振动理论11(3)-自激振动

●

振动系统的简化模型⏹质量一弹簧系统在匀速移动平台上作相对滑动●不失一般性，令滑块质量和弹簧刚度系数均等于，弹簧的伸长为，平台速度为，滑块与平台之间的相对速度为−. 是相对速度为时的摩擦力相平面方法应用

--干摩擦引起自激振动问题分析

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●受干摩擦力和弹簧恢复力作用的滑块运动方程为●弹簧伸长稳定时刻作为滑块平衡位置，即令

●将平衡位置作为新的坐标原点，引入新的变量

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则方程化作

+其中的阻尼项为

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●一阶自治方程

●其对应的相轨迹如下

⏹虚线为零斜率等倾线，在原点附近位于第一、三象

限，类似于负阻尼情形

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●在原点附近，相当于负阻尼情形：原点处的奇点为不稳定焦点，对应于不稳定的滑块平衡位置

●当滑块因扰动偏离平衡位置时，相点沿螺线向外运动，振幅不断增大

●一旦相点到达辅助曲线的水平段

，即沿此线段移动到达右边

，然后环绕原点一周后

再与线段相遇，并再次重复

此过程

●过点的相轨迹自然成为相平面

内的极限环。

●以上分析说明了干摩擦自激振动

的产生原因。

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●当相点沿线段运动时，滑块相

对平台的相对速度为零，这时平台咬住滑块以速度一同匀速运动

●待弹簧恢复力随弹簧变形增长得足

以克服静摩擦力时，滑块开始相对

平台向后滑动，并在摩擦力作用下

不断减速

●

滑动直到相对速度减至零，平台再

次咬住滑块时上述过程重复发生对应的物理描述

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●

在此系统中，等速移动的平台为恒定能源，通过滑块与平台之间干摩擦特性调节能量的输入和输出●

平台咬住滑块时对滑块作正功，释放后对滑块作负功，使滑块维持稳定的自激振动●

各种实际的干摩擦自振现象都可从以上简单模型的分析得到解释●在工程中，滑块与平台之间时而粘住

时而滑动的不连续爬行现象可在机械

传动系统中发生。利用润滑剂使干摩

擦转化为黏性摩擦，干摩擦自振现象

即自然消失。

对应的物理描述

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输电线舞动

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●高压输电线路在某些天气条件下会发生低频大振幅的振动

⏹输电线通常为圆形截面，用相距300英尺的线塔牵拉⏹输电线在跨长内做半波振动，跨中振幅可达10英尺

，频率大约每秒1周，或者更低

●由于这一特征，这一现象通常被称为舞动而不是振动●在温暖气候的国家，很少会发生此类现象。它通常发生在美国的北部州或者加拿大的冬天，当地的气温可达32°F。

⏹有很强的横向风并在电线上伴有霜冻

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●计算表明，跨度内的输电线固有频率与观察到的舞动现象频率是同阶的。这一现象一旦开始，就会具有很强的持久性，有时可以持续24小时，其强烈程度很难用受迫振动来解释。

●因为如果用受迫振动来解释，就会事实上假定阵风具有与输电线固有频率相等的频率，这需要有很好的巧合程度。

⏹例如，令周期, 10分钟内，精确的等间距阵风是

600次，然而如果601次，对应拍的周期为600s，因而振动在前5分钟内会持续增加，在后5分钟内会持续减弱⏹为了让电线保持振动2小时，要求阵风的频率误差小于

1/7200，可以想象，对于自然界来讲，这一解释可以安全地排除

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●由于风作用在电线上引起的自激振动的例子，由于累积的冰霜，该电线的横截面成为非圆形。

●对这一现象的解释涉及到一些基本的空气动力学推理

⏹由于对称性，当风吹在圆形柱体时，

所施加在柱体上的力与风同向

⏹对于非圆形横截面的杆一般是不成立

的，而是会在风向和力的作用方向之

间有个夹角

⏹机翼是很熟悉的例子：力的方向几乎

与风向垂直

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●把输电线舞动的过程形象化，着重分析其下降冲程。

●如果没有风，由于电线在下降，电线会受到从下面吹来的风。如果有速度为的水平方向的风，电线向下移动的速度为，电线会受到轻微地从下往上角度为的风

●如果电线的横截面是圆形的，风施加的力会有一个向上的分量

●由于电线是向下运动的，这

一向上的分量与电线运动的

方向相反，因而起到了阻碍

作用

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●如果是非圆形截面，风施加的力可能会有一个向下的分量，结果与圆截面情形相反

●在振动的向上冲程中，电线受到从上方吹过来的风

⏹施加在圆形截面上的力有一个向下的分量，起到阻

碍作用

⏹对于非圆形截面，该力会有一个向上的分量，沿着

运动方向，因而起到了负阻尼的作用。

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●如果电线上的冰霜形成了这样的横截面，就会产生动态不稳定的例子

⏹碰巧电线获得了一个向上的速度

⏹风的作用推动它继续向上

⏹直到电线的弹性或者弹簧作用阻止其运动

⏹这一弹性力会使电线向下运动，而在运动的过程中

，风继续起到促进作用

●小的振动很快会发展成很大的运动

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●输电线的圆形断面被冰层覆盖后

成为非圆形的不规则形状。阵风对电线不仅产生沿方向的阻力，同时产生与垂直的升力. 这

两个力向上的分量分别为

和。向上的合力为

●根据空气动力学的实验研究，阻力与升力的变化规律为

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⏹:为空气密度

⏹:断面的特征长度

⏹和分别为阻力因数和升力因数,

均为攻角的函数.

●小攻角时气动力沿轴的垂直分量，近似为

●随的变化可以用三次多项式来模拟90