三次函数专题

三次函数专题

一、定义：

定义1、形如3

2

(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。

定义2、三次函数的导数2

32(0)y ax bx c a '=++≠，把2

412b ac ∆=-叫做三次函数

导函数的判别式。

由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。 二、三次函数图象与性质的探究： 1、单调性。

一般地，当032

≤-ac b 时，三次函数)0(2

3

≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当032

>-ac b 时，三次函数)0(2

3

≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。 （根据0,0<>a a 两种不同情况进行分类讨论） 2、对称中心。

三次函数)0()(2

3

≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点

))3(,3(a

b

f a b --

，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 证明：设函数的对称中心为（m ，n ）。

按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以 化简得：

上式对恒成立，故，得， 。

所以，函数的对称中心是（）。

可见，y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。

3、三次方程根的问题。

（1）当△=01242

≤-ac b 时，由于不等式0)(≥'x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原

方程仅有一个实根。

（2）当△=01242

>-ac b 时，由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设

21x x <，可知，))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数)

(x f y =在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减。 此时：

①若0)()(21>⋅x f x f ，即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同侧，图象均与x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。

若0)()(21<⋅x f x f ，即函数)(x f y =极大值点与极小值点在x 轴异侧，图象与x 轴必

有三个交点，所以原方程有三个不等实根。

③ 若0)()(21=⋅x f x f ，即)(1x f 与)(2x f 中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个

实根，其中两个相等。

4、极值点问题。

若函数f(x)在点x 0的附近恒有f(x 0)≥f(x) (或f(x 0)≤f(x))，则称函数f(x)在点x 0处取得极大值（或极小值），称点x 0为极大值点（或极小值点）。 当0∆>时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上的极值点要么有两个。 当0∆≤时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上不存在极值点。

5、最值问题。

函数若，且，则：()()()(){}max 0,,f x f m f x f n =；

。

三、例题讲解： 例1、（函数的单调区间、极值及函数与方程的）已知函数f （x ）=x-3ax+3x+1。 （Ⅰ）设a=2，求f （x ）的单调期间；

（Ⅱ）设f （x ）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a 的取值范围。 解：

①式无解，②式的解为， 因此的取值范围是.

例2、已知函数)(x f 满足C x x f x x f +-⎪⎭

⎫

⎝⎛+=2332')(（其中C 为常数）．

（1）求函数)(x f 的单调区间；

（2）若方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根，求常数C ；

（3）在（2）的条件下，若031>⎪⎭

⎫

⎝⎛-f ，求函数)(x f 的图象与x 轴围成的封闭图形的面积．

解：（1）由C x x f x x f +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2332')(，得132'23)('2-⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=x f x x f ．

取32=x ，得13232'232332'2

-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ，解之，得132'-=⎪⎭

⎫

⎝⎛f ，

∴C x x x x f +--=23)(．

从而()1313123)('2-⎪⎭

⎫ ⎝

⎛+=--=x x x x x f ， 列表如下：

∴)(x f 的单调递增区间是)3

,(--∞和),1(∞+；)(x f 的单调递减区间是

)1,3

1

(-． （2）由（1）知，C C f x f +=+⎪⎭

⎫

⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=27531313131)]([2

3极大值

；

C C f x f +-=+--==1111)1()]([23极小值．

∴方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根，等价于0)]([=极大值x f 或

0)]([=极小值x f ． ………8分

∴常数27

5

-=C 或1=C ．

（3）由（2）知，27

5

)(23-

--=x x x x f 或1)(23+--=x x x x f ． 而031>⎪⎭

⎫ ⎝⎛-f ，所以1)(23+--=x x x x f ．

令01)(23=+--=x x x x f ，得0)1()1(2=+-x x ，11-=x ，12=x ． ∴所求封闭图形的面积(

)

⎰

-+--=1 1

23 1dx x x x 1

1234213141-⎪⎭⎫

⎝⎛+--=x x x x 3

4=．

例3、（恒成立问题）已知函数有极值．

（1）求的取值范围；

（2）若在处取得极值，且当时，恒成立，求的取值范围． 解：（1）∵，∴，

要使有极值，则方程有两个实数解，

从而△＝，∴． （2）∵在处取得极值，