2＋6b－9. (3)原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2
=(9x2－4y2)2=81x4－72x2y2＋16y4
11.用简便方法计算
(1)2002－400×199＋1992； (2)999×1 001. 解：(1)原式＝(200－199)2=1;
(2) 原式＝(1000－1)(1000+1) ＝10002－1 ＝999999.

人教版数学八年级上册暑假预习第十四章《整式的乘法与因式分解》知识梳理附全章节练习题(图片版)

暑假预习人教版数学八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》知识梳理知识结构图：一、整式的有关概念1．整式整式是单项式与多项式的统称．2．单项式单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数．3．多项式几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．二、整数指数幂的运算1、同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

2、同底数幂除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

3、幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

4、积的乘方：积的乘方等于各因式乘方的积。

注：（1）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1；（2）任何一个不等于零的数的-p（p为正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数。

（3）科学记数法：或绝对值小于1的数可记成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个有效数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零）。

三、同类项与合并同类项1．所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项．2．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．四、求代数式的值1．一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．2．求代数式的值的基本步骤：(1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；(2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果．五、整式的运算1．整式的加减(1)整式的加减实质就是合并同类项；(2)整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．2．整式的乘除(1)整式的乘法①单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．②单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc．③多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb．(2)整式的除法①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．②多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.3．乘法公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(2)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.六、因式分解1．因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解．2．因式分解的方法(1)提公因式法公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)．(2)运用公式法①运用平方差公式：．②运用完全平方公式：.(3)十字相乘: .3.分解因式的技巧：(1) 因式分解时，有公因式要先提公因式，然后考虑其他方法；(2）因式分解时，有时项数较多时，看看分组分解法是否更简洁.同步练习。

八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.1.4整式的乘法(第1课时图文详解)

八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.下列计算中，正确的是（ B ）
A.2a3·3a2=6a6
B.4x3·2x5=8x8
C.2x·2x5=4x5
D.5x3·4x4=9x7
2.下列运算正确的是（ D ）
A.x2·x3=x6
B.x2+x2=2x4
C.(-2x)2=-4x2
D.(-2x2)(-3x3)=6x5
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
第14章整式的乘除与因式分解
八年级上册
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
14.1.4 整式的乘法
第1课时
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算． 2.让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的能力.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.填空：
a4 26
(1)6 2
a9 28
9 x2 y4 4
1
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？分析：距离=速度×时间，即（3×105）×（5×102）；怎样计算（3×105）×（5×102）? 地球与太阳的距离约是：（3×105）×（5×102）=(3 ×5)×(105×102) =15×10７=1.5×108（千米）
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.单项式与多项式相乘的法则: 单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加即可.

新人教版数学八年级上册《整式的乘法》教学课件

注意：(1) 零指数幂中的底数可以是单项式，也可
以是多项式，但不可以是0；
(2) 因为 a=0 时，a0 无意义，所以 a0 有意义的条件
是 a≠0，常据此确定底数中所含字母的取值范围.
示例2：
指数为0
（- 2） 1
指数为0
100 1
0
0
结果为1
底数是-2
结果为1
底数是100
新知探究跟踪训练
即 x3=x3+2x+4.
所以2x+4=0，解得x=-2.
3.若 32∙92m+1÷27m+1=81，求m的值.
分析：考虑将除数和被除数化成同底数幂的形式，
再运用同底数幂除法法则进行计算.
解：因为32∙92m+1÷27m+1=81,
32∙92m+1÷27m+1=32∙34m+2÷33m+3 =34m+4÷33m法则：
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，
再把所得的积相加.
式子表示：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq(a，b，p，q分别
是单项式).
学习目标
1.了解并掌握同底数幂的除法的运算法则.
2.掌握同底数幂的除法的运算法则的推导以及零指数
幂的意义.
课堂导入
前面我们已经学习了整式的加法、减法、乘法运算.在
整式运算中，有时还会遇到两个整式相除的情况.由于
除法是乘法的逆运算，因此我们可以利用整式的乘法
来讨论整式的除法.
课堂导入
一个数码相机的相机照片文件大小是210KB，一个存
储量为220KB的U盘能存储多少张这样数码照片呢？你

人教版数学八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》知识梳理与各小章节同步练习

2、同底数幂除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

3、幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

4、积的乘方：积的乘方等于各因式乘方的积。

注：（1）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1；（2）任何一个不等于零的数的-p（p为正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数。

（3）科学记数法：或绝对值小于1的数可记成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个有效数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零）。

人教版八年级上册数学《整式的乘法》整式的乘法与因式分解说课复习(单项式与单项式相乘)

(2) (- 4x) (2x2+3x-1)
解：原式=(- 4x) •2x2+(- 4x)•3x+(- 4x)•(-1) = - 8x3- 12x2+4x
(3) ab ( ab2 - 2ab)
解：原式= a2b3–2 a2b2 单项式与多项式相乘时，分两个阶段： ①按乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式； ②单项式的乘法运算。
(7)-5a3b2c·3a2b=-15a5b3c (8)a3b·(-4a3b)=-4a6b2 (9)(-4x2y)·(-xy)=4x3y2 (10)2a3b4(-3ab3c2)=-6a4b7c2 (11)-2a3·3a2=-6a5 (12)4x3y2·18x4y6=72x7y8
2.计算：(－a)2 ·a3 ·(－2b)3 －(－2ab)2 ·(－3a)3b
谢谢观看！
4.若n为正整数，x3n=2,2x2n ·x4n+x4n ·x5n的值。
解：2x2n ·x4n+x4n ·x5n =2x6n+x9n =2(x3n)2+(x3n)3 =2×22+23 =8+8 =16
∴原式的值等于16。
5 已知1 (x2 y3 )m • (2xyn1)2 x4 • y9 , 4
情境引入 x
mx
1 8
x
x
3x 4
1 8
x
mx
第一幅的面积是 x(mx)
这是两个单项式相乘，结果可以表达得更简
第二幅的面积是 (mx)( 3 x ) 单些吗？
4
光的速度约为3×105千米/秒,太阳光照射到
地球上需要的时间大约是5×102秒,你知道地
球与太阳的距离约是多少千米吗?

人教版八年级数学上册整式的除法

4、【规律方法】①在有乘方、乘除综合运算中，先乘方然后从左到右按顺序相乘除.②当除式的系数是负数时，一定要加上括号.③最后商式能应用多项式的乘法展开的，应该乘开．
➢例题讲解
例3: (6ab-8b)÷(2b) 解：原式=6ab ÷2b-8b ÷ 2b =3a-4.
例4： [(2x+y)2-y(y+4x)-8x]÷2x 解：原式=(4x2+4xy+y2-y2-4xy - 8x) ÷2x =(4x2 - 8x) ÷2x =2x-4.
针对训练
计算：(1)(6x3y4z－4x2y3z＋2xy3)÷2xy3； (2)(72x3y4－36x2y3＋9xy2)÷(－9xy2)．
解法1： 12a3b2x3 ÷ 3ab2相当于求（由（1）可知括号里应填4a2x3.
） ﹒3ab2=12a3b2x3.
解法2：原式=4a2x3 ·3ab2 ÷ 3ab2=4a2x3. 理解：上面的商式4a2x3的系数4=12 ÷3；a的指数2=3-1，b 的指数0=2-2，而b0=1,x的指数3=3-0.
关键：
应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.
人教版八年级数学上册整式的除法
人教版八年级数学上册整式的除法
试一试
单/多项式÷单项式
运算结果（注意符号变化）
10ab3 5ab
- 8a 2b3 6ab2
21x 2 y 4 3x 2 y 3
12a3 6a2 3a 3a
人教版八年级数学上册整式的除法
➢例题讲解
人教版八年级数学上册整式的除法
人教版八年级数学上册整式的除法
练一练
（1）28x4y2÷7x3y （2）－5a5 b3c ÷15a4b

人教版八年级数学上册第14章整式的乘法与因式分解4 第1课时单项式与单项式、多项式相乘

pa + pb + pc
知识要点单项式乘多项式的法则
单项式与多项式相乘，就 p p
是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
a
b
注意（1）依据是乘法分配律；（2）积的项数与多项式的项数相同.
p c
典例精析例3 计算：
(1) (－4x) ·(2x2 + 3x－1)；解：原式＝(－4x) ·(2x2) + (－4x) ·3x + (－4x) ·(－1)
= 15x5. (3) (-x)3 ·(x2y)2；
= -8xy3. (4) (-2a)3(-3a)2.
解：原式 = (-x3) ·(x4y2) 解：原式 = -8a3·9a2
= -x7y2.
= [(-8)×9](a3·a2) = -72a5.
注意有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘.
练一练下面计算结果对不对？如果不对，应当怎样改正？
A＋(－3x2)＝x2－2x＋1， ∴ A＝4x2－2x＋1. ∴ A ·(－3x2) ＝ (4x2－2x＋1)(－3x2)
＝－12x4＋6x3－3x2.
整式的
单项式乘单项式
单项式乘多项式
实质上是转化为同底数幂的运算实质上是转化为单项式×单项式 (1) 计算时，要注意符号问题，多项式
乘法
球上需要的时间大约是 5×102 s，你知道地球与太阳
的距离约是多少吗?
地球与太阳的距离约是 (3×105)×(5×102) km.
想一想：怎样计算 (3×105)×(5×102)？计算过程中用到了哪些运算律及运算性质？
(3×105)×(5×102) = (3×5)×(105×102) 乘法交换律、结合律

人教版八年级数学上册各章节知识点考点汇总

人教版八年级数学（上）知识点人教版八年级上册主要包括全等三角形、轴对称、实数、一次函数和整式的乘除与分解因式五个章节的内容。

第十一章全等三角形一．知识框架二．知识概念1.全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。

2．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。

3.三角形全等的判定公理及推论有：（1）“边角边”简称“SAS”（2）“角边角”简称“ASA”（3）“边边边”简称“SSS”（4）“角角边”简称“AAS”（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。

4.角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。

5.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题).在学习三角形的全等时，教师应该从实际生活中的图形出发，引出全等图形进而引出全等三角形。

通过直观的理解和比较发现全等三角形的奥妙之处。

在经历三角形的角平分线、中线等探索中激发学生的集合思维，启发他们的灵感，使学生体会到集合的真正魅力。

第十二章轴对称一．知识框架二．知识概念1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。

2.性质：（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（2）角平分线上的点到角两边距离相等。

（3）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。

（4）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

（5）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）4.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。