三次函数切线专题

三次函数切线专题

过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切。 （1）若

,30a b

x -

=则过点P 恰有一条切线； （2） 若,

30a b x -≠且

)3()(0a b

g x g -

0>，则过点P 恰有一条切线；

（3） 若

,

30a

b x -≠且

)

3()(0a

b

g x g -=0，则过点P 有两条不同的切

线； （4）若

,30a

b x -

≠且

)3()(0a

b

g x g -

0<，则过点P 有三条不同的切线。

其中).

)(()()(0/0

x x x f x f y

x g -+-=

证明 设过点P 作直线与)(x f y =图象相切于点),,(1

1

y x Q 则切线方程为

),

)(23(112

11x x c bx ax y y -++=-

把点),(0

y x P 代入得：

2)3(200102

103

1=--+--+cx d y x bx x ax b ax ， 设.

2)3(2)(000203

cx d y x bx x ax b ax x g --+--+=

,

2)3(26)(002/bx x ax b ax x g --+=

,

)3(448)3(420020b ax abx ax b +=+-=∆

令

,

0)(/=x g 则

.3,0a

b

x x x -

==

因为0)(=x g 恰有一个实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴只相交一次，即)(x g y =在R 上为单调函数或两极值同号，所以

,30a

b x -

=或

,30a

b x -

≠且

)3()(0a

b

g x g -

0>时，过点P 恰有一条切

线。

)(=x g 有两个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有

两个公共点且其中之一为切点，所以,30a

b x -

≠且

)3()(0a

b g x g -

=0

时，过点P 有两条不同的切线。

)(=x g 有三个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有

三个公共点，即)(x g y =有一个极大值，一个极小值，且两极值异号。所以,30a

b x -

≠且

)3()(0a

b

g x g -

0<时，过点P 有三条不

同的切线。 例题讲解：

例1、已知函数3

y x x =-，求过点()1,0A 的切线方程。

例2、（2010湖北文数）设函数321a

x x bx c

32

f -++（x ）=，其中a

＞0，曲线x y f =（）在点P （0，0f （））处的切线方程为y=1

（Ⅰ）确定b 、c 的值。

（Ⅱ）设曲线x y f =（）在点（1

1

x x f ，（））及（2

2

x x f ，（））处的切线

都过点（0,2）证明：当1

2

x x ≠时，1

2

'()'()f x f x ≠

（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线x y f =（）的三条不同切线，

求a 的取值范围。

例3、已知函数

321

()3

f x x ax bx

=++,且'(1)0f -=

(1) 试用含a 的代数式表示b,并求()f x 的单调区间； （2）令1a =-,设函数()f x 在1

2

1

2

,()x x x x <处取得极值，记点M

(1

x ,1()f x )，N(2x ,2

()f x )，P(,()m f m ),

12

x m x <<,请仔细观察曲线()

f x 在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势，并解释以下问题：

（I ）若对任意的m ∈(1

x , x 2

)，线段MP 与曲线f(x)均有

异于M,P 的公共点，试确定t 的最小值，并证明你的结论；

（II ）若存在点Q(n ,f(n)), x ≤n< m,使得线段PQ 与曲线f(x)有异于P 、Q 的公共点，请直接写出m 的取值范围（不必给出求解过程）

三次函数切线作业

1、曲线

33y x x

=+在点

(2,14)

P --处的切线方程

是 。 2、已知曲线C ：3

()2

f x x x =-+，则经过点(1,2)P 的曲线C 的

切线方程是 。

3、已知曲线C ：32()32f x x x x a

=-++的一条切线方程为2y x =，

则实数a 的值等于 。

4、已知函数

()323f x ax bx x

=+-在1x =±处取得极值。

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值1

2

,x x ，都有()()1

2

4f x f x -≤；

（Ⅲ）若过点A （1，m ）（m ≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围. 5、已知函数．3

()2f x x

ax

=+与2

()g x bx

cx

=+的图象都过点P(2，

0)，且在点P 处有公共切线．

(1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P 处的公切线方程； (2)设()

()ln(1)8mg x F x x x

=

+-，其中0m <，求F(x)的单调区间．