四.随机过程的功率谱密度讲解
功率谱密度公式推导
功率谱密度公式推导功率谱密度（Power Spectral Density，简称PSD）是指一个信号的功率在频率域上的分布。
它在信号处理、通信系统、噪声分析等领域都有着重要的应用。
在本文中，将对功率谱密度的定义、性质以及推导进行详细讨论。
首先，我们来定义功率谱密度。
假设有一个零均值的随机过程（零均值是为了简化推导），我们用x(t)表示这个随机过程，并假设它的均方值为E[|x(t)|^2] = Rxx(0)。
为了分析这个随机过程在频率域上的特性，我们将其进行傅里叶变换。
傅里叶变换的定义如下：X(f) = ∫(x(t) * e^(-j2πft) dt)其中，X(f)表示信号x(t)在频率f上的复振幅（振幅和相位）。
根据傅里叶变换的定义，我们可以得到信号在频率f上的功率P(f)的定义如下：P(f) = |X(f)|^2根据随机过程的定义，我们知道x(t)是一个随机变量，它的取值在每个时间点上都是随机的。
因此，X(f)也是一个随机变量。
我们只知道X(f)的均方值（即P(f)）是一个确定的量，但我们无法准确地知道X(f)在每个时刻上的取值。
为了能够更好地描述X(f)的统计性质，我们可以引入概率密度函数。
假设X(f)的实部和虚部分别为Xr(f)和Xi(f)，我们定义X(f)的概率密度函数为fX(x)。
根据概率密度函数的定义，我们可以得到X(f)的均方值为：E[|X(f)|^2] = ∫(|x|^2 * fX(|x|^2) dx)然后，根据功率的定义，我们可以得到：E[|X(f)|^2] = P(f)综上所述，我们可以得到功率谱密度PSD的定义如下：PSD(f) = ∫(|x|^2 * fX(|x|^2) dx)对于一个随机过程来说，我们可以通过计算其自相关函数Rxx(t)来得到其功率谱密度。
自相关函数定义如下：Rxx(t) = E[x(t) * x*(t-τ)]其中，E[•]表示对随机变量取均值的操作，τ表示一个时间延迟。
功率谱密度
功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。
一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。
数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
有两个重要区别：1。
功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。
（随机的频域序列）2。
功率概念和幅度概念的差别。
此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
热心网友回答提问者对于答案的评价：谢谢解答。
频谱分析（也称频率分析），是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。
频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。
频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。
功率谱是个什么概念？它有单位吗?随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。
一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。
功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。
功率谱具有单位频率的平均功率量纲。
随机过程的自相关函数与其功率谱密度是傅里叶变换关系
随机过程的自相关函数与其功率谱密度是傅里叶变换关系随机过程是一个随时间变化的信号，每个时间点上都有一定的随机性。
我们可以用一个随机变量来描述每个时间点上的取值。
这个随机变量的集合就是一个随机过程。
自相关函数是用来描述随机过程在不同时间点上的相关性的函数。
它表示了随机过程在不同时间点上的取值之间的相关程度。
具体来说，自相关函数R(t1,t2)表示了时刻t1和t2上的信号值之间的相关性。
它的定义如下：R(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]其中，X(t1)和X(t2)是随机过程在时刻t1和t2上的取值，E[.]表示期望操作。
功率谱密度是用来描述随机过程在频域上的特性的函数。
它表示了随机过程在不同频率上的功率分布情况。
具体来说，功率谱密度S(f)表示了随机过程在频率f上的功率。
它的定义如下：S(f)=，F{R(t)}，^2其中，R(t)是随机过程的自相关函数，F{.}表示傅里叶变换操作。
自相关函数和功率谱密度之间存在一个重要的关系，即它们通过傅里叶变换相关联。
具体来说，自相关函数是功率谱密度的傅里叶变换的模的平方，而功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换的伪谱密度。
这个关系可以用下面的公式表示：R(t1, t2) = ∫S(f)e^(j2πft)df其中，∫表示积分操作，e^(j2πft)是复指数函数，代表了频率f上的旋转。
这个关系的意义是，自相关函数和功率谱密度提供了从时域到频域和从频域到时域的映射。
我们可以通过自相关函数计算功率谱密度，也可以通过功率谱密度计算自相关函数。
总结起来，自相关函数和功率谱密度是通过傅里叶变换相关联的重要概念。
自相关函数描述了随机过程在不同时刻上的相关性，而功率谱密度描述了随机过程在不同频率上的功率分布情况。
它们的傅里叶变换关系提供了从时域到频域和从频域到时域的映射。
这个关系在信号处理和随机过程分析中具有重要的应用价值。
第四章 平稳随机过程的谱分析
1 2
S
X
(
)e
j
d
自相关函数和功率谱密度皆为偶函数
若随机过程X t是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数
jt
ddt
1
2
XX
()
x(t)e jt dtd
1
2
X
X
()X
* X
()d
1
2
X
X
()
2d
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖功率谱
功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号
P lim 1 T s(t) 2 dt T 2T T 其能谱不存在，而功率谱存在
持续时间无限长的信号一般能量无限
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖如何计算随机信号的平均功率？
2）时域计算方法
任一样本函数的平均功率为
W
lim
T
1 2T
T x2(t, )dt
T
随机过程的平均功率为
W
E[W
]
lim
T
1 2T
T E{X 2(t)}dt
T
若为各态历经过程：
W =W
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何计算随机信号的平均功率？
2020/5/20
6
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖傅立叶变换
则 x(t)的傅立叶变换为：
X () x(t)e jt dt
其反变换为：
x(t) 1 X ()e jt d
2
频谱密度存在的条件为：
频谱密度
x(t)dt
2020/5/即20 信号为绝对可积信号
包含：振幅谱 相位谱
求各样本函数功率谱密度的统计平均
离散时间随机过程的功率谱密度
其中
B(
z)
C
( (
z z
1 1
)( )(
z z
M M
) )
B(
z
1
)
C
( (
z z
1
1
1
)( )(
z z
1
M
1
) )
1
M
26020/7/19
包含了单位 圆之内的全 部 包零 含点 了和单极位 点 圆之外的全 部零点和极 点6
例 设 RX (m) a m , a 1 ，求SX (z) 和SX ()
1
解 SX (z)
amzm amzm
m
m0
az z (1 a2 )z 1 az z a (z a)(1 az)
(1 a2 )
a1 a
(1 az1)(1 az) (a1 a) (z1 z)
将 z e jT 代人上式，即可求得
SX
()
a 1
a 1 a
a
2 cosT
27020/7/19
)
，则
lim E
N
X (t) Xˆ (t) X (mT )
RX
(t
mTs
)
n
RX
(nTs
mTs
)
sin(ct n ct n
)
0
这说明，[X (t) Xˆ (t)] 正交 X (mT)
又
合，
Xˆ
(t)
N n
N
X
(nTs
)
sin(ct n ct n
)
[X (t) Xˆ (t)] 正交
13
证明 第一步：
RX ( ) 是确知函数，维纳-辛钦定理：RX ( ) SX () SX () 带宽有限，RX ( ) 是带限确定信号，由香农 采样定理可知
第4章随机信号的功率谱密度
T 2T T
lim 1
2
T
1 2T
E[ XT (, ) 2 ]d
1
2
GX
()d
(4.1.11)
随机过程的平均功率W可以由它的均方值的时间平均得 到，也可以由它的功率谱密度在整个频率域上积分得到。
若X(t)为平稳过程时，均方值为常数，可写成：
xT (t, )e jt dt
T T
xT (t, )e jt dt
X T (, ) 2 X T (, ) X T (, )
GX
()
lim
T
E
1 2T
T T
xT (t1, )e jt1dt1
T T
xT
(t2
,
)e
jt2
xT
(t
)
x(t), t
0,
t
T
T
对于有限持续时间的xT(t)，傅里叶变换是存在的，有：
XT ()
xT
(t)e
jt dt
T T
xT
(t)e
jt dt
xT
(t)
1
2
XT
()e
jt d
(4.1.6) (4.1.7)
称 XT ()为xT (t)的频谱函数，也简称为频谱。
由傅立叶反变换，x(t)可以表示为
则可以得到
x(t) 1
2
X
X
(
)e
jt
d
[x(t)]2dt
1
x(t)
第4章 随机信号的功率谱密度
确知信号的能量谱密度与功率谱密度 非周期信号的能量为： ∵ 非周期信号的能量为：
1 W = lim ∫ x ( t )dt = T → ∞ −T 2π
T 2 T
∫
∞
−∞
| X T ( ω ) | dω = ∫ | X T ( f ) | df
−∞
2
∞
2
其中, 为一付氏变换对; 其中 xT ( t ) ⇔ XT ( ω ) 为一付氏变换对
为功率型平稳随机信号。 设 X( t )为功率型平稳随机信号。 由于随机信号的每一样本函数（ 或实现） 由于随机信号的每一样本函数 （ 或实现 ） 都是一个确 因此， 定的时间函数 x(t , ξ i ) ，因此，对于每个样本函数都可以求 得对应的功率谱密度函数， 得对应的功率谱密度函数，即 | xT (t , ξi ) |2 | XT (ω , ξi ) |2 GX (ω , ξ i ) = lim = lim ， T →∞ T →∞ 2T 2T
称为白噪声过程 简称白噪声 白噪声过程， 白噪声。 的平稳过程 N( t )，称为白噪声过程，简称白噪声。 W 其中， 为正实常数，单位： 其中， N 0 为正实常数，单位： Hz
白噪声的功率谱函数和自相关函数为： 白噪声的功率谱函数和自相关函数为：
N0 G N ( ω ) = 2 , ω ∈ ( −∞ ,+∞ ) N0 R N (τ ) = δ (τ ) 2
1 G X ( ω ) = lim T → ∞ 2T
+∞
∫
T −t
−T − t
[∫
T −T
T
−T
R X ( t , t + τ )dt ] e − jωτ d τ
1 = ∫ [ lim − ∞ T → ∞ 2T
平稳随机过程的功率谱密度
2. 平稳过程的平均功率和能量谱密度
将
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(t
)dt
定义为平稳过程
T
X (t) 的平均功率.
交换定义式中积分与均值的运算顺序, 并注意 到平稳过程的均方值是常数, 于是
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(
t
)dt
T
平稳过程的平均功率
该过程的
均方值
1 lim
T 2T
SX
( )
4
2 4 10 2
9
,
求平稳过程 X( t ) 的自相关函数和均方值. 解 由公式知自相关函数
RX
(
)
1 2π
4
2 4 10 2
9
ei d
1
2π
( 2
2 4 9)( 2
eid .
1)
利用留数定理, 可算得
RX
(
)
1 2π
2πi(
3i)(
2 4 3i)(
1)(
ei 1)
变换存在或者说具有频F谱x*( ) Fx ( )
Fx ( )
x(t )eitdt.
且同时有傅里叶逆变换
x(t)
1 2π
Fx
(
)eit
d
.
在 x(t) 和 Fx() 之间成立有帕塞瓦尔(Parseval)
等式:
x2(t )dt 1
2π
2
Fx ( ) d ,
Байду номын сангаас
x(t) 在 (, ) 上的总能量 称为x(t)的能量谱密度
随机过程的谱密度与功率谱密度
随机过程的谱密度与功率谱密度随机过程是在时间上随机变化的过程，它在许多领域中都有广泛的应用。
在研究随机过程时，谱密度和功率谱密度是两个重要的概念。
一、谱密度谱密度是描述随机过程在频域上的性质的一种测量，它用来表示随机过程的频谱特性。
谱密度通常用符号S(f)表示，其中f是频率。
谱密度是随机过程各频率成分的功率平均值，即将随机过程在不同频率上的功率加权平均得到的值。
谱密度越大，表示在该频率上的成分越强。
对于离散随机过程，谱密度可以通过对其自相关函数进行傅里叶变换得到。
而对于连续随机过程，谱密度可以通过对其自相关函数进行傅里叶变换或拉普拉斯变换得到。
谱密度具有一些重要的性质，例如：1. 谱密度是非负的且对称的。
2. 谱密度在频率上的积分等于随机过程的方差。
3. 谱密度函数是随机过程的一种特征，不同的谱密度函数可以表示不同的随机过程。
二、功率谱密度功率谱密度是描述随机过程在频域上能量分布的一种测量，也可以理解为随机过程的平均功率。
功率谱密度通常用符号S(f)表示，其中f 是频率。
与谱密度类似，功率谱密度也可以通过随机过程的自相关函数进行傅里叶变换或拉普拉斯变换得到。
功率谱密度表示随机过程各频率成分的功率分布，即在不同频率上的功率值。
功率谱密度越大，表示在该频率上的功率越强。
功率谱密度具有一些重要的性质，例如：1. 功率谱密度是非负的。
2. 功率谱密度在频率上的积分等于随机过程的总功率。
3. 功率谱密度函数是随机过程的一种特征，不同的功率谱密度函数可以表示不同的随机过程。
三、谱密度与功率谱密度的关系谱密度和功率谱密度之间存在一定的关系。
对于连续随机过程，谱密度和功率谱密度可以通过以下关系进行转换：S(f) = |H(f)|^2 * P(f)其中，S(f)表示谱密度，H(f)表示系统的频率响应函数，P(f)表示功率谱密度。
这个关系说明了谱密度和功率谱密度之间的链接，它们在频域上描述了随机过程的特性。
结论谱密度和功率谱密度是研究随机过程的重要工具，它们在频域上描述了随机过程的特性。
随机过程的功率谱密度
随机过程的功率谱密度⏹连续时间随机过程的功率谱密度⏹随机序列的功率谱密度1. 连续时间随机过程的功率谱密度21()lim ()2X T T G E X T →∞⎧⎫ω=ω⎨⎬⎩⎭()()Tj tT TX X t edt-ω-ω=⎰维纳-辛钦定理: 对于平稳过程有()()X X R G τ↔ω功率谱密度(Power Spectral Density, PSD)的定义：例1：随机相位信号的PSD0()cos()X t A t =ω+Φ其中A 、ω0为常数，Φ在(0,2π)上均匀分布。
自相关函数为20()(/2)cos X R A τ=ωτPSD 为{}200()(/2)()()X G A ω=πδω+ω+δω-ω()X G ωω2(/2)A π2(/2)A π0ω0-ω其中{a i }是均值为零,方差为, 且不相关的随机变量序列。
2iσ()i j ti iX t a eω=∑*()[()()]X R E X t X t τ=+τ*2()i k i ikE a a =σδ()0i E a =解：()*2()i k i j t j tj i ki ikiE a a eeω+τ-ωωτ==σ∑∑∑求X (t )的功率谱密度。
例2：随机过程为1ω2ω()X G ωω2()i j X i iR eωττ=σ∑2()2()X i i iG ω=πσδω-ω∑功率谱密度的性质:(1) 功率谱是非负的实函数、偶函数()()X X G G ω=-ω()0X G ω≥*()()X X G G ω=ω根据自相关函数与功率谱的关系,()()(cos sin )2()cos X X X G R j d R d +∞+∞-∞ω=τωτ-ωττ=τωττ⎰⎰21[()](0)()2X X P E X t R G d +∞-∞===ωωπ⎰平稳随机过程平均功率：22(1)22(1)202022(1)22(1)20()m m m X nn n a a a G c b b b ----ω+ω++ω+ω=ω+ω++ω+(2) 如果功率谱具有有理谱的形式，则可以表示为n >m ;()X G s 零、极点共轭成对j ωσ××××××ooo oS 平面上可能的零、极点位置()()()X X XG G G +-ω=ωω()()()()101()m Xn j j Gc j j +ω+αω+αω=ω+βω+β()()()()101()m Xn j j Gc j j --ω+α-ω+αω=-ω+β-ω+β()()()X X XG s G s G s +-=功率谱密度的分解例3: 已知功率谱为2424()109X G ω+ω=ω+ω+对功率谱进行分解，并求自相关函数。
随机过程的功率谱密度
随机过程的功率谱密度随机过程是一种具有随机变量的序列，其性质随时间变化。
功率谱密度是用来描述随机过程频谱特性的一种工具。
本文将介绍随机过程的基本概念，探讨功率谱密度的定义和计算方法，并讨论其在实际应用中的意义。
一、随机过程的基本概念随机过程是一种随时间变化的随机变量序列。
在随机过程中，每个时间点上的变量都是随机的，可以用数学统计的方法进行描述与分析。
随机过程常用于模拟与分析具有随机性的现象，如通信信号、股票价格等。
二、功率谱密度的定义功率谱密度是描述随机过程频谱特性的一种工具，用于表示随机过程在不同频率上的分布情况。
功率谱密度函数通常用符号S(f)表示，其中f为频率。
三、功率谱密度的计算方法计算功率谱密度可以使用多种方法，常见的有周期图法、自相关函数法和傅里叶变换法等。
下面分别介绍这些方法的基本原理：1. 周期图法周期图法是一种直观的计算功率谱密度的方法。
它通过对随机过程的重复实现进行频率分析，得到信号的谱图。
周期图法的实现过程包括样本采集、周期图的构建和谱估计等步骤。
2. 自相关函数法自相关函数法是一种基于信号的自相关函数计算功率谱密度的方法。
它通过计算随机过程与其自身在不同时间点上的相关性，得到功率谱密度函数。
自相关函数法的实现过程包括自相关函数的计算和功率谱密度的估计等步骤。
3. 傅里叶变换法傅里叶变换法是一种基于信号的傅里叶变换计算功率谱密度的方法。
它通过将时域信号转换到频域，得到信号的频谱分布。
傅里叶变换法的实现过程包括信号的傅里叶变换和功率谱密度的计算等步骤。
四、功率谱密度的实际应用功率谱密度在信号处理、通信系统设计、噪声分析等领域都有重要应用。
以下是一些典型的实际应用场景：1. 信号处理功率谱密度可以用于对信号进行频谱分析和滤波器设计。
通过分析信号的功率谱密度，可以了解信号的频率分布情况，并根据需求设计相应的滤波器，实现信号的去噪、增强等处理。
2. 通信系统设计功率谱密度可以用于对通信系统中的噪声进行分析和优化。
随机信号的功率谱密度
三、相干函数
白噪声的定义及特性：
一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上有非零常数，即： 的平稳过程N(t)，被称为白噪声过程或简称白噪声。 式中，N0是正实常数。
4.5 白噪声与白序列
白噪声的自相关函数：
白噪声的相关系数 为:
热噪声指的是电路中由于各电阻内电子热骚动（布朗运动）而产生的随机起伏电压和电流。
性质一：
性质二： 和 是的偶函数； 和 是的奇函数；
性质三：若平稳过程X(t)和Y(t)相互正交，则有：
二、互谱密度的性质
性质四：若X(t)和Y(t)是两个不相关的平稳过程，分别有均值mX和mY，则：
性质五：若X(t)和Y(t)联合平稳，RXY()绝对可积，则互谱密度GXY()、 GYX()分别和互相关函数RXY()、 RYX()构成傅立叶变换对。
02
S()与s(t)满足Parseval定理：
03
4.1 功率谱密度
一个随机过程的样本函数，尽管它的总能量是无限的，但其平均功率却是有限值，即：
图：f(t)及其截断函数
fT(t)的傅立叶变换存在：
W是样本函数的平均功率
将上式代入信号平均功率表达式中得:
所谓信号的功率谱密度函数是指这样的函数: 当在整个频率范围内对它进行积分以后，得到信号的总功率； 描述了信号功率在各个不同频率上分布的情况； 正具有了上述特性。它代表了随机过程的某一个样本函数f(t,)在单位频带内、消耗1电阻上的平均功率。称它为样本函数的功率谱密度函数。记为Gf(,)。
若复过程Zi(t)和Zk(t)联合平稳，则复过程Zi(t)和Zk(t)的互谱密度为：
4.8 功率谱密度的计算举例
教材P102—P106： 例4.8—例4.10
功率谱密度 db
功率谱密度 db功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）是描述信号随频率变化的能量分布的概念。
一般情况下，功率谱密度以对数形式表示，单位为分贝（dB）。
本文将对功率谱密度进行详细介绍，并介绍功率谱密度的计算方法以及应用。
一、功率谱密度的定义和性质功率谱密度是信号理论中一个基本的概念，用于描述信号在频域上的特征。
对于一个离散信号x(n)，它的功率谱密度定义为其自相关函数Rxx(k)的傅里叶变换。
功率谱密度用符号Sxx(f)表示，即：Sxx(f) = |X(f)|^2其中X(f)为x(n)的傅里叶变换。
功率谱密度描述了信号在各个频率上的能量分布。
在实际应用中，我们通常将功率谱密度取对数并以分贝（dB）为单位进行表示，即：PSD(dB) = 10 * log10(Sxx(f))根据功率谱密度的定义，我们可以得到其中三个重要性质：1.非负性：功率谱密度是一个非负函数，即Sxx(f)>=0。
2.时间平移：如果信号在时间域上平移t0，则功率谱密度在频域上也相应平移f0，即Sxx(f-f0)。
3.频率平移：如果信号在频域上平移f0，则功率谱密度在时间域上也相应平移t0，即Sxx(f)-Sxx(f0)。
二、功率谱密度的计算方法计算功率谱密度的方法有多种，其中最常用的是基于傅里叶变换的方法。
下面介绍两种常见的计算功率谱密度的方法。
1.时域平均法：信号x(n)通过窗函数w(n)进行分段，每段长度为N。
对每段信号进行傅里叶变换，得到每段信号的频谱，然后将所有段的频谱进行平均，得到信号的平均功率谱密度。
2.数字滤波法：将信号进行滤波，并测量滤波后信号的功率。
通过改变滤波器的通带宽度，可以得到不同频率下的功率谱密度。
三、功率谱密度的应用功率谱密度在工程和科学的多个领域中都得到了广泛的应用。
以下是几个典型的应用案例：1.无线通信：功率谱密度可以用于描述无线通信中不同信号的频谱占用情况，从而帮助设计和规划无线网络。
随机信号的功率谱密度
/2
0
2
cos(20 t )d
a2 a2 sin(20 t) 2
所以, X(t)不是平稳过程
当 X ( t ) 为平稳过程时，则 故有
1 P E[ X (t )] RX (0) 2
2
E[ X 2 (t )] RX (0) 常数，
G X ( )d
维纳－辛钦定理
物理谱密度 由于平稳随机过程的自相关函数RX(τ )是τ 的偶函数， 则Gx(ω ) 为： G X ( ) 2 R X ( ) cos d 0 所以功率谱是实、偶函数，且非负 Gx(ω ) 应分布在 -∞到∞的频率范围内，而实际 上负频率 ( 即ω <o) 并不存在。我们有时也采用另一种 功率谱密度，即“单边”谱密度，也称作“物理”功 率谱密度，记作Fx(ω )。 2G X ( ), 0 FX ( ) 0 0, 随机过程消耗在1Ω电阻上的平均功率可写成
均方值的时间平均:平均功率。
4.1 已知，过程X(t)的为 a, 0 是常数, 在 0 /2 上均匀分布 求X(t)的平均功率。
解：
2 2 2 E a cos (0 t ) 2 2 E a cos (0 t )
a2 a2 2 2
2 1 x t dt 2 Fx d 等式左边表示x t 在 , 上的总能量， 2
而右边的被积函数 Fx 在频率域中表示在
2
圆频率处的能谱密度。
但在工程技术中，通常总能量
x 2 t dt ,
功率谱密度可表示为
T 1 T jt1 S X ( ) lim E x(t1 )e dt1 x(t2 )e jt2 dt2 T T 2T T 1 T T jt1 jt2 lim E x ( t ) x ( t ) e e dt1dt2 1 2 T 2T T T
随机过程的功率谱密度解析
平稳随机过程
严格平稳随机过程 广义平稳随机过程 平稳随机过程自相关函数性质
相关函数示意图
第五讲：小 结
平稳随机过程
相关系数
相关时间
随机过程的遍历性 平稳随机过程满足：
相关时间示意图
一、联合分布
二维联合分布函数：
二维联合概率密度：
一、联合分布
n+m维联合分布函数：
n+m维联合概率密度：
上均匀分布，求互协方差函数。
频谱：
复习
信号的 总能量
能谱密度：信号的能 量按频率分布的情况
一、随机过程的功率谱密度
截取数：
随机过程的样本函数及其截尾函数
时间平 均功率
功率谱密度：信 号的平均功率按 频率分布的情况
时间平 均功率
随机过程的平均功率 随机过程的功率谱密度：
功率谱密度：信 号的平均功率按 频率分布的情况
二、两随机过程的相互关系
互相关函数：
互协方差函数：
两随机过程的相互关系：
X(t)与Y(t)独立
若
，则X(t)与Y(t)正交；
若
，则X(t)与Y(t)不相关；
联合平稳的定义：如果随机过程X(t),Y(t)平稳，且满足 性质：
若 与 是联合平稳的，则 互相关系数：
是平稳的
例1、设 其中 为常数， 在
(1) Z(t)的功率谱密度； (2) X(t)、Y(t)不相关时Z(t)的功率谱密度； (3) X(t)、Y(t)分别与Z(t)的互谱密度。
第六讲：小 结
随机过程的联合分布
互相关函数： 互协方差函数： 互相关系数：
广义联合平稳的定义：
随机过程的功率谱密度 作业：2.31, 2.36, 2.39
离散时间随机过程的功率谱密度
R(m)
自相关 函数
DFT
S ( )
功率谱 密度
功率谱密度的采样定理
功率谱密度的采样定理
❖ 证明：
功率谱密度的采样定理
连续时间
采样
离散时间
平稳随机 X (t)
X (n) 平稳随机
过程
过程
自相关 函数
Rc ( )
FT
功率谱 密度
Sc ()
R(m)
自相关 函数
DFT
S ( )
功率谱 密度
4 白噪声 SECTION 《随机信号分析》教学组
小结
1
小结
2
小结
3
4
离散时间随机过程的功率谱密度
平稳离散时间随机过程的相关函数
离散时间随机过程的功率谱密度
平稳离散时间随机过程的功率谱密度
奈奎斯特频率
离散时间随机过程的功率谱密度
平稳离散时间随机过程的功率谱密度
离散时间随机过程的功率谱密度
平稳离散时间随机过程的功率谱密度
性质
离散时间随机过程的功率谱密度
❖ 例7. ❖ 解：
确定时间 确知信号
S(t)
离散时间 确知信号
S(n)
平稳随机过程的采样定理
连续时间
平稳随机 X (t)
过程
离散时间
X (n) 平稳随机
过程
自相关 函数
Rc ( )
FT
功率谱 密度
Sc ()
R(m)
自相关 函数
DFT
S ( )
功率谱 密度
平稳随机过程的采样定理
理想白噪声
定义
理想白噪声
自相关函数
理想白噪声
自相关系数
第八讲随机过程的功率谱及性质与计算
电阻上消耗的功率的统计平均值. 若为各态历经过程，则有：
缺陷:不含 相位信息
G X()T l im 2 1 TEX T(,)2Tl im 21TXT(,)2
即：样本函数的功率谱密度代表随机过程的功率谱密度
6
随机性信号功率谱分析的一个例子
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0
100 200 300 400 500
t
2
2、能量型信号与功率型信号
若确定信号 s(t是) 时间t的非周期实函数，满足狄氏条件，且满
足：
s(t)dt
或
则 s(的t)傅立叶变换存在
s2(t)dt
能量有限，
能量型信号
S()s (t)ejtdt
频谱：幅度和相位随频率的分布
E s2(t)d t1 S ()2d
2
S() 2 能谱：能量随频率的分布
功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号
Plim1 Ts(t)2d t T 2TT
其能谱不存在，而功率谱存在
3
3、 随机信号功率谱密度的定义
随机信号的特点：
样本函数是功率有限信号 不存在傅立叶变换
如何定义随机信号的功率谱？
1）定义每个样本函数的功率谱（处理方法适用于确定性信号） 2）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均
这个定理要求不能应用于含有 直流分量或周期分量的随机信 RX (0) 号，功率谱密度是连续的
实际中含有直流分量和周期 分量的随机过程很多。
RX ()
s
2 X
mX2
0
相关函数的典型曲线 10
二、功率谱密度与自相关函数关系
维纳－辛钦定理的推广
第七讲 功率谱密度
SX
S0
2n 2m
a2 n2 2n2 L
b 2m2 2m2
L
a b
式中 S0 0 。上式要求有理函数的分
子、分母只出现偶次项的原因是因 SX ( )
为偶函数，又由于要求平均功率有限，所
以必须满足m n，且分母应该无实根。
若干相关函数及其对应的谱密度见书P255 表11.1(尤其是第一、五、七组）
0 为常数；
RX (t,t ) E{[Acos0t Bsin0t]
[Acos0(t ) Bsin0(t )]}
2 cos0 仅与 有关。
故{X (t)}是平稳过程。
（2）
lim 1 T T
2T
0
(1
2T
)
2
cos( 0
一傅氏变换对。即
SX RX
RX
ei
d
称为维纳-辛钦公式。
1
2
S
X
ei d
特别，当X t为实平稳过程时，上述公式为：
SX
2
0
RX
cos
d
RX
1
独立的随机变量，且
A ~ N (0, 2 ) , B ~ N (0, 2 )
（1）证明{X (t)}是平稳过程；
（2）证明{X (t)}具有均值各态历经性； （3）求 {X (t)}的平均功率； （4）求 {X (t)}的谱密度。
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功率谱密度
SX
()
lim
T
1 2T
E[
XT
()
2]
两个结论
1、
P A E x2 (t)
随机过程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平均得
到。若随机过程广义平稳
P A E x2 (t) E x2 (t)
2、
P 1
2
SX ()d
若随机过程广义平稳
E
x2
(t)
1
2
SX ()d
功率谱密度的性质
1
2
S
X
()e
j
d
对于广义平稳随机过程
RX (t,t ) RX ( ) A RX (t,t ) A RX ( ) RX ( )
则
SX ()
RX
(
)e
j
d
RX
(
)
1
2
S
X
(
)e
j
d
维纳－辛钦定理
双边带功率谱密度：功率谱密度分布在整个频率轴上， 称为双边带功率谱密度。
单边带功率谱密度：功率谱密度只定义在零和正的频率 轴上，成为单边带功率谱密度。
(3) (三角不等式 ) x y x y ，x, y Rn. 则称 x 为向量x的范数.
在向量空间 Rn(C n )中,设x ( x1 , x2 ,, xn )T 常用的向量x的范数有
1 范数 x 1 x1 x2 xn
2 范数 x 2 ( x1 2 x2 2 xn 2 )12
2
x(t) lim 1 T x(t) 2 dt
2
T 2T T
向量范数
定义1. 对于n维向量空间 Rn中任意一个向量 x,
若存在唯一一个实数 x R与x对应，且满足 (1) (正定性 ) x 0,且x Rn , x 0 x 0;
(2) (齐次性) x x ，x Rn , R;
S
X
(
)
lim
T
1 2T
T T
T T
RX
(t1, t2 )e
j(t2 t1)dt1dt2
得
S
X
(
)
lim
T
1 2T
T t T t
T
T RX (t,t )dt
e j d
SX ()
lim T
1 2T
T T
RX
(t,
t
)dt
e
j
d
A
RX (t,t )
e j d
A RX (t,t )
随机过程的功率谱密度
2020/8/15
1
引言
在许多领域的理论与实际应用中，广泛应用到傅立叶变
换这一工具。一方面由于确定性信号的频谱、线性系统的频
率响应等具有鲜明的物理意义。另一方面，在时域上计算确
定性信号通过线性系统必须采用大量的卷积运算，转换到频
域上分析时，可以变换成简单的乘积运算，从而使运算量大
2
X
X
(T , ) X
* X
(T , )
X
* X
(T
,
)
X
X
(T
,
)
X X (T, ) 2
4、功率谱密度可积，即
SX ()d
功率谱密度与自相关函数
功率谱密度的表达式为
SX
()
lim
T
E
X
X (T 2T
,)
2
其中
X X (T ,)
xT
(t
)e
jt
dt
X
X
(T , )
2
X
X
(T , )
范数
x
max 1in
xi
p 范数, p 1
x
p
(
x1pBiblioteka x2pxn
p
1
)p
显然
x
和
1
x2
是
x
p在p 1和p 2时的特例
确定信号的频谱和能量谱
设信号s(t)为非周期实函数，且满足：
1)
s(t) dt
，即s(t)绝对可积；
2) s(t)在内只有有限个第一类间断点和极值点。
那么，s(t)的傅立叶变换存在，为
1、功率谱密度为非负的，即
SX () 0
SX
()
lim
T
E
X
X (T 2T
,)
2
2、功率谱密度是ω的实函数。
3、对于实随机过程来说，功率谱密度是ω的偶函数，即
SX ()＝SX (－)
截取函数 xT (t) 为t的实函数，根据傅立叶变换的性质
X
* X
(T ,)
X
X
(T ,
)
于是
XX
(T , )
xT
(t
)
x(t 0
)
t T 其他
x(t)
-T
T
t
截取函数的傅立叶变换
X X (T,)
xT
(t
)e
jt
dt
截取函数应满足帕塞瓦定理
xT
(t)
1
2
X
X
(T
, )e
jt d
T x(t)2 dt 1
T
2
2
X X (T ,) d
两边同除以2T可得
1
2T
T x2 (t)dt 1
T
2T *2
S () s(t)e jtdt
又称为频谱密度，也简称为频谱。
信号s(t)可以用频谱表示为
s(t) 1 S()e jtd
2
信号s(t)的总能量为 E s2 (t)dt
根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的 能量等于频域内信号的能量。即
E s2 (t)dt 1
2
S() d
2
其中 S() 2 称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。
有限能量信号：
在的条件
s2 (t)dt
是能量谱密度存
随机信号的功率
样本函数x(t)不满足绝对可积的条件，但功率是有限的
P lim 1 T x(t) 2 dt T 2T T 因此，可以研究随机过程的功率谱。
样本函数x(t)的截取函数
为减少，因而傅立叶变换是确定性信号分析的重要工具。
在随机信号分析领域能否应用傅立叶变换，随机信号是否
存在某种谱特征？回答是可以，不过在随机信号情况下，必
须进行某种处理以后，才能应用傅立叶分析这一工具。因为
一般随机信号的样本函数不满足傅立叶变换的绝对可积条件
，即
x(t) dt
确定信号的大小、能量和功率 6.1确定信号的大小、能量和功率
通常用信号在其定义域内的总量来表示信号的大小， 称为信号的规范量。
一阶规范量，若模可积，即满足
x(t) dt
则一阶规范量定义为
否则定义为
x(t) x(t) dt
1
x(t) lim 1
T
x(t) dt
1 T 2T T
二阶规范量，若模可积定义为
否则定义为
x(t) x(t) 2 dt
2
X X (T ,) d
取集合平均可得
E
1 2T
T T
x2
(t)dt
E
2T
1 *
2
XX
(T ,)
2
d
随机过程的平均功率
lim 1
T 2T
T T
E
x2 (t)
dt
1
2
lim
E
XX
(T ,)
2
d
T
2T
P lim 1 T 2T
T T
E
x 2
(t)
dt
1
2
SX ()d
X
* X
(T , )
功率谱密度可表示为
SX
()
lim
T
E
1 2T
T T
x(t1 )e
jt1 dt1
T T
x(t2
)e
jt2
dt2
lim 1 T 2T
T T
T
E
T
x(t1)x(t2 ) e e jt1 jt2 dt1dt2
由
E[ X (t1) X (t2 )] RX (t1, t2 ) , T t1, t2 T