梁弯曲时的切应力
梁的弯曲(应力、变形)
2
回顾与比较
内力
应力
F
A
FAy
编辑ppt
T
IP
M
?
?
FS
3
§9-6 梁的弯曲时的应力及强度计算
一、弯曲正应力 Normal stress in bending beam
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲Pure bending
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－剪力弯曲Bending by
transverse force
编辑ppt
4
研究对象：等截面直梁 研究方法：实验——观察——假定
编辑ppt5Leabharlann 实验观察——梁表面变形特征
横线仍是直线，但发生 相对转动，仍与纵线正交
纵线弯成曲线，且梁的 下侧伸长，上侧缩短
以上是外部的情况，内部如何？ 想象 —— 梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直
x
61.7106Pa61.7MPa
编辑ppt
13
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
M ql /867.5kNm 2
x
2. C 截面最大正应力
120
B
x
180
K
30 C 截面弯矩
z
MC60kN m
FBY
y
C 截面惯性矩
IZ5.83120 5m 4
x 90kN
C max
M C y max IZ
于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度 透明的梁就好了，我们用计算机模拟 透明的梁
编辑ppt
6
编辑ppt
7
总之 ，由外部去 想象内部 —— 得到
梁的弯曲应力
Iz=πD4/64 Iz=π(D4-d4)/64 若设圆环的直径比d/D=α，则相
应的截面抗弯系数为
Wz
=
π D3 32
Wz
=
π D3 32
(1−α 4 )
y 第10章 梁的弯曲应力 C Dz
y
O
z
d D
工程力学
q=60kN/m
A
1m
C
l = 3m
FS 90kN
(+ ) (− )
M ql2 / 8 = 67.5kN⋅ m
T形截面外伸梁尺寸及受载如图，截面对形心轴z的惯性矩
Iz=86.8cm4，yl=3.8cm。求梁横截面上的最大拉应力和最大压应力。
解 1)由静力平衡
2kN
0.8kN
y1 y2 6cm
方程求出梁的支反力
FA=0.6kN，FB=2.2kN A
C
BD
zC
作弯矩图。 得最大正弯矩在截面
1m 1m 1m
FA
FB
=
−
E ρ
I
z
1 ρ
=
Mz EIz
重要公式 σ = − Mz y Iz
工程力学
σ = − My Iz
第10章 梁的弯曲应力
M AZ y
x
y 横截面上正应力分布规律: (1)中性轴是过横截面形心的一条直线。中性轴上，正应力为零。 (2)以中性轴为界，横截面上的一侧受拉，一侧受压。 (3)离中性轴越远，正应力的绝对值越大。在横截面上离中性轴 最远的边或点上有最大的拉应力和最大的压应力。
几何关系 ( 平截面假定 )
正应变与中性层曲率间的关系
物理关系 ( Hooke 定律 )
正应力与中性层曲率间的关系
材料力学 弯曲应力与强度条件
150 50
A
l 2
B
l 2
96 .4 C 50
200
z
M max
FL 16kNm 4
y
max max
200 50 96.4 153.6mm 96.4mm
max
My max IZ My max IZ
24.09MPa 15.12MPa
max
例题
长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上 承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯 强度［σ］=215MPa。
q 30 kN m
A
0.5m
解：1、求支反力，画梁的弯矩图，确 定危险截面 FA 46.9KN , FB 28.1KN
E
y
X
A
0:
y
A
N dA E
A
dA
E
A
ydA 0
S Z ydA yc A 0(中性轴通过截面形心）
M
A
Z
0:
M Z ydA M
A
M yE dA
y
E
y 2 dA 令： y 2 dA I Z A
C截面
c
B
B截面
∴铸铁梁工作安全。如果T截面倒
例题
A
y 铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁 的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应 150 力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa， [σ]－＝100MPa。试 校核梁的强度是否安全。 F 50 96 .4
梁弯曲切应力的分布规律
梁弯曲切应力的分布规律梁弯曲切应力的分布规律梁是一种常见的结构，在工程中有着广泛的应用。
在使用过程中，梁会受到各种外力的作用，从而产生内部应力。
其中，弯曲切应力是一种重要的内部应力，对于梁的设计和使用具有重要意义。
本文将从以下几个方面介绍梁弯曲切应力的分布规律。
一、什么是弯曲切应力在讨论弯曲切应力之前，我们需要先了解一下什么是弯曲。
当梁受到外部载荷作用时，如果其截面不再处于平面状态，则称为梁发生了弯曲变形。
此时，在截面上会出现相对位移和旋转，并且截面内部会产生剪切变形和拉伸变形。
在弯曲变形中，由于截面上不同点之间存在相对位移和旋转，因此会产生剪切应力和法向拉伸或压缩应力。
其中，剪切应力沿着截面法线方向，在剖面上表现为一个圆锥体状区域，这个圆锥体状区域就是所谓的弯曲切应力。
二、弯曲切应力的计算公式在实际工程中，我们需要计算出梁在弯曲变形时产生的弯曲切应力。
根据材料力学原理，可以得到以下公式：τ = M*y/I其中，τ为弯曲切应力，M为梁的弯矩，y为截面上某一点到中性轴的距离，I为截面抵抗矩。
三、弯曲切应力的分布规律从上述公式可以看出，在梁上任意一点处，其弯曲切应力大小与该点处的距离成正比。
因此，在不同位置处的弯曲切应力大小也是不同的。
具体来说，在梁中心位置（即中性轴）处，由于y=0，因此弯曲切应力τ=0。
而在距离中性轴越远的地方，则会有越大的剪切应力产生。
当y等于截面半径时，剪切应力达到最大值。
除了剖面上不同位置处剪切应力大小不同外，弯曲切应力还会随着截面形状和受载方式的不同而发生变化。
例如，在矩形截面中，弯曲切应力在角点处会出现集中，而在梁端则会出现较大的剪切应力。
四、弯曲切应力的影响因素除了受载方式和截面形状外，弯曲切应力还受到以下因素的影响：1. 梁长度：梁长度越长，弯曲切应力越大。
2. 弯矩大小：弯矩大小越大，弯曲切应力越大。
3. 材料性质：材料的抗剪强度越大，其剪切应力也会随之增加。
4. 截面尺寸比例：当截面高与宽比例较大时，剪切应力会更加集中。
梁的切应力及其强度条件
100
240
q 6.1kN/m
100
3）抗剪强度
20 S z ,max 180 20 (100 ) 2 100 45 100 2 2 846103 mm3
y
45 45
t max
FS, maxS z ,max bIz
2q 103 846103 [t ] 1.1MPa 4 901473610
D D
0.4m 0.6m
140
B
FB
C
10
FA
y
10
解 1）求内力 FA 66kN D截面的剪力
FB 44kN FS 66kN
t max
FS S z ,max dIz
103 47
A
F=110 kN
10
220
10
220 a
10
C y 10
2）求最大切应力 103 * 2 S z ,max 10310 2 1061 102 mm3
t1max tmax O
tmax
2 h FS 2 t max b h d y 2I z d 2
FS t1 h 2I z
tmin
切应力流
y
最大剪应力一般发生在中性轴上
10 320 10 50kN 50kN 50kN
100
9.5
F1
F2
C B A 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m FA FB
y
解 1）求内力
FA 75kN
FB 75kN
10 320 10
50kN 50kN 50kN
材料力学第七章弯曲剪应力
对于标准工字钢梁：
t max
*
F SS zmax Izb
FS
b
Iz
/
S* Z max
在翼板上：
FN I
A* sⅠdA
My dA
I A* z
FN
M Iz
ydA
A*
M Iz
Sz*
FN II
A* (s Ⅱ)dA
(M dM )
即：M
dM Iz
S
* z
M Iz
S
* z
tbdx
t
S
* z
dM
Izb dx
结论：
t
FS
S
* z
Izb
§5.7 梁的切应力
3.切应力分布规律
t
FS
S
* z
FS
h2 (
y2)
I zb 2I z 4
6FS bh3
h 2 4
y2
S* z
A*
y* C
b
h
y
y
h 2
y
2
2
b 2
h2 4
y2
用剪应力为[τ]，求螺栓的最小直径？
解：叠梁承载时，每
F
梁都有自己的中性层
L
FS
F
-FL
M
h 2
1.梁的最大正应力：
h 2
b
s max
1 2
M
max
W
其中：
W
b( h )2 2
bh2
6 24
s max
M max 2W
12FL bh2
第18讲梁横力弯曲时横截面上的切应力
第18讲教学方案——弯曲切应力、弯曲强度条件§7-3 弯曲切应力梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力σ，又有剪应力 τ。
但一般情况下，剪应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的剪应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。
1．矩形截面梁对于图6-5所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力Q 。
现分析距中性轴z 为y 的横线1aa 上的剪应力分布情况。
根据剪应力成对定理，横线1aa 两端的剪应力必与截面两侧边相切，即与剪力Q 的方向一致。
由于对称的关系，横线1aa 中点处的剪应力也必与Q 的方向相同。
根据这三点剪应力的方向，可以设想1aa 线上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q 。
又因截面高度h 大于宽度b ，剪应力的数值沿横线1aa 不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。
基于上述分析，可作如下假设：1）横截面上任一点处的剪应力方向均平行于剪力 Q 。
2）剪应力沿截面宽度均匀分布。
基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。
从图6-6a 的横弯梁中截出dx 微段，其左右截面上的内力如图6-6b 所示。
梁的横截面尺寸如图6-6c 所示，现欲求距中性轴z 为y 的横线1aa 处的剪应力 τ。
过1aa 用平行于中性层的纵截面11cc aa 自dx 微段中截出一微块（图6-6d ）。
根据剪应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力 τ'。
微块左右侧面上正应力的合力分别为1N 和2N ，其中*1I 1**z zAzA S I M dA I My dA N ===⎰⎰σ （a ） *1II 2)()(**z z Az A S I dM M dA I y dM M dA N +=+==⎰⎰σ (b)式中，*A 为微块的侧面面积，)(II I σσ为面积*A 中距中性轴为 1y 处的正应力，⎰=*1*A z dA y S 。
弯曲正应力、切应力与强度条件
M
C
拉
Z
C
Z
中性轴
拉
y
中性轴
y
压
中性轴将横截面分为 受拉 和 受压 两部分。
M yAz(
d)A E
Az
y dA
E
I
yz
0
Iyz0
因为 y 轴是横截面的对称轴，所以 Iyz 一定为零。 该式自动满足
中性轴是横截面的形心主惯性轴
M ZAy(
d)A E
A
y2 dA
E
Iz
M
1M
EI z
基本假设2: 纵向纤维无挤压假设
纵向纤维间无正应力。
公式推导
d
用两个横截面从梁中假想地截取 长为 dx 的一段 。
由平面假设可知，在梁弯曲时，
这两个横截面将相对地旋转一个
角度 d 。
横截面的转动将使梁的凹边的纵 向线段缩短，凸边的纵向线段伸 长。由于变形的连续性，中间必 有一层纵向线段 O1O2 无长度改 变。此层称为 中性层 。
m M
FS m
m
m
M
FS
m
m
只有与切应力有关的切向内力元素 dFS = dA 才能合成剪力 只有与正应力有关的法向内力元素 dFN = dA 才能合成弯矩 所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有 切应力
一，纯弯曲梁横截面上的正应力
RA
P
P RB
C a
P
+
D a
+
P
+
Pa
推导 纯弯曲 梁横截面上正应力的计算公式。 几何 物理 静力学
2 假想地从梁段上截出体积元素 mB1
m'
m z
材料力学(土木类)第四章 弯曲应力(4)
* N1
′ d FS = F
* FS S z τ 1′ = I zδ
FS h δ FS τ 1 = τ 1′ = × δη − = × η (h − δ ) I z δ 2 2 2 I z
δ
τ1max τmax O
τmax
FS τ1 = × η (h − δ ) 2I z
* FS S z FS τ= = I zb 2I z
h2 2 −y 4
τmax
O
(1) τ沿截面高度按二次抛物 线规律变化； 线规律变化； (2) 同一横截面上的最大切应 在中性轴处( 力τmax在中性轴处 y=0 )； ； (3)上下边缘处（y=±h/2)， 上下边缘处（ ± 上下边缘处 ， 切应力为零。 切应力为零。
σ max ≤ [σ ]
G
τ τ
σ σ
H
梁上任意点G 平面应力状态， 梁上任意点 和H →平面应力状态， 平面应力状态 若这种应力状态的点需校核强度时不 能分别按正应力和切应力进行， 能分别按正应力和切应力进行，而必 须考虑两者的共同作用（强度理论）。 须考虑两者的共同作用（强度理论）。
ql2/8
横力弯曲梁的强度条件： 横力弯曲梁的强度条件：
Ⅱ、梁的切应力强度条件 发生在F 所在截面的中性轴处， 一般τmax发生在 S ,max所在截面的中性轴处，该位置 σ=0。不计挤压，则τmax所在点处于纯剪切应力状态。 所在点处于纯剪切应力 纯剪切应力状态 。不计挤压，
q E m G mH l/2 C D l F E
τmax
F
τmax
梁的切应力强度条件为
τ
y b
FS1 = ∫ τ d A ≥ 0.9 FS
第九章梁的弯曲应力
一、梁横截面上的正应力
横力 F 弯曲 A a F (+)
V图
纯弯曲 C l D
F
横力 弯曲 B
纯弯曲——梁弯曲变形
时，横截面上只有弯矩
F
a
F 而无剪力（M 0,V 0）。
F
(-)
横力弯曲——梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩又 有剪力（M 0,V 0）。
Fa
M图
(+) Fa
一、梁横截面上的正应力
* z
max
* Vmax Sz Vmax max * Izd ( I z Sz max )d
* 对于工字钢， I z Sz
max
可由型钢表中查得。
3．工字形截面梁的剪应力
V
三、梁的强度条件
1、弯曲正应力强度条件：
max
Mmax [ ] Wz
可解决工程中有关强度方面的三类问题：
3.在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：
（1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是
主要的，剪应力的强度条件是次要的。但对于较粗的
短梁，当集中力较大时，截面上的剪力较大而弯矩较
小，或是薄壁截面梁时，也需要校核剪应力强度。 （2）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该
正应力最大。
注意：
（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力
的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状
态来确定。 （4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯 性矩的计算式。
二、梁横截面上的剪(切)应力
1．剪(切)应力分布规律假设
V
A*
（1）各点处的剪(切)应力 都与剪力V方向一致； （2）横截面上距中性轴等距离各点处剪(切)应力大小 相等，即沿截面宽度为均匀分布。 （3）剪(切)应力大小沿截面高度按抛物线规律变化。
梁的弯曲应力和变形
正应力分布规律：
1. 中性轴上的点应力为零；
M
2. 上下边缘的点应力最大，其余各 点的应力大小与到中性轴的距离成
正比。
M
中性轴
F
二、计算公式 F
mn
1. 变形几何关系
解：（ 1 ）求支座反力
12.75
kN m
（ 2 ）作弯矩图
max
M
max
Iz
y1
M max W1
max
M
max
Iz
y2
M max W2
（8 - 8） （8 校核哪个截面？
例 2 铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩 Iz=40 3×10 － 7m4 ，铸铁抗拉强度［ σ ＋］ =5m0MPa ，抗压强度
的情况，公式仍然适用。
（ 2 ）公式是从矩形截面梁导出的，但对截面为其它对称形状（如工
字形、 T 字形、圆形等）的梁，也都适用。
M max WZ
梁弯曲时，其横截面上既有拉应力也有压应力。对于中性轴为对称 轴的横截面，例如矩形、圆形和工字形等截面，其上、下边缘点到 中性轴的距离相等，故最大拉应力和最大压应力在数值上相等，可 按左式求得。
一般情况下，梁的强度计算由正应力强度条件控制。
在选择梁的截面时，一般按正应力强度条件选择，选好 截面后，再按剪应力强度条件进行校核。
对于细长梁，按正应力强度条件选择截面或确定许用荷载 后，一般不再需要进行剪应力强度校核。
在下列几种特殊情况下，需要校核梁的剪应力：
（ 1 ）梁的跨度较短，或在支座附近有较大的荷载作用。 在此情况下，梁的弯矩较小，而剪力却很大。 （ 2 ）在组合工字形截面的钢梁中，当腹板的厚度较小 而工字形截面的高度较大时，腹板上的剪应力值将很大 ，而正应力值相对较小。 （ 3 ）木材在顺纹方向抗剪强度较差，木梁可能因剪应 力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。
分切应力计算公式
分切应力计算公式
1. 分切应力的基本概念。
- 在材料力学中，分切应力（也叫切应力）是指物体由于外因（受力、湿度变化等）而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并力图使物体从变形后的位置恢复到变形前的位置。
当这种内力是沿着与截面相切的方向时，就称为切应力。
2. 计算公式（以梁的弯曲为例）
- 对于矩形截面梁，横截面上任一点的切应力计算公式为：τ=(QS)/(Ib)。
- 其中τ为切应力，Q为横截面上所求切应力点的剪力，S为横截面上所求切应力点一侧部分面积对中性轴的静矩，I为整个横截面对中性轴的惯性矩，b为所求切应力点处截面的宽度。
- 对于圆形截面梁，最大切应力发生在中性轴处，其计算公式为：
τ_max=(4Q)/(3A)，其中Q为横截面上的剪力，A = π r^2为圆形截面的面积（r为圆的半径）。
- 在扭转问题中，对于圆轴扭转，横截面上的切应力计算公式为：
τ=(Tρ)/(I_p)。
- 这里T为扭矩，ρ为所求切应力点到圆心的距离，I_p=frac{π d^4}{32}（对于直径为d的实心圆轴）是圆轴截面的极惯性矩。
对于空心圆轴，
I_p=(π)/(32)(D^4-d^4)，其中D为外直径，d为内直径。
梁的弯曲计算—弯曲切应力及强度计算(工程力学课件)
（3）几种特殊情况下必须进行梁的切应力强度计算。
短粗梁 自行焊接 木梁
梁的合理截面
max
M max Wz
(1) 将材料配置于离中性轴较远处
(2) 采用不对称于中性轴的截面
脆性材料
(3) 采用变截面梁
弯曲切应力及强度计算
弯曲
（内力图）
外力 —— 内力 —— 应力
弯曲变形 的条件
求约束反力
弯矩M 剪力Fs
My
Iz
Fs
S
* z
bI z
梁横截面上的切应力 矩形截面梁
S
* z
bI z
x
σ 分布规律 τ 分布规律
Fs
S
* z
不同形状截面梁的最大剪应力
bI z
矩形截面梁
B
A
C
A
C
B
max l max h
梁内的主要应力是正应力！
危险截面、危险点
E右到B左
z
y
危险点
危险截面 24
D右 28
24
My
Iz
Fs
S
* z
bI z
危险截面上的危险点
max ≤[ ]
max ≤[ ]
正应力强度条件 切应力强度条件
三类计算：①强度校核、②截面设计、③确定许用荷载
（1）在进行梁的强度计算时，必须同时满足正应力 和切应力两种强度条件。
“等强度梁”
Wz (x)
M ( x)
[ ]
工字形截面梁
max
3 2
Fs A
max
矩形截面横力弯曲梁横截面切应力最大值
矩形截面横力弯曲梁横截面切应力最大值在工程力学中，横力弯曲是指梁在受到横向力作用时所发生的弯曲变形。
这时梁的截面上会受到横向剪切力，导致横截面内部产生切应力。
而矩形截面横力弯曲梁的横截面切应力最大值是指在受到横力作用时，矩形截面梁的截面上切应力的最大值。
在分析矩形截面横力弯曲梁横截面切应力最大值时，我们首先要了解梁的受力情况。
一般来说，当梁受到横向力作用时，梁的上部受拉，下部受压，这会引起梁的横截面产生一定的切应力。
而在矩形截面横力弯曲梁中，切应力的最大值通常出现在截面的中性轴上，也就是位于梁的截面中点处。
为了求解矩形截面横力弯曲梁横截面切应力的最大值，我们需要利用弯矩和剪力的关系来进行分析。
在横力弯曲梁中，弯矩和剪力之间的关系可以用以下公式表示：$$\tau = \frac{VQ}{It}$$在这个公式中，τ代表切应力，V代表剪力，Q代表截面的矩形抵抗矩，I代表截面的惯性矩，t代表截面的厚度。
根据这个公式可以看出，在给定梁的截面形状和受力条件下，切应力的最大值取决于剪力的大小和截面的形状。
在实际工程中，为了求解矩形截面横力弯曲梁横截面切应力的最大值，我们可以采用截面分析的方法。
我们可以根据梁的几何形状计算出截面的惯性矩和矩形抵抗矩。
根据外部载荷和支座反力的大小，可以确定梁在不同位置的剪力大小。
将这些数据代入上面的公式中，就可以求解出矩形截面横力弯曲梁横截面切应力的最大值。
矩形截面横力弯曲梁横截面切应力的最大值是在横力作用下，梁截面上切应力的最大值。
通过对梁的受力情况和截面形状进行分析，我们可以求解出切应力的最大值，这对于工程设计和结构分析具有重要的意义。
在实际工程中，我们可以通过截面分析的方法来求解切应力的最大值，以保证结构的安全可靠。
矩形截面横力弯曲梁横截面切应力的最大值是横力作用下梁截面切应力的最大值。
因为横向力作用引起了梁的弯曲变形，导致梁截面内部产生了切应力。
通过分析梁的受力情况和截面形状，可以求解出切应力的最大值。
第五章 弯曲应力
三类条件
物理关系
静力关系
1.变形几何关系
m a
n
a
m a o b m
n a o dx
b m
dx
b n
b n
假设oo层为中性层 变形前：aa = bb = oo = dx
m M a
o b m
n a M M
d M
dx
o b n
m o
b′
n o
b′
m
n
变形后：假设中性层oo层变形后的曲率半径为，则
max
M [ ] Wz max
(2) 设计截面尺寸
(3) 计算许用载荷
M Wz [ ]
M max Wz [ ]
例2. T形截面铸铁梁，已知[σt]=30MPa,[σc]=60MPa, 试 80 校核梁的强度。
9kN
A 1m
4kN
B D 1m
20
CLeabharlann 1m120讨论： 1.横截面是绕中性轴转动。 (中性层不伸长也不缩短，中性轴是中性层与横截
面的交线 。) 上部受压
当M > 0时 下部受拉 上部受拉 下部受压
当M < 0时
讨论： 2.纵向纤维的伸长或者缩短与它到中性层的
距离成正比。
m
n′
n a
y
a
y
b m
b
中性层 n′
中性轴 横截面
n
定量分析
与圆轴扭转问题相似，弯曲问题的理论分析也 必须包含三类条件。 变形几何关系
结论： 1.横截面上只存在正应力。
(纵向线与横向线保持直角。)
2.正应力分布不是均匀的。
(纵向线中既有伸长也有缩短的。)
梁的弯曲切应力
②精确适用于纯弯曲梁；
③横力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成
立,但当梁跨度 l 与高度 h 之比大于5（即为细长梁）
时上述公式近似成立。
④公式虽然是由矩形截面梁推导出来的，但它也适用 于所有横截面有竖向对称轴的梁。例如圆形、工字形、 T形、圆环形等。
使用此公式注意：公式中的M、y都用绝对值，σ的正负 由M的正负判断
3 、剪应力分布规律 剪应力沿截面高度按二次抛物线规律分布 。上下边缘处 剪应力为零，中性轴上剪应力最大。
4 、矩形截面最大切应力
h h
0
（二）、工程中常用截面的最大切应力计算式
d z
t
b
工字形截面梁由腹板和翼缘组成（中间的矩形部分称 为腹板；上下两矩形称为翼缘）。翼缘和腹板上均存在 着竖向切应力，而翼缘上还存在着与翼缘长边平行的 水平切应力。 经理论分析和计算表明：横截面上剪力的（95～97） ％由腹板分担，而翼缘仅承担了剪力的（3～5）％， 并且翼缘上的切应力情况又比较复杂。为了满足实际 工程计算和设计的需要，仅分析腹板上的切应力。
注：若截面对称于中性轴，则最大拉应力等于最大压应力
σ-max
M
M
M
σmax
max
M
空间分布图
中性轴
max
平面分布图
二、正应力的计算公式(推导略)
1、横截面上任意点正应力计算
My
IZ
M为横截面的弯矩 y为计算点到中性轴的距离 Iz截面对Z轴的惯性矩，与 截面形状和尺寸有关 m4 ,
2、横截面m上m4的最大正应力
三、梁的弯曲切应力
(一)、矩形截面梁的弯曲切应力
1、横截面上切应力分布规律（假设） （1）横截面上各点处的切应力方向与剪力的方 向一致(此处切应力没规定正负号）；
梁弯曲切应力的分布规律
梁弯曲切应力的分布规律引言在工程领域中，梁是一种常见的结构元件。
在使用过程中，梁会受到各种外部载荷的作用，从而产生内部应力。
其中，弯曲切应力是梁最常见的一种应力形式之一。
了解梁弯曲切应力的分布规律对于设计和优化梁结构具有重要意义。
梁的基本原理梁是一种长条形结构，在外部载荷作用下会发生弯曲变形。
根据材料力学理论，当梁受到垂直于其轴线方向的外部载荷时，梁会发生弯曲变形，并在内部产生剪切力和弯矩。
梁的截面应力分布当梁受到弯矩作用时，其截面上会产生应力分布。
根据材料力学理论和几何关系，可以得出以下结论： - 弯矩和剪切力越大，截面上产生的应力越大。
- 距离轴线越远的点，在同样的外部载荷作用下承受更大的应力。
- 弯矩作用下的梁截面上，上表面受到拉应力，下表面受到压应力。
梁弯曲切应力分布规律根据梁的几何形状和外部载荷情况，可以推导出梁弯曲切应力的分布规律。
以下是一些常见的梁形式和其弯曲切应力分布规律的简要介绍：矩形截面梁矩形截面梁是最简单的一种梁形式。
当矩形截面梁受到均匀分布载荷时，其弯曲切应力分布呈现以下特点： - 最大弯曲切应力出现在距离中性轴最远处。
- 最大拉应力出现在底部纤维，最大压应力出现在顶部纤维。
- 弯曲切应力沿着截面高度方向线性变化。
圆形截面梁圆形截面梁是另一种常见的梁形式。
当圆形截面梁受到均匀分布载荷时，其弯曲切应力分布呈现以下特点： - 最大弯曲切应力出现在距离中心轴最远处。
- 最大拉应力出现在截面边缘，最大压应力出现在中心轴。
- 弯曲切应力沿着截面半径方向线性变化。
T形截面梁T形截面梁常用于横梁和楼板等结构中。
当T形截面梁受到均匀分布载荷时，其弯曲切应力分布呈现以下特点： - 最大弯曲切应力出现在底部翼缘的边缘处。
- 最大拉应力出现在底部翼缘的边缘处，最大压应力出现在顶部纤维。
- 弯曲切应力沿着截面高度方向线性变化。
结论梁弯曲切应力的分布规律是工程设计和优化的重要依据。
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y12 h2 y 2 = b = b ⋅ ( − ) 8 2 2 y
h 2
b h2 = ( − y2 ) 2 4
b h2 h2 * FQ ⋅ ( − y 2 ) 6 FQ ( − y 2 ) 3FQ FQ S z 2 4 4 1− ( y )2 = τ= = = h2 1 3 I zb bh 3 2bh bh ⋅ b 12
§5-6 梁弯曲时的切应力 工字形截面 腹板是一个狭长矩形
τ=
* FQ S z
I zb
阴影部分面积对中性轴的静矩
1 h H h h 1 H h h S = B( − )[ + ( − )] + b( − y )[ y + ( − y )] 2 2 2 2 2 2 2 2 2
* z
FQ B b h2 B b h2 2 2 2 2 2 τ= [ ( H − h ) + ( − y )] = ( H − h ) + ( − y 2 ) 8 2 4 I zb 8 2 4
* z * FQ S z
FN 2 − FN 1 − bdx ⋅τ ′ = 0
M + dM * M * S z − S z − bτ ′dx = 0 Iz Iz
§5-6 梁弯曲时的切应力
FQ S dM S τ′ = ⋅ = dx I z b I zb
切应力互等定理
* z
* z
dM S τ= ⋅ = dx I z b I zb
M + dM = Iz
∫
M + dM * S y1dA = Iz A1
§5-6 梁弯曲时的切应力
* 令 S z =ຫໍສະໝຸດ ∫ y1dA A1距中性轴为y的横线pq以下的面积对中性轴的静矩。
M * 同理， FN 1 = Sz Iz
§5-6 梁弯曲时的切应力
∑F
x
=0
dM S τ′ = ⋅ = dx I z b I zb
B >> b, τ max ≈ τ min
τ=
FQ bh
=
FQ A腹板
§5-6 梁弯曲时的切应力 三、圆形截面
τ max
4 FQ = 2 3π R
§5-6 梁弯曲时的切应力 二、工字形截面
B b h2 τ = (H 2 − h2 ) + ( − y 2 ) 8 2 4
腹板切应力是按抛物线规律分 布的 2 2
y = 0 τ max
h y=± 2
FQ BH h = − ( B − b) I zb 8 8
τ min
FQ B = ( H 2 − h 2 ) I zb 8
§5-6 梁弯曲时的切应力 矩形截面
h y = ± , τ = 0; 2
y = 0,τ max = 3FQ 2bh = 1.5 FQ A
b h2 h2 * FQ ⋅ ( − y 2 ) 6 FQ ( − y 2 ) 3FQ FQ S z 2 4 4 1− ( y )2 = τ= = = h2 1 3 I zb bh 3 2bh bh ⋅ b 12
* z
* FQ S z
§5-6 梁弯曲时的切应力
dM S τ= ⋅ = dx I z b I zb
* z
* FQ S z
* S z 为截面上距中性轴为y的横线以外部分面积对中
性轴的静矩（面距）。
§5-6 梁弯曲时的切应力 矩形截面
dA = bdy1
* S z = ∫ y1dA = ∫ by1dy1 A1 h 2 y
§5-6 梁弯曲时的切应力
一、矩形截面梁
假设： 假设： 1、横截面上各点的切应力的方向都平行于剪力FQ 横截面上各点的切应力的方向都平行于剪力F 2、切应力沿截面宽度均匀分布
§5-6 梁弯曲时的切应力
FN 2 = ∫ σdA
A1
( M + dM ) y1 =∫ dA A1 Iz
A1为侧面pq以下的面积