离散数学09 图

第九章 图

9.1设},,,,{y x w v u V =，画出图),(E V G =，其中：

（1）)},(),,(),,(),,(),,{(y x y v w v x u v u E =

（2）)},(),,(),,(),,(),,{(y x y w x w w v v u E =

再求各个顶点的度数。

解

（1）见图9.1(a )。其中顶点u 的度数是2，顶点v 的度数是3，顶点x 的度数是2，顶点y 的度数是2，顶点w 的度数是1。

图9.1 习题1图

（2）见图9.1(b )。其中顶点u 的度数是1，顶点v 的度数是2，顶点x 的度数是2，顶点y

的度数是2，顶点w 的度数是3。

9.2 设G 是具有4个顶点的完全图。

（1）画出图G 。

（2）画出G 的所有互不同构的生成子图？

解

（1）如图9.2(1)所示。

图9.2(1) 习题2图

（2） 如图9.6(2)所示

﹒ ﹒ ﹒ ﹒ ﹒ ﹒

图9.2(2) 习题2图

9.3 一个无向简单图，如果同构于它的补图，则称这个图为自互补图。

（1）试画出五个顶点的自互补图。

（2）证明一个自互补图一定只有k 4或14+k 个顶点（k 为整数）。

解

（1）

(a) (b)

图9.3 习题3图 （2）因为n 个顶点的无向完全图有)1(21-n n 条边，所以自互补图有)1(4

1-n n 条边，因此，k n 4=或14+k 。

9.4 画出两个不同构的简单无向图。每一个图都仅有6个顶点，且每个顶点都均是3度，并指出这两个图为什么不同构。

解

图9.4 习题9.4图

9.5 证明任意两个同构的无向图，一定有一个同样的顶点度序列。顶点度序列是一组按大小排列的正整数。每一个数对应某一个顶点的度数。

证明

两个同构的无向图，度数相同的顶点数目一定相同，这样才能够建立起顶点之间的一一对

应关系，进而建立起边的对应关系。所以，任意二个同构的无向图，一定有一个同样的顶点度序列。

9.6图9.6中所给的图(a )与图(b )是否同构？为什么？

(a )

(b ) 图9.6 习题6图 解

左图9.2（a ）中次数为4的点，与3个度数为1，一个度数为2的顶点相邻接，右图9.2（b ）中度数为4的点，却与3个度数为1，一个度数为3的顶点相邻接。因此两图之间不存在同构映射，从而不同构。

9.7有207个人在一起欢聚。若已知每个人至少和5个人握了手，则至少有一个人不止和5个人握手。

证明

设20721,...,,v v v 代表这207个人，建立顶点集},...,,{20721v v v V =,对于其中的任意两个人)(,j i v v j i ≠，若j i v v 和握了手，则E v v j i ∈},{，得到边集E ，则有一个无向图)(E V G ，=。若每一个人仅和其余5个人握过手，则5)(=i v d ，而此时图G 的奇数度的顶点是207个，即是奇数个，产生矛盾。因此至少有一个人i v ，6)(≥i v d 。

9.8证明一个无向图的奇数度的顶点一定有偶数个。

证明

设)(E V G ，=是一个无向图。})(|{1是奇数v d V v V ∈=，})(|{2是偶数v d V v V ∈=，显然},{21V V 是V 的一个划分。所以∑∑∑∈∈∈+=21)()()(V v V v V v v d v d v d ，而2

()v V d v ∈∑是一个偶数，

所以

1()v V d v ∈∑=()v V d v ∈∑－2()v V d v ∈∑，其中||2)(E v d V

v =∑∈也是一个偶数，偶数减去偶数仍然是偶数，故

1()v V d v ∈∑是偶数。

9.9 设 δ，∆分别是图)(E V G ，=中顶点的最小度数和最大度数。n |V |=，m |E |=，证明δ≤2m n

≤∆。 证明

因为

∑∈=V v i i m v 2)d e g (，对任意的V v i ∈，有∆≤≤)d e g (

i v δ，于是∆⋅≤≤⋅∑n v n i v i )deg(δ，即∆⋅≤≤⋅n m n 2δ，所以∆≤≤

n

m 2δ。 9.10证明由多于或等于2个人的人群，至少有二个人在这群人中朋友数相同。

证明

设n v v v ,...,,21代表这)2(≥n n 个人，建立顶点集},...,,{21n v v v V =，对于其中的任意两个人)(,j i v v j i ≠，若j i v v 和是朋友，则E v v j i ∈},{，得到边集E ，则有一个无向图)(E V G ，=。由于每个顶点仅仅能够与另外的1-n 个顶点邻接，所以每个顶点的度数1-≤n 。因此，在G 中顶点可能出现的度数是0，1，2，…, 1-n 。由于度数是0的顶点是孤立顶点，而度数为1-n 的顶点一定邻接其它1-n 个顶点的，所以在G 中度数为0和度数为1-n 的顶点不可能同时出现。因此，在G 中可以出现的顶点的度数应该分成以下两种情况：

(1) 0,1,2,…, 2-n

(2) 1,2,3,…, 1-n

上述两种情况最多有1-n 种不同的度数。根据鸽巢原理，至少有两个顶点具有相同的度数。故由多于或等于2个人的人群，至少有二个人在这群人中朋友数相同。

9.11 )(E V G ，=是一个简单无向图，若2)|)(|1|(|2

1-->

V V |E |，则G 是连通图。 证明

反证法。假设G 不连通，不妨设G 可分成两个不相连通的子图1G 和2G ，并假设它们中的顶点个数分别为1n 和2n ，当然21||n n V +=，因为1≥i n ，所以0)1)(1(21≥--n n ，从而有012121≤--+n n n n 。 )(212)1(2)1(||2122212211n n n n n n n n E --+=-+-≤ ))(2)((2

12121221n n n n n n +--+= ))22)(22||3|(|2

121212--+++-=n n n n V V ))1(22||3|(|2

121212--+++-=n n n n V V )2|)(|1|(|2

1)2||3|(|212--=+-≤V V V V 这与假设相矛盾，因此G 是连通的。

9.12 )(E V G ，=是一个简单图，试证明若G 不连通，则G 的补图G 一定连通。

证明