三次函数切线专题
4.1 切线方程(精讲)(提升版)(原卷版)
4.1 切线方程（精讲）（提升版）思维导图考点呈现考点一 斜率和倾斜角【例1-1】（2022·江苏淮安）已知函数()cos2(0,πf x x x =∈，）在0x x =处的切线斜率为85，则00co sin s x x -=（ ） A ．35 B ．35C ．355-D ．355【例1-2】（2022·重庆一中）已知偶函数()f x ，当0x >时，()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()2,2f --处的切线的斜率为（ ） A ．3- B ．3 C ．5- D ．5【一隅三反】1．（2022·辽宁）已知曲线()3cos1f x x =-在点()()1,1f 处的切线与直线:30l ax y --=垂直，则实数a 的值为______．2．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数()2ln 1sin y x x =++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则sin2α=（ ） A ．310B ．±310 C ．35D ．±35例题剖析3．（2022·湖南）已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)⎡⎣B ．)⎡⎣C ．(,-∞ D ．(-∞考点二 “在型”的切线方程【例2-1】（2022·广西）曲线31y x =+在点()1,a -处的切线方程为（ ） A ．33y x =+ B ．31y x C ．31y x =-- D ．33y x =--【例2-2】（2022·广西·贵港市）已知曲线e ln x y ax x =+在点()1,e a 处的切线方程为3y x b =+，则（ ） A ．e a =，2b =- B ．e a =，2b = C ．1e a -=，2b =- D ．1e a -=，2b =【一隅三反】1．（2022·河南）已知函数()()423f x x m =++的图象经过坐标原点，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程是（ ）A ．872y x =-B ．476y x =-C ．872y x =+D ．476y x =+2．（2022·安徽）已知()f x 为奇函数，且当0x >时()211e xf x x-=+，则曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（ ） A ．240x y ++= B ．240x y -+= C ．220x y -+= D ．220x y ++=3．（2022·安徽·巢湖市）曲线22x ay x +=+在点()1,b 处的切线方程为60kx y -+=，则k 的值为（ ） A ．1- B ．23-C ．12D ．14．（2022·湖北·武汉二中模拟预测）已知函数()1ln f x x x=-，直线y mx n =+是曲线()y f x =的一条切线，则2m n +的取值范围是（ ） A ．[)3,∞-+ B ．2e 3,e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)2ln 24,--+∞D ．5ln 2,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭考点三 “过型”的切线方程【例3】（2022·河南洛阳）已知函数()3221f x x x x =-++，则曲线()y f x =过坐标原点的切线方程为（ ） A ．y x = B ．2y x =C ．3y x =D ．4y x =【一隅三反】1．（2022·广东·新会陈经纶中学）（多选）已知曲线3()21f x x =+.则曲线过点P （1，3）的切线方程为.（ ） A ．630x y --= B ．3230x y -+=C ．690x y +-=D ．3290x y +-=2（2022·北京·汇文中学）228y x =+过点()12P ，的切线方程是__________.3．（2022·四川·广安二中）函数()2e x f x x =过点()0,0的切线方程为考点四 切线或切点数量问题【例4-1】（2022·河南洛阳）若过点()1,0P 作曲线3y x =的切线，则这样的切线共有（ ） A ．0条 B ．1条C ．2条D ．3条【例4-2】（2022·全国·高三专题练习）若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ） A ．ln a b < B ．ln b a <C ．ln b a <D ．ln a b <【一隅三反】1．（2022·河南洛阳）若过点()1,0P 作曲线3y x =的切线，则这样的切线共有（ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条2．（2022·湖北·宜城市第一中学）若过点(),a b 可以作曲线()10y x x x=->的两条切线，则（ ） A ．0b a >> B ．10a b a a-<<< C ．10a b a a<-<< D ．1a b a a>>-且0a >3．（2022·河南洛阳）若过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．()0,∞+ C ．()0,1 D ．{}0,14．（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．考点五 公切线【例5-1】（2022·安徽省舒城中学）已知直线l 是曲线e 1x y =-与ln 1y x =+的公共切线，则l 的方程为_____.【例5-2】（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．(]0,2e B ．(]0,e C ．[)2,e +∞ D ．(],2e e【一隅三反】1．（2022·全国·模拟预测）若直线l 与曲线2y x 和2249x y +=都相切，则l 的斜率为______．2．（2022·河北保定·二模）（多选）若直线3y x m =+是曲线()30y x x =>与曲线()260y x nx x =-+->的公切线，则（ ） A ．2m =-B ．1m =-C ．6n =D ．7n =3．（2022·安徽·合肥一六八中学）若直线y kx m =+是曲线ln(1)y x =-的切线，也是曲线3e x y -=的切线，则k =__________.考点六 切线与其他知识的运用【例6-1】（2022·湖北·黄冈中学）已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则14a b+的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．13【例6-2】（2022·广东·深圳市光明区高级中学）已知函数()()2ln f x x x ax x a =-+∈R ，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线l 恒过定点_____________.【一隅三反】1．（2022·河北衡水）已知函数2ln ()2xf x x x=-在1x =处的切线为l ，第一象限内的点(,)P a b 在切线l 上，则1111a b +++的最小值为（ ）A B C D 2．（2022·安徽）对于三次函数()f x ，若曲线()y f x =在点(0,0)处的切线与曲线()y xf x =在点(1,2)处点的切线重合，则(2)f '=（ ）A ．34-B ．14-C ．4-D ．143．（2022·黑龙江·哈尔滨三中）若曲线e x y =过点(2,0)-的切线恒在函数212()e 31e e x f x a x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭的图象的上方，则实数a 的取值范围是__________．考点七 切线方程的运用【例7-1】（2022·全国·高三专题练习）设点P 在曲线y x =上，点Q 在曲线()ln 2y x =上，则PQ 的最小值为（ ）A ．1ln 22- B )1ln 2- C ．1ln 22+ D ．)1ln 22+【例7-2】（2022·山东烟台·三模）已知函数()2ln ,021,0x x f x x x x ⎧>=⎨+-≤⎩，若方程()1f x ax =-有且仅有三个实数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．01a << B ．02a << C ．1a > D ．2a >【一隅三反】1．（2022·江苏徐州）过平面内一点P 作曲线|ln |y x =的两条互相垂直的切线12,l l ，切点分别为12,P P （12,P P 不重合），设直线12,l l 分别与y 轴交于点A ，B ，则ABP △面积的取值范围为（ ） A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．()0,1C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(0,2]2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()e ln xf x x a x x =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是______．3．（2022·云南曲靖·二模）设()'f x 是函数()f x 的导函数，()f x ''是函数()'f x 的导函数，若对任意R ()0,()0x f x f x '''∈><，恒成立，则下列选项正确的是（ ） A ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-< B ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<< C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<- D ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-4．（2022·江西·新余市）若点A 在曲线ln 1y x =-上运动，点B 在直线2y x =+上运动，,A B 两点距离的最小值为______。
【高考数学】《函数切线问题》微专题
【高中数学】《函数的切线问题》微专题第一讲 函数切线及其应用1．导数的几何意义:函数)(x f 在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率．注：（()tan k f x α'==）2．在点00(,)A x y 处的切线方程：()000()()y f x f x x x '-=-抓住关键：000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩；3．过点11(,)A x y 的切线方程：设切点为00(,)P x y ，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：∵过点11(,)A x y ，∴10010()()y y f x x x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线，三次函数多解）考点1 切线及斜率问题【例1.1】已知函数()f x 是偶函数，定义域为()()00-∞⋃+∞，，，且0x >时， ()1x x f x e-=，则曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程为 ． 析】()()()21','1,10,xx f x f f e e-=∴==∴曲线y ， 是偶函数， ∴曲线()y f x =在点((1,f --相切，则切点的横坐标为( )A ．1B ．－1C ．2D ．e －1[解析] 设切点为(x 0，e 2x 0－1)，∵f ′(x )＝2e 2x －1，∴2e 2x 0－1＝e 2x 0－1＋ex 0，化简得2x 0－1＝e2－2x 0.令y ＝2x －1－e 2－2x ，则y ′＝2＋2e 2－2x >0.∵x ＝1时，y ＝0，∴x 0＝1.故选A.[答案] A【例1.3】设点P 是曲线335y x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的范围是（ ）A ．203π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．2023πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， C ．223ππ⎛⎤⎥⎝⎦，D ．233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，233x -，为第一象限角）．设函数f ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x解析：选D 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立， 即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .法二：易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.【练习2】若P 是函数()()()1ln 1f x x x =++图象上的动点，点()1,1A --，则直线AP 斜率的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．[]0,1C ．(1,e e -⎤⎦D ．(1,e -⎤-∞⎦【解析】由题意可得： ()()'ln 11f x x =++ ，结合函数的定义域可知，函数在区间11,1e ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,e⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且1111f e e⎛⎫-+=->- ⎪⎝⎭，绘制函数图象如图所示，当直线与函数图象相切时直线的斜率取得最小值，设切点坐标为()()()000,1ln 1x x x ++ ，该点的斜率为()0ln 11k x =++ ，切线方程为： ()()()()00001ln 1ln 11y x x x x x ⎡⎤-++=++-⎣⎦，切线过点()1,1-- ，则： ()()()()000011ln 1ln 111x x x x ⎡⎤--++=++--⎣⎦ ，解得:00x = ，切线的斜率()0ln 111k x =++= ，综上可得：则直线AP 斜率的取值范围为[)1,+∞．00点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．[解析] ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1，∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0，即P (1,0)．[答案] (1,0) 【练习4】设P 是函数()1y x x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ．【解析】由题意知313131tan 23222222y x x x xx x θ=+∴=+≥⋅=' [)30,,2ππθπθ⎡⎫∈∴∈⎪⎢⎣⎭． 考点2 切线条数问题【例2】过点(),A m m 与曲线()ln f x x x =相切的直线有且只有两条，则m 的取值范围是（ ）A ．()e -∞，B ．()+e ∞，C ．10e ⎛⎫⎪⎝⎭，D ．()1+∞，【练习】设函数233)(x x x f -=，若过点),2(n 可作三条直线与曲线)(x f y =相切，则实数n 的取值范围是（ ）A ．)4,5(--B ．)0,5(-C ．)0,4(-D ．]3,5(--【解析】法一：()323f x x x =-,则()236f x x x '=-，设切点为()32000,3x x x -,则()200036f x x x '=-．∴过切点处的切线方程为()()32200000336y x x x x x x -+=--，把点()2n ，代入得： ()()322000003362n x x x x x -+=--．整理得：3200029120x x x n -++=．若过点()2n ，可作三条直线与曲线()y f x =相切,则方程3200029120x x x n -++=有三个不同根（左图）令()322912g x x x x =-+，则()()()261812612g x x x x x '=-+=--，∴当()()12+x ∈-∞⋃∞，，时,()0g x '>；当()12x ∈，时,()0g x '<， ∴()g x 的单调增区间为()1-∞，和()2+∞，；单调减区间为()12，． ∴当1x =时,()g x 有极大值为()15g =；当2x =时,()g x 有极小值为()24g =．由45n <-<，得54n -<<-． ∴实数n 的取值范围是()54--，．故选A ．法二：()323f x x x =-关于点()1,2-中心对称，()()23613f x x x f ''=-⇒=-，在对称中心的切线方程为31,25y x x y =-+==-时，，()24f =-，故当点()2,n 位于区域Ⅰ，有三条切线时，54n -<<-．（如右图）考点3 零点、交点、极值点问题【例3.1】已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0∞－，B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．(0,)+∞【解析】函数()()ln f x x x ax =-，则()1'ln ln 21f x x ax x a x ax x⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，令()'ln 210f x x ax =-+=得ln 21x ax =-，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，等价于()'ln 21f x x ax =-+有两个零点，等价于函数ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，在同一坐标系中作出它们的图象（如图），当12a =时，直线21y ax =-与ln y x = 的图象相切，由图可知，当102a <<时， ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭，故选B ．例3.1图 例3.2图【例3.2】设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围（ ）A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．222,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】令()()0g x f x ax =-=，可得()f x ax =．在坐标系内画出函数()ln f x x =的图象（如图1所示）．当1x >时， ()ln f x x =．由ln y x =得1y x'=．设过原点的直线y ax =与函数y xln =的图象切于点()00,ln A x x ，则有0001lnx ax a x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得0 1x ea e =⎧⎪⎨⎪⎩=．所以当直线y ax =与函数ln y x =的图象切时1a e =．又当直线y ax =经过点()2B ,2e 时，有22a e =⋅，解得22a e =．结合图象可得当直线y ax =与函数()ln f x x =的图象有3个交点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．即函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选D ． 0x >()lg 0f x a x x=--≤a A ．()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦， B ．(]1-∞，C ．()1lg lg lg e e ⎡⎤-⎣⎦，D ．()lg lg lg e e ⎡⎤-+∞⎣⎦，【解析】原问题即lg x x a ≥-+在区间()0,+∞上恒成立，考查临界情况， 即函数()lg g x x =与()h x x a =-+相切时的情形，如图， 很明显切点横坐标位于区间()0,1内，此时，()()1lg ,'ln10g x x g x x =-=，由()'1g x =-可得：1lg ln10x e =-=-，则切点坐标为：()()lg ,lg lg e e --，切线方程为： ()lg lg lg y e x e +=+，令0x =可得纵截距为： ()lg lg lg e e -， 结合如图所示的函数图象可得则a 的取值范围是()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦，．故选A ．考点4 参数范围问题【例4】已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且()()2k x f x -<对任意的2x >恒成立，则k 的最大值为（ ）(参考数据：ln20.6931,ln3 1.0986==) A ．3B ．4C ．5D ．6【练习】已知,a b 为正实数，直线yx a =-与曲线()ln y x b =+相切，则2a b+的取值范围为 ．考点5 距离问题和平行切线问题【例5.1】设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线()ln 2y x =上，则PQ 最小值为（ ）A ．1ln2- B)1ln 2- C ．1ln2+D )1ln 2+【例5.2】直线y m =分别与曲线()21y x =+，与ln y x x =+交于点,A B ，则AB的最小值为（ ） A B ．2 C ．3D ．32【练习1】已知函数()()02x f x f e x '=-+，点P 为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线l 上的一点，点Q 在曲线x y e =上，则PQ 的最小值为 ．【解析】由()()02x f x f e ''=-+，令0x =可得()01f '=，所以()2x f x e x =-+，所以切线的斜率()01k f '==，又()01f =-，故切线方程为10x y --=．由题意可知与直线10x y --=平行【练习2】函数()21x f x e x x =+++与()g x 的图象关于直线230x y --=对称，P Q 、分别是函数()()f x g x 、图象上的动点，则PQ 的最小值为（ ）ABC D ．【解析】由题意得当P 点处切线平行直线230x y --=，Q 为P 关于直线230x y --=对称取最小值．()f x e '=12+=⇒考点6 两点间距离平方问题【例6】已知实数a b 、满足225ln 0a a b c R --=∈，，则()()22a c b c -++的最小值为（ ）A ．12BC ．2D ．92225ln 0x x y --=，即()225ln 0y x x x =->，以x 代换c，可得点()x x -，，满足0y x +=．因此【练习】已知()()()22ln S x a x a a R =-+-∈，则S 的最小值为（ ） AB ．12C D ．2【解析】设()()ln A x x B a a ，，，，则问题化为求平面上两动点()()ln A x x B a a ，，，之间距离的第二讲函数公切线问题与是否有公切线，决定它们公切线条数的是由函数凹凸性和共单调区间交点。
三次函数的对称中心与切线条数
三次函数的对称中心与切线条数问题证明：三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠一定有对称中心。
提示：可根据奇函数图像的平移得到。
分析：我们知道奇函数的图像关于原点对称，所以要证结论成立，只需证任意一个三次函数都可以由关于原点对称的三次函数（奇函数）平移得来，也即任意的三次函数都可以写成3()()y a x m k x m n =-+-+的形式，因为上述函数图像可以看成奇函数3y ax kx =+按向量(,)m n 平移之后的结果，一定是中心对称图形 展开得：32233(3)()y ax amx am k x n km am =-+++--与32y ax bx cx d =+++比较系数得：2333am b am k c n km am d-=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩容易发现，上述方程组一定是有解的，解得：3b m a=- 故三次函数一定是中心对称图形，且对称中心为(,())33b b f a a-- 问题：过三次函数图像上一点00(,)P x y 能作三次函数图像多少条切线？分析：由于三次函数有对称中心，可假设其对称中心在原点，设3()f x ax bx =+，则2()3f x ax b '=+ 设11(,)Q x y 为函数图像上任意一点，则以Q 为切点的切线为21111(3)()y y ax bx x x -=+-将点00(,)P x y 代入得：201101(3)()y y ax b x x -=+-，即3320011101()(3)()ax bx ax bx ax b x x +-+=+- 整理得：3231010230x x x x -+=，问题转化为关于1x 的方程3231010230x x x x -+=有几个实根的问题 为了看起来习惯，我们将上述方程中的1x 换成x ，即32300230x x x x -+= ① 显然当00x =时，方程①即为30x =，解得：0x =，故过(0,0)能作函数图像的一条切线 当00x ≠时，由方程①解得：0x x =或02x -，故过00(,)x y 能作函数图像的两条切线 问题：过三次函数图像外任意一点能作三次函数图像多少条切线？分析：根据三次函数中心对称的特征，我们知道一定可以将函数图像平移至关于原点对称，而本问题的结论显然只与点P 与三次函数图像的相对位置有关，故可简单地考虑三次函数对称中心在坐标原点的情形，设三次函数的解析式为3()f x ax bx =+，并且不妨设0a >，这两个假设并不会影响本结论的一般性。
09：三次函数图像的切线
高考总复习09：三次函数图像的切线1.(1)求平行于直线910x y -+=,且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程.(2)求垂直于直线320x y -+=,且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程.2.(1)求函数3()2f x x =的图像在点(1,2)P 处的切线l 方程；(2)设函数3()2f x x =的图像为C ,求曲线C 与其在点(1,2)P 处的切线l 的所有交点坐标. 3.(1)求函数3()2f x x =的图像经过点(1,2)P 的切线方程.(2)求函数3()2f x x =的图像经过点(1,10)P 的切线方程.4.已知直线y x =是函数32()31f x x x ax =-+-图像的一条切线,求实数a 的值.5.已知0a >,且过点(,)P a b 可作函数3()f x x x =-图像的三条切线,证明:()a b f a -<<.6.设函数3211()32f x x ax bx c =-++(0)a >的图像C 在点(0,(0))P f 处的切线为1y =. (1)确定,b c 的值；(2)设曲线C 在1122(,()),(,())A x f x B x f x 处的切线都过(0,2)Q ,证明:若12x x ≠,则12'()'()f x f x ≠；(3)若过点(0,2)Q 可作曲线C 的三条不同切线,求a 的取值范围.7.已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，,(13]，内各有一个极值点． (1)求24a b -的最大值；(2)当248a b -=时,设曲线C :()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线l 穿过曲线C (穿过是指:动点在点A 附近沿曲线C 运动,当经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求()f x 的表达式．8.由坐标原点(0,0)O 向曲线x x x y +-=233引切线,切于不同于点O 的点111(, )P x y ,再由1P 引切线切于不同于1P 的点222(,)P x y ,如此继续下去……,得到点(,)n n n P x y ,求1n x +与n x 的关系,及n x 的表达式.。
三次函数切线问题
三次函数切线问题【探究拓展】探究1：切线的辩证定义设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线。
随着点Q 沿着曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C 。
当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线也称为曲线在P 点处的切线。
探究2：填表：曲线在P 点附近的局部图像反映出如下特点在运动中：探究3：切线问题的辩证策略TnA 1A例1：若直线y x =是曲线323y xx ax =-+的切线，则a ＝ ．（零点法）↑y x =是曲线323y x x ax =-+相切x a x x y )1(323-+-=与x 轴相切↓ ↑ 联立()32323103y xx x a x y x x ax=⎧⇒-+-=⎨=-+⎩有重根→新联立⎩⎨⎧-+-==xa x x y y )1(3023↓ （重根法）变式1：（2020年）曲线px x y +=3与q y -=相切，求证32032p q ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变式2：方程30xpx q ++=有几个实根？探究4：切线问题的辩证思考：联系——数形结合、函数与方程、转化与化归 发展——量变与质变、运动观点探究5：辩证思维的强化延伸由原点向曲线x x x y +-=233引切线，切于不同于点O 的点()111, P x y ，再由1P 引切线切于不同于1P 的点()222, P x y ，如此继续下去……，得点到(){}, nnnP x y ．（1）求1x ；（2）求1与nn xx +的关系；（3）点列{}nP 有何特点？拓展1：若直线y x =是曲线3231y xx ax =-+-的切线，则a ＝拓展2：直线y kx m =+对一切m ∈R 与曲线326910y xx x =-+-有且只有一个交点，求k 的取值范围，并尝试一下，将结论推广到任意三次曲线的情形，此外能否从运动变化的观点阐述上述结论的几何意义．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。
专题3.8：三次函数切线问题的辩证思考与拓展
专题3.8：三次函数切线问题的辩证思考与拓展【探究拓展】探究1：切线的辩证定义设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线。
随着点Q 沿着曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C 。
当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线，这条直线也称为曲线在P 点处的切线。
l Tn A 1A 探究2：填表：曲线在P 点附近的局部图像反映出如下特点在运动中：割线→切线相交→相切形两个公共点→一个公共点曲线其他部分可能还有公共点数两不等根→两重根方程可能还有其他根探究3：切线问题的辩证策略例1：若直线是曲线的切线，则a ＝ ．y x =323y x x ax =-+（零点法） ↑是曲线相切与x 轴相切y x =323y x x ax =-+x a x x y )1(323-+-=↓ ↑联立有重根→新联立()32323103y x x x a x y x x ax =⎧⇒-+-=⎨=-+⎩⎩⎨⎧-+-==xa x x y y )1(3023↓ （重根法）变式1：曲线与相切，求证px x y +=3q y -=32032p q ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变式2：方程有几个实根？30x px q ++=探究4：切线问题的辩证思考：联系——数形结合、函数与方程、转化与化归发展——量变与质变、运动观点探究5：辩证思维的强化延伸由原点向曲线引切线，切于不同于点O 的点，再由引切线切于不同于x x x y +-=233()111, P x y 1P 1P 的点，如此继续下去……，得点到．()222, P x y (){}, n n n P x y （1）求；1x （2）求的关系；1Óën n x x +（3）点列有何特点？{}n P 拓展1：若直线是曲线的切线，则a ＝y x =3231y x x ax =-+-拓展2：直线对一切与曲线有且只有一个交点，求k 的取值范围，y kx m =+m ∈R 326910y x x x =-+-并尝试一下，将结论推广到任意三次曲线的情形，此外能否从运动变化的观点阐述上述结论的几何意义．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。
江苏省南通市2020届高三数学专题复习课程资源——三次型函数切线问题的求解策略(教师版)
三次型函数切线问题的求解策略三次函数频频出现在高考试卷中,成为高考试卷的一大亮点.其中三次函数的切线问题是高频考点，通常结合三次函数的零点问题考查.三次型函数最值问题是竞赛和自主招生的难点，有一定的思考力.三次型函数的切线问题（一）一、三次函数的概念：形如()320y ax bx cx d a =+++≠的函数，称之为三次函数. 二、三次函数的图象特征和零点分布：对于三次函数()32()0f x ax bx cx d a =+++≠，其导函数为二次函数()2()320f x ax bx c a '=++≠，()f x '的判别式()243b ac ∆=-.现以0a >为例，（1）若032≤-ac b ，则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数，)(x f 在R 上无极值； （2）若032>-ac b ，则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中aacb b x a ac b b x 33,332221-+-=---=.)(x f 在R 上有两个极值，且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值.综上可得，当三次函数存在极值时，其图象、零点、极值的关系：问题一：过三次函数极值点的切线例1（2016年天津卷）设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中,.a b R ∈ 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=. 策略一：验证1032x x =-，即验证()()1032f x f x =-.()32200000001(32)(22)3(1)(32)(1)21()()f x x x x b x x b f x f x -=-----=----== 根据函数()f x 的单调性直接推出结论.本策略不具有一般性，能否寻求解决这类问题的一般性思路呢？策略二：直接求零点33010011()()[(1)][(1)]f x f x x ax b x ax b -=------- 330101(1)(1)()x x a x x =-----22010011()[(1)(1)(1)(1)]x x x x x x a =--+--+--2220100110()[(1)(1)(1)(1)3(1)]x x x x x x x =--+--+--- 22010011()[2(1)(1)(1)(1)]x x x x x x =---+--+- 20101()[2(1)(1)]x x x x =-----20101()(23)0x x x x =---+=（*）又01x x ≠，故1023x x +=.我们可以关注到策略二可以推广到一般情形，利用三次函数在极值点处的切线列出等式，（*）式的一般形式含有因式()20x x -，从而迅速求出另外一个交点横坐标.其一般形式如下：若0x 为三次函数32()f x ax bx cx d =+++的极值点，过00(,())x f x 的直线y k =与三次函数()f x 交于点11(,())x f x ，则研究函数()()g x f x k =-的零点问题可以利用201()()()g x a x x x x =--.例2（2012年江苏卷）若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点.已知,a b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点.设()(())h x f f x c =-，其中[]2,2c ∈-，求函数()y h x =的零点个数.思路分析：本题本质上是研究由三次函数复合的函数零点问题，可先从“形”入手，直接将c 的取值分为2c =和2c <两类.我们以2c =为例，直线2y =为过极值点1x =的切线，则32()232(1)(2)y f t t t t t =-=--=--，迅速求得另一交点横坐标为2.为零点的讨论带来极大的方便.解：易得==3a b -0，.令()=f x t ，则()()h x f t c =-. 先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈- 当=2d 时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根为1和一2 ，注意到()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为一和 2.当2d <时，∵(1)=(2)=20f d f d d >----，(1)=(2)=20f d f d d <----- ，∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根.由（1）知()()()=311f'x x x +-.① 当()2x ∈+∞，时，()0f'x > ，于是()f x 是单调增函数，从而()(2)=2f x >f . 此时()=f x d 在()2+∞，无实根. ② 当()12x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数.又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断，∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根.同理，()=f x d 在（一2 ，一1）内有唯一实根. ③ 当()11x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数.又∵(1)0f d >--， (1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断，∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根.因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，； 当2d < 时，()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x <i ，. 现考虑函数()y h x =的零点：（i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，. 而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有5 个零点.（ⅱ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足2 =3, 4, 5i t <i ，. 而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x =有9 个零点.综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()y h x =有9个零点. 拓展研究：当2c <-或2c >时，函数()y h x =的零点个数情形如下：当2(1)c f >=-时，方程()f t c =有且仅有一个大于2的实根，故()y h x =有且仅有一个零点；同理，当2c <-时，()y h x =有且仅有一个零点.提示：解决复合函数零点问题需要强化数形结合基本数学思想. 练习：设函数32()3f x x x bx c =-++的图象如图所示，且与直线y =0在原点处相切.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）设1m >，如果过点(,)m n 可作函数()y f x =的图象 的三条切线，求证：13()m n f m -<<.解：（1）由图可知，函数的图象经过（0，0）点，∴0c =，又图象与x 轴相切于（0，0）点，2'()36f x x x b =-+，由'(0)0f =得b =0，32()3f x x x ∴=-.（2）由（1）可知2()36f x x x '=-，设函数在点(,())t f t 处的切线方程为232(36)()(3)y t t x t t t =--+-. 若切线过点(,)m n ，则存在实数t ，使232(36)()(3)n t t m t t t =--+-， 即322(33)60t m t mt n -+++=.令()g t =322(33)6t m t mt n -+++，则2()66(1)66()(1)g t t m t m t m t '=-++=--.1,m >∴Q 当1t <或t m >时，()0g t '>； 当1t m <<时，()0g t '<.()g t ∴在1t =时取得极大值(1)31g m n =+-，在t m =时取得极小值()()g m n f m =-.如果过点(,)m n 可作函数()y f x =的图象的三条切线， 则方程322(33)60t m t mt n -+++=有三个相异的实数根， (1)310()()0g m n g m n f m =+->⎧∴⎨=-<⎩， ∴13()m n f m -<<. 三次型函数的切线问题（二）问题二：过三次函数图象上任一点的切线设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切.若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线. 证明：设),(11y x P ，过点P 的切线可以分为两类：①若P 为切点，则21111'()32k f x ax bx c ==++，切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-②若P 不是切点，则过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点22(,)Q x y ，12122122313212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=--=()()22212112a x x x x b x x c =+++++xyO又22222'()32k f x ax bx c ==++ (1)∴c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22223即0)2)((1212=++-ab x x x x ∴a bx x 22112--=代入（1）式得 c ab bx ax k +-+=4214321212，当21k k =时，=++c bx ax 12123c ab bx ax +-+421432121 ， ∴当a bx 31-=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线；当abx 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线，其切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-，))(42143(121211x x c ab bx ax y y -+-+=- 综上可得：过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ，…，),(n n n y x P ，…，则abx x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点n P 趋近三次函数图象的对称中心，即三次函数图象上的拐点.特别地，过三次函数图象上拐点的切线只有一条.例3(2012北京卷)已知函数23()1(0),()f x ax a g x x bx =+>=+.（1）若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； （2）当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值． 思路分析：本题容易忽视“在它们的交点(1,)c 处具有公切线”的双重性而造成条件缺失，不能列出关于,a b 的方程组，从而使题目无法求解. 简析：（1）f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公切线，所以(1)(1)'(1)'(1)f g f g =⎧⎨=⎩，容易求得3a b ==.（2）设h (x )＝f (x )＋g (x )，∵a 2＝4b ，∴h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1.则h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2，令h ′(x )＝0，解得x 1＝－a 2，x 2＝－a6.(5分)由a >0，得h (x )与h ′(x )的变化情况如下：x ⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2 －a 2 ⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6 －a 6⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞ h ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋h (x )∴函数h (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2和⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a6. ①当－1≤－a2，即0<a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －a 24；②当－a 2<－1<－a6，即2<a <6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－a 2，－1上单调递减，在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1； ③当－1≥－a 6，即a ≥6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6上单调递减，在区间⎝⎛⎦⎤－a 6，－1上单调递增，又因为h ⎝⎛⎭⎫－a 2－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2>0， 所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 综上所述，当a ∈(0,2]时，最大值为h (－1)＝a －a 24；当a ∈(2，＋∞)时，最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 问题三：过三次函数图象外一点的切线设点),(00y x P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象外则过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切. 令00()()'()()g x y f x f x x x =-+-，则（1）若,30a bx -=则过点P 恰有一条切线； （2）若,30a b x -≠且)3()(0a bg x g -0>，则过点P 恰有一条切线；（3）若,30a b x -≠且)3()(0a bg x g -=0，则过点P 有两条不同的切线；（4）若,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0<，则过点P 有三条不同的切线.证明：设过点P 作直线与)(x f y =图象相切于点),,(11y x Q 则切线方程为),)(23(11211x x c bx ax y y -++=-把点),(00y x P 代入得：02)3(2001021031=--+--+cx d y x bx x ax b ax ，设.2)3(2)(000203cx d y x bx x ax b ax x g --+--+=200'()62(3)2,g x ax b ax x bx =+-- ,)3(448)3(420020b ax abx ax b +=+-=∆令'()0,g x =则.3,0ab x x x -== ①0)(=x g 恰有一个实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴只有一个交点，即)(x g y =在R 上为单调函数或两极值同号，所以03b x a=-或,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0>时，过点P 恰有一条切线. ②0)(=x g 有两个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以,30a b x -≠且)3()(0abg x g -=0时，过点P 有两条不同的切线. ③0)(=x g 有三个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴有三个公共点，即)(x g y =有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0<时，过点P 有三条不同的切线. 例4（2014·北京卷）已知函数f (x )＝2x 3－3x .(1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论) 解：(1)略(2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3，所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)，因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)，整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0，设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”．g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)．当x 变化时，g (x )与g ′(x )的变化情况如下：所以，g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值，g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值．结合图象知，当g (x )有3个不同零点时，有⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＝t ＋3>0，g （1）＝t ＋1－0，解得－3<t <－1.故当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A (－1，2)存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点B (2，10)存在2条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点C (0，2)存在1条直线与曲线y ＝f (x )相切．练习1：已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=,在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y .若过点)2)(,2(≠m m M ,可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围.解析：设切点坐标为()00,x y ，则30003y x x =-，200()33f x x '=-Q ,∴切线的斜率为203 3.x -则()()3200003332x x m x x --=--，即32002660x x m -++=.又过(2,)(2)M m m ≠可作三条切线，故关于0x 的方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解.即函数32()266x x x m ϕ=-++有三个不同的零点. 令2'()6120x x x ϕ=-=，解得或.20m ⎧⎨-<⎩，解得62m -<<. ∴实数m 的取值范围为(6,2).-练习2：（07全国II 理22）已知函数3()f x x x =-．设0a >，若过点()a b ，可作曲线．．．．()y f x =的三条切线．．．．．，证明：()a b f a -<<. 解：（1）()f x 的导数2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=-6()0t t a =-=，解得0t =或t a =．()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上所述，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根， 则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即()a b f a -<<．点评： （1） 本题是前一个问题的延伸，其以导数几何意义为载体； （2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法；（3）在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质. 小结：三次函数图象切线条数的研究：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，设其切线的斜率为.k 与系数的关系0a >0<aa b ac k 332-=一条 一条 a b ac k 332->两条 零条 ab ac k 332-<零条两条证明：2()32f x ax bx c '=++，若0>a ，则 当abx 3-=时，min 3().3ac b f x a -'=∴当a b ac k 332-= 时，方程ab ac c bx ax 332322-=++有两个相同解，所以此时切线有且只有一条；其方程为).3(33)3(2abx a b ac a b f y +-=-- 当a b ac k 332->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=ab 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称，所以斜率为k 的切线有两条.当ab ac k 332-<时，方程k c bx ax =++232无实根，所以斜率为k 的切线不存在.同理可证，0<a 时结论成立.例5（2015天津卷）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中*,2n N n ∈≥. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =， 求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（3）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实根12x x ，，求证：21|-|21ax x n<+-.【解析】（1）由()nf x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥，下面分两种情况讨论： ①当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时， ()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. ②当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. （2）证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n-=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即()00()()()F x f x f x x x '=--，则0()()()F x f x f x '''=-由于1()n f x nxn -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.（3）证明：不妨设12x x ≤，由（2）知()()2()g x n n x x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202ax x n n'=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由（2）)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111121210(')(),',''1a h x a f x x x x x x x x n==<-<-=+-，12n -=1(11)n -+≥1+11n C n -=， 故2≥11n n-=0x ，原结论成立.三次函数通常围绕以下四个点进行命题： 第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是利用函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用．。
三次函数图象切线问题归类分析
三次函数图象切线问题归类分析作者：郑金来源：《理科考试研究·高中》2014年第02期有关三次函数图象的切线问题，涉及到切线的斜率、函数的导数、图象、极值、单调性以及三次方程的根的个数判断等知识.下面从六个方面进行分析.一、利用切线斜率和导数的几何意义求取值范围曲线上某点切线倾斜角的正切值表示该点处切线的斜率.函数的导函数表示曲线切线斜率的变化，导函数在某点的数值表示该点处切线的斜率.若已知函数图象或关系式，则可求满足一定条件的区间或切线截距的变化范围.例1 如图1所示为函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象，f ′（x）为f（x）的导函数，则不等式xf ′（x）.解f ′（x）表示切线的斜率，当f ′（x）>0时，f（x）为增函数；当f ′（x）0.已知图象的极值点，结合图象的单调区间可知满足条件的区间即不等式的解集为（-∞，-3）∪（0，3）.例2 已知曲线y=x3-6x2+11x-6，求切点在x∈[0，2]弧段上的切线在y轴上的截距b的取值范围.解法1 函数f（x）的导函数为y′=3x2-12x+11，切线在切点M（x，y）处的切线方程为Y-y=y′（X-x），变形为截距式方程，由此可知切线在y轴上的截距为b=y-y′x=-2x3+6x2-6.该式在x∈[0，2]上的值域即为所求. 可利用函数图象和极值点来求某一区间上的值域.其导函数为b′=-6x2+12x=-6x（x-2）.大致画出函数b的图象形状如图2所示，由b′=0可知极值点为x1=0，x2=2，可见在区间[0，2]上是增函数，所以b∈[-6，2].解法2 由于函数y=x3-6x2+11x-6的高次项系数大于零，可大致画出f（x）的图象形状如图3所示. 由y′=3x2-12x+11可知极值点为x1=2-233，x2=2+233.由于233>1，则03.因此三次函数的极大值点x1在区间[0，2]上，可知这段凸起的曲线上的切线倾斜角（切线与x轴正方向所成的角）逐渐减小，由0只要求出区间[0，2]的两个端点处切线的方程，即可求得截距.由导函数y′=3x2-12x+11求得区间[0，2]的两个端点处切线的斜率分别为k1=11，k2=-1.由y=x3-6x2+11x-6求得区间[0，2]的两个端点的坐标即切点坐标为（0，-6），（2，0）.因此写出点斜式切线方程分别为y+6=11x，y=-（x-2），可知截距分别为b1=-6，b2=2.所以b∈[-6，2].二、利用切线斜率和导数的几何意义求切线方程例3 求曲线y=3x-x3过点A（2，-2）的切线方程.解设切点为m（x0，y0），则过切点的切线的斜率为k=f ′（x0）=3-3x20，又由斜率公式得k=y0+2x0-2，因切点在曲线上，则y0=3x0-3x30.联立得x30-3x20+4=0，解得x0=2，x0=-1，因此有两个切点A（2，-2）与B（-1，-2），则斜率分别为-9和0.所以切线方程分别为9x+y-16=0与y=-2.三、利用切线斜率和导数的几何意义求切点坐标例4 在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3-10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为 .解析曲线C的导数为y′=3x2-10，表示切线的斜率，已知斜率为2，则有3x2-10=2，解得x=2或x=-2.再由第二象限的条件知x=-2，因此f（-2）=15，所以点P的坐标为（-2，15）.四、利用切线方程和切点坐标求三次函数的解析式例5 已知函数f（x）=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），求a、b 的值.解由于切点（1，-11）在曲线上，因此f（1）=-11，即1-3a+3b=-11.由切线方程可知斜率为k=-12，则f ′（1）=-12，而导函数为f ′（x）=3x2-6ax+3b，表示斜率，则3-6a+3b=-12.联立解得a=1，b=-3.五、利用函数图象和极值判断切线的条数例6 已知函数f（x）=x3-x.（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程；（2）设a>0，如果过点（a，b）可作曲线的三条切线，证明：-a（3）问过点（1，0）可以向曲线y=f（x）作多少条切线？说明理由.解（1）由于导函数f ′（x）=3x2-1，则曲线在点M（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f ′（t）（x-t），即y=（3t2-1）x-2t3.（2）如果有一条切线过点（a，b），则存在t，使b=（3t2-1）a-2t3.于是，若过点（a，b）可作曲线的三条切线，则方程2t3-3at2+a+b=0有三个不同的实数根.对于三次方程根的个数问题，可利用三次函数的图象来分析.令g（t）=2t3-3at2+a+b，可画出大致图象如图3所示.导函数为g′（t）=6t2-6at=6t（t-a），则极值点为t1=0，t2=a.可知极大值为a+b，极小值为g（t）=-a3+a+b=b-f（a）.若a+b0，即x轴在极大值点的上方或极小值点的下方，图象与x轴有一个交点；若a+b=0或b-f（a）=0，即x轴在极值点处相切，图象与x轴有两个交点；若a+b>0且b-f（a）所以如果过点（a，b）可作曲线的三条切线，必有-a（3）如果有一条切线过点（1，a），则存在t，使a=（3t2-1）-2t3.令g（t）=2t3-3t2+a+1，可画出大致图象如图3所示.只要判断方程2t3-3t2+a+1=0有多少个不同的实数根，即可判断过点（1，a）能作多少条切线.对于三次方程根的个数问题，可利用三次函数的图象来分析.导函数为g′（t）=6t2-6t，由此可知原函数的极值点为t1=0，t2=1.因此极大值为g（0）=1+a，极小值为g（1）=a.对a的取值可由-1和0分为三个区间进行讨论：若-10，极小值f（1）若a>0或a。
第18讲 三次函数的切线条数(解析版)
第十八讲三次函数的切线条数知识与方法研究过点(),P a b 可以作出三次函数()32f x ax bx cx d =+++()0a ≠图象的几条切线，本质上是研究方程根的个数，可以设切点为()()00,x f x ，则切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-，将点P 的坐标代入切线方程可得()()()000b f x f x a x '-=-，这一关于0x 的方程有几个实数解，过点P 就可以作出函数()y f x =图象的几条切线，这一问题的结论如下图所示：典型例题【例题】已知函数322()27,R f x x ax a x a =-+-∈．（1）若1x =是()f x 的极大值点，求a 的值；（2）若过点(0,1)A 可以作曲线()f x 的三条切线，求a 的取值范围．【解析】（1）22()34f x x ax a '=-+，由2(1)340f a a =-+='解得1a =或3a =，当1a =时，2()341(31)(1)f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>得13x <或1x >，由()0f x '<得113x <<，即()f x 在1,3∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则函数()f x 在1x =处取得极小值，不符合题意，舍去，当3a =时，2()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--'，由()0f x '>得1x <或3x >，由()0f x '<得13x <<，即函数()f x 在(,1),(3,)-∞+∞上单调递增，在(1,3)上单调递减，()f x 在1x =处取得极大值，所以3a =.（2）设过点(0,1)A 作曲线()f x 的切线的切点为00(,)P x y ，则切线方程为()()()322220000002734y x ax a x x ax a x x --+-=-+-，将点(0,1)A 的坐标代入，整理得320040x ax -+=，令32()4h x x ax =-+，依题意，()h x 有三个零点，22()3233a h x x ax x x ⎛⎫=-=- ⎝'⎪⎭，当0a =时，()0,()h x h x '≥在(,)-∞+∞上单调递增，则()h x 只有一个零点，当0a <时，由()0f x '>得23ax <或0x >，由()0f x '<得203a x <<，即()h x 在2,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上递增，在2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，函数()h x 在23a x =处取极大值，在0x =处取极小值，而(0)40h =>，则()h x 只有一个零点，当0a >时，由()0f x '>得0x <或23a x >，由()0f x '<得203ax <<，即()h x 在2(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上递增，在20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，函数()h x 在0x =处取极大值，在23ax =处取极小值，而(0)40h =>，要使()h x 有三个零点，当且仅当32440327a a h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，解得3a >，所以a 的取值范围是(3,)+∞．强化训练1．已知函数()3f x x ax =-，若过点()1,0A 可作函数()y f x =图象的两条切线，则实数a =________.【解析】解法1：由题意，()23f x x a '=-，设()3000,P x x ax -为函数()y f x =图象上的任意一点，则()f x 在点P 处的切线方程为()()()3200003y x ax x a x x --=--，将点()1,0A 代入整理得：320230x x a -+=①，过点A 可作函数()y f x =图象的两条切线等价于关于x 的方程①有两个实数解，设()3223g x x x a =-+()x ∈R ，则()g x 有两个零点，易求得()()61g x x x '=-，所以()0 0g x x '>⇔<或1x >，()001g x x '<⇔<<，从而()g x 在(),0-∞上，在()0,1上，在()1,+∞上，故()g x 有极大值()0g a =，极小值()11g a =-，所以()g x 有两个零点的充要条件是()()()01 10g g a a =-=，解得：0a =或1.解法2：显然()f x 图象的对称中心是原点，易求得()23f x x a '=-，所以()f x 在原点处的切线为y ax =-，要使若过点()1,0A 可作函数()y f x =图象的两条切线，则点A 在切线y ax =-或()y f x =的图象上，所以0a -=或10a -=，解得：0a =或1.【答案】0或12．已知函数()33f x x x =-，若过点()2,A m 可作出函数()y f x =的图象的3条切线，则实数m 的取值范围是________.【解析】解法1：由题意，()233f x x '=-，设过点A 的直线与()f x 的图象相切于点()3000,3P x x x -，则该切线的方程为()()()320000333y x x x x x --=--，将点()2,A m 代入整理得：32002660x x m -++=①，过点A 可作函数()y f x =图象的三条切线等价于关于0x 的方程①有三个实数解，设()32266g x x x m =-++()x ∈R ，则()g x 有三个零点，易求得()()62g x x x '=-，所以()00g x x '>⇔<或2x >，()002g x x '<⇔<<，从而()g x 在(),0-∞上，在()0,2上，在()2,+∞上，故()g x 有极大值()06g m =+，极小值()22g m =-，所以()g x 有三个零点的充要条件是()()()()02620g g m m =+-<，解得：62m -<<.解法2：显然()f x 图象的对称中心是原点，易求得()233f x x '=-，所以()f x 在原点处的切线为3y x =-,要使过点()2,A m 可作出函数()y f x =的图象的3条切线，则点A 应夹在切线和()f x 的图象之间，如图，点A 应在直线2x =上的B 、C 两点之间，将2x =分别代入3y x =-和33y x x =-可求得6y =-，2，所以B 、C 两点的纵坐标分别为6-和2，故m 的取值范围是()6,2-.【答案】()6,2-3.设函数()32132a f x x x bx c =-++()0a >，曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程为1y =.（1）确定b 、c 的值；（2）设曲线()y f x =在()()11,x f x 及()()22,x f x 处的切线都过点()0,2，证明：当12x x ≠时，()()12f x f x ''≠（3）若过点()0,2可作曲线()y f x =三条不同的切线，求a 的取值范围.【解析】（1）由题意，()2f x x ax b '=-+，且()00f b '==，()01f c ==.（2）由（1）可得()321132a f x x x =-+，()2f x x ax '=-，所以曲线()y f x =在()()11,x f x 处的切线方程为()()()21111y f x x ax x x -=--，将点()0,2代入整理得：321121032a x x -+=①，同理可得：322221032a x x -+=②，下面用反证法证明当12x x ≠时，()()12f x f x ''≠，假设()()12f x f x ''=，则221122x ax x ax -=-，整理得：()()12120x x x x a -+-=，所以12x x a +=③，由①－②整理可得：()()2121212220332a x x x x x x +--+=，将式③代入得：2124a x x =④，联立③④解得：122ax x ==，这与12x x ≠矛盾，所以当12x x ≠时，()()12f x f x ''=（3）由（2）可得问题等价于关于x 的方程3221032a x x -+=有三个不同的实数解，令()322132a h x x x =-+()x ∈R ，则()h x 有三个零点，且()()2h x x x a '=-所以()00h x x '>⇔<或2a x >，()002ah x x '<⇔<<，从而()h x 在(),0-∞上单调递增，在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()h x 有极大值()01h =，极小值3232112322224a a a a a h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()h x 有三个零点的充要条件是()3010224a a h h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，解得：a >，故a 的取值范围为()+∞.4.已知函数()3f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点()(),M t f t 处的切线方程；（2）设0a >，如果过点(),a b 可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<.【解析】（1）由题意，()231f x x '=-，所以()231f t t '=-故曲线()y f x =在点M 处的切线方程为()()()3231y t t t x t --=--，整理得：()23312y t x t =--.（2）将点(),a b 代入()23312y t x t =--整理得：32230t at a b -++=①，过点(),a b 可作曲线()y f x =的三条切线等价于关于t 的方程①有三个实数根，设()()3223g t t at a b t =-++∈R ，则()g t 有三个零点，易求得()()2666g t t at t t a '=-=-，因为0a >，所以()00g t t '>⇔<或t a >，()00g t t a '<⇔<<，从而()g t 在(),0-∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增，故()g t 有极大值()0g a b =+，极小值()32323g a a a a a b a a b=-⋅++=-++所以()g t 有三个零点的充要条件是()()()()300g g a a b a a b =+-++<，故3a b a a -<<-，即()a b f a -<<.5.已知函数()323f x x x =-.（1）求()f x 在区间[]2,1-上的最大值；（2）若过点()1,P t 存在三条直线与曲线()y f x =相切，求实数t 的取值范围；（3）过点()1,2A -、()2,10B 、()0,2C 分别存在几条直线与曲线()y f x =相切?（只需写出结论）【解析】（1）由题意，()2216366222f x x x x x ⎛⎛⎫'=-=-=+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭当[]2,1x ∈-时，()2022f x x '>⇔-≤<-或212x <≤，()22022f x x '<⇔-<<，所以()f x 在2,2⎡--⎢⎣⎭上单调递增，在22⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递增，又323222f ⎛⎫⎛⎛-=⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11f =-，所以()12f f ⎛> ⎝⎭，故()f x 在[]2,1-.（2）设过点()1,P t 的直线与曲线()y f x =相切于点()3,23Q a a a -则该切线的方程为()()()322363y a a a x a --=--，将点()1,P t 代入整理可得：324630a a t -++=①，因为过点P 存在三条直线与曲线()y f x =相切，所以关于a 的方程①有三个不同的实数解，设()32463x x x t ϕ=-++()x ∈R ，则函数()x ϕ有三个零点，易求得()()21212121x x x x x ϕ'=-=-，所以()00x x ϕ'>⇔<或1x >，()001x x ϕ'<⇔<<，从而()x ϕ在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()x ϕ有极大值()03t ϕ=+，极小值()11t ϕ=+，所以()x ϕ有三个零点的充要条件是()()()()01310t t ϕϕ=++<，解得：31t -<<-，故实数t 的取值范围是()3,1--.（3）显然函数()y f x =的对称中心是原点，且函数()f x 在原点处的切线方程为3y x =-，如图，A 、B 、C 三点与函数()y f x =的图象的位置关系如图所示，由图可知过点A 、B 、C 分别可作曲线()y f x =的3条、2条、1条切线.。
三次函数的切线
三次函数的切线简介在数学中，三次函数是指具有三次方的最高次项的函数。
三次函数的特点是曲线更加复杂，而且可以通过切线来研究曲线在某一点的斜率和变化趋势。
本文将探讨三次函数的切线的性质和求解方法。
三次函数的定义三次函数的一般形式为：f(x)=ax3+bx2+cx+d，其中a,b,c,d为常数，且a≠0。
三次函数的图像通常呈现出一条平滑的曲线，曲线上的点的坐标为(x,f(x))。
三次函数的切线性质三次函数的切线具有以下性质： 1. 切线与函数曲线相切于一点。
切线和曲线在该点处有相同的横坐标和纵坐标。
2. 切线的斜率等于曲线在该点处的斜率。
设曲线的函数为f(x)，则切线的斜率为f′(x)，其中f′表示f(x)的导数。
3. 切线方程的一般形式为y=kx+b，其中k为切线的斜率，b为切线与y轴的截距。
求解三次函数的切线的步骤步骤1：求导首先，我们需要求解三次函数的导数，以得到三次函数在某一点的斜率。
对于一般形式的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d，其导数f′(x)可以通过对每一项分别求导得到。
具体求导公式如下：•对于常数项d，其导数为0。
•对于x的一次幂项cx，其导数为c。
•对于x的二次幂项bx2，其导数为2bx。
•对于x的三次幂项ax3，其导数为3ax2。
将上述导数相加即可得到三次函数的导数。
在某一点x0处，三次函数的斜率等于其导数在该点处的值。
将x代入导数f′(x)中，即可求得斜率k。
步骤3：求解截距已知切线通过点(x0,f(x0))，且斜率为k，可以利用点斜式来求解切线的截距b。
点斜式的一般形式为y−y0=k(x−x0)，其中(x0,y0)为已知点，k为斜率。
将已知点(x0,f(x0))代入点斜式，整理得到切线方程y=kx+(f(x0)−kx0)，即可得到切线的方程。
步骤4：验证结果为了验证切线是否正确，可以将切线方程代入原函数，观察切线上的点是否满足原函数。
示例以三次函数f(x)=x3−2x2+3x+1为例，来演示如何求解切线。
过哪些点能够作三次函数图象的三条切线
过哪些点能够作三次函数图象的三条切线中图分类号： 文献标识码： 文章编号：2007年高考全国卷理22题为已知函数3()f x x x =-．（I ）求曲线()y f x =在点(,())M t f t 处的切线方程；（II ）设0a >，如果过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f x -<<．此题第（II ）小题的结论颇赖人寻味。
通过研读相关资料上所提供的“参考答案”能够发现：当0a >时，()a b f x -<<也是过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线的充分条件．并且易知y x =-为()y f x =在其对称中心(0,0)处的切线．于是，我们有如下更直观的结果：设函数3()f x x x =-，则过点(,)M a b ' （0a >）可作曲线C ：()y f x =的三条切线当且仅当点M '位于曲线C 与C 在其对称中心处的切线l 所夹的右侧区域内（边界除外）．（如图１）．我们更感兴趣的是，对于一般的三次函数，是否仍有类似结论？ 通过探索可知，答案是肯定的．定理 过点M 可作三次函数图象C的三条切线，当且仅当点M 位于图象C 与C 在其对称中心处的切线l 所夹的左、右两个区域内（边界除外）．为方便读者形象直观的理解，我们根据三次函数首项系数的正（如图1）负（如图2）画出相对应的示意图如下：____________________收稿日期：2007-08-图1 三次函数图2 三次函数证 设三次函数为 32()f x ax bx cx d =+++ （0a ≠），点M 的坐标为00(,)x y ，点(,())A t f t 为三次函数()y f x =图象C 上的一点．则点A 处 的切线方程为 ()()()y f t f t x t '-=-．于是，切线过点M ，等价于存有实数t ，使00()()()y f t f t x t '-=- (1) 注意到（1）是关于t 的三次方程（易知3t 的系数不为0），则过点M 可作C 的三条切线，当且仅当关于t 的方程（1）有三个相异的实数根．记 00()()()()g t y f t f t x t '=---，则 0()()()()()g t f t f t x t f t '''''=---+0()()t x f t ''=-02()(3)t x at b =-+．若03b x a=-，则20()6()g t a t x '=-，()g t 为R 上的单调函数，方程()0g t =有且仅有一个实数根．若03b x a ≠-，则()g t '在点0x 附近的函数值异号，在点3b a-附近的函图3 三次函数数值也异号，故0x 和3b a-都是()g t 的极值点．于是结合函数()g t 的单调性知，方程()0g t =有三个相异的实数根，当且仅当003()()03b x a b g x g a ⎧≠-⎪⎪⎨⎪⋅-<⎪⎩即 000003[()][()()()]0333b x a b b b y f x y f f x a a a ⎧≠-⎪⎪⎨⎪'-⋅----+<⎪⎩（2） 由文[1]、[2]知，三次函数()y f x =的图象有唯一对称中心(,())33b b N f a a--．而C 在点N 处的切线l 的方程为 ()()()333b b b y f f x a a a'--=-+ 故直线0x x =与C 及l 的交点纵坐标分别为0()f x 及 0()()()333b b b f f x a a a '-+-+． 因为03b x a≠-，故上述两纵坐标不相等。
高考中三次函数图像的切线问题
当－一 时Байду номын сангаас，： 以 点 有 条 同 麦 ， 所 过 Ｐ ２不 ≠ ， ≠
的切线． 其切线方程 为
Ｙ— Ｉ ３ ＋ ｂｌ ｃ （ Ｉ ， Ｙ ＝（ ２ｘ ＋ ） — ）
（ 若。一 且（ｇ一 ＞则 Ｐ ２ ，ｇ。（ ０ 过 ） ≠ ） ， ）
点恰 有 １条切线 ０
次 函数 图像 中ｉ 对称． 所以斜率为 ｋ的切线有 ２条．
维普资讯
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３ ６・
中学教研 （ 数学）
（ ）若 ＝ 一 ｂ １
，
２０ 年第８ ０６ 期
合 ， 以过 点 Ｐ 有 且 只 有 １ 切 线 ． 所 条
则 过点 Ｐ恰有一条切线 ；
０ 图像 上任一 点， ） 则过点 Ｐ 定有直线与 Ｙ ， 的 一 ＝ （） 图像相切． 若点 Ｐ为三次 函数 图像 的对称 中心 ， 过 则 点 Ｐ有且只有一条切线 ； 若点 Ｐ不 是 三次 函数 图像 的对称 中心 ， 则过点 Ｐ有 ２ 条不 同的切线．
证明 设 Ｐ（ ，。 ， 。Ｙ ） 过点 Ｐ 的切线可 以分 为两
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高考 与 中考
ｒ ｂ
擘
教 研
山
高 考 中 三 次 函 数 图 像 的 切 线 问 题
●罗永高 程雪飞 （ 奉化 浙江 奉港中 ３５ ０ 学 １ ０） ５
・
学
救 研
山
生
生
教
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救
研
高 考与 中考
高考 与 中考 ・・ 高考 与 中考 ・ ・ 高考 与 中考 ・ ・ 考与 中考 ・ ・ 考 与中考 ・・ 考与 中考 ・ ・ 高 高 高 高考与 中考 ・・ 高考 与 中考
过三次函数图象上一点能作几条切线
Ｂ 口 Ｙ＝ （ ３ ａ ｘ ； ＋ ２ ｂ ｘ 。 ＋ ｃ ） ｘ 一 ２ 一 ｂ ｘ ＋ ｄ ．
・ ．
・
‘ ． ．
ｃ 宦 作 ２条或 ３ 条切线
Ｄ ． 能作 １ 条或 ２条或 ３条切线
且 口ａ ｍ 。 ＋ ｂ ｍ ＋ ｃ ｍ＋ ｄ＝ （ ３ ＋ ２ ｂ ｘ ０ ＋ ｃ ） ｍ一 ２ ｎ 一 ＋ ｄ ，
— — — 一
４ｄ
．
’ ｙ’ ＝３ ａ ｘ ＋ ２ ｂ ｘ＋ｃ，
．
下面的问题供 同学们练习．
・ ．
切线斜率ｋ＝３ 锻 ＋ ２ ｂ ｘ ０ ＋ｃ ，
１ ． 过 曲线Ｙ ＝ 一 ３ ｘ 上一点 （ １ ， ＿ ２ 舴 切线 ， 求切线方程． ２ ． 过曲线Ｙ＝Ｘ 一 ３ ｘ ＋ ＋ｌ 上 一点Ａ （ １ ， １ ） 作切线 ， 求切线
用综合除法分解因式得
解
设切点 为Ｐ （ ｘ 。 ， Ｙ 。 ） ， 因为Ｙ ’ ＝ ３ ｘ ， 所 以， 以Ｐ 为 切点 的
（ 一 ［ ２ ａ ｘ ｏ ＋ （ ａ ｍ＋６ ） ］ ＝ ０ ．
ａ ｍ＋ｂ
切 线 的 斜 率 ＝３ ， 切 线 方 程 为 Ｙ— Ｙ 。 ＝ｋ （ ｘ — 。 ） ，即
方程．
切线方程为Ｙ — Ｙ 。 ＝（ ３ ａ ｘ ＋ ２ 撕。 ＋ ｃ ） 一 Ｘ ｏ ） ，
‘
．
‘ ｙ ０＝
＋ｈ ＋“ ０ ＋ｄ ，
’ ．
Ｙ ＝（ ３ ． ４＋ ２ ｂ ｘ ０ ＋ ｃ ） ｘ 一 （ ３ ＋ ２ ｂ ｘ ０ ＋ ｃ ） ｘ ｏ ＋ Ｙ ０
３ ． 过曲线Ｙ＝ 一 ９ ｘ ＋ ２ 上一 点 （ ３ ， ２ ） 作切线 ， 求切线方程． ４ ． （ 选择题 ）过三次 函数Ｙ＝ 上任一点作曲线 的切线 ， 则
三次函数 性质大全
三次函数)0(≠a d cx bx ax x f +++=23)(性质大全本文从三个专题（专题一 三次函数的图象及单调性，专题二 三次函数的对称性，专题三 三次函数切线问题）来介绍三次数的性质，对同学们学习三次函数大有帮助，可以解绝三次函数涉及到的高考题，是能够充分准备，应对高考。
专题一 三次函数的图象及单调性c bx ax x f ++='23)(2,当01242≤-=∆ac b 时，函数是单调增函数，或单调减函数，当时042>-=∆ac b ，设0)(='x f 的两根分别为,,21x x 则原函数0>a 时函数)(x f 图象 （先上升） 0<a 时函数)(x f 图象（先下降）1.0>a 时)(x f 在),(1x x -∞∈或),(2+∞∈x x 单调递增；)(x f 在),(21x x x ∈单调递减在1x x =处)(x f 取得极大值)(1x f ，在2x x =处)(x f 取得极小值)(2x f ．2.0<a 时)(x f 在),(1x x -∞∈或),(2+∞∈x x 单调递减；)(x f 在),(21x x x ∈单调递增在1x x =处)(x f 取得极小值)(1x f ，在2x x =处)(x f 取得极大值)(2x f ．注意：三次函数f(x)有极值导函数(x)f '的判别式0>∆3.一般地d cx bx ax x f +++=23)()0(>a 在导数023)(2=++='c bx ax x f 有两根,,21x x 且21x x <时，在1x 处有1()()f x f x M ==极大值；在2x 处有2()()f x f x m ==极小值，4 .三次方程根的个数问题，由三次函数图象极易得到以下结论:若()y f x =为三次函数,其导数为()y f x '=,则: ⑴若()0f x '≥或()0f x '≤恒成立,则()0f x =仅有一实数解。
过任一定点的三次函数切线的条数问题
过任一定点的三次函数切线的条数问题山 石过任一定点的三次函数切线的条数问题在2007年全国（II ）卷高考题中出现。
题目：已知函数3)(x x f =-x （I ）求曲线)(x f y =在点M ))(,(t f t 处的切线方程； （II ）设a ＞0，如果过点(b a ,)可作曲线)(x f y =的三条切线， 证明：-a <b <)(a f题中提到过点作曲线)(x f y =的三条切线问题，那么点在什么区域内作曲线y 3x =-x 的切线能有三条呢? 点在什么区域内切线能有一条，最多能有几条切线呢？下面我们研究过任一点N(b a ,)作曲线x x x f -=3)(切线的条数问题。
解:设过点N(b a ,)作曲线3x y =-x 的切线为l ,切点为M ))(,(t f t 则切线l 的方程为b y -=(32t -1)(a x -) ∵l 过点M ))(,(t f t ∴有))(13(23a t t b t t --=-- 整理得23t -3a b a t ++2=0 ……① 方程①有多少个解,切线l 就有多少个.下面解决方程①解的个数问题。
设)(t g = 23t -3a b a t ++2 )('t g =ta t 662- 令)('t g =0 得t =0 t =a 1．当a ＞0，易知：当t =0时，)(t g 有极大值b a +；当a t =)(t g 有极小值b a a ++-3(1)当b a +=0或b a a ++-3=0时，方程①有两根,即当点N(b a ,)在曲线x y -= (x >0)或x x y -=3 (x >0)上时,过点N 作曲线3x y =-x 的切线只有两条.(如图1点N (2)当b a +<0或b a a ++-3>0时，方程①有一根,即当点N(b a ,)满足y <x - (x >0)或y >x x -3 (x >0)时, 过点N 作曲线3x y =-x (如图2点N 在阴影部分)(3)当b a +>0且b a a ++-3<0时，方程①有三根,xx -即当点N(b a ,)满足y >-x (x >0)且y <3x -x (x >0)时, 过点N 作曲线3x y =-x的切线有三条.(如图3点N 在阴影部分.) 2．当a <0, 即点N(b a ,)在y 轴左侧，方法同前可得, 过点N 作曲线3x y =-x 的切线条数如图4。
三次函数切线专题
三次函数切线问题一、过三次函数上一点的切线问题。
设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，那么过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切。
假设点P 为三次函数图象的对称中心，那么过点P 有且只有一条切线；假设点P不是三次函数图象的对称中心，那么过点P 有两条不同的切线。
证明 设),(11y x P 过点P 的切线可以分为两类。
1、 P 为切点 c bx ax x f k ++==1211/123)(，切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-P 不是切点，过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点Q 〔22,y x 〕12122122313212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=--= c bx bx ax x ax ax +++++=21212122又 c bx ax x f k ++==2222/223)( 〔1〕∴ c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22223即0)2)((1212=++-a b x x x x ∴ abx x 22112--=代入〔1〕式 得 c ab bx ax k +-+=4214321212讨论：当21k k =时，=++c bx ax 12123c ab bx ax +-+421432121，得a b x 31-=， ∴ 当a bx 31-=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线。
当abx 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线。
其切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-))(42143(121211x x c ab bx ax y y -+-+=-由上可得下面结论：过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ----),(n n n y x P ----，那么abx x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点趋近三次函数图象的对称中心。
三次函数零点切线斜率的关系
《三次函数零点切线斜率的关系》哎呀呀，咱今儿个来唠唠三次函数零点切线斜率的那点事儿，可有意思啦！先得知道啥是三次函数吧，就是那种函数表达式里最高次项是三次方的函数呀，比如y = ax³ + bx² + cx + d （a≠0）这样的式子。
这三次函数的图像呢，那可真是千变万化，有的像小山包，有的像大峡谷，各种各样的形状都有。
再说说零点吧，零点就是函数值等于零的时候，自变量x的值呀。
换句话说呢，就是三次函数的图像和x轴相交的那些点啦。
这零点可重要啦，它能告诉咱们好多关于函数的信息呢。
然后就是切线斜率啦，切线斜率是啥呢？想象一下啊，你在三次函数的图像上找一个点，然后在这个点上画一条刚好和图像相切的直线，这条直线的斜率就是切线斜率啦。
它能反映出函数在这个点附近的变化快慢呢。
那这三次函数的零点和切线斜率之间有啥关系呢？嘿，这关系可不简单哦！当三次函数有一个零点的时候，在这个零点处的切线斜率可能是各种各样的情况。
有时候切线斜率是正的，那就说明在这个零点附近，函数是往上走的趋势，就好像你在爬山，刚到山脚下那个零点，然后接下来要往上爬啦。
要是切线斜率是负的呢，那就表示在这个零点附近，函数是往下走的趋势，就好比你站在山顶，这个零点就是山顶那个点，接下来要往下走咯。
要是三次函数有两个零点呢，这两个零点处的切线斜率又有不同的情况啦。
可能一个零点处切线斜率是正的，另一个零点处切线斜率是负的，这就意味着函数在这两个零点之间的变化是先往上走然后再往下走，或者先往下走然后再往上走，就像坐过山车一样，一会儿上一会儿下的。
要是有三个零点呀，哎呀，那情况就更复杂啦。
这三个零点处的切线斜率可能有的是正的，有的是负的，而且它们的大小也各不相同。
这就使得函数在这三个零点周围的变化更加多样化啦，可能这边是缓缓上升，那边是急剧下降，各种情况都有可能出现呢。
而且哦，三次函数的零点和切线斜率的关系还和函数的系数有关呢。
不同的系数会导致函数图像的形状不同，进而影响到零点的位置和切线斜率的大小。
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三次函数切线专题过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切。
（1）若,30a bx -=则过点P 恰有一条切线； （2） 若,30a b x -≠且)3()(0a bg x g -0>，则过点P 恰有一条切线；（3） 若,30ab x -≠且)3()(0abg x g -=0，则过点P 有两条不同的切线； （4）若,30ab x -≠且)3()(0abg x g -0<，则过点P 有三条不同的切线。
其中).)(()()(0/0x x x f x f yx g -+-=证明 设过点P 作直线与)(x f y =图象相切于点),,(11y x Q 则切线方程为),)(23(11211x x c bx ax y y -++=-把点),(0y x P 代入得：2)3(2001021031=--+--+cx d y x bx x ax b ax ， 设.2)3(2)(000203cx d y x bx x ax b ax x g --+--+=,2)3(26)(002/bx x ax b ax x g --+=,)3(448)3(420020b ax abx ax b +=+-=∆令,0)(/=x g 则.3,0abx x x -==因为0)(=x g 恰有一个实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴只相交一次，即)(x g y =在R 上为单调函数或两极值同号，所以,30ab x -=或,30ab x -≠且)3()(0abg x g -0>时，过点P 恰有一条切线。
)(=x g 有两个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以,30ab x -≠且)3()(0ab g x g -=0时，过点P 有两条不同的切线。
)(=x g 有三个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有三个公共点，即)(x g y =有一个极大值，一个极小值，且两极值异号。
所以,30ab x -≠且)3()(0abg x g -0<时，过点P 有三条不同的切线。
例题讲解：例1、已知函数3y x x =-，求过点()1,0A 的切线方程。
例2、（2010湖北文数）设函数321ax x bx c32f -++（x ）=，其中a＞0，曲线x y f =（）在点P （0，0f （））处的切线方程为y=1（Ⅰ）确定b 、c 的值。
（Ⅱ）设曲线x y f =（）在点（11x x f ，（））及（22x x f ，（））处的切线都过点（0,2）证明：当12x x ≠时，12'()'()f x f x ≠（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线x y f =（）的三条不同切线，求a 的取值范围。
例3、已知函数321()3f x x ax bx=++,且'(1)0f -=(1) 试用含a 的代数式表示b,并求()f x 的单调区间； （2）令1a =-,设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点M(1x ,1()f x )，N(2x ,2()f x )，P(,()m f m ),12x m x <<,请仔细观察曲线()f x 在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势，并解释以下问题：（I ）若对任意的m ∈(1x , x 2)，线段MP 与曲线f(x)均有异于M,P 的公共点，试确定t 的最小值，并证明你的结论；（II ）若存在点Q(n ,f(n)), x ≤n< m,使得线段PQ 与曲线f(x)有异于P 、Q 的公共点，请直接写出m 的取值范围（不必给出求解过程）三次函数切线作业1、曲线33y x x=+在点(2,14)P --处的切线方程是 。
2、已知曲线C ：3()2f x x x =-+，则经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程是 。
3、已知曲线C ：32()32f x x x x a=-++的一条切线方程为2y x =，则实数a 的值等于 。
4、已知函数()323f x ax bx x=+-在1x =±处取得极值。
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值12,x x ，都有()()124f x f x -≤；（Ⅲ）若过点A （1，m ）（m ≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围. 5、已知函数．3()2f x xax=+与2()g x bxcx=+的图象都过点P(2，0)，且在点P 处有公共切线．(1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P 处的公切线方程； (2)设()()ln(1)8mg x F x x x=+-，其中0m <，求F(x)的单调区间．三次函数切线问题参考答案例1、解：()231f x x '=-，若A 是切点，则切线方程为()02122y x y x -=-⇒=- 若A 不是切点，设切点为()3,t tt -，则切线方程为()()()3231y t t t x t --=--，将()1,0A 代入得()()23232223102211210t t t t t t t -+=⇒--+=-⋅+=，所以切点为13,28⎛⎫- ⎪⎝⎭，则切线方程为410x y +-=。
小结：求切线方程步骤，先判断点是否在曲线上，如不在曲线上，则参照第二小步设切点坐标，若在曲线上，讨论已知点是否为切点，若为切点，由导数可直接求得斜率。
例2、例3、解法一: (Ⅰ)依题意,得2'()2f x x ax b=++由'(1)12021f a b b a -=-+==-得.从而321()(21),'()(1)(21).3f x x ax a x f x x x a =++-=++-故令'()0,112.f x x x a ==-=-得或 ①当a>1时, 121a -<-当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --。
②当1a =时，121a -=-此时有'()0f x >恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调增区间为R③当1a <时，121a ->-同理可得，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --综上：当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --；当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --.(Ⅱ)由1a =-得321()33f x x x x=--令2()230f x xx =--=得121,3xx =-=由（1）得()f x 增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在处121,3x x =-=取得极值，故M （51,3-）N （3,9-）。
观察()f x 的图象，有如下现象：①当m 从-1（不含-1）变化到3时，线段MP 的斜率与曲线()f x 在点P 处切线的斜率()f x 之差Kmp-'()f m 的值由正连续变为负。
②线段MP 与曲线是否有异于H ，P 的公共点与Kmp －'()f m 的m 正负有着密切的关联；③Kmp －'()f m =0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp －'()f m 的m 就是所求的t 最小值，下面给出证明并确定的t 最小值.曲线()f x 在点(,())P m f m 处的切线斜率2'()23f m m m =--；线段MP 的斜率Kmp2453m m --=当Kmp －'()f m =0时，解得12m m =-=或 直线MP 的方程为22454()33m m m m y x ---=+令22454()()()33m m m mg x f x x ---=-+当2m =时，2'()2g x x x=-在(1,2)-上只有一个零点0x =，可判断()f x 函数在(1,0)-上单调递增，在(0,2)上单调递减，又(1)(2)0g g -==，所以()g x 在(1,2)-上没有零点，即线段MP 与曲线()f x 没有异于M ，P 的公共点。
当(]2,3m ∈时，24(0)03m mg -=->.2(2)(2)0g m =--<所以存在(]0,2m ∈使得()0g δ=即当(]2,3,m ∈时MP 与曲线()f x 有异于M,P 的公共点 综上，t 的最小值为2.（2）类似（1）于中的观察，可得m 的取值范围为(]1,3 解法二： （1）同解法一. （2）由1a =-得321()33f x x x x=---，令2'()230f x xx =--=，得121,3xx =-=由（1）得的()f x 单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数在处取得极值。
故M(51,3-).N(3,9-)(Ⅰ) 直线MP 的方程为22454.33m m m m y x ---=+由223245433133m m m m y x y x x x ⎧---=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得32223(44)40xx m m x m m ---+-+=线段MP 与曲线()f x 有异于M,P 的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数3222()3(44)4g x x x m m x m m =---+-+在(-1,m)上有零点.因为函数()g x 为三次函数,所以()g x 至多有三个零点,两个极值点.又(1)()0g g m -==.因此,()g x 在(1,)m -上有零点等价于()g x 在(1,)m -内恰有一个极大值点和一个极小值点,即22'()36(44)0(1,)g x x x m m m =---+=在内有两不相等的实数根.等价于2222236124403(1)6(44)036(44)01m m m m m m m m m ⎧∆+-+⎪-+--+>⎪⎨---+>⎪⎪>⎩＝（）＞ 即1521,251m m m m m -<<⎧⎪><-<<⎨⎪>⎩或解得又因为13m -<≤,所以m 的取值范围为(2,3) 从而满足题设条件的r 的最小值为2. 作业： 1、解：由'2()33f x x=+，得'(2)15f -=，所以所求的切线方程为1415(2)y x +=+，即1516y x =+。