平面向量与三角形三心教学文案

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

一、四心的概念介绍

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合

（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.

证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O

⇔=++⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧++=++=⇔33321

321y y y y x x x x ⇔O 是ABC ∆的重心.

证法2：如图

Θ++

2=+=

∴2=

∴D O A 、、三点共线，且O 分AD

为2：1

∴O 是ABC ∆的重心

（2）⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.

证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.

0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OA

AC OB ⊥⇔

同理BC OA ⊥，AB OC ⊥

⇔O 为ABC ∆的垂心

（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心

O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心.

证明：b c 、Θ

分别为方向上的单位向量， ∴b

c +

平分BAC ∠, (

λ=∴b

c +)，令c b a bc ++=λ

B C

D

B

C

D

∴

c b a bc AO ++=

（b

c +

) 化简得)(=++++c b c b a

∴=++c b a

（4）==⇔O 为ABC ∆的外心。

典型例题分析

[例题]已知点G 是ABC V 内任意一点,点 M 是ABC V 所在平面内一点.试根据下列条件判断G 点可能通过ABC V 的_______心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).

[提出问题]

(1)若存在常数λ,满足()(0)AB AC

MG MA AB AC

λλ=++≠u u u r u u u r

u u u u r u u u r u u u r u u u r ,则点G 可能通过ABC

V 的__________.

(2)若点D 是ABC V 的底边BC 上的中点,满足GD GB GD GC =u u u r u u u r u u u r u u u r g g ,则点G 可能通过ABC V 的__________.

(3)若存在常数λ,满足()(0)sin sin AB AC

MG MA AB B AC C

λλ=++≠u u u r u u u r

u u u u r u u u r u u u r u u u r

g g ,则点G 可能通过ABC V 的__________.

(4)若存在常数λ,满足()(0)cos cos AB AC

MG MA AB B AC C λλ=++≠u u u r u u u r

u u u u r u u u r u u u r u u u r

g g ,则点G 可能通过ABC V 的__________.

[思路分析]以上四个问题的解决要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性质,同时更要熟悉平面向量的性质,对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉.

[解答过程](1)记12,AB AC e e AB AC ==u u u r u u u r

u r u

u r u u u r u u u r ,则12()AG e e λ=+u u u r u r u u r .由平面向量的平行四边

形或三角形法则知,点G 是角平分线上的点,故应填内心.

(2)简单的变形后发现点G 是BC 边中垂线上的点,故应填外心.

(3)sin sin ,AB B AC C =∴u u u r u u u r Q g

g 记sin sin AB B AC C h ==u u u r u u u r

g g , 则'

'()()AG AB AC h

λλλ=+=u u u r u u u r u u u r .由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G 是

BC 边的中线上的点,故应填重心.

(4)分析后发现,本题学生难以找到解决问题的突破口,主要在于平面向量的数量

积的充分利用.由()(0)cos cos AB AC

MG MA AB B AC C

λλ=++≠u u u r u u u r

u u u u r u u u r u u u r u u u r

g g , 得()(0)cos cos AB AC

AG AB B AC C

λλ=+≠u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r

g g , (关键点) ()(0)cos cos AB AC

AG BC BC AB B AC C

λλ=+≠u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r g g u u u r u u u r

g g 于是()(0)cos cos )()0

AB BC AC BC AG BC AB B AC C BC B BC B BC BC λλλπλ=+≠=+-+=u u u r u u u r u u u r u u u r

u u u r u u u r g g g u u u r u u u r

g g u u u r u u u r u u u r u u u r g g （cos(-cos ）=.

从而AG BC ⊥u u u r u u u r

,点G 是高线上的点,故应填垂心.

[点评]以上四个问题处理的方法各不相同,注意到平面向量及三角形的“四心”的性质在解答问题时的作用.特别注意第四问两边同乘以某个表达式的技巧.

总结：

（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.

（2）⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心. （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心

O c b a ⇔=++为ABC ∆的内心.

（4

）==⇔O 为ABC ∆的外心。 或者

若P 点为ABC V 内任意一点，若P 点满足:

1．(),0()0AB AC

AP AB AC P ABC BA BC BP t t BA BC λλ⎧=+>⎪⎪⎪

⇒⎨⎪=+>⎪⎪⎩

u u u r u u u r u u u r u u u

r u u u r V u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r 为的内心，; 2.D E 、两点分别是ABC V 的边BC CA 、上的中点,且 DP PB DP PC P ABC EP PC EP PA

⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u r g g V u u u r u u u r u u u r u u u r g g 为的外心; 3. 1(),31()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩

u u u

r u u u r u u u r V u u u r u u u r u u u r 为的重心，;