2.2.1等差数列概念与表示方法概论
人教版高中数学必修五第二章2.2.1等差数列的概念与通项公式【教案】
2.2等差数列的概念与通项公式一、教学目标：1.知识目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式。
2.能力目标：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力3.情感目标：①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。
②通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。
③体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。
二、教学重点：研究等差数列的概念以及通项公式的推导。
教学难点；（1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
（2）等差数列的通项公式的推导过程及应用。
三、学情及导入分析：高一学生对数列已经有了初步的接触和认识，对方程、数学公式的运用具有一定技能，一开始就注意培养学生自主合作探究的学习习惯，学生思维比较活跃，课堂参与意识较浓。
本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.弄清楚等差数列与通项公式的含义以及通项公式的推导过程。
四、教学过程：教学环节教学内容师生活动设计意图复习旧知识，引入新1、知识链接；数列的通项公式与递推关系.学生回答，引导温故知新。
由复习引入，通过数学知识的内部提出问题。
知归纳抽象形成概念比较分析，深化认识创设问题情景：1.下述数列有什么共同特点？根据下述数列的共同特点，可以给出等差数列的定义吗？能将以上的文字语言转换成数学符号语言吗？[来源:学#科#网Z#X#X#K]引例1：从0开始，将5的倍数从小到大排列，得到的数列？引例2：从1开始，将自然数从小到大排列，得到的数列？引例3：为了保证考试笔试的秩序，每次放入2个人考试，依次排列下去，已经考试的人员组成一个什么数列？得出等差数列的定义：从第二项起，每一项与它前一项的差(公差d)为同一常数，这样的一组数列，叫做等差数列”。
2.2.1 等差数列-王后雄学案
张喜林制2.2.1 等差数列教材知识检索考点知识清单1．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 都等于____ ，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数d 叫做等差数列的 .2．等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列；等差数列的公差 时，数列为递减数列； 等差数列的公差 时，数列为常数列．等差数列不会是 ．3．等差数列的通项公式=n a4．要证明数列}{n a 为等差数列，只要证明：当2≥n 时，要点核心解读1．等差数列的定义在等差数列的定义中，要强调“从第二项起”和“同一常数”，这体现了等差数列的基本特征，还要注意公差是“每一项与它前一项的差”，防止将被减数和减数颠倒，如果用数学符号来描述，可叙述为：若d n d a a n n ,2(]≥=-- 为常数），则}{n a 是等差数列．还可以写成：若d N n d a a u n ,1++∈<=- 为常数），则}{n a 是等差数列．[注意] 以上定义中的常数是相对于变量n （项数）而言的．2．等差中项如果a 、b 、c 成等差数列，则称b 是a 与c 的等差中项，由以上定义知：b 是a 与c 的等差中项甘a 、b 、c 成等差数列22c a b b c a +=⇔=+⇔ 3．等差数列的判定(1)用定义判定：即判定d a a n n =-+1（常数）)(+∈N n 或122++=+n n n a a a （即)112n n n n a a a a -=-+++ 是否成立．(2)用通项公式判定：即用}{n a 为等差数列q pn a n +=⇔q p 、(为常数）判定．4．等差数列的通项公式及其变式通项公式：d n a a n )1(1-+=（其中1a 为首项，d 为公差）．变式1：).()(⋅=/-+=m n d m n a a m n变式2：).2(11+∈≥--=N n n n a a d n 且 变式3：).(m n m n a a d m n =/--= [注意] (1)等差数列的通项公式是关于变量n （项数）的一次函数或常数函数（d=0时），因此在解决有关问题时，可用函数方法处理．(2)等差数列的通项公式实质是d a n a n ,,,1四者之间的关系式，只要知道其中三个的值，由它们便可求出另一个的值，特别地，要求等差数列的通项公式，只需先求出首项1a 和公差d5．等差数列的性质(1)等差数列}{n a 中，⋅∈-=-+),()(N m n d m n a a m n(2)若a ，b ，c 成等差数列，则k mc k mb k ma +++,.,也成等差数列（m ，k 为常数）．(3)等差数列}{n a 中，若,q p n m +=+则q p m n a a a a +=+).,,,(+∈N q p m n[特别注意] “数列}{n a 中，若,q p m +=则=m a ,,q P a a +是不成立的．(4)等差数列}{n a 中，若公差d>0，则数列}{n a 为递增数列；等差数列}{n a 中，若公差d<0，则数列}{n a 为递减数列．(5)等差数列}{n a 中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项按原来的顺序排列，构成的新数列不一定是等差数列，证明：假设从第p 项起，每隔q 项抽出等差数列的项，则组成的新数列是,,,,32q p q q p p a a a a +++ρ ,,)1(q n p a -+ 则有--+q n p a )1(=-+q n p a )2(---+]1)1({q n r p qd d q n p =--+]}1)2([为常数所以等差数列}{n a 中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，显然，剩下的项按原来的顺序排列，构成的新数列不一定是等差数列．(6)若数列}{n b 也是公差为d 的等差数列，则数列+n a 1{λ212}(λλλh n b 是常数）是公差为d )(21λλ+ 的等差数列.证明：因为,)1(,)1(11d n b b d n a a n n -+=-+=所以+n a ]λ])1([112d n a b n -+=λλ-++n b ([12λ,))(1()(]12]1211d n b a d λλλλ+-++=）所以=+--1211n n b a λλ+11[a λ+-])2(d n ])2([12d n b -+λ =)2()(1211-++n b a λλ+](λ,)2d λ所以=+-+--)()(121121n n n n b a b a λλλλ.)(21d λλ+所以数列2121,}{λλλλ<+n n b a 是常数）是公差为d )(21λλ+的等差数列．利用等差数列的性质可使有些问题的解题过程十分简捷．6．等差数列与一次函数的关系通项公式,)1(11d a dn d n a a n -+=-+=即n a 是n 的一次函数式，故表示等差数列各项的点都在一条直线上．如：首项为l ，公差为2的等差数列的通项公式为,12-=n a n 相应的图象是直线12)(-=x x f 上均匀排列开的无穷多个孤立的点，如图2 -2 -1 -1所示，由函数的图象可得等差数列的单调性：当d>0时，数列}{n a 为递增数列（图2 -2 -1-2甲）；当d<0时，数列}{n a 为递减数列（图2 -2 -1-2乙）；当d=0时，数列}{n a 为常数列（图2 -2 -1-2丙）．请注意图象，公差d 恰好为所在直线的斜率，因此有=d ,(n m n m a a n m =/--斜率公式）． 典例分类剖析考点1 等差数列的概念命题规律(1)判断所给出的数列是否为等差数列．(2)判断某一项或某些项是否为等差数列中的项．(3)证明某一数列为等差数列．[例1] (1)求等差数列8，5，2，…的第20项；(2) -401是不是等差数列-5，-9，-13，…中的项？如果是，是第几项？(3)若数列}{n a 的通项⎩⎨⎧≥+==),2(12),1(1n n n a n 试问数列}{n a 是等差数列吗？ [解析] 第(1)小题是求等差数列的指定项，我们可以先求出首项1a 和公差d ，然后将它们代入等差数列的通项公式，即可求出相应的项，第(2)小题是判断一个数是否为一个等差数列的项，只需令此数等于通项公式，并求解此方程，如果它有正整数解，则此数为该数列的项，否则不是．[答案] (1) 由,20,385,81=-=-==n d a 得.49)3()120(820-=-⨯-+=a(2)由,4)5(9,51-=---=-=d a得到这个数列的通项公式为).1(45---=n a n设-401=-5 -4(n -1)成立．解这个关于n 的方程，得n=100.∴ -401是这个数列的第100项．(3)数列}{n a 不是等差数列，根据等差数列定义，一个数列是等差数列的充要条件是从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，而此数列中虽然有,23423==-=- a a a a 但是,2412=/=-a a 因此此数列不满足等差数列的条件，所以它不是一个等差数列，但可以这样说：此数列从第2项起组成一个等差数列．[启示]d a ,]和n 是等差数列的三个基本量，有关等差数列的问题都可以利用这三个基本量来求解这种方法称为基本量法．[例2]在等差数列}{n a 中，已知,5,1185==a a 求⋅10a[解析] 由题目可获取以下主要信息：已知等差数列中的某两项，求另外一项，解答本题可利用通项公式进行．[答案] 设数列}{n a 的公差为d ．由题意知：⎩⎨⎧=+=+,57,11411d a d a 解得⎩⎨⎧-==.2,191d a 故.212)2()1(19+-=-⨯-+=n n a n.12110210=+⨯-=∴a[规律方法] 在等差数列}{n a 中，首项1a 与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关d a 、1的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．母体迁移 1．若,2b c a =+则是否有++c b c a (),5(22)(),2b ac a +能构成等差数列．考点2 等差数列的性质及应用命题规律(1)考查对性质的灵活运用．(2)利用等差数列的性质解决一些计算繁琐的问题，达到减小计算量，优化解题过程的目的．[例3] (1)在等差数列}{n a 中，==++642741,15a a a a a a ,45求数列的通项公式；(2)设}{n a 为等差数列，若,45076543=++++a a a a a 求,82a a +(3)若数列}{n a 为等差数列，),(,q p p a q a q p =/==求⋅+q p a[答案] ,2)1(62471a a a a a +==+.1354741==++∴a a a a10,5624=+∴=∴a a a 且.962=a a62,a a ∴是方程09102=+-x x 的两根，⎩⎨⎧==∴9,162a a 或⎩⎨⎧==1,962a a 若12=a 且,96=a 则.32,2-=∴=n a d n同理可得.213n a n -=故32-=n a n 或.213n a n -=(2)解法一：,28256473a a a a a a a +==+=+.0455576543==++++∴a a a a a a.1802,905825==+∴=∴a a a a解法二：因为}{n a 为等差数列，设首项为,1a 公差为d ，+=++++++=+++∴11117435632a d a d a d a a a a ,20d 即d a d a 4,45020511+∴=+ ，90=.180********=+=+++=+∴d a d a d a a a(3)解法一：可用通项公式求解，,)1(,)1(11d q a a d p a a q p -+=-+=①⎩⎨⎧=-+=-+∴.)1(,)1(11p d q a q d p a 两式相减，得⋅-=-p q d q p )(.1,-=∴=/d q p 代入①，有.1,)1)(1(11-+=∴=--+q p a q p a故.0)1()1(1)1(1=-⋅-++-+=-++=+q p q p d q p a a q p解法二：利用关系式d m n a a m n )(-+=求解，,)(,)(d q p p q d q p a a q p -+=∴-+=即.1,.)(-=∴=/-=-d q p d q p p q故.0)1()][(=-+=-++=+q q d p q p a a p q ρ解法三：利用一次函数图象求解．不妨设p<q ，由于等差数列中，n a 关于n 的图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点 ,(),,q a p p （),(),q p q a q p a ++共线．设,m a q p =+由已知得三点),(),,(),,(m q p p q q p +共线（如图2 -2 -1-3）．由 △ABE ∽ △BCF 得,CFBF BE AE = pm p q q p m p p q p q -=∴-+-=--∴1)( 得,0=m 即.0=+q p a[启示] (1)等差数列性质q p n m +=+“且,,,p n m ”q p n m a a a a N q +=+⇒∈+是否可推广为“若,,+∈N n m 则+m a ”？n m n a a +=不行．例如，当n a n 213-=时，则,854=+a a 而.59-=a 显然 ,n m n m a a a +=/+但该性质可推广为三项情形，即s q p t n m ++=++且+⇒∈+m a N s q p t n m ,,,,,”s q p t n a a a a a ++=+以及四项乃至一般情形，只要两边项数一样，且下标和相等即可，请你完成它的证明．(2)上述各种解法无不体现了等差数列性质的灵活运用．母体迁移 2．等差数列}{n a 中：(1)若,,147n a m a ==则=21a(2)若,1531-=++a a a 则=++++54321a a a a a(3)若,52.,34525432==+++a a a a a a 且,24a a >则=5a(4)若,53=a 则=+412a a考点3 等差数列的通项公式命题规律(1)利用解方程组的方法求1a 和d ，从而求出通项公式．(2)利用通项公式及其变形形式解决一些简单的问题[例4] （2010年辽宁省部分重点中学联考题）在等差数列{n a }中，已知,5,1185==a a 求⋅10a[答案] 方法一：设数列}{n a 的公差为d ，由题意知：⎩⎨⎧=+=+,57,11411d a d a 解得 ⎩⎨⎧-==.2,191d a 故 .212)2()1(19+-=-⨯-+=n n a n.12110210=+⨯-=∴a 方法二：,,)(m n a a d d m n a a m n m n --=∴-+=,231155858-=-=--=∴a a d .1)2(252810=-⨯+=+=d a a[方法技巧] 在等差数列}{n a 中，首项1a 与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关d a 、1的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．母体迁移 3．已知两个等差数列 ,11,8,5:}{n a 与,,11,7,3:}{ n b 它们的项数均为100项，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？考点4 等差数列与一次函数命题规律(1)深刻理解等差数列，进一步理解数列是一特殊的函数，特例是等差数列是一次函数，其中公差d 为斜率．(2)可用函数的性质来处理等差数列问题．[例5] 已知(1，1)，(3，5)是等差数列}{n a 图象上的两点．(1)求这个数列的通项公式；(2)画出这个数列的图象；(3)判断这个数列的单调性．[答案] (1)由于(1，1)，(3，5)是等差数列}{n a 图象上的两点，所以,5,131==a a 由1213=+=d a a,52=+d 解得,2=d 于是.12-=n a n(2)图象是直线12-=x y 上一些等间隔的点（图略）．(3)因为一次函数12-=x y 是增函数，所以数列}{n a 是递增数列．[启示] 本题综合考查数列的通项公式、图象和性质．母体迁移 4．已知数列}{n a 的通项公式为+=2pn a n qn （常数).,R q p ∈(1)当p ，q 满足什么条件时，数列}{n a 是等差数列？(2)求证：对于任意的实数p 和q ，数列}{1n n a a -+是等差数列．考点5 等差数列模型的实际应用命题规律(1)利用等差数列的知识从实际问题中抽象出等差数列的模型．(2)通过构造等差数列的模型去解决实际问题．[例6] 某人有七位朋友，第一位朋友每天晚上都去他家看他，第二位朋友每隔一个晚上到他家去，第三位朋友每隔两个晚上去他家串门，第四位朋友每隔三个晚上去他家做客．依此类推，直至第七位朋友每隔六个晚上在他家出现．这七位朋友昨晚在主人家中碰面，他们还会同一个晚上在主人家中碰面吗？[答案] 第一位朋友每天晚上在主人家；第二位朋友以后在主人家中的天数为：2，4，6，8，…，这些数构成以2为首项，公差为2的等差数列，通项公式为：,2⋅=n a n第三位朋友以后在主人家中的天数为：3，6，9，…，这些数构成以3为首项，公差为3的等差数列，通项公式为：,3⋅=n a n第四、五、六、七位朋友晚上在主人家的天数分别构成以4，5，6，7为首项，公差为4，5，6，7的等差数列；通项公式分别为：;7,6,5,4n a n a n a n a n n n n ====他们要在同一晚上出现，这个数应为这七个数列的公共项，这一项是2，3，4，5，6，7的倍数，而2，3，4，5，6，7的最小公倍数为420，因此第420，840，1260，…天晚上他们会同时在主人家出现．母体迁移 5．为了测试某种金属热膨胀性质，将这种金属的一根细棒加热，从C 100开始第1次测量细棒长度，以后每升高C50测量一次，把依次量得的数据所成的数列}{n l 表示成图象如图2 -2 -1-4，根据图象解答下列问题：(1)第5次量得金属棒的长度是多少？此时金属棒的温度是多少？(2)求}{n l 的通项公式和金属长度L （单位：m ）关于温度t 单位：℃）的函数关系式（设长度是关于温度的一次函数）；(3)在C 30的温度条件下，如果把两块这种矩形金属板平铺在一个平面上，这个平面的最高温度可达到,500C o 问铺设时两块金属板之间至少要留多宽的空隙？优化分层测讯学业水平测试1.2006是等差数列4，6，8，…的( )．A ．第1002项B ．第1001项C ．第1003项D ．第1006项 2．在数列}{n a 中，),(122,211++∈+==N n a a a n n 则101a 的值为( )．49.A 50.B 51.C 52.D3．在等差数列中，),(,n m m a n a n m =/==则n m a +为( )．n m A -. 0.B 2.m C 2.n D4．设数列}{},{n n b a 都是等差数列，且=+==2211,75,25b a b a ,100则3737b a +等于( )． 0.A 37.B 100.C 37.-D5．在等差数列}{n a 中，若,45076543=++++a a a a a 则82a a +的值等于 6．若,b a =/两个等差数列b x x a ,,,21与b y y y a ,,,,321的公差分别为,,21d d 则=21d d 7．已知数列}{n a 中，,66,2171==a a 通项n a 是项数n 的一次函数，则通项公式=n a 8．体育场一角的看台座位是这样排列的：第一排有15个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位．你能用n a 表示第n 排的座位数吗？第10排能坐多少个人？高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1．（2011年重庆高考题）在等差数列}{n a 中，,4,232==a a 则=10a ( )．12.A 14-B 16.C 18.D)23lg(2-⋅与)23lg(+的等差中项为( )．0.A 2323lg+-⋅B )625lg(-⋅C 1.D3．等差数列}{n a 中，),(,l m m a l a i m =/==则通项公式为( )．n l m a A n ++=. n m a B n -+=1. l m n a C n --=. 2.nl m a D n ++=4．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则=-||n m ( )． 1.A 43.B 21.C 83.D5．-个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差是( )．2.-A3.-B4.-C 6.-D 6．（2010年湖北黄冈调考题）已知数列}{n a 的前n 项和为=n s ,2n 则++++322111a a a a200620051a a ++的值是( )．214010.-A 214011.-B 214012.-C 214013.-D 7．（高考题改编）下表给出一个等差数阵，其中每行每列都是等差数列，⋅ij a 表示第i 行第J 列的数，则66a 的值是( )．50.A 43.B 24.C 58.D8．（2010年北京海淀区练习题）已知数列}{},{n n b a 都是公差为l 的等差数列，其首项分别为,11b a 、且∈=+1111,,5b a b a ⋅+N 设),(+∈=N n a c n b n 则数列}{n c 的前10项和等于( )．55.A 70.B 58.C 010.D二、填空题（本题包括4小题，每小题5分．共20分）9．（2009年上海高考题）已知函数．,tan sin )(x x x f +=项数为27的等差数列}{n a 满足),2,2(ππ-∈n a 且公差.0=/d 若+)(1a f ,0)()(272=++a f a f 则当=k 时，.0)(=k a f10.（2010年南京市调考题）将等差数列2，7，12，17，22，…中的数按顺序抄写在本子上，如下表所示，若每行写12个数，每页共15行，则数2007应抄在第 页第 行第 个位置上．11.（2010年苏州市模拟题）在正整数100至500之间能被11整除的整数的个数为 12.若)23lg(),23lg(,lg +-x x x 成等差数列，则=22log x三、解答题（本题包括3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.（13分）已知数列}{n a 为等差数列，,1c a =公差为l ，若=n b ),(122++∈-N n a a n n 试判断数列}{n b 是否为等差数列？并证明你的结论．14.（13分）（2010年东北八校联考题）已知数列}{n a 为等差数列，关于x 的方程2122++++i i i a x a x a),,,2,1(0n i ==且d d a i (0=/为公差）． (1)这些方程是否有公共根？若有，求出它；若没有，请说明理由； (2)在方程有一个公共根的条件下，设另一个根为,i x 则⋅+++11,,11,1121n x x x 是否成等差数列？证明你的结论．15.（14分）（2010年北京模拟题）已知数列}{n a 和}{n b 满足关系式：⋅∈+++=+)(21N n na a ab nn (1)若,2n b n =求数列}{n a 的通项公式；(2)若}{n b 是等差数列，求证：}{n a 也是等差数列．。
2.2.1等差数列的概念
引入
问题情境一
2008年北京奥运会，女子举重 共设置7个级别，其中较轻的4个 级别体重组成数列(单位：kg)： 48，53，58，63
问题情境二
水库的管理员为了保证优质鱼类有良好 的生活环境，定期放水清库的办法清理水 库中的杂鱼。如果一个水库的水位18m， 自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。 那么从开始放水算起，到可以进行清理工 作的那天，水库每天的水位组成数列
（√） （√） （×）
(2) 4 , 7 , 10 , 13 , 16 ;
(3) －3 , －2 , －1 , 1 , 2 , 3 .
运用
Байду номын сангаас
例2 （1）求等差数列8，5，2…的第20项 （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13… 的项？如果是，是第几项？
解: (1)由a1=8，d=5-8=-3，n=20，等差数列
运用
例3 已知数列的通项公式为an=pn+q， 其中p，q是常数，且p≠0，那么这种数 列是否一定是等差数列？如果是，其首 项与公差是什么？
变题：去掉条件中的p≠0呢？
思考
思考6
数列是函数，那么等差数列是什么函数？ 如果an是关于n的一次函数，那么数
列{an}是等差数列吗？
思考
思考7 在直角坐标系中作通项公式为an=3n-
5的数列的图像，并观察图像有什么特点？
几何画板作图
你能说出等差数列的图像有什么特点吗？
的通项公式得a20=8+（20-1）×（-3）=-49
(2)由 a1 5, d 9 (5) 4 得数列通项公式为
an 5 4(n 1)
由题意可知，本题是要回答是否存在正整 数n，使得-401=-5-4（n-1）成立，解之n=100， 即-401是这个数列的第100项。
教学设计5：2.2.1 等差数列 第2课时 等差数列的性质
2.2.1 等差数列第2课时 等差数列的性质[教材·要点]等差数列的常用性质(1)对称性：a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…；(2)m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q ；(3)若m ，p ，n 成等差数列，则a m ，a p ，a n 也成等差数列；(4)a n ＝a m ＋(n －m )d ；(5)若数列{a n }成等差数列，则a n ＝pn ＋q (p ，q ∈R )；(6)若数列{a n }成等差数列，则数列{λa n ＋b }(λ，b 为常数)仍为等差数列；(7){a n }和{b n }均为等差数列，则{a n ±b n }也是等差数列；(8){a n }的公差为d ，若d ＞0⇔{a n }为递增数列；d ＜0⇔{a n }为递减数列；d ＝0⇔{a n }为常数列．[问题·引入]1．如果等差数列{a n }中，m ＋n ＝2w (m ，n ，w ∈N ＋)，那么a m ＋a n ＝2a w 是否成立？[提示] 如果等差数列的项的序号成等差数列，那么对应的项也成等差数列，事实上，若m ＋n ＝2w (m ，n ，w ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝[a 1＋(m －1)d ]＋[a 1＋(n －1)d ]＝2[a 1＋12(m ＋n －2)d ] ＝2[a 1＋(w －1)d ]＝2a w .2．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，能利用等差数列的性质求a 3＋a 9的值吗？[提示] ∵a 3＋a 9＝a 2＋a 10＝2a 6.∴a 6＝13，∴a 3＋a 9＝2×13＝23. 探究一 等差数列性质的应用例1 (1)已知在等差数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－6x －1＝0的两根，求a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11的值．(2)已知{a n }为等差数列，a 10＝5，a 30＝20，求a 50.解 (1)由已知条件得a 3＋a 15＝6＝2a 9，解得a 9＝3.因此a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝5a 9＝15.(2)法一：∵{a n }为等差数列，∴a 10，a 20，a 30，a 40，a 50也成等差数列，设其公差为d ，∴a 30＝a 10＋2d ，∴d ＝152，a 50＝a 30＋2d ＝35. 法二：∵a 30为a 10和a 50的等差中项，∴2a 30＝a 10＋a 50，∴a 50＝35.法三：设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝5，a 30＝a 1＋29d ＝20， 解得⎩⎨⎧ a 1＝－74，d ＝34.∴a 50＝a 1＋49d ＝35.规律总结 等差数列的“子数列”的性质若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则(1){a n }去掉前几项后余下的项仍组成公差为d 的等差数列；(2)奇数项数列{a 2n －1}是公差为2d 的等差数列；偶数项数列{a 2n }是公差为2d 的等差数列；(3)若{k n }成等差数列，则{ak n }也是等差数列．变式训练1．(1)设{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，求a 37＋b 37；(2)在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求公差d .解 (1)设c n ＝a n ＋b n ，由于{a n }，{b n }都是等差数列，则{c n }也是等差数列，且c 1＝a 1＋b 1＝25＋75＝100，c 2＝a 2＋b 2＝100，∴{c n }的公差d ＝c 2－c 1＝0.∴c 37＝100，即a 37＋b 37＝100.(2)∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，∴a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝17.又a 2·a 5＝52，∴a 2＝13，a 5＝4或a 2＝4，a 5＝13.当a 2＝13，a 5＝4时，d ＝－3；当a 2＝4，a 5＝13时，d ＝3.探究二 等差数列的运算例2 (1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 解 (1)法一：设等差数列的等差中项为a ，公差为d ，则这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意，3a ＝6且a (a －d )(a ＋d )＝－24，所以a ＝2，代入a (a －d )(a ＋d )＝－24，化简得d 2＝16，于是d ＝±4，故这三个数为－2,2,6或6,2，－2.法二：设首项为a ，公差为d ，则这三个数分别为a ，a ＋d ，a ＋2d ，依题意，3a ＋3d ＝6，且a (a ＋d )(a ＋2d )＝－24，所以a ＝2－d ，代入a (a ＋d )(a ＋2d )＝－24，得2(2－d )(2＋d )＝－24，整理得4－d 2＝－12，即d 2＝16，于是d ＝±4，所以，这三个数为－2,2,6或6,2，－2.(2)法一：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，即a ＝1，a 2－9d 2＝－8，∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )，依题意，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8，把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8， 得⎝⎛⎭⎫1－32d ⎝⎛⎭⎫1＋32d ＝－8，即1－94d 2＝－8， 化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，所以d ＝2，故所求的四个数为－2,0,2,4.规律总结利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间一项为a ，再用公差为d 向两边分别设项：…a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，这样可减少计算量．变式训练2．在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这5个数成等差数列，则插入的三个数为 ________．【解析】法一：设a 1＝－1，a 5＝7.∴7＝－1＋(5－1)d ⇒d ＝2.∴所求的数列为－1,1,3,5,7.法二：∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项．∴b ＝－1＋72＝3. 又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1. 又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7.【答案】1,3,53．已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数． 解 设第三个数为a ，公差为d ，则这5个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d . 由已知有⎩⎪⎨⎪⎧ (a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5，(a －2d )2＋(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＋(a ＋2d )2＝859. ∴⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝5，5a 2＋10d 2＝859.∴a ＝1，d ＝±23. 所以当d ＝23时，这5个数分别是 －13，13，1，53，73. 当d ＝－23时，这5个数分别是 73，53，1，13，－13. 探究三 等差数列的实际应用 例3 某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解 由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，每年获利构成等差数列{a n }，且当a n <0时，该公司会出现亏损．设从第1年起，第n 年的利润为a n ，则a 1＝200，a n －a n －1＝－20，n ≥2，n ∈N ＋.所以每年的利润a n 可构成一个等差数列{a n }，且公差d ＝－20.从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝220－20n .若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由a n ＝220－20n <0，得n >11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．规律总结求解与等差数列有关的应用性问题，最关键的是从实际问题中提炼出适合实际问题的等差数列模型，将实际问题转化为一个等差数列的问题进行求解．变式训练4．某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润每件增加2元，同时每提高一个档次，产量减少3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件．试问在相同的时间内，应选择生产第几档次的产品可获得最大的利润？(设最低档次为第一档次)解 设在相同的时间内，从低到高每档产品生产件数分别为a 1，a 2，…，a 10.对应每档产品的利润分别为b 1，b 2，…，b 10.则{a n }，{b n }均为等差数列且a 1＝60，d ＝－3，b 1＝8，d ′＝2.所以a n ＝60－3(n －1)＝－3n ＋63，b n ＝8＋2(n －1)＝2n ＋6.所以利润f (n )＝a n b n ＝(－3n ＋63)(2n ＋6)＝－6n 2＋108n ＋378＝－6(n －9)2＋864.∵n ＝1,2， (10)∴当n ＝9时，f (n )max ＝f (9)＝864.故在相同时间内，生产第9档次的产品可以获得最大利润.[随堂体验落实]1．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( )A ．3B ．±3C ．－33D ．－3【解析】由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3. ∴tan(a 2＋a 12)＝tan2a 7＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.【答案】D2．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A ．1升B ．6766升C ．4744升D ．3733升 【解析】设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4， 即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4. 解得⎩⎨⎧ a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝a 1＋4d ＝6766， 故第5节的容积为6766升． 【答案】B3．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( ) A ．4B ．6C ．8D ．10【解析】由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8) ＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8. 【答案】C4．在等差数列{a n }中，a 3，a 10是方程x 2－3x －5＝0的根，则a 5＋a 8＝________.【解析】由已知得a 3＋a 10＝3.又数列{a n }为等差数列，∴a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝3.【答案】35．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，求a 5＋a 8.解 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋9d ＋a 1＋10d＝4a 1＋22d ＝36，∴2a 1＋11d ＝18，∴a 5＋a 8＝2a 1＋11d ＝18.法二：∵a 2＋a 11＝a 3＋a 10＝a 5＋a 8，∴2(a 5＋a 8)＝36， ∴a 5＋a 8＝18.[感悟高手解题]已知等差数列{a n }的首项a 1＝125，a 10是第一个比1大的项，求此等差数列公差d 的取值范围．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 10＞1，a 9≤1.即⎩⎨⎧ 125＋9d ＞1，125＋8d ≤1.解得⎩⎨⎧ d ＞875，d ≤325.，∴875＜d ≤325. 故公差d 的取值范围为⎝⎛⎦⎤875，325.[点评] 将题设误解为a 10＞1，而忽视了“a 10是第一个比1大的项”，即“a 9≤1”，从而造成条件遗漏．这是容易出错的地方．。
等差数列的概念及通项公式.ppt
a5 a4 d (a1 3d) d a1 4d
a 由此可知，等差数列 n 的通项公式为 当d≠0时，这是
an a1 (n 1)d
关于n的一个一 次函数。
10等差数列的图象1
●
9 （1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
8
●
7
6
●
5
4
●
3
2
●
1
●
0 1234
5 6 7 8 9 10
2.2.1等差数列的概念 及通项公式
学习目标： 1.通过实例，理解等差数列的概念. 2.探索并掌握等差数列的通项公式. 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问
题. 4.体会等差数列与一次函数的关系.
复习数列的有关概念1
按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。
●
等差数列的图象2
10
9 （2）数列：7，4，1，-2，…
8
7
●
6
5
4
●
3
2
●
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
●
等差数列的图象3
10 9 （1）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
8
7 6
5
4
● ● ●● ●●● ● ● ●
3 2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
等差中项
(3) 7x， 3x，-x，-5x，-9x，… 公差 d= -4x
(4) 2，0，-2，-4，-6，…
公差 d= -2 递减数列
(5) 5，5，5，5，5，5，… 公差 d=0 非零常数列
2.2.1等差数列的概念和通项公式
课题 2.2等差数列教案编号 课型 新授 授课班级 课时授课时间2010-12授课人郝永军教材分析 本节内容分为两课时，一节为等差数列的定义与表示法，一节为等差数列通项公式的应用．等差数列定义的引出可先给出几组等差数列，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出等差数列的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“……的数列叫做等差数列”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备．如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义．等差数列的定义归纳出来后，由学生举一些等差数列的例子，以此让学生思考确定一个等差数列的条件．由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列，前提条件是已知数列的首项与公差．明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项n a 可看作项数n 的一次型（0≠d ）函数，这与其图像的形状相对应．有穷等差数列的末项与通项是有区别的，数列的通项公式d n a a n )1(1-+=是数列第n 项n a 与项数n 之间的函数关系式，有穷等差数列的项数未必是n ，即其末项未必是该数列的第n 项，在教学中一定要强调这一点．学情分析学法指导 类比等差数列与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线)教学目标知识与技能掌握等差数列的概念、等差中项的概念，掌握等差数列的通项公式及推导方法，会用定义判断数列{n a }是否为等差数列，能熟练运用用通项公式求有关的量:,,,,1n a n d a过程与方法1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；情感态度与价值观3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣. 教学重点掌握等差数列的概念及通项公式、等差中项，用通项验证数列{n a }是否为等差数列，并能用通项公式解决有关问题.教学难点 理解等差数列“等差”性的特点 教学资源 教学方法 知识结构 板书计划教学过程教学环节所需时间教学内容设计意图教学反馈教师活动学生活动探究任务一：等差数列的概念问题 1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？① 0，5，10，15，20，25，…② 48，53，58，63③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5④ 10072，10144，10216，10288，10366在这一段的教学中，一定要重视归纳的过程，这是学生能理解等差数列的所必须的，不要一笔带过！1.等差数列：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它一项的等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差，常用字母d表示.⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵．对于数列{na},若na－1-na=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N+，则此数列是等差数列，d 为公差探究任务二：等差数列的通项公式从定义的数学表达式：1n na a d--=（n=2,3,4……）得：1n na a d-=+表明从第二项起，等差数列的任意项都可以表示为它的前一项与公差的和,因此，等差数列的任意项也就应该可以用首项和公差来表示.213211,2, (1)na a d a a d a d a a n d=+=+=+=+-以上体现了归纳的过程，能否由递推式得出其通项呢？2132431.......n na a da a da a da a d--=-=-=-=1(1)na a n d⇒=+-由于有了第一节递推公式的基础，这种做法学生能很快接受，甚至能主动提出这种想法.1）第一通项公式：dnaan)1(1-+=n∈N*例1⑴求等差数列8，5，2…的第20项⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？解：⑴由35285,81-=-=-==dan=20，得49)3()120(820-=-⨯-+=a ⑵由4)5(9,51-=---=-=d a 得数列通项公式为：)1(45---=n a n由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得)1(45401---=-n 成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项注：通项公式d n a a n )1(1-+=反映了项n a 与项数n 之间的函数关系，当等差数列的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知n d a ,,1求n a ）.找学生试举一例如：“已知等差数列{}n a 中，首项11=a ，公差2-=d ，求200a .”这是通项公式的简单应用。
苏教版数学必修五2《等差数列的概念及通项公式》ppt课件
aa11＋＋（（nm－－11））dd＝＝mn，，解得ad1＝＝－m1＋. n－1，
∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝m＋n－1－(m＋n－1)＝0.
栏 目
链
故选 B.
接
方法二 设 am＋n＝y，则由三点共线有mn－－mn＝（my＋－nm）－n
⇒y＝0.
方法三 由 am＝n，an＝m 知，在直角坐标平面上的 A(m，n)、 B(n，m)两点关于直线 y＝x 对称，又∵A、B、C(m＋n，am＋n)是等 差数列中的项，∴A、B、C 在同一直线上且斜率为－1.∴mam＋＋nn－－mn＝
苏教版数学必修五
2．2.1 等差数列的概念及通项公式
情景导入
栏 目 链
接
相信同学们都听说过天才数学家高斯小时候计算1＋2＋3 ＋…＋100的故事，不过，这很可能是一个不真实的传说， 据对高斯素有研究的数学史家E.T.贝尔(E.T.Bell)考证，高斯 的老师布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81 297＋81 495＋81 693＋…＋100 899.当布特纳刚写完这道题 时，高斯也算完了，并把答案写在了小石板上．你知道高 斯是如何计算的吗？
个常数叫做等差数列的公差．应当注意的是：
栏
(1)在定义中，之所以说“从第2项起”，首先是因为首项 没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，
目 链 接
而是从第3项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数
(an＋1－an＝d，n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数 列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个
(7)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋
栏 目
2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．
2.2.1等差数列
【延伸探究】
将本例2的条件改为“f(x)= 1
证明数列 {
1 } 为等差数列. a n 1
2x
”,其他条件不变,试
【证明】因为f(x)= 1 ,
1 所以 a n (n≥2), 2 a n 1
1 1 所以 a n 1 a n 1 1
2x
所以 1 为公差为-1的等差数列.
3.已知{an}为等差数列,若a1=6,a3+a5=0,则数列{an}的
通项公式为____________. 【解析】设等差数列{an}的公差为d,因为a1=6,a3+a5=0,
所以2×6+6d=0,解得d=-2.
所以an=6-2(n-1)=8-2n. 答案:an=8-2n
4.已知等差数列-5,-2,1,…,则该数列的第20项为
a1 2d 3, 所以 a1 d a1 7d 14，
解得a1=-1,d=2,
所以a10=-1+9×2=17. 答案:17
类型一
等差数列的通项公式及其应用
【典例】1.(2017·杭州高一检测)在等差数列{an}
中,a3+a6=11,a5+a8=39,则公差d为 世纪金榜导学号
解得a8=24, 所以2a10-a12=2(a1+9d)-(a1+11d)=a1+7d=a8=24.
2.在等差数列{an}中,若a2+a4+a9=12,则a3+a7=
____________.
【解析】在等差数列{an}中,a2+a4+a9=12,所以 a5+a1+a9=12=3a5,解得a5=4,则a3+a7=2a5=8.
教学设计2：2.2.1等差数列
2.2.1等差数列教学目标1．通过实例理解等差数列的概念，通过生活中的实例抽象出等差数列模型，让学生认识到这一类数列是现实世界中大量存在的数列模型．同时经历由发现几个具体数列的等差关系，归纳出等差数列的定义的过程．2．探索并掌握等差数列的通项公式，由等差数列的概念，通过归纳或迭加或迭代的方式探索等差数列的通项公式．通过与一次函数的图象类比，探索等差数列的通项公式的图象特征与一次函数之间的联系．3．通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣．重点难点教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差中项及性质，会用公式解决一些简单的问题．教学难点：概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式，并会解决一些相关的问题．教学过程导入新课思路1.(直接导入)教师引导学生先复习上节课学过的数列的概念以及通项公式，可有意识地在黑板上(或课件中)出示几个数列，如：数列1,2,3，…，数列0,0,0，…，数列0,2,4,6，…等，然后直接引导学生阅读教材中的实例，不知不觉中就已经进入了新课．思路2.(类比导入)教师首先引导学生复习上节课所学的数列的概念及通项公式，使学生明了我们现在要研究的就是一列数．由此我们联想：在初中我们学习了实数，研究了它的一些运算与性质，那么我们能不能也像研究实数一样，来研究它的项与项之间的关系、运算和性质呢？由此导入新课．推进新课新知探究提出问题1回忆数列的概念，数列都有哪几种表示方法？2阅读教科书本节内容中的①②③3个背景实例，熟悉生活中常见现象，写出由3个实例所得到的数列.3观察数列①②③，它们有什么共同特点？4根据数列①②③的特征，每人能再举出2个与其特征相同的数列吗5什么是等差数列？怎样理解等差数列？其中的关键字词是什么？6数列①②③存在通项公式吗？如果存在，分别是什么？7等差数列的通项公式是什么？怎样推导？活动：教师引导学生回忆上节课所学的数列及其简单表示法——列表法、通项公式、递推公式、图象法，这些方法从不同角度反映了数列的特点．然后引导学生阅读教材中的实例模型，指导学生写出这3个模型的数列：①22,22.5,23,23.5,24,24.5，…；②2,9,16,23,30；③89,83,77,71,65,59,53,47.这是由日常生活中经常遇到的实际问题中得到的数列．观察这3个数列发现，每个数列中相邻的后项减前项都等于同一个常数．当然这里我们是拿后项减前项，其实前项减后项也是一个常数，为了后面内容的学习方便，这个顺序不能颠倒．至此学生会认识到，具备这个特征的数列模型在生活中有很多，如上节提到的堆放钢管的数列为100,99,98,97，…，某体育场一角的看台的座位排列：第一排15个座位，向后依次为17,19,21,23，…，等等．以上这些数列的共同特征是：从第2项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)．这就是我们这节课要研究的主要内容．教师先让学生试着用自己的语言描述其特征，然后给出等差数列的定义．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．教师引导学生理解这个定义：这里公差d一定是由后项减前项所得，若前项减后项则为－d，这就是为什么前面3个模型的分析中总是说后项减前项而不说前项减后项的原因．显然3个模型数列都是等差数列，公差依次为0.5,7，－6.教师进一步引导学生分析等差数列定义中的关键字是什么？(学生在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确、深入地理解和掌握概念的重要条件，这是学好数学及其他学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力)这里“从第二项起”和“同一个常数”是等差数列定义中的核心部分．用递推公式可以这样描述等差数列的定义：对于数列{a n}，若a n－a n－1＝d(d是与n无关的常数或字母)，n≥2，n ∈N*，则此数列是等差数列．这是证明一个数列是等差数列的常用方法．点拨学生注意这里的“n≥2”，若n包括1，则数列是从第1项向前减，显然无从减起．若n从3开始，则会漏掉a2－a1的差，这也不符合定义，如数列1,3,4,5,6，显然不是等差数列，因此要从意义上深刻理解等差数列的定义．教师进一步引导学生探究数列①②③的通项公式，学生根据已经学过的数列通项公式的定义，观察每一数列的项与序号之间的关系会很快写出：①a n＝21.5＋0.5n，②a n＝7n－5，③a n＝－6n＋95.以上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性．教师点拨学生探求，对任意等差数列a1，a2，a3，…，a n，…，根据等差数列的定义都有：a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，……所以a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d.学生很容易猜想出等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d后，教师适时点明：我们归纳出的公式只是一个猜想，严格的证明需要用到后面的其他知识．教师可就此进一步点拨学生：数学猜想在数学领域中是很重要的思考方法，后面还要专门探究它．数学中有很多著名的猜想，如哥德巴赫猜想常被称为数学皇冠上的明珠，对于它的证明中国已处于世界领先地位．很多著名的数学结论都是从猜想开始的．但要注意，数学猜想仅是一种数学想象，在未得到严格的证明前不能当作正确的结论来用．这里我们归纳猜想的等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d是经过严格证明了的，只是现在我们知识受限，无法证明，所以说我们先承认它．鼓励学生只要创新探究，独立思考，也会有自己的新奇发现．教师根据教学实际情况，也可引导学生得出等差数列通项公式的其他推导方法．例如：方法一(叠加法)：∵{a n}是等差数列，∴a n－a n－1＝d，a n－1－a n－2＝d，a n－2－a n－3＝d，……a2－a1＝d.两边分别相加得a n－a1＝(n－1)d，所以a n＝a1＋(n－1)d，方法二(迭代法)：{a n}是等差数列，则有a n＝a n－1＋d，＝a n－2＋d＋d＝a n－2＋2d＝a n－3＋d＋2d＝a n－3＋3d……＝a1＋(n－1)d.所以a n＝a1＋(n－1)d.讨论结果：(5)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．其中关键词为“从第2项起”、“等于同一个常数”．(6)三个数列都有通项公式，它们分别是：a n＝21.5＋0.5n，a n＝7n－5，a n＝－6n＋95.(7)可用叠加法和迭代法推导等差数列的通项公式：a n＝a1＋(n－1)d.应用示例例1已知等差数列10，7，4，…：（1）试求此数列的第10项；（2）-40是不是这个数列的项？-56是不是这个数列的项？如果是，是第几项？解：（1）设此数列为{a n}，由a1=10，d=7-10=-3，得到这个数列的通项公式为a n=10-3(n-1)当n=10时，a10=10-3（10-1）=-17.（2）如果-40是这个数列的项，则方程-40=10-3（n-1）有正整数解，解这个方程，得n=533，所以-40不是这个数列的项.如果-56是这个数列的项，则方程-56=10-3（n -1）有正整数解，解这个方程，得n =23，所以-56是这个数列第23项.活动：本例的目的是让学生熟悉公式，使学生从中体会公式与方程之间的联系．教学时要使学生认识到等差数列的通项公式其实就是一个关于a n 、a 1、d 、n (独立的量有3个)的方程，以便于学生能把方程思想和通项公式相结合，解决等差数列问题．本例中的(2)是判断一个数是否是某等差数列的项．这个问题可以看作(1)的逆问题．需要向学生说明的是，求出的项数为正整数，所给数就是已知数列中的项，否则，就不是已知数列中的项．本例可由学生自己独立解决，也可做板演之用，教师只是对有困难的学生给予恰当点拨．点评：在数列中，要让学生明确解方程的思路．变式训练(1)100是不是等差数列2,9,16，…的项，如果是，是第几项？如果不是，请说明理由；(2)－20是不是等差数列0，－312，－7，…的项，如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．解：(1)由题意，知a 1＝2，d ＝9－2＝7.因而通项公式为a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5. 令7n －5＝100，解得n ＝15，所以100是这个数列的第15项．(2)由题意可知a 1＝0，d ＝－312，因而此数列的通项公式为a n ＝－72n ＋72. 令－72n ＋72＝－20，解得n ＝477.因为－72n ＋72＝－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项．例2已知等差数列的公差为d ，第m 项为a m ，试求其第n 项a n..活动：教师引导学生观察题意，思考条件“从第10项起每一项都比1大”的含义，应转化为什么数学条件？是否仅是a 10＞1呢？d ＞0的条件又说明什么？教师可让学生合作探究，放手让学生讨论，不要怕学生出错．解：由等差数列的通项公式可知a n =a 1+(n -1)da m =a 1+(m -1)d两式相减，得a n - a m = (n -m )d所以a n =a m + (n -m )d点评：本例学生很容易解得不完整，解完此题后让学生反思解题过程．本题主要训练学生灵活运用等差数列的通项公式以及对公差的深刻理解．变式训练在数列{a n }中，已知a 1＝1，1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，求a 50. 解：已知条件可化为1a n ＋1－1a n ＝13(n ∈N *)， 由等差数列的定义，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为d ＝13的等差数列， ∴1a 50＝1＋(50－1)×13＝523. ∴a 50＝352. 例3梯子共有5级，从上往下数第1级宽36厘米，第5级宽43厘米，且各级的宽度依次组成等差数列{a n }，求第2，3，4级的宽度.解法1：依题意得，a 1=35，a 5=43，由等差数列的通项公式，得公差d =5151a a --=2， 因此a 2=37，a 3=39，a 4=41.解法2：此等差数列共5项，a 3是a 1与a 5的等差中项，因此a 3=512a a +=39 又因为a 2是a 1与a 3的等差中项，a 4是a 3与a 5的等差中项，所以 a 2=312a a +=37，a 4=352a a +=41. 答：梯子第2，3，4级的宽度分别为37cm ，39 cm ，41 cm.活动：要判定{a n }是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，根据a n －a n －1(n ＞1)是不是一个与n 无关的常数．这实际上给出了判断一个数列是否是等差数列的一个方法：如果一个数列的通项公式是关于正整数的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列．因而把等差数列通项公式与一次函数联系了起来．本例设置的“旁注”，目的是为了揭示等差数列通项公式的结构特征：对于通项公式形如a n ＝pn ＋q 的数列，一定是等差数列，一次项系数p 就是这个等差数列的公差，首项是p ＋q .因此可以深化学生对等差数列的理解，同时还可以从多个角度去看待等差数列的通项公式，有利于以后更好地把握等差数列的性质．在教学时教师要根据学生解答的情况，点明这点．解：当n≥2时，〔取数列{a n}中的任意相邻两项a n－1与a n(n≥2)〕a n－a n－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p为常数，所以{a n}是等差数列，首项a1＝p＋q，公差为p.点评：(1)若p＝0，则{a n}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，….(2)若p≠0，则a n是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，a n)均在一次函数y＝px＋q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q.(3)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项a n＝pn＋q(p、q是常数)，称其为第3通项公式．变式训练已知数列的通项公式a n＝6n－1.问这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？解：∵a n＋1－a n＝[6(n＋1)－1]－(6n－1)＝6(常数)，∴{a n}是等差数列，其首项为a1＝6×1－1＝5，公差为6.点评：该训练题的目的是进一步熟悉例3的内容．需要向学生强调，若用a n－a n－1＝d，则必须强调n≥2这一前提条件，若用a n＋1－a n＝d，则可不对n进行限制．知能训练1．(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？解：(1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n＝－5－4(n－1)＝－4n－1.由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得－401＝－4n－1成立．解这个关于n 的方程，得n＝100，即－401是这个数列的第100项．2．求等差数列3,7,11，…的第4项与第10项．解：根据题意可知a1＝3，d＝7－3＝4.∴该数列的通项公式为a n＝3＋(n－1)×4，即a n＝4n－1(n≥1，n∈N*)．∴a4＝4×4－1＝15，a10＝4×10－1＝39.课堂小结1．先由学生自己总结回顾这节课都学习了哪些知识？要注意的是什么？都用到了哪些数学思想方法？你在这节课里最大的收获是什么？2．教师进一步集中强调，本节学习的重点内容是等差数列的定义及通项公式，等差数列的基本性质是“等差”．这是我们研究有关等差数列的主要出发点，是判断、证明一个数列是否为等差数列和解决其他问题的一种基本方法，要注意这里的“等差”是对任意相邻两项来说的．作业习题2—2 A组1、2.。
2.2.1等差数列定义及通项公式
(1)[证明] ∵an＝4－an4－1(n≥2)， ∴an＋1－2＝2－a4n＝2ana－n 2， ∴an＋11－2＝2aan－n 2＝12＋an－1 2(n≥1)． 故an＋11－2－an－1 2＝12(n≥1)， 即 bn＋1－bn＝12.∴数列{bn}是等差数列．
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[解析] 由 2an＋1＝2an＋1，得 an＋1－an＝12， ∴{an}是首项 a1＝2，公差 d＝12的等差数列． ∴an＝2＋12(n－1)＝n＋2 3， ∴a101＝1012＋3＝52.
[答案] D
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4．一个首项为 23，公差为整数的等差数列，如果前 6
项均为正数，第 7 项起为负数，则它的公差是( )
第1课时 等差数列的定义及通项公式
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1.通过实例，理解等差数列的概念． 2．探索并掌握等差数列的通项公式． 3．掌握等差数列的简单应用.
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1.等差数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于 同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做 等差数列的公差，通常用字母 d 表示．
a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，① a－da＋d＝40. ②
由①，得 a＝123.代入②，得 d＝±32. ∴四个数为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.
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[评析] 就本题而言，若用两个基本量首项和公差表示， 建立方程组求解，计算量大，容易出错．通过巧妙地设解， 会使计算量明显降低，达到快速解题的目的．一般地，已知 三个数成等差数列且和已知，可设 a－d，a，a＋d.四个数成 等差数列且和已知，可设 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.同样， 若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为 a－ d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中 间两项为 a－d，a＋d，其余各项再根据等差数列的定义进行 对称设元．
高中数学 第二章 2.2(一)等差数列(一)课件 新人教A版必修5
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研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高
效 例2
已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋a c，a＋b c，a＋c b也
成等差数列．
证明 ∵1a，1b，1c成等差数列，
本
∴2b＝1a＋1c，即 2ac＝b(a＋c)．
讲 栏 目
∵b＋a c＋a＋c b＝cb＋c＋acaa＋b＝c2＋a2＋acba＋c
开 关
(5)1,2,5,8,11，….
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研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更 高效
解 (1)是等差数列，a1＝4，d＝3；
(2)是等差数列，a1＝31，d＝－6；
本 讲
(3)是等差数列，a1＝0，d＝0；
栏 目
(4)是等差数列，a1＝a，d＝－b；
开 关
(5)不是等差数列，a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴a2－a1≠a3－a2.
高效 探究 若数列{an}满足：an＋1＝an＋2an＋2，求证：{an}是等差
数列．
证明 ∵an＋1＝an＋2an＋2
本
⇔2an＋1＝an＋an＋2
讲 栏
⇔an＋2－an＋1＝an＋1－an
目
开 关
∴an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1(常数)．
∴{an}是等差数列．
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跟踪训练 2 已知 a，b，c 成等差数列，那么 a2(b＋c)，b2(c
＋a)，c2(a＋b)是否能构成等差数列？
证明 ∵a，b，c 成等差数列，∴a＋c＝2b.
本 ∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝a2b＋a2c＋c2a＋c2b
讲 栏
＝(a2b＋c2b)＋(a2c＋c2a)＝b(a2＋c2)＋ac(a＋c)
2.2.1等差数列的概念和通项公式1
课堂小结
1. 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2).
2.等差数列通项公式：
an＝a1＋(n－1)d (n≥1).
推导出公式： an＝am＋(n－m)d .
数列：1，3，5，7，9，11，13…
5是3和7的等差中项，1和9的等差中项； 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.
a2＋a4＝a1＋
a4＋a6＝a3＋
a2＋a4＝a1＋a5
a4＋a6＝a3＋a7
在等差数列{an}中， 若m＋n＝p＋q, 则am＋an＝ap＋aq.
对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式 将它们表示出来呢？ 以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式 为： an＝a1＋(n－1)d.
例1. (1)求等差数列8，5，2，…的第20项. (2)－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的 项？如果是，是第几项？
例2. (1)在等差数列{an}中，已知a5＝10，
5 (2)已知数列{an}为等差数列， a3 , 4 3 a7 , 求a15的值. 4
a中的等差数列的例子吗？ 2. 如果在a与b的中间插入一个数A，使a, A, b 成等差数列，那么A应该满足什么条件？
等差中项：
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最 简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项. 不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每 一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项 与后一项的等差中项.
例3. 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm 中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计 算中间各级的宽度．
例4. 三个数成等差数列，它们的和为18，它们 的平方和为116，求这三个数.
例5. 已知四个数成等差数列，它们的和为28,中间 两项的积为40，求这四个数.
2.2.1等差数列
2.2.1等差数列（1）理解并掌握等差数列的概念；（2）能用定义判断一个数列是否为等差数列；（3）了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，并能在解题中灵活应用；一、课前准备1.从函数观点看,数列可看作是定义域为__________对应的一列函数值，从而数列的通项公式也就是相应函数的______ 。
是数列的第n项2.数列的一般形式是，简记作，其中an二、新课导学※探索新知探究1：1.在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：（1）1682，1758，1834，1910，1986，（）你能预测出下一次的大致时间吗？构成数列：2.通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。
温度构成数列：再观察下面两个数列( 3 ) 1，4，7，10，13，16，…( 4 ) 2，0，-2，-4，-6，-8,…问题：以上四个数列有什么共同的特征？共同特征：新知1：等差数列的定义：一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的差等于同一个，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母d表示。
试一试：下列数列是否为等差数列？1，2，4，6，8，10，12，…；0，1，2，3，4，5，6，…；3，3，3，3，3，3，3，…；2，4，7，11，16，…；－8，－6，－4，0，2，4，…；3，0，－3，－6，－9，…．探究2：1.你会求它们的通项公式吗？2.若一个无穷等差数列｛n a ｝，首项是1a ，公差为d ，怎样得到等差数列的通项公式？推导过程：（提示：根据等差数列的定义进行归纳）新知2：等差数列的通项公式：=n a 。
观察通项公式回答问题：1.要求等差数列的通项公式只需要求谁？2.通项公式中有几个未知量？3.要求其中的一个，需要知道其余的几个？4.等差数列与一次函数有什么关系？单调性如何？等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列； 时，数列为递减数列； 时，数列为常数列；等差数列不可能是 。
2.2.1等差数列的概念及通项公式 高一组
你能得出什么样的结论？
等差数列{an}中 m+n=p+q an+am=ap+aq
课堂练习：
1.等差数列中连续的四项 31, _ , _ ,10
2.等差数列{an}中，a1=1, a3=5,a7=___
3.在等差数列{an}中，
若a3＋a4＋ a5＋a6＋ a7=450,求a2＋a8.
小结：
1、等差数列的概念；
a n a 1 ( n 1) d
n=1时亦适合
用一下
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
解： a1
a n a 1 ( n 1) d
8 , d 5 8 3, n 20 ,
a 20 8 ( 20 1) ( 3 ) 49
即 数 列 {a n }是 等 差 数 列
a n 1 a n d
(n N , d为 常 数 ）
*
或 an - an-1 = d (n 2)
判断下列数列是否为等差数列,如果是等差数列， 请说出公差是多少 （1）3，7，11，15，19，23 d>0 递增数列 （2）8，2，－4，－10，－16 （4）2，2，2，2，2，2，2，… D=0 常数数列 （5）
1 2 5 7 11 － ，－ ， ， ， ， 3 3 3 3 3 3 4
(1)(2)(4)等差数列的公差有什么特点， 你能得到什么样的结论？
等差数列通项公式的推导
设等差数列{ an }的首项是 a1 , 公差是d ，你能否用 a1和d来表示an?
1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；
a 7 27 , a 10 39
1819 第2章 2.2 2.2.1 2.2.2 第1课时 等差数列的概念及通项公式
双 基
量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．
合 作 探 究 • 攻 重
2．已知数列的其中两项，求公差 d，或已知一项、公差和其中一项的序 号，求序号的对应项时，通常应用变形 an＝am＋(n－m)d.
课 时 分 层 作 业
难
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自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
[跟踪训练]
双
知
基
2．已知递减等差数列{an}前三项的和为 18，前三项的积为 66.求该数列
• 固
新
双
知
合 作 探 究 • 攻 重
可知aa11＋ ＋411dd＝＝1301，， 解得ad＝1＝3－，2， ∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5.
基
课
(2)由 an＝13，得 3n－5＝13，解得 n＝6.
时 分
层
作
业
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习 •
[规律方法]
标 •
探
固
新 知
1．从方程的观点看等差数列的通项公式，an＝a1＋(n－1)d 中包含了四个
合 作
的通项公式，并判断－34 是该数列的项吗？
探
究
•
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
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自
当
主
堂
预 习 • 探
[解] 依题意得aa11＋ a2aa32＝＋6a63＝ ，18，
达 标 • 固
新
双
知 合
∴3aa1·1＋a1＋3d＝ d·1a8， 1＋2d＝66，
高中数学第二章数列2.2.1等差数列(第1课时)等差数列的概念及通项公式bb高二数学
第十一页，共三十四页。
跟踪训练1 数列(shùliè){an}的通项公式an＝2n＋5(n∈N＋)，则此数列
√A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列
解析(jiě xī) ∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2， ∴{an}是公差为2的等差数列.
一般地，如果一个数列从第 项2 起，每一项与它的前一项的差等于(děngyú)同一个
_常__数__(_ch，ángs那hù)么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 常用字母d表示，可正可负可为零.
，公差(通gōngchā)
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知识点二 等差中项的概念
如果三个数x，A，y组成等差数列，那么(nà me)A叫做x与y的等__差__中__项____，且A
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(2)求{an}的通项公式. 解 当n≥2时，an是等差数列，公差(gōngchā)为2. 当n≥2时，an＝1＋2(n－2)＝2n－3， 又a1＝1不适合上式，
1，n＝1， ∴{an}的通项公式为 an＝2n－3，n≥2.
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素养评析 (1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明an－an－1＝ d(n≥2，d为常数)或an＋1－an＝d(d为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只 需举出反例即可. (2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，使学 生形成(xíngchéng)重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心 素养.
3＋7
又 c 是 3 与 7 的等差中项，∴c＝
第二章 2.2 第1课时 等差数列的概念及通项公式
§2.2等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式学习目标1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．知识点一等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零．知识点二等差中项的概念如果三个数a ，A ，b 组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2. 思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a ，b .答案 插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4)a ＋b 2. 知识点三 等差数列的通项公式若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .此公式可用累加法证明．1．数列4,4,4，……是等差数列．( )2．数列3,2,1是等差数列．( )3．数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n ＋1，n ≥2，则{a n }是等差数列．( ) 4．等差数列{a n }中，a 1，n ，d ，a n 任给三个，可求其余．( )题型一 等差数列的概念例1 判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n －13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a ，a ，a ，a ，a ，….跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( )A ．是公差为2的等差数列B ．是公差为5的等差数列C ．是首项为5的等差数列D ．是公差为n 的等差数列题型二 等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列．反思感悟 在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项．题型三 等差数列通项公式的求法及应用例3 在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，求通项公式a n .反思感悟 根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．等差数列{a n }中的每一项均可用a 1和d 表示，这里的a 1和d 就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量．跟踪训练3 在等差数列{a n }中，(1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项．(2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10.等差数列的判定与证明典例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n ，且a 1＝1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．典例2 已知数列{a n }：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)．(1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由；(2)求{a n }的通项公式．[素养评析] (1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)或a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可．(2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，使学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养.1．下列数列不是等差数列的是( )A ．1,1,1,1,1B ．4,7,10,13,16C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,22．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－33．已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于() A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°4．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( )A ．公差为1的等差数列B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列 D ．不是等差数列5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( )A ．92B ．47C ．46D ．451．判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1．设数列{a n}(n∈N*)是公差为d的等差数列，若a2＝4，a4＝6，则d等于() A．4 B．3 C．2 D．12．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为()A．52 B．62 C．－62 D．－523．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为()A．52 B．51 C．50 D．494．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为()A．26 B．29 C．39 D．525．已知在等差数列{a n}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于()A．15 B．22 C．7 D．296．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( )A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项7．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a b等于( ) A.14 B.12 C.13 D.238．(2018·天津市南开中学检测)在数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 4等于( ) A.12 B.13 C.14 D.16二、填空题9．若一个等差数列的前三项为a,2a －1,3－a ，则这个数列的通项公式为 ．10．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升．11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是 ．三、解答题12．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，求{a n }的通项公式．13．(2018·辽宁省东北育才中学月考)已知数列{a n }满足a n ＋1＝6a n －4a n ＋2，且a 1＝3(n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．14．已知数列{a n}中，a1＝1，a n－1－a n＝a n a n－1(n≥2，n∈N*)，则a10＝. 15．已知数列{a n}满足：a1＝10，a2＝5，a n－a n＋2＝2(n∈N*)，求数列{a n}的通项公式．。
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例2 (1)求等差数列 9 ，5 ，1，…的第十项;
(2)已知等差数列{an}, an 4n 3,求首项和公差.
例3 已知在等差数列 {an} , a5 20, a, 20 35
试求出数列的通项公式.
1、已知等差数列的首项 a1是3，公差 d 是2， 求它 的通项公式.
∵ -401= -4n-1 ∴n=100 ∴ -401是该数列的第100项。
思考
2.2.3 等差中项
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为 一个等差数列：
（1）2 ，( 3 ) ， 4
（2）-12，( -6 ) ，0
(3) a , ( ab ), b
2
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差 数列，那么A叫做a与b的等差中项。
(3) 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , …
(4)18, 15.5 , 13 , 10.5 , 8, 5.5,…
解析: (1)不是,该数列的第2项第一项的差是1,其余的后一 项与前一项的差都是2.不符合等差数的定义,所以, 它不是等差数列.
(2)不是. 理由同（1） (3)是.它符合等差数列的定义. (4)是.理由同（1）
1、等差数列要求从第2项起，后一项与 前一项作差。 不能颠倒。
2、作差的结果要求是同一个常数。可以 是正数，也可以是０和负数。
判断下列数列是不是等差数列，如果是，
请写出首项a1和公差d.
(1) 0, 5, 10, 15, 20
a1=0 ,d=5-0=5
这些数列 的通项公式 存在吗？如
(2) 48, 53, 58, 63
2.2.2 等差数列的通项公式
已知等差数列{ an }的首项是 a1 , 公差是d 求数列的通项公式.
解:根据等差数列的定义得: a1 a1
a2 a1 d
a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d
a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d
...
由此得到 an a1 (n 1)d
• 这个常数叫等差数列的公差，通常用字母d表示. • 等差数列的 an an1 d (n 2)
例 1： 判断下列数列是否是等差数列：
(1)1 , 2 , 4 , 6 , 8 ,1 0 , 12 , …
(2) -3 , -2 , 1 , 3 , 5 , 7 , …
A ab 2
[说明]: 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等
差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.
即
2an=an+1+an-1(n≥2)
练一练:
• 求下列各题中两个数的等差中项:
• (1) 30 与 18;
• (2) (a b)2与(a b)2
当n =1时，上式两边都等于 a1 . 所以, n∈N*，公式成立。
归纳猜想法
抽象概括
若等差数列{ an }的首项是 a1 , 公差是d , 则这个等差数列的通项公式是.
an a1 (n 1)d
提点: 在等差数列中假如我们知道等差数列的 首项和公差,我们就可求出该数列的通项公式.
求下列数列的通项公式:
§2 等差数列
【问题提出】
1、小兵开始学习英语时，他只知道5个单词: hello，thank，you，bye，I. 他决定从明 天起，每天背记10个新单词. 假如他能如 愿， 那么从今天开始， 他的单词量将逐 日递增，依次为:
5，15，25，35，…
这些逐日递增的单词量 的排列有何规律？
2、2008年，在北京奥运会上，女子举重比赛项目 设置了7个级别，依次为：
1 ②
2
25,24 1 ,24,23 1 ,23,22 1 ,22,211 ,21
③
2
2
2
2
请观察上面3个数列，它们具有什么共同特 点？
从第2项起,每一项与前一项的差都等于 同一个常数。
2.2.1 等差数列
• 一般地,如果一个数列从第2项起，每一项 与它的前一项的差等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列.
分析：知道a1 , d ，求an 。代入通项公式。
解：
∵ a1=3 , d=2 ∴ an=a1+(n-1)d
=3+(n-1) ×2
=2n-1
2、求等差数列 10 ，8 ， 6 ，4 ，‥‥的第20项.
分析： 根据a1=10，d= -2，先求出通项公式an ，再求出a20
解： ∵ a1=10, d=8-10= -2 ， n=20 由an=a1+(n-1)d 得 ∴ a20 =a1+(n-1)d =10+(20-1)×(-2)
48，53，58，63，68，73，78
这7个级别的排列有何规律？
3、全国统一鞋号，成年女鞋的各种尺码由大到小可 排列为：
25,24 1 ,24,23 1 ,23,22 1 ,22,21 1 ,21
2
2
2
2
这种尺码的排列有何规律？
10
5，15，25，35，…
①
5
48，53，58，63，68，73，78
(1) 0, 5, 10, 15, 20
由 a1=0 ,d=5 ,得 an 5(n 1)
(2) 48, 53, 58, 63
由 a1=48 ,d=-5 ,得 an=5n+43
(3) 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5
由a1=18 ,d=-2.5,得 an=20.5-2.5n
(4) 10072, 10144, 10216, 10288, 10360
= -28
3、 -401是不是等差数列 –5 ， -9 ，-13 ，‥‥ 的项 ？ 如果是，是第几项？
分析：根据a1= -5，d= -4，先求出通项公式an ，再 把 –401代入，然后看是否存在正整数n 。
解： ∵ a1= -5, d= -9-(-5)= -4
∴ an= -5+(n-1) ×(-4) = -4n-1
a1=48 ,d=53-48=-5
果存在，分 别是什么?
(3) 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5
a1=18 ,d=15.5-18=-2.5
(4) 10072, 10144, 10216, 10288, 10360
a1=10072 ,d=10144-10072=72
1 2 3 概念 求通项 通项公式 例1 例2 例3 中项 小结 作业