第五章 角动量及其规律

第二过程：胶泥与盘碰撞过程。内力矩的影响远大于外力矩之和， 所以可不计入外力矩，质点系对O轴的角动量守恒。
i
ri
o
rij
rj
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二．质点系对轴的角动量定理 及守恒定律
1、质点系对轴的角动量定理
M i外z
dLz dt
即：质点系对于z轴的角动量对时间的变化率等于质点系 所受一切外力对z的力矩之和。
2、质点系对轴的角动量守恒定律
若
M
i外z
0，则
L 常量
即：若质点系所受一切外力对z的力矩之和始终为零，则 质点系对z轴的角动量保持不变。
M i内＝0
i
M i内z＝0
i
M i外z
i
dLz d ri mi vi sin i dt i dt
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例：应用角动量守恒解释花样滑冰、芭蕾舞演员
的旋转现象。
重力对转轴的力矩为零，人两臂从 伸开到收回的过程中，人对转轴的 角动量守恒： mi vi ri mi ri 2 C
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质点对参考点的角动量定理分析推导：
d 质点动量定理： Fi dt mv i d mv 则 r Fi r dt i （ r 是自参考点指向质点的位置矢量） d mv d r mv dr r mv dt dt dt dL dL v mv dt dt dL M r Fi dt 淮阴师范学院物理系 力学--5--33 i
F
——诸力矩的矢量和等于合力对参考点的力矩。
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2．力对轴的力矩
定义：力对z轴上O点的力矩在z轴上 的投影称为力对z轴的力矩。
z
M z r1 F1 sin
r2
F2
F F1
r
r1
3．两者的关系
M z＝ r F
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质点系对参考点的角动量定理分析与推导：
取第i 个质点： i＝ dLi M dt dL M i外 M i内＝ i dt dLi 对所有质点求和得： M i外 M i内＝ dt i i i 研究 M i内
第五章 角动量．关于对称性
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第五章 角动量.关于对称性
§5.1 质点的角动量 质点的角动量定理及角动量守恒定律
§5.2
§5.3
质点系的角动量定理及角动量守恒定律
质点系对质心的角动量定理及守恒定律
§5.4
§5.5
对称性.对称性与守恒律
经典动力学的适用范围
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r2 // F2 r2 F2 0 r1 F2、r2 F1与z轴垂直 r1 F2 r2 F1 0
z z
z
r2
F2
F F1
r
r1
O O
M Z r F r1 F1 r1 F1 sin
ri变小，ω增大；ri增大，ω变小
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o
⊙ 正方向
h
m' v m
m
v
例1：在图示装置中，盘与重物的质量 均为m，胶泥的质量为 m ' , 原来重物 与盘静止，让胶泥从h高处自由落下， 求胶泥粘到盘上后获得的速度。
2 gh
vo 解：第一过程：胶泥自由下落，获得速度 v0
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2、质点系对参考点的角动量定理
dL M i外 dt
即：质点系对参考点O的角动量对时间的变化率等于外力
对该点力矩的矢量和。
3、质点系对参考点的角动量守恒定律 若 M i外 0 ，则 L 常矢量 即：若外力对参考点O的力矩的矢量和始终为零，则质点系 对该点的角动量保持不变。
LZ r p z r1 p1 z r1 p1 sin
z
p
p1 r1
p2
r2
r
O
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练习：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为m，
速率为v，求圆锥摆对o点,o'点,oo'轴的角动量 • 在讨论质点的角动量时，必须指明是对哪点或 哪个轴的角动量 o' mvl sin , Lo l α L mvl , o' v o L oo' mvl sin ,
rmv0 sin mv0b mvd
①
又因点电荷的静电斥力是保守力，所以机械能守恒：
1 2

v0
r
mv0 2 1 mv 2 kze2 / d 2
2 2
②
舍去负值
kze2 kze 2 d b mv0 2 mv0 2
代入实验数据，可求得
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m
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二、力 矩
1．力对一参考点的力矩 定义：质点相对于O点的位置矢量与力的 矢积叫作力对参考点O的力矩。
O r
A

M
M r F
大小：M rF sin , 方向：r , F , M 构成右手螺旋系 单位：牛顿米 N m ，量纲：L2 MT 2 n个力： r Fi r Fi
FLcos β ×
o点
oo'轴
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0 0
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0
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0
例题：用角动量守恒和能量守恒讨论α粒子散射问题 如图所示，b为瞄准距，重核Q在碰撞中可认为静止， 求：α粒子接近重核的最近距离d。 Q=ze
解：α粒子受静电力始终指向重核中心
设z轴与平面垂直并过Q点则对z轴的角动量守恒 q=2e m v0 b d v
z z
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总结:
1. 力对点的力矩依赖于参考点的位置和力作用点的位置。 2. 力对轴的力矩不仅与力的大小和方向有关，还与轴与力 的分力 F1 之间的距离 r1 有关, 若轴改变，力矩也变。 3. 力对轴上任一点的力矩不同,但在轴上的投影是相同的。
强调：讨论力矩时，要说明是对哪个点或对哪个轴的力矩 。
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四、质点对轴的角动量定理和守恒定律
1．质点对轴的角动量定理
dLz Mz dt
即：质点对z轴的角动量对时间的变化率等于作用于
质点的合力对同一轴线的力矩。 2．质点对轴的角动量守恒定律
若 M z 0，则 Lz 常量
即：作用于质点的诸力对轴的力矩和为零时，质点 对该轴的角动量不变。
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O O
z
即：力对z轴上任意一点的力矩在z轴上的投影等于力对z轴的力矩。
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力对轴的力矩推导：
M r F r1 r2 F1 F2 r1 F1 r2 F1 r1 F2 r2 F2
i
f ij
f ji
一对内力对O点的力矩:
ri fij rj f ji ri fij rj fij ri rj fij rij fij 0
M i内＝0
d Li dL dL M i外 i i dt dt 力学--5--33 dt i 淮阴师范学院物理系i
4
质点对轴的角动量推导：
L r p r1 r2 p1 p2 r1 p1 r2 p1 r1 p2 r2 p2 Lz r1 p1 r2 p1 r1 p2 r2 p2 z r2 // p2 r2 p2 0 r1 p2、r2 p1与z轴垂直 r1 p2 z r2 p1 z 0
l T
o'
F o
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mv 力学--5--33
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mg
圆锥摆：
o'
α
l v
o
m
力矩 o'点
L o' Lo L oo'
拉力T 0
TLcos β sin β ⊙
mvl ,
mvl sin , mvl sin ,
重力mg
mgLsin β × mgLsin β ×
合力F
O
r
单位：kg m 2/s，量纲：L2 MT 1
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注意：
（1）L与r 有关，所以角动量L与参考系点O的位置有关。 （2）L与p有关，所以角动量L与参考系有关。
z
2．质点对轴的角动量
定义：质点对z轴上O点的角动量在z轴上 的投影称为质点对z轴的角动量。
p
r2
p1
p2
O r1 O' 3．质点对参考点的角动量与对轴的角动量的关系
LZ r1 p1 sin
r
LZ r p z r1 p1 sin
即：质点对z轴上任意一点的角动量在z轴上的投影等于 淮阴师范学院物理系 力学--5--33 质点对z轴的角动量。
五、几点注意
1、在应用角动量定理或角动量守恒定律时，力矩和角动量 必须选取惯性系中的同一参考点或同一参考轴 2、角动量守恒与选取的参考点或参考轴有关。 例如，圆锥摆
对o点，oo'轴，合力F的力矩为零，因此质点对o点，对 oo’轴的角动量守恒，无论摆转到哪一点,角动量大小都是 mvlsinα，方向都是竖直向上。 但对o'点合力矩不为零，因而对o'点的角动量不守恒， 虽然大小不变，但方向总在变化。
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§5.1
质点的角动量
一、质点的角动量
1．质点对参考点O的角动量 定义：质点相对于参考点的位置矢量与其动量的矢积 称为质点对该点的角动量。
L r mv r p
L
p
大小：L rp sin ,
方向：r、p、L构成右手螺旋系
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练习：试求作用在圆锥摆上的拉力T、重力mg
和合力F对o' 点、o 点、oo' 轴的力矩
o'
β L
M Fr sin(r , F ) Fr sin
T
| M z | F1r1 sin
力矩 o'点 o点 拉力T 重力mg
mgLsin β × mgLsin β ×
o
F
合力F
FLcos β ×
mg
0
TLcos β sin β ⊙
0 0
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oo'轴
淮阴师范学院物理系
0
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0
三、质点对参考点的角动量定理和守恒定律
1．质点对参考点的角动量定理
dL M dt
即：质点对参考点O的角动量对时间的变化率等于作用于
质点的合力对该点的力矩。 2．质点对参考点的角动量守恒定律 若 M 0 ，则 L 常矢量 即：若作用于质点的合力对参考点O的力矩总保持为零， 则质点对该点的角动量不变。
d 1012 cm ~ 1013 cm
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§5.2 质点系的角动量定理及其守恒定律
一．质点系对参考点的角动量定理 及守恒定律
1、质点系对参考点的角动量： 质点系内各质点对于参考点O的角动量的矢量和
L ri mi vi
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质点系对轴的角动量定理分析与推导：
仅研究质点均在与z轴垂直的平面内运动的情况
取第i 个质点：M iz dLiz d ri mi vi sin i dt dt d M i外z M i内z ri mi vi sin i dt d M i外z M i内z＝ ri mi vi sin i 对所有质点求和得： dt i i i