2021高考数学一轮习题：专题5+阶段滚动检测(三)

4
21．已知函数 f (x)＝ax－(3a＋1)ln x－3＋a，a∈R. x
(1)若点(1，－1)在 f (x)的图象上，求 f (x)的图象在点(1，－1)处的切线方程； (2)若 a≤0，求 f (x)的极值．
22．(2019·安徽省定远中学模拟)已知函数 f (x)＝(x2－2x＋2)ex－1ax2(a∈R)． 2
当 1≤x≤35 且 x∈N 时，Qmax＝800×35－16 000＝12 000，
当 35<x≤60 且 x∈N 时，Q＝－10x2＋1 150x－16 000
＝－10
x－115 2
2＋34 125.
2ห้องสมุดไป่ตู้
因为 x∈N，所以当 x＝57 或 x＝58 时，Qmax＝17 060>12 000.
故当旅游团人数为 57 或 58 时，旅行社可获得最大利润为 17 060 元．
一、单项选择题
1．已知集合 A＝{x∈R|－1<x≤3}，B＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，则 A∩B 等于( )
A．{－1,0,1,2,3}
B．{0,1,2,3}
C．{1,2,3}
D．{0,1,2}
2．(2019·北京人大附中期中)“a>b”是“2a>2b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
， B
由正弦定理得a＋b＝23a－c， c a－b
变形得 a2＋c2－b2＝2ac， 3
∴cos B＝a2＋c2－b2＝1. 2ac 3
(2)由 cos 2A－3cos(B＋C)＝1 得 2cos2A＋3cos A－2＝0，
解得 cos A＝1，∵A∈(0，π)， 2
∴A＝π，∴sin A＝ 3，
3
x－3
log2 2 ，2<x≤4，
－1 则f f 2
的值为______．
2
14．(2019·上海复旦附中模拟)若对任意 x∈R，不等式 sin 2x＋2sin2x－m<0 恒成立，则实数 m
的取值范围是________________________．
15．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，向量 a 与 b 的夹角为 60°，则 a·b＝________；|2a－
3b|＝________. 16．(2019·四川省绵阳南山中学期中)给出下列五个命题：
①函数
f
(x)＝2a2x－1－1
的图象过定点
1，－1 2
；
②已知函数 f (x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f (x)＝x(x＋1)，若 f (a)＝－2，则实数 a
＝－1 或 2；
③若
loga12>1，则
A．当 a＝－2 时，函数 f (x)的单调递减区间是(－∞，1]
B．当 a＝－2 时，单调递增区间是(1，＋∞)
C．当 a＝－2 时，极小值是 f (1)＝1
D．若 g(x)＝f (x)＋2在[1，＋∞)上是增函数，则 a 的取值范围为[0，＋∞) x
三、填空题
cos πx，0<x≤2， 2
13．已知函数 f (x)的周期为 4，且当 x∈(0,4]时，f (x)＝
11．若函数 f (x)＝2sin (x＋2θ)·cos x
2 的图象过点(0,2)，则下列说法错误的是( )
π，0 A．点 4 是 y＝f (x)的一个对称中心
B．直线 x＝π是 y＝f (x)的一条对称轴 4
C．函数 y＝f (x)的最小正周期是 2π
D．函数 y＝f (x)的值域是[0,2]
12．已知函数 f (x)＝x2＋aln x，则下列结论正确的是( )
x1＋x2 ⑤对于函数 f (x)＝ln x，f 2
＝ln x1＋x2≥ln x1x2＝ln x1＋ln x2
2
2
＝ f x1＋f x2 ， 当 且 仅 当 x1 ＝ x2 时 取 得 等 号 ， 其 定 义 域 内 任 意 x1≠x2 都 满 足 2
f
x1＋x2 2
f >
x1＋f
x2，故⑤正确．
2
B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
C．若 a·b＝a·c，且 a≠0，则 b＝c
D．(a·b)c＝a(b·c)
10．下列结论正确的是( )
A．若 a2>b2，则1<1 ab
B．若 x>0，则 x＋4≥4 x
C．若 a>b>0，则 lg a>lg b
D．若 ab>0，a＋b＝1，则1＋1≥4 ab
0<θ<π
2a－c
＝3
.
sin A－sin B
(1)求 cos B 的值；
(2)若 b＝8，cos 2A－3cos(B＋C)＝1，求△ABC 的面积．
20．旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为 16 000 元．旅行团中的每个人 的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过 35 人，飞机票每张收费 800 元； 若旅行团的人数多于 35 人，则予以优惠，每多 1 人，每个人的机票费减少 10 元，但旅行团 的人数最多不超过 60 人．设旅行团的人数为 x，飞机票价格为 y 元，旅行社的利润为 Q 元． (1)写出飞机票价格 y 元与旅行团人数 x 之间的函数关系式； (2)当旅行团人数 x 为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润．
－x2＋4x－2，x>1，
若关于 x 的方程 a＝f (x)恰
1
有两个不同实根，则实数 a 的取值范围是( )
－∞，1
A.
2 ∪[1,2)
0，1 B. 2 ∪[1,2)
C．(1,2)
D．[1,2)
二、多项选择题
9．对于任意的平面向量 a，b，c，下列说法错误的是( )
A．若 a≠b，则 a 与 b 不是共线向量
(2)∵(μa＋b)⊥(a－2b)， ∴(μa＋b)·(a－2b)＝0， ∴μa2－2b2－2μa·b＋a·b＝0，
∴9μ－2×25－2μ×15＋15＝0， 22
∴μ＝－85. 12
∴存在μ＝－85，使得μa＋b 与 a－2b 垂直． 12
18．解 (1)依题意得 y＝f x x
＝x2－4x＋1＝x＋1－4.
17．解 (1)∵a＋b＋c＝0，
∴a＋b＝－c，∴|a＋b|＝|c|，
∴(a＋b)2＝c2，即 a2＋2a·b＋b2＝c2，
∴a·b＝c2－a2－b2 2
＝|c|2－|a|2－|b|2＝49－9－25＝15.
2
2
2
又∵a·b＝|a||b|cos θ，
∴15＝3×5×cos θ， 2
∴cos θ＝1，即θ＝60°. 2
1 则 f 2 ＝1，故①错误；
②因为当 x≥0 时，f (x)＝x(x＋1)≥0，且 f (1)＝2，所以由函数 f (x)是定义在 R 上的奇函数得
6
f (－1)＝－2＝f (a)，所以 a＝－1，故②错误；
③若 loga1>1，可得1<a<1，故③正确；
2
2
④因为 f (x)＝f (4－x)，则 f (x)的图象关于直线 x＝2 对称，故④正确；
(1)求 a 与 b 的夹角θ；
(2)是否存在实数μ使μa＋b 与 a－2b 垂直？
18．已知函数 f (x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R. (1)若 a＝2，试求函数 y＝f x(x>0)的最小值；
x (2)对于任意的 x∈[0,2]，不等式 f (x)≤a 恒成立，试求 a 的取值范围．
3
19．(2019·湖南长沙一中期中)在△ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，已知 a＋b sinA＋B
2
小关系是( )
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>b>a
D．b>a>c
5．函数 f (x)＝x2·sin x 的部分图象大致是( )
6．(2020·唐山模拟)设 D 为△ABC 所在平面内一点，B→C＝3C→D，若A→D＝λA→B＋μA→C，则λ－μ
等于( )
A．－5 B．－4 C.4 D.5
3
333
当 35<x≤60 时，y＝800－10(x－35)＝－10x＋1 150，
所以 y＝
800，1≤x≤35，且 x∈N， －10x＋1 150，35<x≤60，且 x∈N.
(2)设利润为 Q，则 Q＝yx－16 000＝
800x－16 000，1≤x≤35，且 x∈N， －10x2＋1 150x－16 000，35<x≤60，且 x∈N，
21．解 (1)∵(1，－1)在 f (x)的图象上，
∴a－(3a＋1)ln 1－3＋a＝－1，
解得 a＝1.
∴f (x)＝x－4ln x－3＋1， x
f′(x)＝x2－4x＋3， x2
f′(1)＝0，即 f (x)的图象在点(1，－1)处的切线斜率为 0，
∴f (x)的图象在点(1，－1)处的切线方程为 y＝－1.
a
的取值范围是
1，1 2
；
④若对于任意 x∈R 都有 f (x)＝f (4－x)成立，则 f (x)的图象关于直线 x＝2 对称；
⑤对于函数 f (x)＝ln x，其定义域内任意 x1≠x2 都满足 f
x1＋x2 2
>f
x1＋f
x2.
2
其中所有正确命题的序号是________．
四、解答题
17．已知向量 a，b，c 满足 a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7.
当 a＝－2 时，f′(x)＝2x－2＝2x＋1x－1.
x
x
当 x 变化时，f′(x)和 f (x)变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f (x)
单调递减 极小值
单调递增
由上表可知，函数 f (x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)，极小值是 f (1)＝1， B，C 正确．
当 x∈[1，＋∞)时，φ′(x)＝－x22－4x<0，
所以φ(x)＝2－2x2 在[1，＋∞)上为减函数， x
所以φ(x)max＝φ(1)＝0，所以 a≥0. 所以 a 的取值范围为[0，＋∞)，D 正确．]
13．0 14.( 2＋1，＋∞) 15.1 2 7
16．③④⑤ 解析 ①函数 f (x)＝2a2x－1－1，
不妨设 g(x)＝x2－2ax－1，则只要 g(x)≤0 在[0,2]上恒成立即可．
所以 g0≤0， 即 0－0－1≤0，
g2≤0，
4－4a－1≤0，
解得 a≥3. 4
则 a 的取值范围为
3，＋∞ 4
.
19．解
(1)由sinaA＋＋b B＝sin
2a－c 3 A－sin
得a＋b＝
2a－c 3
B sin C sin A－sin
x
x
7
因为 x>0，所以 x＋1≥2. x
当且仅当 x＝1，即 x＝1 时，等号成立． x
所以 y≥－2.
所以当 x＝1 时，y＝f x的最小值为－2. x
(2)因为 f (x)－a＝x2－2ax－1，所以要使得“∀x∈[0,2]，不等式 f (x)≤a 成立”只要“x2－2ax
－1≤0 在[0,2]上恒成立”．
7．已知定义在 R 上的函数 f (x)在[1，＋∞)上单调递减，且 f (x＋1)是偶函数，不等式 f (m＋
2)≥f (x－1)对任意的 x∈[－1,0]恒成立，则实数 m 的取值范围是( )
A．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
B．[－4,2]
C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
D．[－3,1]
1 8．(2019·江西吉安一中模拟)已知 f (x)＝ 2 |x|，x≤1，
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(2020·安徽省皖中名校联盟联考)已知角α的终边上有一点 P 的坐标是(－1,2 2)，则 cos α
的值为( )
A．－1 B．2 2 C. 3 D．－1
3
3
1
4．(2020·首都师范大学附属中学期末)已知 a＝ 2 3，b＝0.3－2，c＝ log 1 2 ，则 a，b，c 的大
(1)当 a＝e 时，求函数 f (x)的单调区间； (2)证明：当 a≤－2 时，f (x)≥2.
5
答案精析
1．B 2.C 3.D 4.D 5.A 6.A 7.D
8．B 9.ACD 10.BCD 11.ABC
12．BCD [因为函数 f (x)＝x2＋aln x，所以函数 f (x)的定义域为(0，＋∞)，故 A 错误．
2
又 sin B＝2 2， 3
∴sin C＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B＝ 3＋2 2， 6
由正弦定理得 a ＝ b ，得 a＝3 6， sin A sin B
∴S△ABC＝12absin
C＝1×3 2
6×8×
3＋2 6
2＝6
2＋8
3.
8
20．解 (1)依题意得，当 1≤x≤35 时，y＝800.
由
g(x)＝x2＋aln
x＋2，得 x
g′(x)＝2x＋ax－x22.
若函数 g(x)为[1，＋∞)上的增函数，则 g′(x)≥0 在[1，＋∞)上恒成立，
即不等式 2x－x22＋ax≥0 在[1，＋∞)上恒成立，
也即 a≥2－2x2 在[1，＋∞)上恒成立． x
令φ(x)＝2－2x2， x
则φ′(x)＝－x22－4x.