谐振子
谐振子能量与动量的演化规律研究
谐振子能量与动量的演化规律研究谐振子是物理学中经常被研究的一个重要模型，研究谐振子的能量与动量的演化规律对于理解实际系统的振动行为和量子力学的基本概念具有重要意义。
在本文中，我们将探讨谐振子的能量和动量随时间的变化规律，并分析其物理意义和应用。
一、谐振子的能量演化规律谐振子的能量演化规律是由其势能和动能随时间的变化所决定的。
谐振子的势能可以表示为梯度势能的形式，并且与谐振子的位移平方成正比，即V(x) = 1/2kx^2，其中k为弹性系数。
谐振子的动能可以表示为其速度平方与质量的乘积的一半，即K = 1/2mv^2，其中m为质量。
在谐振子振动的过程中，能量在势能和动能之间不断转换，而总能量保持不变。
当谐振子位移最大时，动能为零，而势能最大，当谐振子经过平衡位置时，势能为零，动能最大。
这种势能和动能之间的变化使得谐振子能量随时间周期性地变化。
谐振子的能量可以用振动频率和振幅来表示。
振动频率越高，能量变化的频率也越高；振幅越大，能量的变化幅度也越大。
这一特性在实际系统中具有广泛的应用，例如在电子学中，谐振子经常用于信号的放大和滤波。
二、谐振子的动量演化规律谐振子的动量可以表示为其质量与速度的乘积。
在谐振子振动的过程中，其速度和加速度随时间的变化呈正弦函数关系。
根据牛顿第二定律F = ma，谐振子所受合力与其加速度成正比。
由于谐振子势能与位移平方成正比，根据哈密顿原理，谐振子的势能关于位移的导数就是其所受的恢复力。
因此，谐振子受力与位移成正比，谐振子振动的运动规律满足胡克定律。
在谐振子振动的周期内，其动量也随时间周期性地变化，同时动量的绝对值保持不变。
当谐振子位移最大时，速度为零，动量为零；而当谐振子经过平衡位置时，速度最大，动量达到最大值。
这种动量的周期性变化在量子力学中也有重要的应用，例如在原子和分子的能级跃迁中，动量的守恒规律是非常关键的。
三、谐振子能量与动量的物理意义与应用谐振子能量与动量的演化规律研究对于理解实际系统的振动行为和量子力学的基本概念具有重要意义。
第五章 谐振子
c 2 k +1 B a2 k +1 = (−1) k , k = 0,1,2,3,... (2k + 1)!
所以，我们有：
y = ∑ an x n =
n =0
n=2
∞
将上述两个微分带入原方程，得：
∑ n(n − 1)a x
n=2 n
∞
n−2
+ ∑ c an x = 0
2 n n =0
∞
为求解方便，需将上述等式左边的两个级数合并。
假设某些条件存在，我们能够将下述两个无穷级数诸 项相加以得到它们的加和：
b j x + ∑ c j x = ∑ (b j + c j ) x j ∑
l =0
若令c0＝0，则得另一独立的解：
ψ =e
−αx / 2
2
n n =1, 3, 5...
∑c x
∞
n
=e
−αx / 2
2
∑c
l =0
∞
2 l +1
x
2 l +1
所以薛定谔方程的通解为：
ψ = Ae −αx
2
/2
c2l +1 x 2l +1 + Be −αx ∑
l =0
∞
2
/2
c2 l x 2 l ∑
考察微分方程： 考察微分方程：
y′′( x) + c 2 y ( x) = 0
求解方法：
（c2为实正数）
（1）利用常系数微分方程的辅助方程s2+c2=0及其通解。 （2）幂级数法求解。 假设方程的解可在x=0附近用泰勒级数(Taylor series) x=0 (Taylor 展开，即：
机械振动中的谐振子模型
机械振动中的谐振子模型机械振动是物体围绕平衡位置进行周期性的往复运动。
在机械振动中，谐振子模型是一种常见的模型，用于描述弹簧振子、摆锤等振动系统的运动规律。
本文将介绍机械振动中的谐振子模型的基本概念、运动方程以及应用。
一、谐振子模型的基本概念谐振子是指在无外力作用下，仅受弹性力作用的振动系统。
它由一个质点和一个弹簧组成，质点沿直线上下运动，弹簧保持形变。
谐振子的基本特点是振动周期恒定，振幅有限。
二、谐振子的运动方程谐振子的运动方程可以用微分方程表示。
设谐振子的质量为m，弹簧的劲度系数为k，在没有外力作用下，质点的运动可以用以下微分方程描述：m(d²x/dt²) + kx = 0其中，x表示质点距离平衡位置的位移，t表示时间。
这是一个二阶线性微分方程，解该方程可以得到谐振子的振动规律。
三、谐振子的振动特性谐振子具有许多独特的振动特性，如振动频率、振幅和相位等。
1. 振动频率：谐振子的振动频率与其劲度系数和质量有关。
振动频率的公式为f = 1/(2π) * √(k/m)，其中f表示振动频率。
2. 振幅：振幅是指谐振子振动时达到的最大位移量。
振幅与谐振子的初始条件有关。
3. 相位：相位描述的是谐振子在振动过程中的状态。
相位可以用角度或时间表示。
四、谐振子模型的应用谐振子模型在许多领域中都有广泛的应用。
1. 摆钟：摆钟是利用摆锤的谐振子模型来测量时间的装置。
2. 力学振动系统：谐振子模型广泛应用于弹簧振子、单摆、双摆等力学振动系统的研究。
3. 电路振荡器：电路振荡器中的LC振荡器、RC振荡器等也可以看作是谐振子模型。
总结：机械振动中的谐振子模型是一种常见的模型，用于描述振动系统的运动规律。
谐振子模型的基本概念、运动方程以及振动特性都可以通过数学方法进行描述。
谐振子模型的应用广泛，不仅局限于力学振动系统，还包括摆钟和电路振荡器等领域。
研究谐振子模型有助于深入理解机械振动的规律，并在实际问题中进行应用。
三维谐振子的能级简并度
三维谐振子的能级简并度三维谐振子是量子力学的一个重要模型，用来描述具有三个自由度的谐振系统。
它可以用来研究原子、分子、固体物质等多种系统的能量结构和性质。
能级简并度是指具有相同能量的态的数量，对于理解系统的性质具有重要的意义。
首先，让我们了解什么是谐振子。
谐振子是一个具有恢复力的系统，当受到外力扰动时，它会回到平衡位置附近，形成周期性的振动。
在三维谐振子模型中，它具有三个坐标自由度，分别对应于空间的三个维度。
这三个自由度可以描述为x、y和z方向上的位移。
对于一个具有三个自由度的谐振子，它的能级简并度可以通过求解谐振子的本征态得到。
本征态是系统能量的特定解，对应于具有确定能量的态。
能级简并度指的是具有相同能量的本征态的数量。
在三维谐振子中，每个能级可以用三个整数（nx、ny和nz）来表示，分别对应于x、y和z方向上的量子数。
能级简并度可以通过对这些量子数进行组合得到。
例如，对于能量为E的某个能级，我们可以找到满足以下条件的整数解（nx，ny，nz）：(nx + 1) + (ny + 1) + (nz + 1) = E我们可以将能级简并度定义为满足这个条件的整数解的数量。
根据这个方程，我们可以发现nx、ny和nz的取值范围与能级E有关，但满足该条件的整数解并不唯一。
因此，能级简并度是通过组合nx、ny和nz的不同取值得到的。
三维谐振子的能级简并度与能量的关系可以通过计算得到。
对于任意的能级E，我们可以计算满足(nx，ny，nz)条件的整数解的数量。
由于nx、ny和nz是非负整数，因此能级简并度是一个非负整数。
能级简并度的计算可以通过数学方法或计算机模拟来实现。
能级简并度在研究物体的量子性质时具有重要意义。
它反映了系统的对称性和相互作用。
对于一个具有高能量简并度的系统，它的量子态将更加多样化和复杂化。
例如，对于具有较大能量的谐振子，能级简并度将比低能级的谐振子更高，对应着更多的量子态。
这将导致谐振子在热力学平衡态下具有更多的熵，即更多的微观状态数。
谐振子
O
2) 由： A
02
2 0
和已知条件：
2
0
x0
b
x0
mg k
0.05
m
b
O' 0
x0
可得：A 0.07 m
x
3)
由
tg 0
0 0
1
和初速度为负值，可知：0 4
4) (t) Acos(t ) 0.07cos(4t 4) (m)
5) E 1 kA2 0.039 (J) 6) 做图略
x0
和速度
0，由：
x0
Acos Asin
0
联立可得：
A
x02
2 0
2
tg1( 0 ) x0
简谐运动实例：
( 1 ) 单摆
准弹性力：
l
1. 细线质量不计 约
ft mg
定 2. <5 以保证sin 由牛顿定律：
m
ft
3. 阻力忽略不计
ft
பைடு நூலகம்
mg
mat
m
l
ml
d2
dt 2
mg
d2g 0
dt2 l
一个作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合外力 与它对于平衡位置的位移成正比而反向。这样的力称为 恢复力(Restoring Forces)。
2. 动力学方程 (以水平弹簧振子为例)
由 f ma m d2 x dt2
及 f kx 得
f
k
m
0x
x
弹簧振子
d2 x m d t 2 kx
d 2x dt2
§4.2 谐振子(动力学部分) (Harmonic Oscillator)
共振频率与谐振子振幅的关系分析
共振频率与谐振子振幅的关系分析共振是物体在受到外界驱动力作用下产生的一种特定的振动现象。
共振频率是指在某种外界驱动力下，物体产生最大振幅的频率。
而谐振子是一种能够在特定频率下产生共振现象的物体。
在这篇文章中，我们将探讨共振频率与谐振子振幅的关系。
首先，我们来了解一下谐振子的基本特性。
谐振子是指在无阻尼和无外界干扰的情况下，能够以某个特定频率在一个或多个自然频率上产生共振现象的物体。
在谐振子振幅的分析中，我们需要考虑到其固有频率和外界驱动力。
固有频率是指谐振子自身特有的振动频率，它与谐振子的物理性质和形状相关。
可以用f0表示。
我们可以通过测量谐振子在自由振动时的振动频率来获得该谐振子的固有频率。
通过对谐振子的固有频率的了解，我们可以确定共振时谐振子应该受到的外界驱动力的频率范围。
外界驱动力是指作用在谐振子上的外部力量，可以是周期性的或非周期性的。
在探讨共振频率与谐振子振幅的关系时，我们主要关注周期性驱动力。
周期性驱动力可以使用振动频率f表示。
当外界驱动力与谐振子的固有频率相等时，谐振子会产生共振现象，并达到最大振幅。
这个频率就是共振频率fr。
共振频率与谐振子振幅之间存在一种正比关系。
当外界驱动力的频率与谐振子的固有频率接近时，谐振子的振幅逐渐增大。
当频率与固有频率相等时，振幅达到最大值。
而当外界驱动力的频率与谐振子的固有频率偏离时，谐振子的振幅会逐渐减小。
这种现象可以用共振曲线来描述。
共振曲线是描述共振频率与谐振子振幅关系的图形。
它呈现出一种“钟形”曲线，中央部分是振幅最大的共振区域。
当外界驱动力的频率逼近共振频率时，振幅急剧增大。
当频率偏离共振频率时，振幅逐渐减小。
共振曲线的特点是在共振频率附近振幅变化最为显著，而在其他频率下变化很小。
通过对共振频率与谐振子振幅关系的分析，我们可以得出以下结论：1. 谐振子的固有频率与共振频率是密切相关的。
谐振子的固有频率决定了共振现象能够发生的频率范围。
2. 谐振子的振幅在共振频率附近达到最大值。
谐振子简谐运动与振动现象
谐振子简谐运动与振动现象谐振子是物理学中一个重要的概念，描述了一种特定的振动现象。
在本文中，我们将探讨谐振子的简谐运动以及相关的振动现象。
谐振子是指一个具有固定频率的振动系统。
它由一个质点和一个与之相连的弹簧构成。
当谐振子受到外力作用时，它会发生振动。
在没有外力作用的情况下，谐振子的振动被称为简谐运动。
简谐运动是指一个物体在恢复力的作用下，沿着一条直线上往复振动，并且振动的周期是恒定的。
简谐运动的特点是振动物体的加速度与位置成反比，加速度的方向与位置的相对方向相反。
谐振子的振动现象包括频率、振幅和相位等。
频率是指单位时间内振动的次数，通常用赫兹（Hz）表示。
振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离。
相位是指振动物体当前位置相对于某一起始位置的偏移量。
谐振子的振动现象还包括共振现象。
共振是指谐振子受到外力作用，外力的频率与谐振子固有频率相等或接近，导致振幅剧增的现象。
共振现象在很多领域都有应用，例如音乐乐器中的共鸣现象。
除了共振，还有一些其他的振动现象与谐振子相关。
谐波振动是指谐振子振动的频率是一个基频的整数倍，例如三倍频、五倍频等。
谐波振动在声学和电磁学中都有应用。
另一个与谐振子相关的振动现象是衰减振动。
衰减振动是指谐振子受到外力作用后，由于摩擦或其他耗散机制的存在，振动的幅度逐渐减小。
衰减振动在很多实际系统中都很常见，例如钟摆的摆动。
总结起来，谐振子的简谐运动是一种具有固定频率的振动现象。
谐振子的振动现象包括频率、振幅、相位、共振、谐波振动和衰减振动等。
理解和应用谐振子的振动现象对于物理学和工程学都具有重要意义。
通过研究谐振子，我们能更好地理解和描述自然界中许多振动现象的规律。
谐振子容许动量
谐振子容许动量谐振子容许动量是指在谐振子系统中，系统能够拥有的动量范围。
谐振子是一种简单而又重要的物理模型，广泛运用于各个领域，如光学、力学等，并且对于研究谐振子容许动量的性质具有重要意义。
谐振子容许动量的概念基于量子力学的思想，量子力学认为能量是离散而不连续的，这意味着谐振子的能量也是量子化的。
而谐振子容许动量的大小与谐振子的势能函数以及物理量子数有关。
在经典物理学中，谐振子容许动量的取值是连续的，无限制的。
然而，在量子力学中，谐振子容许动量的取值受到一定限制。
首先，我们需要了解谐振子的势能函数。
谐振子以势能函数的形式来描述其受力情况，通常使用的是二次势能函数。
在二次势能函数的情况下，谐振子的能级是等间隔的，能级之间的能量差是一个固定值，也就是所谓的能级间距。
其次，物理量子数也对谐振子容许动量产生影响。
物理量子数可用来描述谐振子量子态的特征，它与谐振子的能量、动量、角动量等受限制的变量有关。
在谐振子系统中，物理量子数分为主量子数n、角量子数l和磁量子数m，它们的不同取值将对谐振子容许动量产生不同的影响。
在谐振子容许动量的研究中，我们常常使用的是动量算符和动量本征态。
动量算符是用来获得谐振子的动量值的运算符，而动量本征态则代表着具有确定动量值的谐振子态。
根据动量算符的性质，我们可以得到谐振子容许动量的量子化条件。
谐振子容许动量的量子化条件为：动量取值只能是一个定值的整数倍，而且这个定值与谐振子系统的能级间距（能量差）有关。
这意味着谐振子容许动量是量子化的，只能取一些特定的值。
换句话说，谐振子容许动量离散且有限制。
谐振子容许动量的量子化条件对于理解和研究谐振子系统具有重要的指导意义。
首先，它解释了为什么在谐振子系统中，物体只能处于特定的动量状态，而不是任意的动量状态。
其次，谐振子容许动量的量子化条件也为实验提供了指导，例如在量子光学实验中，我们可以根据谐振子容许动量的量子化条件来选择特定的激光频率和能量，从而实现谐振子系统的操控。
牛顿力学中的弹簧振动与谐振子
牛顿力学中的弹簧振动与谐振子弹簧振动是牛顿力学中一个重要的研究课题，也是谐振子的一种典型实例。
弹簧振动可以帮助我们更好地理解质点在弹簧力作用下的运动规律，并且在实际生活中也有广泛的应用。
首先，我们先来探讨弹簧振动的基本原理。
当一个质点被连接到一根弹簧上时，弹簧受到外力作用会发生形变，并产生弹力。
根据胡克定律，弹簧的弹力与形变成正比，且方向与形变相反。
当质点偏离平衡位置时，弹簧会产生弹力将质点引向平衡位置，而当质点越过平衡位置时，弹簧又会产生相反方向的弹力，使质点产生与前一时刻相反的加速度。
这样，质点在弹簧的作用下便会产生周期性的运动，即弹簧振动。
那么，什么是谐振子呢？谐振子指的是在一定条件下，振动系统的运动方式呈现出谐振的特征。
弹簧振动即是一种典型的谐振子。
研究谐振子的特性可以帮助我们进一步理解弹簧振动。
谐振子具有周期性、振幅相同、频率一致的特点。
在弹簧振动中，质点在周围的平衡位置附近以相同的频率振动，并且振幅不断减小，直到最终停止振动。
弹簧振动的频率与质点的质量以及弹簧的劲度系数有关。
根据物理学公式，弹簧振动的频率可以通过以下公式计算：f = 1 / (2π) * √(k / m)，其中f表示频率，k为弹簧的劲度系数，m为质点的质量。
可以看出，频率与弹簧的劲度系数成正比，与质点的质量成反比。
这意味着，当弹簧的劲度系数增加或质点的质量减小时，弹簧振动的频率会增大。
相反，当弹簧的劲度系数减小或质点的质量增大时，弹簧振动的频率会减小。
弹簧振动在生活中有着广泛的应用。
例如，我们在日常生活中使用的钟表就是靠着弹簧振动来计时的。
钟表中的机械振荡器通过弹簧的收缩和伸长来实现定时的功能。
此外，弹簧振动还可以应用于乐器制造。
在钢琴、吉他等乐器中，音弦或音板的振动就是通过弹簧的机制来实现的，从而产生特定音高和音色的声音。
总结起来，弹簧振动是牛顿力学中的一个研究课题，也是谐振子的一个典型实例。
通过研究弹簧振动，我们可以更深入地理解质点在弹簧力作用下的运动规律，并且应用弹簧振动的原理可以解释许多实际生活中的现象和应用。
谐振子运动方程
谐振子运动方程谐振子是物理学中一个重要的模型，用于描述有固定平衡位置的物体在受到力的作用下的振动。
谐振子在很多领域都有应用，比如机械振动、电路振荡以及量子力学等。
通过对谐振子的研究，可以深入理解振动的特性和规律。
谐振子的运动方程是描述谐振子振动的基本方程。
在经典力学中，一个简单的谐振子由质点和弹簧组成，并且假设没有外力作用。
谐振子的运动方程可以通过牛顿第二定律推导出来。
我们假设一个质量为m的质点沿着一条直线上运动，它与原点处的一个弹簧相连接。
弹簧的劲度系数为k，原点是谐振子的平衡位置。
当质点偏离平衡位置时，弹簧会施加一个与质点位移成正比的力。
根据胡克定律，弹簧对质点的作用力可以表示为F = -kx，其中F是作用在质点上的力，x是质点的位移。
根据牛顿第二定律，当质点受到的合力不为零时，它将加速度。
因此，我们可以得到方程m*a = -k*x，其中a是质点的加速度。
由于加速度是位移的二阶导数，我们可以将运动方程改写为二阶微分方程m*x'' = -k*x。
这是一个关于位移x的二阶常微分方程，解此方程即可得到谐振子的运动方程。
我们假设解的形式为x(t) = A*cos(ωt + φ)，其中A是振幅，ω是角频率，φ是相位常数。
将上述解代入运动方程中，我们可以得到ω的表达式。
由于二阶导数为负号，我们可以得到方程-m*ω^2*A*cos(ωt + φ) = -k*A*cos(ωt + φ)。
两边化简后得到-m*ω^2 = -k，即ω =sqrt(k/m)。
从上述解中可以看出，谐振子的振动是一种简谐运动，即振幅不变、频率恒定的振动。
在运动过程中，质点在平衡位置附近往复振动，通过正弦函数描述运动曲线。
谐振子在物理学中有很多应用。
在机械振动中，谐振子可以用来模拟弹簧振子、摆锤等物体的振动。
在电路中，电感和电容组成的电路也可以看作谐振子。
此外，在量子力学中，谐振子是描述原子和分子的振动性质的重要模型。
总结起来，谐振子的运动方程是一个关于位移x的二阶微分方程。
量子力学中的谐振子
量子力学中的谐振子量子力学中的谐振子是一种基础的量子力学系统，它在研究原子、分子和固体物质等领域有着重要的应用。
本文将介绍谐振子的基本概念、数学描述以及其在量子力学中的应用。
1. 谐振子的基本概念谐振子是指一个物理系统在平衡位置附近发生振动时，满足线性回复定律的系统。
它的运动可以用势能函数的二次项来描述。
在量子力学中，谐振子的势能函数可以写为：V(x) = 1/2 kx^2其中V(x)表示势能，k为弹性常数，x为谐振子的位移。
谐振子的基态能量为零，且能级是等间隔的。
谐振子的能量具有量子化特性，其能级公式为：E_n = (n + 1/2)ħω其中E_n表示第n级能量，ħ为约化普朗克常数，ω为谐振子的频率。
2. 谐振子的数学描述谐振子的数学描述可以通过谐振子算符实现。
谐振子算符包括产生算符a^+和湮灭算符a，它们满足以下关系：[a, a^+] = 1谐振子的波函数可以用谐振子算符的本征态表示，即：a|n⟩= √n|n-1⟩a^+|n⟩= √(n+1)|n+1⟩其中|n⟩表示第n级本征态。
谐振子算符的本征态是谐振子算符的共同本征态，同时也是能量算符的本征态。
谐振子算符和能量算符之间的关系可以通过谐振子算符的乘积表达：N = a^+ aH = (N + 1/2)ħω其中N为数算符，H为能量算符。
3. 谐振子的应用谐振子在量子力学中有着广泛的应用。
以下介绍谐振子在原子、分子以及固体物质领域的应用。
在原子物理学中，谐振子模型可以用来描述氢原子中电子围绕原子核的振动。
谐振子模型能够计算出氢原子的能级和波函数，从而揭示电子在氢原子中的行为。
在分子物理学中，谐振子模型可以用来描述化学键的振动。
例如，当分子中的原子围绕键的平衡位置发生微小的振动时，可以使用谐振子模型来计算分子的振动能级和谱带。
在固体物理学中，谐振子模型被广泛应用于描述固体中的晶格振动。
固体中原子的排列形成了晶格结构，晶格振动对于固体的热性质、导电性等起着重要作用。
R(五章2讲)谐振子
2 E 8 2
y
2
( x ) 2
1 2
小于零，故取正 零点能正是不确 定关系所要求的 最小能量
1 2 2 2
2. n 具有确定宇称
n ( ) Nne
1 2
3. 概率问题
2 1 2 x2 2 n ( x) e H ( x ) n n 2 n!
1
( 1/ 4 基态本征函数： 0 ( x) ( ) e
x2
2
)
1 在 x | a | 处的势能：V (a ) 1 2 x 2 1 2 ( 1 ) 2 2 2 1 2 1 1 ( ) E0 2 2
px 1 • 谐振子哈密顿量： H 2 x 2 2 2 1 2 2 • 谐振子能量： E a 2
2
哈密顿与谐振子位置之间呈连续 函数关系。
经典允许的振动范围
半经典谐振子
能量为E 的粒子在谐振势中的活动范围为
p 2m[E V ( x)]
E V ( x) x a 1 m 2 x 2 2
n ( x) Nne
x
H n ( x)
2
n * x n dx N n 2 xe
x2
H n (x )dx
2
0
p
ˆ n dx n * p
n * (i ) n dx x
( i
)* n dx i n n * dx x x
于是方程（1）可写成 （二） 方程的求解
量子力学3.3一维谐振子
x 的 n 次多项式，当 n 为奇数时，只存在奇幂次； 因 H n ( x ) 为
当 n 为偶数时，只存在偶幂次。
( 1) n 。 所以： n ( x ) ( 1) n n ( x ) ，即宇称为
(3) n 有 n 1 个极大值，有 n 个零点（与经典分布不同） ，分 布关于 y 0 对称。
1 2 2 x 2 0 ( x) e 3
（偶宇称）
（奇宇称）
5 n 2, 第二激发态 E2 ， 2 1 1/ 2 x 2 2 2 ( x) (2 x 1)e 2 2
2 2
（偶宇称）
三、结果讨论
1.能级
1 E n (n ) 2
n 0,1,2,...
(1)能量是量子化的，且相邻能级的间距
E n E n 1 E n
即能级是等间距的。 1 E （基态能量） (2)存在零点能 0 。 2 在T 0 时也有振动，这是旧量子论中没有的，已被实验所
证实，这纯属量子效应，是由于微观粒子具有波粒二象性所导 致的。
§3.3
一维谐振子
引
言
1.经典谐振子
在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力 F k x 作 用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：
d 2x 2 k x x 2 x 0 k dt 其解为 x A cos t 。这种运动称为简谐振动，作这种运
代入方程(4)得u( )所满足的方程 2 d H dH 2 ( 1) H ( ) 0-------- 3 2 d d
这就是所谓的Hermite 方程。
0为方程的常点，可在 0邻域用幂级
量子力学中的谐振子模型与能级结构
量子力学中的谐振子模型与能级结构量子力学是一门研究微观粒子行为的科学，其中谐振子模型是研究非常重要且常见的一种模型。
在这篇文章中，我们将探讨谐振子模型在量子力学中的应用以及与其相关的能级结构。
1. 谐振子模型的基本概念谐振子模型是通过描述一种具有平衡位置的物理系统的振动来建立的。
它假设系统的势能函数与物体偏离平衡位置的平方成正比，即V(x) = kx^2，其中k是弹性常数，x是物体相对平衡位置的位移。
在量子力学中，谐振子模型可以应用于描述原子核、分子振动以及固体中的晶格振动等多个领域。
2. 能级结构的计算在量子力学中，我们通过求解谐振子模型的定态薛定谔方程来计算其能级结构。
定态薛定谔方程可以写为HΨ = EΨ，其中H是哈密顿算符，Ψ是波函数，E是能量。
由于谐振子的哈密顿算符是一个二次型，我们可以将其转化为简化形式，使其更易于求解。
3. 能级结构的计算方法求解谐振子模型的能级结构有多种方法，其中最常用的方法是升降算符法和求解本征值问题。
升降算符法是通过定义两个算符a±来实现的，这两个算符分别与谐振子的产生和湮灭操作相关联。
利用这两个算符，我们可以构造出能量算符和Hamilton算符的升降算符，从而求解出能级。
4. 能级结构的性质谐振子的能级结构具有一些特殊的性质。
首先，能级是均匀分布的，能量间隔相等。
其次，能级是分立的，不存在连续能量的情况。
此外，谐振子模型的基态能量是非零的，且存在一个最低能级。
这些性质使得谐振子模型成为描述实际物理系统的重要工具。
5. 谐振子模型的应用谐振子模型在物理学中有广泛的应用。
它可以用来描述原子核振动、固体中的晶格振动以及分子的振动等现象。
此外，在量子计算和量子通信领域，谐振子模型也被广泛应用于构建量子比特和实现量子门操作。
总结：本文主要介绍了量子力学中谐振子模型与能级结构的相关内容。
谐振子模型是描述具有平衡位置的物理系统振动的模型，求解谐振子的能级结构可以通过升降算符法和解本征值问题等方法来实现。
3.谐振子
谐振子•自然界中广泛碰到简谐运动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子的振动，晶格的振动等，在选择适当的坐标系之后，往往可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动，所以谐振子的研究无论在理论上还是在应用上，都很重要。
1.谐振子问题在不同表象下的能量本征值的求解—结合习题3.12.外场中的谐振子--结合习题3.43.求解非定态势场中的谐振子问题—结合习题3.64.三维谐振子不同表象下的谐振子•1.1.占有数表象中谐振子本征值和本征方程占有数表象中谐振子本征值和本征方程的求解的求解（（引入升降算符求解波函数和能量本征值本征值））•2.X 2.X表象中谐振子本征值和本征方程的求解表象中谐振子本征值和本征方程的求解谐振子的占有数表象算符算符a a 不是厄米自共轭算符不是厄米自共轭算符，，但是它是厄米共轭算符但是它是厄米共轭算符：：,2a a αβ+= h•现在我们要求解上述对易关系式现在我们要求解上述对易关系式，，就是以这个对易关系式为出发点关系式为出发点，，采用适当的表象采用适当的表象，，求出求出a a 和的矩阵形式的矩阵形式。
a +可以证明可以证明，，算符算符N N 是厄米算符…n+2,n+1,n,n n+2,n+1,n,n--1,n 1,n--2…但是但是，，这一序列可以无限向右方延伸下去这一序列可以无限向右方延伸下去，，其本征值必须非负其本征值必须非负，，可以证明可以证明：：N 的本征值谱a+矩阵的不为零的矩阵元是⇒我们可以写出算符x x和p在占有数表象中的矩阵元我们可以写出算符坐标表象中的谐振子严格的谐振子势是一个无限深势井严格的谐振子势是一个无限深势井，，因此粒子仅存在束缚态。
其边界条件其边界条件：：⇓⇒只有当下式满足时只有当下式满足时，，厄米方程才有一个多项式解厄米方程才有一个多项式解（（厄米多项式多项式），），），才能满足边界条件才能满足边界条件才能满足边界条件。
归一化谐振子的波函数归一化谐振子的波函数：：⇓注意，nn n n x im p ,1,1++=ω1,1,++−=n n n n x im p ωa a 和+a a 和+a a 和+式（26）反映了算符的主要性质，因此常将分别称为量子数升、降算符。
第三章 谐振子
第三章 谐振子一 内容提要1 一维线性谐振子的能级与波函数2221)(x x V μω= 222212ˆˆx p Hμω+= ,3,2,1)21(=ω+=n n E n)()(2221x H eN x n x n n α-=ψ [其中 !2n N n n πα=μω=α ] 2 谐振子的升降算符 [1] 升降算符)ˆˆ(2ˆp i x aμω-μω=+ )ˆˆ(21p ix μω-α= )ˆˆ(2ˆp i x aμω+μω= )ˆˆ(21pix μω+α= 则 )ˆˆ(2ˆ++μω=a ax)ˆˆ(2ˆ+-μω-=a a i p [2] 升降算符的性质11ˆ++ψ+=ψn n n a1ˆ-ψ=ψn n n a1]ˆ,ˆ[=+a a二 例题讲解1 一维谐振子如果考虑非谐振微扰项4'ˆx Hλ=，求体系能级的一级修正。
解：>+<μωλ>=<λ>==<+n a an n x n n Hn E n 424')1()ˆˆ()2(ˆ 可以导出 )122(3)ˆˆ(24++>=+<+n n n a an 那么 =)1(n E )122()(4322++μωλn n2 已知单摆在重力作用下能在竖直平面内摆动。
求：[1] 小角度近似下，体系的能量本征值及归一化本征函数。
[2] 由于小角度近似而引起的体系基态能级的一级近似。
解：摆球平衡位置作为势能零点 摆球重力势能为)cos 1(θ-==mgl mgh V （1）[1] 由公式 -θ+θ-=θ42!41!211c o s（2）得在小角度近似下的二级修正势能为：2221))211(1(θ=θ--≈mgl mgl V （3）体系Hanmilton 为V L IV mr mv r V mv H z +=+⨯=+=ˆ21)(2121ˆ222 即：22221)(21ˆθ+θ=mgl d d i ml H（4） 当 θ≈θ=→θl l x sin 0设 lg =ω （4）可以变为22222212ˆx m dx d m H ω+= （5） （5）与一维谐振子类似，则（5）的解为：,3,2,1)21(=ω+=n n E n)()(2221x H eN x n x n n α-=ψ [其中 !2n N n n πα=μω=α ] （6） [2] )cos 1()(21ˆ22θ-+θ=mgl d d i ml H（7） 则微扰项20'21)cos 1(ˆˆˆθ-θ-=-=mgl mgl H H H （8） 以（2）式取前三项代入（8）得434'241!41ˆmgx l mgl H-=θ-= （9） 利用上题可以得到=)1(n E )122())(241(43223++ω-n n m mg l )122()(321223++ω=n n m mg l3 质量为m 的粒子处于一维谐振子势场)0(21)(21>=k kx x V 的基态[1] 如果弹性系数k 突然变为k 2，即势场变为)0()(22>=k kxx V ，随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场)(2x V 的基态的概率；[2] 势场突然由)(1x V 变成)(2x V 后，不进行测量，经过一段时间τ后，势场又恢复成)(1x V ，问τ取什么值时粒子仍恢复到原来)(1x V 场的基态（概率100%）？解：[1] 粒子的波函数),(t x ψ随时间变化应满足dinger o Schreq ψ+∂ψ∂-=ψ∂∂V xm t i 2222 当V 突然改变（由)(1x V →)(2x V ），但变化量有限时ψ仍然是t 的连续函数，即V 突变时ψ不变。
8-谐振子
渐近形式，我们自然会令：
( ) H ( )e
2 / 2
• 其中 H(ξ) 必须满足波函数的单值、有限、连 续的标准条件。即： l ① 当ξ有限时，H(ξ)有限； l ② 当ξ→∞时，H(ξ)的行为要保证ψ(ξ)→ 0。
b. H(ξ)满足的方程
将ψ(ξ)表达式代入方程得 关于 待求函数 H(ξ) 所满足的方程：
只含偶次幂项
由上式可以看出： b0 决定所有角标k为偶数的系数； b1 决定所有角标k为奇数的系数。 因为方程是二阶微分方程，应有两个 线性独立解。可分别令：
b0 ≠ 0, b1=0. → Heven(ξ); b1 ≠ 0, b0=0. → Hodd(ξ).
则通解可记为： H = co Hodd + ce Heven ψ= (co Hodd + ce Heven ) exp[-ξ2/2]
(分步积分)
该式第一项是一个多项式与 exp[-ξ2] 的 乘积，当代入上下限ξ=±∞后，该项为零。
( 1)
2 n Nn
H n ( )[
d n1 d n1 d d
e
2
]
d n1 d n1
d n1 d n1
2
( 1)
(1) (1)
( 1)
1
n ndx
2 Nn
( 1) n
2 Nn
2 Nn e H n ( ) H n ( )dx
2
H n ( ) dd n e d
n 2
( 1) n
H n ( ) dd [ dd n1 e ]d
谐振子第一激发态波函数
谐振子第一激发态波函数【原创版】目录一、引言二、谐振子的基本概念三、一维谐振子的本征函数四、第一激发态的波函数五、第一激发态时几率最大的位置六、结论正文一、引言在量子力学中，谐振子是一个重要的概念，它是一个物体在弹性势场中沿着某个方向做简谐振动的系统。
谐振子的基本特征是具有确定的能量和量子数，因此在量子力学中，谐振子的状态可以由其量子数来描述。
在实际应用中，谐振子可以被用来研究原子、分子、固体等物质的振动特性。
二、谐振子的基本概念谐振子可以分为一维、二维和三维谐振子。
在一维谐振子中，物体沿着一个方向做简谐振动；在二维谐振子中，物体沿着两个相互垂直的方向做简谐振动；在三维谐振子中，物体沿着三个相互垂直的方向做简谐振动。
在一维谐振子中，物体的位置可以由一个坐标来描述，而在二维和三维谐振子中，物体的位置可以由三个坐标来描述。
三、一维谐振子的本征函数在一维谐振子中，本征函数可以表示为，其中 n 是量子数，x 是物体的位置坐标，t 是时间。
本征函数是描述谐振子状态的波函数，它具有确定的能量和量子数。
在一维谐振子中，本征函数的形式是 Hermitian 多项式，它是一个关于 x 的偶函数。
四、第一激发态的波函数在一维谐振子中，第一激发态的波函数可以表示为，其中 n=1，本征值是，本征函数是。
第一激发态的波函数是描述谐振子在第一激发态下的状态的波函数，它具有确定的能量和量子数。
五、第一激发态时几率最大的位置在一维谐振子中，第一激发态时几率最大的位置是。
这是因为在第一激发态下，谐振子的波函数具有最大的振幅，因此它在该位置出现的几率最大。
六、结论在一维谐振子中，第一激发态的波函数是描述谐振子在第一激发态下的状态的波函数，它具有确定的能量和量子数。
弹簧谐振子振幅计算公式
弹簧谐振子振幅计算公式弹簧谐振子是物理学中常见的一个模型，它描述了弹簧在外力作用下的振动情况。
弹簧谐振子的振幅是描述其振动幅度的重要参数，而振幅的计算公式则是描述振幅与其他物理量之间的关系。
在本文中，我们将讨论弹簧谐振子的振幅计算公式，并解释其物理意义和相关的数学推导。
首先，我们来看一下弹簧谐振子的基本模型。
弹簧谐振子是指一个质量为m的物体通过一根弹簧与一个固定支撑相连，当物体受到外力作用时，弹簧会产生振动。
根据胡克定律，弹簧的力与伸长或压缩的长度成正比，即F=-kx，其中F为弹簧的力，k为弹簧的弹性系数，x为伸长或压缩的长度。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与受到的合外力成正比，即F=ma，其中a为加速度。
将这两个方程联立起来，可以得到弹簧谐振子的运动方程：md^2x/dt^2=-kx。
其中，m为物体的质量，x为物体的位移，t为时间。
这是一个二阶常微分方程，它描述了弹簧谐振子的振动情况。
接下来，我们来讨论弹簧谐振子的振幅。
振幅是指振动的最大位移，它是描述振动幅度的重要参数。
对于弹簧谐振子来说，振幅可以用物体的位移来表示。
在弹簧谐振子的运动过程中，物体会沿着弹簧的方向上下振动，振幅就是描述这个振动幅度的参数。
弹簧谐振子的振幅计算公式可以通过解析解得到。
首先，我们将上面的运动方程进行变形，得到：d^2x/dt^2=-(k/m)x。
这是一个二阶常微分方程，我们可以假设其解为x=Asin(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，φ为初相位。
将这个解代入运动方程中，可以得到：Asin(ωt+φ)=-(k/m)Asin(ωt+φ)。
通过对上式进行整理，可以得到：(ω^2)Asin(ωt+φ)=-(k/m)Asin(ωt+φ)。
由于sin(ωt+φ)不等于0，所以可以得到：(ω^2)=k/m。
从而可以得到角频率ω的表达式：ω=sqrt(k/m)。
这就是弹簧谐振子的角频率与弹簧的弹性系数和物体的质量之间的关系。
接下来，我们可以得到振幅A的表达式：A=F0/msqrt(1/(ω^2-ω0^2)^2+4β^2ω^2/ω0^2)。
谐振子方程
谐振子方程假设，在系统中包含两个或多个粒子。
它们彼此之间存在以下关系：|而在大学里最常见的一种相互作用就是共振。
因此，我认为谐振子可以被看作粒子间的耦合作用，用于描述物质和波动系统之间的相互作用。
谐振子具有质量和自旋，即使它们不与任何粒子发生碰撞，也会因自身运动产生位移和旋转角度。
同时，这些量会随着周围环境的变化而改变，这导致系统出现“干涉”现象，即产生干涉图样。
当这种效应对粒子之间的相互作用产生影响时，将产生波动，而波动也可能从该系统传播到另一个粒子的系统，从而在二者系统之间建立新的相互作用。
例如，用弹簧来打击球体，但你不能通过球体直接伤害到弹簧。
相反，由于粒子与弹簧之间存在耦合作用，球体将继续绕着它自己的轴旋转，球体越接近弹簧，所造成的损伤就越大。
弹簧也可以看作是系统中的一个粒子。
每一个粒子都具有能量，但不是每一个粒子都是系统的组成部分。
只有某些能量的粒子才能参与振动并且使弹簧上升。
这个概念很好地解释了共振现象，特别是当频率不仅适用于微观世界，而且适用于宏观世界时，这个概念就更加普遍了。
这就是我要向大家介绍的谐振子方程。
要掌握它，需要记住一些公式。
如果它们是简单的数学公式，那么它们可能难以记忆。
如果它们是复杂的数学公式，那么它们可能会使人困惑。
但是我们可以找到一个比较简单的数学公式来代替它们。
下面，让我们简单讨论一下这些公式的用法。
其实谐振子方程还有一种形式。
该公式是哈密顿量的函数方程。
从谐振子方程出发，你将得到一个用于求解运动学或动力学问题的动力学方程。
从经典力学出发，我们将其中某些量写成速度和加速度，以及其他一些辅助变量。
然后，可以在我们给定的坐标系中进行积分，计算出谐振子方程的解。
例如，可以采用两个或三个谐振子的交流电源和负载来表示工作情况。
你知道吗？这样一个设备可以以固定的频率运行，而不会失去动力。
对于不同的频率，谐振子的长度将改变，使磁场减弱或增强，直到达到稳态。
然后我们可以确定磁场方向，并通过调节偏转器的位置和增益来达到稳定状态。
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m
0
∆
静平衡位置
kθ
I
θ
k
x
m&&+ kx = 0 x
ω0 = k / m
& Iθ& + kθθ = 0
ω0 = kθ / I
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例：复摆
a 刚体质量 m 重心 C 对悬点的转动惯量 I 0
C
mg
0
I0
求： 复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率
20
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m h
l/2
0
l/2
求： 梁的自由振动频率和最大挠度
14
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解：
m
取平衡位置 ： 以梁承受重物时的静平 衡位置为坐标原点建立 坐标系 静变形 ∆
l/2
3
h
∆
0
l/2
静平衡位置
x
mgl 由材料力学 ： ∆ = 48EJ
g 自由振动频率为 ： ω0 = ∆
48EJ = ml 3
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弹簧原长位置
m
0
∆
静平衡位置
kθ
I
θ
k
x
m&&+ kx = 0 x
ω0 = k / m
& Iθ& + kθθ = 0
ω0 = kθ / I
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从前面两种形式的振动看到， 从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着 惯性元件和弹性元件两种基本元件 两种基本元件， 惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度 的元件，它表现为系统的质量或转动惯量， 的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产 生使系统恢复原来状态的恢复力的元件， 生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度 或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加， 或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使 固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。 固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。
k = 5.78 × 10 N / cm
4
v
重物以v=15m/s的速度匀速下降时 重物以 的速度匀速下降时 W 求： 绳的上端突然被卡住时，（ ）重物的振动频率， 绳的上端突然被卡住时，（1）重物的振动频率， ，（ （2）钢丝绳中的最大张力。 ）钢丝绳中的最大张力。
11
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解：
gk = 19.6rad / s 振动频率 ω0 = W
撞击时刻为零时刻， 撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：
x0 = −∆
m h
& x0 = 2 gh
则自由振动振幅为 ：
x0 & 2 A = x0 + ω 0
2
∆
l/2
0
l/2
静平衡位置
x
= ∆ 2 + 2h∆
梁的最大扰度： 梁的最大扰度：
max = A + ∆
x(t) = x0 cos(ω0t) +
W
= 2.21× 10 5 ( N )
由于
kA = k v = v km
动张力几乎是静张力的一半！ 动张力几乎是静张力的一半！
ω0 为了减少振动引起的动张力， 为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度
13
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重物落下， 例： 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞
梁长 L，抗弯刚度 EI，不考虑梁的质量 ，
x(t) = x0 cos(ω0t) +
ω0
& x0
sin( ω0t) 23
−1
x
T = 2π / ω n
ωn：
系统固有的数值特征， 系统固有的数值特征，与系统是否正在振 动着以及如何进行振动的方式都毫无关系
A
φ ωn
A, ϕ：
t
不是系统的固有属性的数字特征，与系统 不是系统的固有属性的数字特征， 过去所受到过的激励和考察开始时刻系统 所处的状态有关
0
3
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ωn
& x0
sin(ωnt) = Asin(ωnt +φ)
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后， 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 ωn 为振动频率的简谐振动，并且永无休止。 为振动频率的简谐振动，并且永无休止。
x
T = 2π / ω n
初始条件的说明： 初始条件的说明： 初始条件是外界能量转入的一 种方式， 种方式，有初始位移即转入了 弹性势能， 弹性势能，有初始速度即转入 了动能。 了动能。
考虑系统在初始扰动下的自由振动
x(t) = c1 cos(ωnt) + c2 sin(ωnt) = Asin(ωnt +φ)
的初始位移和初始速度为： 设 t = τ 的初始位移和初始速度为：
x(τ ) = xτ
令：
& & x(τ ) = xτ
c1 = b1 cos(ωnτ ) − b2 sin(ωnτ ) c2 = b1 sin(ωnτ ) + b2 cos(ωnτ ) x(t ) = b1 cos ωn (t − τ ) + b2 sin ωn (t − τ )
I c = I 0 − ma
2
实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法
21
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例：弹簧－质量系统沿光滑斜面做自由振动 弹簧－
斜面倾角 300 质量 m=1kg 弹簧刚度 k=49N/cm 开始时弹簧无伸长，且速度为零 开始时弹簧无伸长， 重力角速度取 9.8 求： 系统的运动方程
300
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第二讲 谐振子与谐振动
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无阻尼自由振动
由牛顿第二定律建立运动方程
x
k
实验
&& mx + kx = 0
k 固有频率 令 ： ωn = m 单位：弧度/秒 单位：弧度 秒（rad/s） ）
2 x 则有 ： && +ωn x = 0
x(t) = Asin(ωnt +φ) 通解 ： x(t) = c1 cos(ωnt) + c2 sin(ωnt) c1 , c2： 任意常数，由初始条件决定 任意常数，
& x0
uuu r 对应向量 OQ uuu r 对应向量 OP
8
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考虑重力的作用
由牛顿第二定律
&& mx = mg − k ( x + ∆ )
静平衡位置： 静平衡位置：∆ = mg k 运动方程
&& mx + kx = 0 k ⇒ && + = 0 x m 2 ⇒ && + ωn x = 0 x
重物匀速下降时处于静平衡位 置，若将坐标原点取在绳被卡 住瞬时重物所在位置 则 t=0 时，有： x0 = 0 振动解： 振动解：
v
k
& x0 = v
静平衡位置
W x
W
x(t ) =
v
ω0
sin(ω0t ) = 1.28 sin(19.6t ) (cm)
x(t) = x0 cos(ω0t) +
ω0
& x0
x
P R
ωn
③ ①
φ
O Q
① ③ ②
0
②
0
1
2
3
4
5
6
uuu r x & OQ = 0 ① x1(t) = sin(ωnt) ωn ωn uuu r OP = x0 ② x2 (t) = x0 cos(ωnt) uuu r & x0 ③ x(t) = x0 cos(ωnt) + sin(ωnt) 对应向量 OR ωn uuu uuu uuu uuu r r r r 2 2 & & OR = ( x0 ωn ) + ( x0 ) = A OR = OQ + OP
有：
b1 = xτ
b2 =
ωn
4
& xτ
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τ 时刻以后的自由振动解为： 时刻以后的自由振动解为：
x ( t ) = xτ cos ωn ( t − τ ) +
ωn
& xτ
sin ωn ( t − τ )
零时刻的初始条件： 零时刻的初始条件：
x(0) = x0
零初始条件下的自由振动： 零初始条件下的自由振动：
x0
φ ωn
A
0
t
6
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自由振动的矢量表示
x
● ●
ωn
R
● ●
T = 2π ωn
● ●
φ
● ●
O
0
● ●
●
●
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x(t) = x0 cos(ωnt) +
振子自由振动图像形成动画
ωn
& x0
sin(ωnt) = Asin(ωnt +φ)
7
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自由振动的矢量表示
k
22
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解：
以静平衡位置为坐标原点 建立坐标系 振动固有频率： 振动固有频率：
k
0
x
300
ω0 = k / m
= 49 × 10 / 1 = 70 (rad / s )