高中数学 类比推理学案 苏教版选修
江苏省徐州市睢宁县菁华高级中学高中数学 2.1类比推理
江苏省徐州市睢宁县菁华高级中学“四步教学法”高中数学苏教版选修2-2+2.1类比推理年级组别高二数学组审阅（备课组长）审阅（学科校长）主备人使用人授课时间课题类比推理课型新授课课标要求B级教学目标知识与能力1．了解类比推理的概念和类比推理的作用．2．掌握类比推理的一般步骤．3．能利用类比进行一些简单的推理．过程与方法培养类比猜想能力，体会并认识类比推理在数学发现中的应用；情感、态度与价值观1、培养学生观察、比较、联想、类推的能力2、通过已学知识感受和体会类比推理的思维方法，进一步培养创新意识．教学重点了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
教学难点用类比进行推理，做出猜想教学方法启发，引导教学程序设计教学过程及方法环节一明标自学过程设计二次备课（1）学习目标展示1．了解类比推理的概念和类比推理的作用．2．掌握类比推理的一般步骤．3．能利用类比进行一些简单的推理．（2）自学指导上节课我们学习了归纳推理，我们再来看几个类似的推理实例．①从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班受到路边的齿形草能割破行人的腿的启发，发明了锯子.他的思维过程是：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？②试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=b⇒a+c=b+c; (1) a＞b⇒a+c＞b+c;(2) a=b⇒ ac=bc; (2) a＞b⇒ ac＞bc;(3) a=b⇒a2=b2;等等。
(3) a＞b⇒a2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？教学过程及方法环节二合作释疑环节三点拨拓展过程设计二次备课上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的一般步骤：⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；⑶检验猜想。
精选推荐2018_2019学年高中数学第二章推理与证明2.1.1第2课时类比推理学案苏教版选修1_2
第2课时类比推理学习目标 1.了解类比推理的含义、特征，能利用类比进行简单的推理.2.能正确区别归纳推理与类比推理的不同点，了解合情推理的合理性．知识点一类比推理思考科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了什么样的推理？答案类比推理．梳理(1)类比推理的定义根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．(2)类比推理的思维过程大致如图观察、比较―→猜测新的结论(3)特征：由特殊到特殊的推理．知识点二合情推理思考1 归纳推理与类比推理有何区别与联系？答案区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．思考2 归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答案 不一定正确． 梳理 (1)合情推理的含义合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理． (2)合情推理的过程从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想1．由合情推理得出的结论一定是正确的．( × ) 2．合情推理必须有前提有结论．( √ ) 3．类比推理不能猜想．( × )类型一 数列中的类比推理例1 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列． 答案T 8T 4 T 12T 8解析 由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列．下面证明该结论的正确性： 设等比数列{b n }的公比为q ，首项为b 1， 则T 4＝b 41q 6，T 8＝b 81q1＋2＋…＋7＝b 81q 28，T 12＝b 121q1＋2＋…＋11＝b 121q 66，T 16＝b 161q1＋2＋…＋15＝b 161q 120， ∴T 8T 4＝b 41q 22，T 12T 8＝b 41q 38，T 16T 12＝b 41q 54， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫T 8T42＝T 12T 8·T 4，⎝ ⎛⎭⎪⎫T 12T 82＝T 8T 4·T 16T12，故T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 反思与感悟 已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论(其中d ，q 分别是公差和公比，m ，n ，p ，r ∈N *)：跟踪训练1 若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n(n ∈N *)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{c n }(n ∈N *)是等比数列，且c n >0，则有数列d n ＝______________(n ∈N *)也是等比数列．答案nc 1c 2c 3…c n解析 数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n(n ∈N *)也是等差数列．类比猜想：若数列{c n }(n ∈N *)是各项均为正数的等比数列，则当d n ＝nc 1c 2c 3…c n (n ∈N *)时，数列{d n }也是等比数列． 类型二 几何中的类比推理例2 如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°.设a ，b ，c 分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．解 如题图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°.设a ，b ，c 分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.类似地，如图所示，在四面体P －DEF 中，∠PDF ＝∠PDE ＝∠EDF ＝90°.设S 1，S 2，S 3和S 分别表示△PDF ，△PDE ，△EDF 和△PEF 的面积，相对于直角三角形的两条直角边a ，b 和1条斜边c ，图中的四面体有3个“直角面”S 1，S 2，S 3和1个“斜面”S .于是类比勾股定理的结构，我们猜想S 2＝S 21＋S 22＋S 23成立．反思与感悟 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下：跟踪训练2 在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.类型三 合情推理的应用例3 我们已经学过了等差数列，思考一下有没有等和数列呢？ (1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列{a n }的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明； (3)在等和数列{a n }中，如果a 1＝a ，a 2＝b ，求它的前n 项和S n .解 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列．(2)由(1)知a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2， 所以a n ＋2＝a n .所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等． (3)当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈N *，则S n ＝S 2k －1＝S 2k －2＋a 2k －1＝2k －22(a ＋b )＋a ＝n －12(a ＋b )＋a ＝n ＋12a ＋n －12b ；当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈N *，则S n ＝S 2k ＝k (a ＋b )＝n2(a ＋b )．所以它的前n 项和S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋12a ＋n －12b ，n 为奇数，n2(a ＋b )，n 为偶数.反思与感悟 定义类比应用问题是常考查的题型，通过对某种概念的定义及性质的理解，类比出其他相似概念的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能力，其解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性．跟踪训练3 定义“等积数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝2，公积为6，求这个数列的前n 项和S n .解 由定义，得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数.前n 项和S n＝⎩⎪⎨⎪⎧5n 2－12，n 为奇数，5n2，n 为偶数.1．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“t ≠0，mt ＝nt ⇒m ＝n ”类比得到“c ≠0，a ·c ＝b ·c ⇒a ＝b ”；④“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”．以上类比得到的正确结论的序号是________． 答案 ①②2．下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是________．(填序号) ①三角形；②梯形；③平行四边形；④矩形． 答案 ③解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行． 3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 答案 1∶8解析 设两个正四面体的体积分别为V 1，V 2， 则V 1∶V 2＝13S 1h 1∶13S 2h 2＝S 1h 1∶S 2h 2＝1∶8.4．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则类似结论为________________． 答案 a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析 等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9. 5．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得到四面体的体积为_____________________________________． 答案 13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)解析 △ABC 的内心为O ，连结OA ，OB ，OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a ，b ，c .类比：设四面体A －BCD 的内切球球心为O ，半径为r ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .1．在进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误． 2．提高所得结论的准确性的常用技巧(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些． (2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面.一、填空题1．下列几种推理是类比推理的是________．(填序号) ①内错角相等，两直线平行；②由平面三角形的性质，猜想空间四面体的性质； ③由数列的前几项，猜想数列的通项公式． 答案 ②解析 由类比推理的定义，得只有②为类比推理．2．“若直角三角形两直角边的长分别为a ，b ，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径r ＝a 2＋b 22”．对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a ，b ，c ”，类比上述处理方法，可得该三棱锥的外接球的半径R ＝__________.答案a 2＋b 2＋c22解析 由求直角三角形外接圆的半径的方法，通过类比得出求三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球的半径的方法为：首先将该三棱锥补全为长方体，而长方体的体对角线长就是三棱锥的外接球的直径，从而得出该三棱锥的外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 22.3．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇＝________. 考点 类比推理的应用 题点 平面曲线的类比答案lr2解析 扇形的弧类比三角形的底边，扇形的半径类比三角形的高，则S 扇＝lr2.4．已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x 且tan x 是以π为周期的周期函数．若a ≠0，且f (x ＋a )＝1＋f (x )1－f (x )，通过类比，f (x )是以________为周期的周期函数．答案 4a (答案不唯一)解析 类比tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x 与f (x ＋a )＝1＋f (x )1－f (x )可知，π4与a 对应．而tan x 是以π＝4×π4为周期的周期函数，所以猜想f (x )应是以T ＝4a 为周期的周期函数． 事实上f (x ＋2a )＝1＋f (x ＋a )1－f (x ＋a )＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x ).所以f (x ＋4a )＝－1f (x ＋2a )＝f (x )．故此类比猜想正确．5．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)类比的性质为_________________________________.答案 经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1解析 已知圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程，就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用点M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换的结果．经类比猜想，即可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)类似的性质为：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.6．类比平面向量基本定理：“如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么对于平面α内任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2.”试写出空间向量基本定理：_______________________________________________________________________________. 答案 如果e 1，e 2，e 3是空间中不共面的向量，那么对空间中的任一向量a ，有且只有一组实数λ1，λ2，λ3，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 37．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________________．答案 正四面体的内切球的半径是高的14解析 原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h .类比，用等体积法，V ＝13Sh ＝4×13r ·S ⇒r ＝14h .8．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子②：____________________，②式可以用语言叙述为：_________________________________________________________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2球的体积函数的导数等于球的表面积函数解析 通过给出的两个量之间的关系，类比球的体积公式和球的表面积公式，我们不难发现⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2，从而使问题解决． 9．在平面中△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 的面积所成的比S △AEC S △BEC ＝ACBC，将这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于E ，则类比的结论为________________．答案V A －CDE V B －CDE ＝S △ACDS △BCD解析 平面中的面积类比到空间为体积，故S △AEC S △BEC 类比成V A －CDEV B －CDE.平面中的线段长类比到空间为面积，故AC BC 类比成S △ACDS △BCD， 故有V A －CDE V B －CDE ＝S △ACDS △BCD. 10．由图1有面积关系：S △PAB S △PCD ＝PA ·PB PC ·PD ，则由图2有体积关系：V P －ABCV P －DEF＝________.答案PA ·PB ·PC PD ·PE ·PF解析 设点A ，D 到平面PBC 的距离分别为h 1，h 2，则h 1h 2＝PA PD 且V P －ABC ＝13S △PBC ·h 1， V P －DEF ＝13S △PEF ·h 2，所以V P －ABC V P －DEF ＝PA ·PB ·PCPD ·PE ·PF11．下列类比推理中正确的个数是________． ①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n；②log m (xy )＝log m x ＋log m y 与sin(a ＋b )类比，则有sin(a ＋b )＝sin ab ； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 答案 1解析 对于①，令a ＝b ＝1，n ＝2，则(a ＋b )n＝4，a n＋b n＝2，(a ＋b )n≠a n＋b n，故①错误；对于②，令a ＝0°，b ＝30°，则sin(a ＋b )＝12，sin ab ＝0，sin(a ＋b )≠sin ab ，故②错误；对于③，由平面向量的知识可知，③显然正确． 二、解答题12．已知：等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，有如下的性质： (1)通项a n ＝a m ＋(n －m )·d .(2)若m ＋n ＝p ＋t ，且m ，n ，p ，t ∈N *，则a m ＋a n ＝a p ＋a t . (3)若m ＋n ＝2p ，且m ，n ，p ∈N *，则a m ＋a n ＝2a p . 类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质． 解 设等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为T n . (1)通项b n ＝b m ·qn －m.(2)若m ＋n ＝p ＋t ，且m ，n ，p ，t ∈N *，则b m ·b n ＝b p ·b t . (3)若m ＋n ＝2p ，且m ，n ，p ∈N *，则b 2p ＝b m ·b n .13．已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －amn －m.现已知等比数列{b n }，类比等差数列，写出相似的性质．解 等差数列的通项a n 与项数n 是一次函数关系，等比数列的通项b n 与项数n 是指数型函数关系．利用类比可得b m ＋n ＝1nn mm b a -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝n －mb n a m. 三、探究与拓展14．若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，且通项为S n n ＝a 1＋(n －1)·d2，类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，前n 项的积为T n ，则________________________．答案 数列{n T n }为等比数列，且通项为nT n ＝b 1(q )n －1解析 T n ＝b 1·b 2·…·b n ＝b n 1·q1＋2＋3＋…＋(n －1)＝b n1·()12n n q-，而nT n ＝b 1·12n q-＝b 1(q )n －1，所以数列{nT n }是首项为b 1，公比为q 的等比数列，其通项为nT n ＝b 1·(q )n －1.15.如图，已知O 是△ABC 内任意一点，连结AO ，BO ，CO 并延长交对边于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1.这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”：OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABCS △ABC＝1.运用类比猜想，对于空间中的四面体V －BCD ，存在什么类似结论？并用“体积法”证明．解 如图，设O 为四面体V －BCD 内任意一点，连结VO ，BO ，CO ，DO 并延长交对面于V ′，B ′，C ′，D ′，类似结论为OV ′VV ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＋OD ′DD ′＝1.类比平面几何中的“面积法”，可用“体积法”来证明．因为V O －BCD V V －BCD ＝13·S △BCD ·h ′13·S △BCD ·h ＝OV ′VV ′(其中h ′，h 分别为两个四面体的高)，同理V O －VCD V B －VCD ＝OB ′BB ′，V O －VBD V C －VBD ＝OC ′CC ′，V O －VBC V D －VBC ＝OD ′DD ′. 所以OV ′VV ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＋OD ′DD ′＝V O －BCD V V －BCD ＋V O －VCD V B －VCD ＋V O －VBD V C －VBD ＋V O －VBCV D －VBC＝1.。
江苏省泰兴中学高二数学苏教版选修2-2教学案：第2章2类比推理
江苏省泰兴中学高二数学讲义（45）类比推理【学习目标】1.认识类比推理这一合情推理的方法，并把它用于对问题的发现中去，明确类比推理的一般步骤，并会应用于解决实质问题中.2.学会找寻事件之间的共同性质进行类比，类比的相像性越多，相像的性质与推断的性质之间越有关，那么类比得出的命题越靠谱【预习导引】1．已知扇形的弧长为l，半径为 r，类比三角形的面积公式：S 底高，能够推出扇形的2面积公式 S扇＝___________________.2．“平面内不共线的三点确立一个圆”，类比可得立体几何的命题是___________________. 3．对于平面几何中的命题“假如两个角的两边分别对应垂直，那么这两角相等或互补” ，立体几何中，类比上述命题能够获得命题“____________________________________ ”，这个命题的真假性是 ___________________.【典例解析】例 1.试依据等式的性质猜想不等式的性质等式的性质：猜想不等式的性质：(1)a b a c b c ；(2)a b ac bc ；(3)a b a2b2等等，这样猜出的结论能否必定成立？例 2.试依据等差数列的性质猜想等比数列的性质等差数列的性质：猜想等比数列的性质：(1)m n s t a m a n a s a t；(2)a m a n( m n)d ；(3)a n a1( n 1)d a m(n m) d(4) S n, S2 n S n , S3 n S2 n组成等差数列.例 3.平面上的三角形和空间四周体有着好多相近似的性质，比如在三角形中：⑴三角形两边之和大于第三边;1高 ;⑵ S底2⑶三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半;⑷ h a ,h b , h c是三角形ABC三边上的高，P为三角形内一点，P 到相应三边的距离分别为p a p b p c1;p a , p b , p c，则有h b h ch a⑸三角形内切圆的半径为r 2S; 请将上述性质在空间四周体中进行类比.周长例 4.如图， F 是定直线 l 外的一个定点， C 是 l 上的动点，有以下结论：若认为半径的圆与 l 交于 A.B 两点，过 A.B 分别作 l 的垂线与圆 C过 F 的切线交于点 P和点 Q，则 P.Q 必在以 F 为焦点， l 为准线的同一条抛物线上 .C 为圆心， CF（1）成立适合的坐标系，求出该抛物线的方程；（2）对以上结论的反向思虑能够获得另一个命题：“若过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 P.Q 两点，则以 PQ 为直径的圆必定与抛物线的准线l 相切 . ”请问：此命题能否正确？试证明你的判断；（3）请选择椭圆或双曲线之一类比（ 2 ）写出相应的命题并证明其真假.ACBPFQl江苏省泰兴中学高二数学课后作业（45）班级:姓名:学号：1.平面上随意三角形都有内切圆，在空间可类比为2.在等差数列中，已知a10 0，则 a1 a2 K a n a1 a2 K a19 n，类比推理得：在等比数列中，若 b91，则有________________ __________________3.“正方形的外接圆直径是正方形的对角线”，由此类推到正方体中的近似结论是 ___________________________________________4.试经过圆与球队类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为 2R2”，猜想对于球的相应命题.5.经过圆点特色，类比球的有关特色：圆的性质球的性质圆的周长为 C 2 R圆的面积为S R2圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦以点 ( x0 , y0 ) 为圆心，半径为r 的圆的方程为 (x x0 ) 2( y y0 )2r 26.（1）类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四周体的猜想；（ 2）在直角三角形ABC 中，若o ，则22，试给出空间中四周体C90cos A cos B1的猜想B CacP BCb AA7.我们已经学习过了等差数列,你能否想过＂等和数列＂呢 ?（ 1）类比“等差数列” ，达成“等和数列”的定义：从第二项开始，每一项与前一项的都等于一个常数，这样的数列叫做“等和数列”．（2）探究“等和数列”{ a n } 的奇数项与偶数项各有什么特色，并加以证明；（3）在“等和数列”{ a}中，假如a a, a b，那么它的前n项的和 S是多少. n2n18.给出以下对于椭圆的真命题，试类比推理给出双曲线中近似的命题；并画出命题中的图.（1）椭圆中以焦半径为直径的圆与长轴为直径的圆相切（此圆与椭圆内切）（ 2）椭圆相互垂直的焦点弦倒数之和为常数112 e2| AB | | CD |2ep（3）设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D，则∣ DF∣与∣ AB∣之比为离心率的一半（F 为焦点）。
江苏省镇江市丹徒镇高中数学 2.1.1 合情推理类比推理
2.1.1合情推理——类比推理课时安排认识类比推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中（一）问题引入情境1：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子。
他的思路是这样的：茅草是齿形的，茅草能割破手，需要一种能割断木头的，它也可以是齿形的。
这个推理过程是归纳推理吗？______________；情境2:人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇．（二）学生活动1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了；2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了；3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征：1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星；2)有大气层,在一年中也有季节变更；3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等。
科学家猜想：；4．利用等式的性质类比得到不等式的性质.（三）知识建构1.类比推理的含义：根据两个（或两类）对象之间在________________________________________，推演出它们在________________________________，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．2.类比推理的几个特点：（1）类比是从___________________________,推测___________________________,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果；（2）类比是从一种事物的________________，推测另一种事物的_____________________；（3）类比的结果是________，不一定可靠,但它却有发现的功能．3.进行类比推理的步骤：(1) ；(2) ；(3)检验这个猜想.4.类比推理的一般模式：A类事物具有性质 ,B类事物具有性质 ,( 与相似或相同）所以B类事物可能具有性质 .5.合情推理和都是根据___________、____________、_______________，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.（四）学习交流、问题探讨例1．类比实数的加法与乘法，并列出它们类似的性质．圆（五）练习检测与提升1．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S ＝________．2．下面几种推理是合情推理的是________．(填序号) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； ③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边 形内角和是(n －2)·180°.3．已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ．（六）课后作业1．已知A B C ∆的三边长为c b a ,,，内切圆半径为r （用的面积表示ABC S ABC ∆∆），则ABC S ∆)(21c b a r ++=；类比这一结论有：若三棱锥BCD A -的内切球半径为R ，则三棱锥体积=-BCD A V ．．2．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为．3.先解答（1），再通过类比解答（2）：（1）已知正三角形的边长为a，求它的内切圆的半径r；（2）已知正四面体的楞长为a，求它的内切球的半径r．。
苏教版高中数学选修2-2《类比推理》参考学案
第二章推理与证明2.1.1合情推理2.类比推理学习目标1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识类比推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。
2、类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
学习过程：一、温故：1、什么叫推理?推理由哪几部分组成?2、合情推理的主要形式有和.3、归纳推理是从事实中概括出结论的一种推理模式4、归纳推理的特点:5====（,a b均为实数），请推测a= b= 。
二、知新：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的，茅草能割破手，需要一种能割断木头的，它也可以是齿形的。
这个推理过程是归纳推理吗？例如：试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=b⇒a+c=b+c; (1) a＞b⇒a+c＞b+c(2) a=b⇒ ac=bc; (2) a＞b⇒ ac＞bc;(3) a=b⇒a2=b2;等等(3) a＞b⇒a2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？归纳：由，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的一般步骤：1.找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；2.用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；3.检验猜想。
即三、课堂训练：例1、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到的点的集合.球的定义：到的点的集合.例2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。
分析：考虑到直角三角形的两条边垂直，我们可以选取有3个面两两垂直的四面体，作为直角三角形的类比对象。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-2 2.1.1 合情推理》
类比推理江苏省泗阳县众兴中学蔡月禄一、教学目标1知识与技能：〔1〕结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；〔2〕能利用类比进行简单的推理；〔3〕体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。
2方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程；体验类比法在探究活动中：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
3情感态度与价值观：体会类比法在数学发现中的根本作用：即通过类比，发现新问题、新结论；通过类比，发现解决问题的新方法。
培养分析问题的能力、学会解决问题的方法；增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦；体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力！同时培养学生学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。
二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
教学难点：培养学生“发现—猜测—证明〞的推理能力。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程〔一〕复习：归纳推理的概念：根据一类事物中局部事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。
我们将这种推理方式称为归纳推理。
注意：利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。
1归纳推理的要点：由局部到整体、由个别到一般；2典型例子方法归纳。
〔二〕引入新课：问题一：从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班〔后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师〕一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他创造了锯子他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的这个推理过程是归纳推理吗？问题二：书本上的类比1、矩形对角线的平方等于长、宽的平方和；长方体的对角线的平方与长、宽、高具有怎样的关系呢答：长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和。
变式：：“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值〞，将空间与平面进行类比，空间中什么样的图形可以对应三角形？在对应图形中有与上述定理相应的结论吗？答：将空间与平面类比，正三角形对应正四面体，三角形的边对应四面体的面。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修1-2 2.1.1 合情推理》2
《类比推理》教学设计江苏省太湖高级中学何英一、教学内容解析“推理与证明”是数学的基本思维过程，它贯穿于整个数学课程，但在教材中独立成一章内容却是首次，对之进行系统学习是这次课程的一个变化。
它把过去渗透在具体数学内容中的思维方法，以显现的形式呈现出来，使学生更明确这些方法，有益于学生了解数学的价值，体会数学问题的一般规律。
本章介绍了两种基本的推理：合情推理和演绎推理。
合情推理是根据已有的事实和正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。
归纳、类比是合情推理常用的思维方法。
本节课是合情推理中的类比推理，是学生在学习归纳推理概念后学习的另外一种推理方法，此时学生已经经历了研究归纳推理基本形式的过程，初步体会了合情推理在数学发展中的作用，本节课要在此基础上研究类比推理的推理形式，比较类比推理和归纳推理这两种形式的异同点，从而归纳出合情推理的共同特征和价值。
本节课的教学重点是了解类比推理的含义，难点是能利用类比进行简单的推理并给予证明。
二、教学目标设置课程目标：（1）通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理的推理形式的本质特征；（2）感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。
单元教学目标：（1）结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用；（2）结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理；（3）通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
结合以上分析，设置本节课的课堂教学目标为：知识与技能目标：（1）了解类比推理的含义、特点，能利用类比进行简单的推理；（2）体会并认识类比推理在数学发现中的作用。
过程与方法目标：（1）通过已已学过的数学实例和生活中的实例创设情境，引导探究，体会类比推理的含义；（2）学生经历观察、分析、提出猜想、抽象概括的过程，提高观察猜想、抽象概括的能力，渗透类比的思想方法。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案 合情推理 类比推理
第2课时合情推理——类比推理教学过程一、问题情境模仿鲁班发明锯子,在我们以前学过的知识和方法中,哪些知识板块可以放在一起进行类比呢?学生活动:等式与不等式,平面上的圆与空间中的球,等差与等比数列,平面几何与立体几何,椭圆与双曲线,空间向量与平面向量,等等.大家根据自己的直觉提出了这么多可以进行类比的知识,那我们就选几个板块,来看看它们为什么可以进行类比,以及具体怎样类比.1.试根据等式的性质猜想不等式的性质.[2]等式的性质:猜想不等式的性质:等式不等式(1)加法法则:a=b⇒a+c=b+c(2)减法法则:a=b⇒a-c=b-c(3)乘法法则:a=b⇒ac=bc(4)除法法则:a=b⇒a÷c=b÷c(c≠0)(5)平方法则:a=b⇒a2=b2教师以问题组的形式让学生自然地建构概念.问题1等式与不等式之间为什么可以进行类比呢?它们在什么方面是相似的?教师启发:“3=3”描述的是相等关系,“4>3”描述的是不等关系,都是衡量数的大小关系,所以它们有不少的相似性质.问题2如何开展类比呢?学生活动模仿就可以.问题3大家通过等式的运算律猜想了不等式的运算律,得到了新知,那这些结论是否一定正确呢?说明什么?学生活动说明用类比的方式得来的结论不一定正确,需要通过严格的证明来确认.2.试将平面上的圆与空间的球进行类比.[3][处理建议]结合“锯子”实例引导学生分析、讨论,教师分析判断,理解类比的实质.解圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦截面圆直径大圆周长表面积圆面积球体积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离不等的两弦与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大不等,距圆心较近的弦较长圆的切线垂直于过切点的球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的经过切点且垂直于切面的直线必经过球心直线必经过圆心以点(x0,y0)为圆心、以r以点(x0,y0,z0)为球心、以r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2在教学的过程中,模仿第1题的方式.问题1平面上的圆与空间的球之间为什么可以进行类比呢,它们在什么方面是相似的?学生活动它们的定义是相似的:圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.它们的形状也是相似的:一个是二维的,平面的;一个是三维的,空间的.圆绕着一条直径旋转一周就形成了球.问题2如何展开类比?学生活动因为圆绕着一条直径旋转一周就形成了球,所以圆的弦、直径、周长、面积类比球中的截面圆、大圆、表面积、体积,只要将圆中的概念改成球中相应的概念就可以.点对应线,线对应面也要注意.它们属于叙述方式上的类比.问题3类比的前提是什么?它的一般步骤是什么?[4]解进行类比推理时,首先,要找出两类对象之间可以确切表述的相似性或一致性;然后,再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;最后,检验这个猜想.二、数学建构概念理解由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同;或由其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理和归纳推理都是合情推理的一种.类比推理的一般步骤:(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;(3)检验猜想.即观察、比较联想、类推猜测新的结论三、数学运用【例1】类比实数的加法与乘法,并列出它们的类似的性质.[5](见学生用书P35) [处理建议]可以先启发学生讨论交流,了解类比的一般思路,体会类比的实质.[规范板书]解在实数的加法与乘法之间,可以建立如下的对应关系:加(+)↔乘(×)加数、被加数↔乘数、被乘数和↔积等等,它们具有下列类似的性质加法的性质乘法的性质a+b=b+a ab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)a+(-a)=0a·=1a+0=a a·0=0[题后反思]为什么实数的加法和乘法之间有这么多相似之处?当加数相同时,加法运算就可以用乘法来表示.加法和乘法运算可以类比,你想想,还有其他的运算可以类比吗?类比推理的一般模式:A类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质a',b',c',(a,b,c与a',b',c'相似或相同)所以B类事物具有性质d'.【例2】试找出等差与等比数列的类比知识.[6](见学生用书P36)[处理建议]以学生活动为主,合作交流,将全班的同学分为两组,第一组的同学提出等差数列的性质,第二组的同学类比等比数列的性质,第一组的同学再判断类比的方式是否正确.[规范板书]解(1)定义:a n+1-a n=d↔=q.(2)通项公式:a n=a1+(n-1)d↔b n=b1q n-1;a n=a m+(n-m)d↔b n=b m q n-m.(3)等差中项:2a n+1=a n+a n+2↔=b n·b n+2.(4)若m+n=p+q,且m,n,p,q∈N*,则a m+a n=a p+a q↔b m b n=b p b q.变式在等差数列{a n}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上述性质,相应地:在等比数列中,若b 9=1,则有等式b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)成立.提示本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是:等差数列→用减法定义→性质用加法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q;等比数列→用除法定义→性质用乘法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q.由此,猜测本题的答案为:b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).[题后反思](1)等差数列的通项公式是a n=a1+(n-1)d,等比数列的通项公式是a n=a1q n-1.两组公式形式上的变化主要体现在“a1+”换成了“a1×”,“(n-1)·d”换成了“q n-1”,即出现了四则运算中“加法升级为乘法、乘法升级为乘方”这样的对应的升级运算.而这也恰好体现在了等差数列与等比数列这两个数列的名称(或定义)之中:差(-)↔比(÷).(2)解题的过程中一些基本的方法是:+↔×,-↔÷,乘法↔乘方,除法↔开方,但这不是绝对的.(3)类比推理不能仅把类比停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上,还需要对数学结论的运算、推理过程等内在联系进行类比分析,从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关系.四、课堂练习1.(1)已知正方形面积为边长的平方,那么在立体几何中,与之类比图形是什么?结论是什么?(2)圆有切线,切线与圆切于1点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论,如何类比到球?(3)平面内不共线的3点确定1个圆.由此结论,如何类比得到空间的结论?解(1)类比图形是正方体,结论是正方体的体积为棱长的立方.(2)球有切面,切面与球切于1点,切点到球心的距离等于球的半径.(3)空间不共面的4点确定一个球.2.已知梯形的上底边长为a,下底边长为b,中位线长为m,则m=.若棱台的上底面积为,下底面积为S2,中截面面积为S0,类比梯形的中位线结论,猜想棱台中截面面积满足什么关系.解若棱台的上底面积为,下底面积为S 2,则中截面面积S0=.3.等差数列{a n}中,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…成等差数列,类比等差数列的结论,猜想等比数列有怎样的结论?结论正确吗?解等比数列{a n}中,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,…成等比数列,结论正确.五、课堂小结1.类比推理的步骤与方法:第一步,找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性);第二步,用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;第三步,用特例验证猜想或证明猜想.2.数学中常见的一些类比推理问题:(1)立体几何与平面几何问题(类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.——数学家G.波利亚);(2)等差数列与等比数列问题;(3)加、减、乘、除运算问题;(4)进制问题等.。
【备课精选】2012年高中数学苏教版选修1-2教案2.1《类比推理》
课题：类比推理（2）●教学目标：（一）知识与能力：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。
（二）过程与方法：类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
（三）情感态度与价值观：1．正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。
2．认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。
●教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
●教学难点：用类比进行推理，做出猜想。
●教具准备：与教材内容相关的资料。
●课时安排：1课时●教学过程：一．问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？二．数学活动我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=b⇒a+c=b+c; (1) a＞b⇒a+c＞b+c;(2) a=b⇒ ac=bc; (2) a＞b⇒ ac＞bc;(3) a=b⇒a2=b2;等等。
(3) a＞b⇒a2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；⑶ 检验猜想。
高中数学苏教版选修1-2学案：2.1.1 第2课时 类比推理含解析
第2课时类比推理1.结合实例，理解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理.(重点、难点)2.区别归纳推理与类比推理，了解合情推理的合理性.(易混点)[基础·初探]教材整理1 类比推理阅读教材P34“例1”以上部分，完成下列问题.根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法.其思维过程为：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论1.判断正误：(1)类比推理是特殊到特殊的推理.( )(2)类比推理的结论一定正确.( )【答案】(1)√(2)×2.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________.【97220011】【解析】“边的中点”类比为“各面的中心”.【答案】中心教材整理2 合情推理阅读教材P35“练习”以上部分，完成下列问题.1.合情推理的含义根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程称为合情推理.归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理.2.合情推理的特点(1)合情推理的结论超越了前提所包容的范围，带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确；(2)合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供证明的思路和方向的作用.如图2-1-9所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，每个图形总的点数记为a n，则a6＝________，a n＝________(n>1，n∈N*).图2-1-9【解析】依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6-3＝15.由n＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得a n＝3n-3(n>1，n∈N*).【答案】15 3n-3[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19-n(n<19，n∈N*)成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则有什么样的等式成立？【精彩点拨】在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂.【自主解答】在等差数列{a n}中，a10＝0，∴a1＋a2＋…＋a n＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋a n＝-a19-a18-…-a n＋1.。
苏教版高中数学选修2-2 2.1.1 第二课时 类比推理 教案
第2课时类比推理学习目标 1.了解类比推理的含义、特征，能利用类比进行简单的推理.2.能正确区别归纳推理与类比推理的不同点，了解合情推理的合理性．知识点一类比推理思考科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了什么样的推理？答案类比推理．梳理(1)类比推理的定义根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．(2)类比推理的思维过程大致如图观察、比较―→猜测新的结论(3)特征：由特殊到特殊的推理．知识点二合情推理思考1归纳推理与类比推理有何区别与联系？答案区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．思考2归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答案不一定正确．梳理(1)合情推理的含义合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．(2)合情推理的过程从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想类型一 数列中的类比推理例1 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．答案T 8T 4 T 12T 8解析 由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列．下面证明该结论的正确性： 设等比数列{b n }的公比为q ，首项为b 1，则T 4＝b 41q 6，T 8＝b 81q 1＋2＋…＋7＝b 81q 28，T 12＝b 121q 1＋2＋…＋11＝b 121q 66， T 16＝b 161q1＋2＋…＋15＝b 161q120， ∴T 8T 4＝b 41q 22，T 12T 8＝b 41q 38， T 16T 12＝b 41q 54， 即(T 8T 4)2＝T 12T 8·T 4，(T 12T 8)2＝T 8T 4·T 16T 12， 故T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．反思与感悟 已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论(其中d ，q 分别是公差和公比)：跟踪训练1 若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn (n ∈N *)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{c n }是等比数列，且c n >0，则有数列d n ＝________(n ∈N *)也是等比数列． 答案nc 1c 2c 3…c n解析 数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n(n ∈N *)也是等差数列．类比猜想：若数列{c n}是各项均为正数的等比数列，则当d n＝n c1c2c3…c n时，数列{d n}也是等比数列．类型二几何中的类比推理例2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．解如题图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类似地，如图所示，在四面体P－DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S 分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相对于直角三角形的两条直角边a，b 和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝S21＋S22＋S23成立．反思与感悟(1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下：跟踪训练2 在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝(a c )2＋(b c )2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.类型三 合情推理的应用例3 我们已经学过了等差数列，你想过有没有等和数列呢？ (1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列{a n }的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明； (3)在等和数列{a n }中，如果a 1＝a ，a 2＝b ，求它的前n 项和S n .解 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列．(2)由(1)知a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2， 所以a n ＋2＝a n .所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等． (3)当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈N *，则 S n ＝S 2k －1＝S 2k －2＋a 2k －1＝2k －22(a ＋b )＋a＝n －12(a ＋b )＋a ＝n ＋12a ＋n －12b ； 当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈N *，则 S n ＝S 2k ＝k (a ＋b )＝n2(a ＋b )．所以它的前n 项和S n＝⎩⎨⎧n ＋12a ＋n －12b ，n 为奇数，n2(a ＋b )，n 为偶数.反思与感悟 定义类比应用问题是常考查的题型，通过对某种概念的定义及性质的理解，类比出其他相似概念的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能力，本类题型解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性．跟踪训练3 定义“等积数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝2，公积为6，求这个数列的前n 项和S n .解 由定义，得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数.前n 项和S n＝⎩⎨⎧5n 2－12，n 为奇数，5n2，n 为偶数.1．下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是________．(填序号) ①三角形；②梯形；③平行四边形；④矩形． 答案 ③解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行． 2．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 答案 1∶8解析 设两个正四面体的体积分别为V 1，V 2， 则V 1∶V 2＝13S 1h 1∶13S 2h 2＝S 1h 1∶S 2h 2＝1∶8.3．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得到四面体的体积为________．答案 13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)解析 △ABC 的内心为O ，连结OA ，OB ，OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a ，b ，c .类比：设四面体A －BCD 的内切球球心为O ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .4．在平面几何中，有射影定理：“在△ABC 中，AB ⊥AC ，点A 在BC 边上的射影为D ，有AB 2＝BD ·BC .”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥A －BCD 中，AD ⊥平面ABC ，点A 在底面BCD 上的射影为O ，则有________________．” 答案 S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD 5．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为________．答案 a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析 等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a 1＋a 2＋…＋a 9＝9222个＋＋＋＝2×9.1．在进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误． 2．提高所得结论的准确性的常用技巧(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些． (2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．课时作业一、填空题1．下列几种推理是类比推理的是________．(填序号) ①内错角相等，两直线平行；②由平面三角形的性质，猜想空间四面体的性质； ③由数列的前几项，猜想数列的通项公式． 答案 ②解析 由类比推理的定义，得只有②为类比推理．2．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列不等式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，…，类比有x ＋a x n ≥n＋1(n ∈N *)，则a ＝________. 答案 n n解析 由类比推理可得x ＋a x n ＝x n ＋…＋x n ＋a x n ≥(n ＋1)·x n ·x n ·…·x n ·ax n ＝n ＋1，此时a ＝n n .3．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c ，类比这个结论可知：四面体A －BCD 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为R ，四面体A －BCD 的体积为V ，则R ＝________. 答案3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析 设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，所以R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.4．圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)在点P (x 0，y 0)处切线的方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2，由此类比，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)在点P (x 0，y 0)处切线的方程为______________．答案x 0x a 2＋y 0y b 2＝1 解析 类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)在点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b2＝1.5．平面几何中，有结论：“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”．类比这一结论，将其拓展到空间，可得到结论：“__________________________________”． 答案 平行六面体四条对角线的平方和等于十二条棱的平方和解析 “平行四边形的边、对角线”类比为“平行六面体的棱、对角线”．6．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3；四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则猜想其四维测度W ＝________. 答案 2πr 4解析 ∵二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l .三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .∴四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ，则W ′＝V ＝8πr 3，∴W ＝2πr 4. 7．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________________．答案 正四面体的内切球的半径是高的14解析 原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h .类比，用等体积法，V ＝13Sh ＝4×13r ·S ⇒r ＝14h .8．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子②：______________________， ②式可以用语言叙述为：___________________________________________________. 答案 (43πR 3)′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数解析 通过给出的两个量之间的关系，类比球的体积公式和球的表面积公式，我们不难发现⎝⎛⎭⎫43πR 3′＝4πR 2，从而使问题解决． 9．在平面中△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 的面积所成的比S △AEC S △BEC ＝ACBC ，将这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于E ，则类比的结论为________________．答案V A －CDE V B －CDE ＝S △ACDS △BCD解析 平面中的面积类比到空间为体积，故S △AEC S △BEC 类比成V A －CDEV B －CDE .平面中的线段长类比到空间为面积， 故ACBC 类比成S △ACD S △BCD. 故有V A －CDE V B －CDE ＝S △ACD S △BCD.10．由图1有面积关系：S △P AB S △PCD ＝P A ·PBPC ·PD ，则由图2有体积关系：V P －ABC V P －DEF＝________.答案P A ·PB ·PCPD ·PE ·PF解析 设点A ，D 到平面PBC 的距离分别为h 1，h 2，则h 1h 2＝P A PD 且V P －ABC ＝13S △PBC ·h 1，V P －DEF ＝13S △PEF ·h 2，所以V P －ABC V P －DEF ＝P A ·PB ·PC PD ·PE ·PF11．下列类比推理中正确的个数是________． ①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log m (xy )＝log m x ＋log m y 与sin(a ＋b )类比，则有sin(a ＋b )＝sin ab ； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 答案 1解析 对于①，令a ＝b ＝1，n ＝2，则(a ＋b )n ＝4，a n ＋b n ＝2，(a ＋b )n ≠a n ＋b n ，故①错误；对于②，令a ＝0°，b ＝30°，则sin(a ＋b )＝12，sin ab ＝0，sin(a ＋b )≠sin ab ，故②错误；对于③，由平面向量的知识可知，③显然正确． 二、解答题12．已知：等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，有如下的性质： (1)通项a n ＝a m ＋(n －m )·d .(2)若m ＋n ＝p ＋q ，且m ，n ，p ，q ∈N *，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (3)若m ＋n ＝2p ，且m ，n ，p ∈N *，则a m ＋a n ＝2a p . 类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质． 解 设等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为T n . (1)通项b n ＝b n ·q n－m.(2)若m ＋n ＝p ＋q ，且m ，n ，p ，q ∈N *， 则b m ·b n ＝b p ·b q .(3)若m ＋n ＝2p ，且m ，n ，p ∈N *，则b 2p ＝b m ·b n . 13．已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －am n －m .现已知等比数列{b n }，类比等差数列，写出相似的性质．解 等差数列的通项a n 与项数n 是一次函数关系，等比数列的通项b n 与项数n 是指数型函数关系．利用类比可得b m ＋n ＝1()n n mm b a＝n －m b n a m . 三、探究与拓展14．若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，则数列{S nn }为等差数列，且通项为S n n ＝a 1＋(n －1)·d2，类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，前n 项的积为T n ，则________________________． 答案 数列{n T n }为等比数列，且通项为nT n ＝b 1(q )n －1解析 T n ＝b 1·b 2·…·b n ＝b n 1·q 1＋2＋3＋…＋(n －1)＝b n 1·q n (n －1)2，而n T n ＝b 1·q n －12＝b 1(q )n －1，所以数列{nT n }是首项为b 1，公比为q 的等比数列，其通项为nT n ＝b 1·(q )n －1.15.如图，已知O 是△ABC 内任意一点，连结AO ，BO ，CO 并延长交对边于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1. 这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”：OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABCS △ABC ＝1.运用类比猜想，对于空间中的四面体V－BCD ，存在什么类似结论？并用“体积法”证明．解 如图，设O 为四面体V －BCD 内任意一点，连结VO ，BO ，CO ，DO 并延长交对面于V ′，B ′，C ′，D ′，类似结论为OV ′VV ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＋OD ′DD ′＝1.类比平面几何中的“面积法”，可用“体积法”来证明．因为V O －BCD V V －BCD ＝13·S △BCD ·h ′13·S △BCD ·h ＝OV ′VV ′(其中h ′，h 分别为两个四面体的高)，同理V O －VCD V B －VCD ＝OB ′BB ′，V O －VBD V C －VBD ＝OC ′CC ′，V O －VBC V D －VBC ＝OD ′DD ′.所以OV ′VV ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＋OD ′DD ′＝V O －BCD V V －BCD ＋V O －VCD V B －VCD ＋V O －VBD V C －VBD ＋V O －VBCV D －VBC＝1.。
类比推理教案设计
实用标准文案“类比推理”教案泰兴市第三高级中学杨翠“类比推理”是苏教版选修2—2的第二章第一节的内容，本节课是其中的第二课时.课程标准要求：“结合已经学过的数学案例和生活实例，了解合情推理的含义，能利用类比的方法进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用”.并指出：“合情推理是数学发现过程和数学体系建构过程中的一种重要思维形式”.要求“在教学中要注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点”根据课程标准的要求，结合教材实际，我将从重难点分析、目标定位、教法学法、教学设想、教学评价等五个方面对本节课的教学设计进行说明.一、重难点分析重点:了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理.难点：用类比进行推理，做出猜想.二、目标定位1、知识与能力：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去.2、过程与方法：类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类精彩文档．实用标准文案比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠.3、情感态度与价值观：（1）正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识. （2）认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善正确的数学意识.三、教法学法针对本节课的特点，在教法上，我采用以教师引导为主，学生合作探索、积极思考为辅的探究式教学方法；在教学过程中，我注重启发式引导、反馈式评价，充分调动学生的学习积极性，鼓励同学们结合实际、大胆联想，让同学们积极主动分享自己的发现和感悟；在教学手段上，我灵活运用黑板板书和多媒体展示，激发学生的创造力，活跃了气氛，加深了理解；在教学思想上，我以建构主义为主，强调数学知识的建构过程，让学生亲历逻辑推理的发现之旅.课时安排：1课时.四、教学设想精彩文档．实用标准文案1、创设情境、引出课题——鲁班发明锯子精彩文档．实用标准文案温故知新、承前启后——初步认识类比推理2、精彩文档．实用标准文案3、师生合作、共探新知——进一步体会类比推理精彩文档．实用标准文案4、讨论探究、例题演练——两类常见应用精彩文档．实用标准文案精彩文档．实用标准文案实用标准文案精彩文档．实用标准文案5、课堂小结、布置作业五、教学评价实用标准文案1、教学内容:类比推理作为合情推理的第二课时，必须把学生的认知力引导到类比上来，让学生理解并区分两类合情推理.故事形式开讲————激发学习兴趣生活实例讨论————学生全情投入例题演练巩固————延续求知热情课堂小结反思————分享自身成长2、教学理念：始终贯彻以学生为中心的教育理念.关注学生的认知过程，重视学生的自由发挥，随时发现、肯定学生的闪光点，让学生及时享受成功的愉悦.同时，结合学生暴露出的思想或方法上的问题，给予适时点拨.在教学设计中，我突显了教学的有效性：引导学生.3、教学预想：“类比推理”概念枯燥抽象，学生似懂非懂，道理似易实难.题目浅深度难以把握，而且对具体题目的处理，没有确信的统一方法.思辨之美，难以体会.笔者根据新课程标准的要求，更多的专注于推理的形式，引用多个实例，带领学生亲历思维过程即推理过程，真正理解推理概念.同时，笔者也希望通过这节课的教学，能让学生体会数学和生活的联系，体会数学应用的广泛性，认精实用标准文案识数学的文化价值.当然，课堂是一个动态的过程，为使严谨的课堂更具弹性，我还做了其他准备，比如仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇；利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理；科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征; 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星;2)有大气层,在一年中也有季节变更;3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等. 科学家猜想;火星上也可能有生命存在.等学生感兴趣的且与本节课相关的问题，以便适时的给学生拓宽知识，让学生更充分地感受到数学知识在其他方面的广泛应用.精彩文档．。
江苏省灌云县四队中学苏教数学选修2-2教案 类比推理
四队中学教案纸（备课人：吴利霞学科：高二数学）备课
时间3.19
教学
课题
教时
计划
1
教学
课时
1
教学目标1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识类比推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。
2、类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
重点难点教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
教学难点：用类比进行推理，做出猜想。
教学过程
一、复习引入：
1、什么叫推理?推理由哪几部分组成?
2、合情推理的主要形式有和 .
3、归纳推理是从事实中概括出结论的一种推理模式
4、归纳推理的特点:
5、
223344
22,33,44,
33881515
+=+=+=66
a a
b b
+=（,a b均为实数），
请推测a= b= 。
二、新课讲解：
春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.
他的思路是这样的：茅草是齿形的，茅草能割破手，需要一种能割断木头的，它也可以是齿形的。
这个推理过程是归纳推理吗？
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：猜想不等式的性质：
(1) a=b⇒a+c=b+c; (1) a＞b⇒a+c＞b+c。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学类比推理学案苏教版选修
1、通过具体实例理解类比推理的意义、
2、会用类比推理对具体问题作出判断、学习重难点：类比推理学习过程：一、复习回顾（归纳推理）
1、归纳推理：从个别事实中推演出一般性的结论的推理称为归纳推理、
2、归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论、
3、归纳推理带有一定的猜测性，由其得到的结论不一定正确、
4、简单应用(1)如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为________、(2)如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________、(3)如图所示，图(a)是棱长为1的小正方体，图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成、按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n层、第n层的小正方体的个数记为Sn、解答下列问题、(1)按照要求填表：n1234…Sn136…(2)S10＝________,Sn＝________、(4)将全体正整数排成一个三角形数阵：1234 5 67 8 9 1011 12 13 14 15……………………按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________、二、类比推理：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理结合具体实例来理解类比推理：
1、工匠鲁班类比带齿的草叶,发明了锯
2、仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇、
3、教材案例
24、试通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为”,猜测关于球的相应命题：
_________________________________________________________、三、简单应用
1、把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是________、(填序号)①如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交；②如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直；③如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行；④如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行、
2、类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质中，你认为比较恰当的是________、(填序号)①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等、
3、在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边A
B、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”、拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间
的关系，可以得出的结论是_____________________、4、如图(1)，在平面内有面积关系＝，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论、5、已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有＝＋成立、那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确及并给出理由、。