(同济大学)高等数学课件D2_4隐函数
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同济大学第七版高等数学上册第九章—隐函数求导
的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u (x0 , y0), v0 v(x0 , y0 ) 的单值连续函数 u u (x, y) , v v (x, y), 且有偏导数公式:
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u 1 (F,G) x J ( x, v )
u 1 (F,G) y J ( y, v )
① Fx ex y, Fy
② F(0, 0) 0,
x y 1, cos y x 连续
③ Fy (0, 0) 1 0
由定理1可知, 在 x = 0 的某邻域内方程确定单值可
导的隐函数
且
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dy dx x 0
Fx Fy x 0
ex y cos y x x 0, y 0
d 2y
z
Fx
x
Fz
x
x
z2 2z
2z
x
x2
() x2 z
(2 z)2 x2 (2 z)3
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解法3 利用全微分 x2 y2 z2 4z =0 2xdx 2 ydy 2zdz 4dz =0
dz x dx y dy 2z 2z
zx x 2z
2z
x
x2
() x2 z
(2 z)2 x2 (2 z)3
Fx x Fy Fy x Fx Fy2
Fx y Fy Fy Fy2
y Fx
(
Fx ) Fy
Fx x Fy2
2Fx y Fx Fy Fy3
Fy y Fx2
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例1.验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
dy dx x,Biblioteka 0d 2y d x2
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u 1 (F,G) x J ( x, v )
u 1 (F,G) y J ( y, v )
① Fx ex y, Fy
② F(0, 0) 0,
x y 1, cos y x 连续
③ Fy (0, 0) 1 0
由定理1可知, 在 x = 0 的某邻域内方程确定单值可
导的隐函数
且
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dy dx x 0
Fx Fy x 0
ex y cos y x x 0, y 0
d 2y
z
Fx
x
Fz
x
x
z2 2z
2z
x
x2
() x2 z
(2 z)2 x2 (2 z)3
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解法3 利用全微分 x2 y2 z2 4z =0 2xdx 2 ydy 2zdz 4dz =0
dz x dx y dy 2z 2z
zx x 2z
2z
x
x2
() x2 z
(2 z)2 x2 (2 z)3
Fx x Fy Fy x Fx Fy2
Fx y Fy Fy Fy2
y Fx
(
Fx ) Fy
Fx x Fy2
2Fx y Fx Fy Fy3
Fy y Fx2
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例1.验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
dy dx x,Biblioteka 0d 2y d x2
高等数学课件上第24隐函数
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汇报人：
隐函数的极值与最
05
值
极值的定义与判定
极值的定义：函数 在某点处的值大于 或等于其附近所有 点的值，称为极值
极值的分类：极大 值和极小值
极值的判定：通过 求导数，判断函数 在某点处的导数是 否为零，以及导数 的符号是否改变
极值的应用：在解 决实际问题时，如 优化问题、物理问 题等，需要找到函 数的极值，以获得 最优解或最值
添加 标题
隐函数存在定理的条件：F(x,y)在点(x0,y0)处连续可微，且F(x0,y0)=0。
添加 标题
隐函数存在定理的应用：求解隐函数、证明隐函数存在性等。
定理的证明
单击添加标题
隐函数存在定理：如果方 程F(x,y)=0在点(x0,y0)处 有定义，且F(x0,y0)=0， 那么存在一个开区间(a,b)，
法线等
在物理中的应用
力学：求解力、加速度、速度等物理量 热力学：求解温度、压力、体积等物理量 电磁学：求解电场、磁场、电流等物理量 光学：求解光强、光速、折射率等物理量
在经济中的应用
价格决策：隐函数模型可以帮助企业进行价格决策，以实现利润最大化 投资决策：隐函数模型可以帮助投资者进行投资决策，以实现风险最小化 生产决策：隐函数模型可以帮助企业进行生产决策，以实现成本最小化 市场预测：隐函数模型可以帮助企业进行市场预测，以实现销售最大化
使得在(a,b)内，方程 F(x,y)=0有唯一解。
单击添加标题
证明思路：首先，假设存 在一个开区间(a,b)，使得 在(a,b)内，方程F(x,y)=0 有唯一解。然后，通过证 明F(x,y)在(a,b)内连续， 以及F(x0,y0)=0，从而得
高等数学2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
之间也有联系
相关变化率问题解法:
称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式
求出未知的相关变化率
例 7 设有一深为 18cm，顶部直径为 12 cm 的正圆锥 形漏斗装满水，下面接一直径为 10 cm 的圆柱形水桶， 水由漏斗流入桶内，当漏斗中水深为 12 cm，水面下降 速度为 1 cm /s 时，求桶中水面上升的速度．
解： 设在时刻 t 漏斗中水面高度为 h h(t) ， 漏斗在高为 h(t) 处的截面圆的半径为 r(t) ，
桶中水面的高度为 H H (t) ．
（1）建立变量 h 与 H 之间的关系
由于在任何时刻 t ，漏斗中的水量与水桶中的水量之
和应等于开始时装满漏斗的总水量，设水的密度为 1，则有
π r2 (t)h(t) 52 πH (t) 1 62 π 18
1 h2 (t) dh(t) 25 dH (t) 0
9
dt
dt
（3）从中解出要求的变化率．
1 h2 (t) dh(t) 25 dH (t) 0
9
dt
dt
由(2)可得 dH (t) 1 h2 (t) dh(t)
dt
9 25
dt
由已知， h(t) 12 cm 时， dh(t) 1（cm /s）， dt
y uv ln u v vuv1 u
按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
ln y x ln a a[ lnb ln x ] b[ ln x ln a ] b
两边对 x 求导
y y
《高等数学之隐函数》课件
在物理学中的应用
在物理学中，隐函数被广泛应用于描 述物理量之间的关系，例如，热传导 方程、电磁场方程等。
隐函数还可以用于解决一些物理问题 ，例如，求解微分方程、确定物理量 的变化规律等。
THANKS 感谢观看
进一步研究隐函数的重要基础。
03 隐函数的求导法则
链式法则
链式法则
当一个函数嵌套在另一个函数中时， 链式法则用于求导。具体来说，如果 有一个复合函数 y = f(g(x))，则 dy/dx = (dy/dg) * (dg/dx)。
举例
假设 y = sin(x^2)，则 dy/dx = cos(x^2) * 2x。
隐函数还可以用于解决一些几何问题，例如，确定某一点的切线或者求某一点的 法向量等。
在经济学中的应用
在经济学中，隐函数被广泛应用于成 本函数、收益函数、需求函数等，这 些函数描述了经济变量之间的关系， 例如，成本函数描述了生产一定数量 的产品所需要的成本。
隐函数还可以用于解决一些经济学问 题，例如，最大化利润、最小化成本 等。
隐函数和显函数的转换
有时候可以将隐函数转换为显函数，或者将显函数 转换为隐函数，这需要使用例如在某些情况下更 加灵活和适用，但是它也有一些缺点，例如 求解比较困难。
隐函数的几何意义
隐函数的几何意义
隐函数可以用几何图形来表示，通过求解方程可以得到因变量和 自变量之间的关系，并且可以用图形来表示这种关系。
隐函数的图像
隐函数的图像通常是曲线或者曲面，可以通过绘制图像来更好地理 解隐函数的性质和特点。
隐函数的应用
通过几何意义可以更好地理解隐函数的实际应用，例如在物理和工 程领域中可以通过求解隐函数来找到某些物理量的关系。
02 隐函数定理
《高等数学》第2章导数与微分2-4隐函数
第四节 隐函数及由参数方程所确 定的函数的导数 相关变化率
• 一、隐函数的导数 • 二、对数求导法 • 三、由参数方程所确定的函数的导数 • 四、相关变化率 • 五、小结 思考题
一、隐函数的导数
定义:由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数 .
y f ( x) 形式称为显函数 .
F(x, y) 0
发射炮弹, 其运动方程为
x v0t cos ,
y
v0t
sin
1 2
gt 2 ,
求
(1)炮弹在时刻
t
的运动方向
0
;
(2)炮弹在时刻
t
的速度大小
0
.
解
(1)
在
t
时刻的运动方向即
0
y v0
vy
v vx
轨迹在 t0时刻的切线方向,
可由切线的斜率来反映 . o
x
dy dx
(v0t sin (v0t cos
4 x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
代入 x 0, y 1得
y
x0 y1
1; 4
将方程 (1)两边再对x求导得
12 x2 2 y xy 12 y2 ( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
二、对数求导法
观察函数
y
(
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
y y
1 x1
1 3( x 1)
x
2
4
1
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
• 一、隐函数的导数 • 二、对数求导法 • 三、由参数方程所确定的函数的导数 • 四、相关变化率 • 五、小结 思考题
一、隐函数的导数
定义:由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数 .
y f ( x) 形式称为显函数 .
F(x, y) 0
发射炮弹, 其运动方程为
x v0t cos ,
y
v0t
sin
1 2
gt 2 ,
求
(1)炮弹在时刻
t
的运动方向
0
;
(2)炮弹在时刻
t
的速度大小
0
.
解
(1)
在
t
时刻的运动方向即
0
y v0
vy
v vx
轨迹在 t0时刻的切线方向,
可由切线的斜率来反映 . o
x
dy dx
(v0t sin (v0t cos
4 x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
代入 x 0, y 1得
y
x0 y1
1; 4
将方程 (1)两边再对x求导得
12 x2 2 y xy 12 y2 ( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
二、对数求导法
观察函数
y
(
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
y y
1 x1
1 3( x 1)
x
2
4
1
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
高等数学,同济大学第六版,24
ln y ln x 1 ( ) 1 ln x 1 ( ) 2 ln x 4 ( ) x 3
上式两边x求 对导得 y 1 1 2 1 y x1 3(x1) x4
y(x (x 1 )4 3 )2 x e x1[x1 13 (x 1 1 )x2 4 1 ]
数 ， 则 dy = _ _ _ _ _ _ __ ， d 2 y _ _ _ _ _ __ _ .
dx ( 1 ,1 )
dx 2
2 、 曲 线 x 3 y 3 xy 7 在 点 （ 1 ， 2 ） 处 的 切 线 方 程
是 ___________.
3、
曲
线
x y
t t
例5 设 函 y数 y(x)由 方x程 ef(y) ey确,定
其f中 具 有 二 阶 f导 1,求 数 y. 且
解 关系式两边取对数得 ln xf(y)y
上式两边x求 对导得 1f(y)yy (1)
x
y
1
(2)
(1)式两边再x求 对导得 x(1f(y))
x 1 2f(y )y 2f(y )y y yxx 22f(1(y)fy(2y ) 1 ) (2) f(xy 2)(1 (1f (fy)(3 y ))2 )
2
2
yaxa(1) 即yxa(2)
2
2
例7
求
由 dy
方xy程aacsion33stt
表
示
的
函
数
的
二 .
解
dy dx
dt dx
3asin2 tcost 3aco2st(si nt)
tatn
dt
d dx
上式两边x求 对导得 y 1 1 2 1 y x1 3(x1) x4
y(x (x 1 )4 3 )2 x e x1[x1 13 (x 1 1 )x2 4 1 ]
数 ， 则 dy = _ _ _ _ _ _ __ ， d 2 y _ _ _ _ _ __ _ .
dx ( 1 ,1 )
dx 2
2 、 曲 线 x 3 y 3 xy 7 在 点 （ 1 ， 2 ） 处 的 切 线 方 程
是 ___________.
3、
曲
线
x y
t t
例5 设 函 y数 y(x)由 方x程 ef(y) ey确,定
其f中 具 有 二 阶 f导 1,求 数 y. 且
解 关系式两边取对数得 ln xf(y)y
上式两边x求 对导得 1f(y)yy (1)
x
y
1
(2)
(1)式两边再x求 对导得 x(1f(y))
x 1 2f(y )y 2f(y )y y yxx 22f(1(y)fy(2y ) 1 ) (2) f(xy 2)(1 (1f (fy)(3 y ))2 )
2
2
yaxa(1) 即yxa(2)
2
2
例7
求
由 dy
方xy程aacsion33stt
表
示
的
函
数
的
二 .
解
dy dx
dt dx
3asin2 tcost 3aco2st(si nt)
tatn
dt
d dx
高等数学第六版第二章第四节隐函数求导
) (cos x) ( n) cos( x n π 2 n! 1 (n) n (1) ax (a x) n 1
(4) 利用莱布尼茨公式
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2.补充题 π x2 则 2 n 1) (填空题)（1）设 f ( x) ( x 3x 2) cos 16 ,
解: 方程两边对 x 求导
得
dy dy 1 21x 6 0 5y 2 dx dx 6 d y 1 21x 4 dx 5 y 2
4
因x=0时y=0, 故
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例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2.参数方程求导法则
若参数方程 关系, 可导, 且 可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) d t (此时看成 x 是 y 的函数 )
dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt
故
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
dy t dy d t dx (t 1)(1 cos y ) dx dt
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x (t ) 例3.求参数方程 所表示的函数y f ( x) 的
高等数学PPT课件：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
如
y
(
x (
x
1) 3 x 4)2e x
1
,
y xsin x .
方 法 方程两边取对数, 再利用隐函数求导法。
--------对数求导法
11
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例
设
y
(
x (
1) 3 x 1 x 4)2 e x
,
求y.
解
ln
y
ln( x
1)
1 3
ln(
x
1)
,求y.
解答 等式两边取对数
ln y ln xsin x ln(1 x2 ) sin x ln x ln(1 x2 )
d: dx
y cos x ln x sin x
y
x
1
2
x x
2
y
xsin x 1 x2
(cos
x
ln
x
sin x
x
1
2
x x
2
)
17
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
2.设 x y y x ,求y.
解答 ln : y ln x x ln y,
d: dx
y ln x y ln y x y,
x
y
y
x y ln x y ln
y x
y2 x2
.
18
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
二、由参数方程所确定函数的导数
若
x y
(t) (t)
d dx
:
1 y
y
cos x ln x
sin
x
1 x
隐函数及由参数方程所确定函数的导数相关变化率公开课一等奖课件省赛课获奖课件
解 方程两边对x求导得
4 x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
代入 x 0, y 1得
y
x0 y1
1; 4
将方程 (1)两边再对x求导得
12 x2 2 y xy 12 y2 ( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
二、对数求导法
例 以每秒10cm3 的速度给气球打气,当气球半径为5cm 气球表面的增加率是多少?
V 4 r 3 , dv 4r 2 dr 10cm 3 / s,
3 dt
dt
A 4r 2 , dA dt
r5
dA dr
dr dt
r5
8r
10 4r 2
r 5 4cm 2 / s.
例1 一汽球从离开观察员500米处离地面铅直
t t0
(v0t cos ) t t0
v0 cos
vy
dy dt
t t0
(v
0
t
sin
1 2
gt
2
)
t t0
v0 sin
gt0
在
t
时刻炮弹的速度为
0
v
v
2 x
v
2 y
v2 0
2v0 gt0
sin
g
2
t2 0
例8
求由方程
x
y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数
.
dy
解
dy dx
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对 x求导得
《高等数学》PPT课件
x
y
y
xy ln y xy ln x
y2 x2
例9
设
y
(x
a1 )a1 ( x
a2求
dy dx
解 两边取对数得
ln y a1 ln( x a1 ) a2 ln( x a2 ) an ln( x an )
两边对 x 求导得
完整版课件ppt
14
例10
1 y a1 a2 an
例6
设 y ( x 1)3 x 1 , 求y. ( x 4)2 e x
解 等式两边取对数得
完整版课件ppt
11
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
dx
解得
dy dx
ex y xey
,
由原方程知 x 0, y 0,
dy dx
x0
ex xe
y
y
x0 y0
1.
完整版课件ppt
4
例2 设曲线C的方程为 x3 y3 3 xy,求过C上
点(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
线通过原点 .
解 方程两边对 x求导, 3x2 3 y2 y 3 y 3xy
§4、隐函数与参变量 函数微分法
完整版课件ppt
1
一、隐函数的导数
定义: 由方程F(x, y)0所确定的函数 y y(x)称为 隐函数.
相应地，y f (x)形式的函数称为显函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题:1、 方程F(x, y)0什么时候确定一个隐函数？ 2、隐函数不易显化或不能显化如何求导?
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故
dx = 2(t +1) dt dy 2t = dt 1ε cos y
t dy dy dx = = dt (t +1)(1 ε cos y) dx dt
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三,相关变化率
为两可导函数 之间有联系 相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
y x ψ′′(t)′(t) ψ′(t)′′(t) x y = =返回 结束
注意 : 已知 例4. 设
×
d2 y = 1 f ′′(t) d x2
?
x = f ′(t) d2 y . , 且 f ′′(t) ≠ 0,求 2 y = t f ′(t) f (t) dx
′ ′ y′ = y1 + y2
= (sin x)
tan x
(sec x lnsin x +1)
2
1 3 x x 2x + ln x 3 ] 2 [ 1 2ln x 3(2 x) 3(2 + x) x (2 + x)
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3. 设
由方程
确定 , 求
解: 方程两边对 x 求导, 得
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 + y y′ = 0 8 9 3 9x ∴ y′ x=2 = x=2 = 4 16 y y=3 3 y=3 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 = (x 2) 2 4
即
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例3. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
d y t f ′′(t) =t, = 解: f ′′(t) dx
练习: 练习 P111 题8(1) 解:
dy 1 = ; dx t
d y = 2 dx
机动
2
1 t2
1 = 3 t t
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例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小: 速度的水平分量为 故抛射体速度大小 垂直分量为
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r
内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
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之间也有联系 称为相关变化率 相关变化率
例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 其速率为 140m m , 当气球高度为 500 m 时, 观察员 in 视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为α , h 则 tanα = 500 α 500 两边对 t 求导
思考题: 思考题 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以 100 m/min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
tanα = 500 提示: 提示 x
对 t 求导
2
500
x dα 500 dx sec α = 2 dt x dt dx dα =100m min , x = 500 m, 求 . 已知 dt dt
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′(t) ≠ 0时, 有
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且 可求二阶导数 .
x = (t) 利用新的参数方程 dy ψ ′(t) ,可得 = dx ′(t) d2 y d (dy) d dy dx = ( ) = 2 dx dx dt dx dt dx ψ′′(t)′(t) ψ′(t)′′(t) = ′(t) 2 ′ (t)
y
α o
v2 t= g 2v2 t= g
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x
结束
x = t 2 + 2t (0 < ε <1) 例6. 设由方程 2 t y + ε sin y =1
确定函数 y = y(x) , 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx = 2t + 2 dt dy dy 2t + ε cos y =0 dt dt
e y y′ + y + x y′ = 0
再求导, 得
① ②
′2 + (e y + x) y′′ +2y′ = 0 e y
y
当 x = 0 时, y = 1, 故由 ① 得 1 y′(0) = e 1 再代入 ② 得 y′′(0) = 2 e
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作业
P110 1(1) , (4) ; 2; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12
2 dy = 斜率 k = π dx θ =π 2 2 π ∴ 切线方程为 y = x + π 2
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2. 设 y = (sin x)
tan x
+
x x
ln x
3
y2 ′ ′ 提示: 提示 分别用对数微分法求 y1 , y2 .
答案: 答案:
y1
2 x , 求 y′. 2 (2 + x)
dα 1 dh sec α = dt 500 dt
2
h
sec2 α =1+ tan2 α
dh 已知 =140m min , h = 500m 时, tanα =1,sec2 α = 2 , dt dα 1 1 ( rad/ min ) = 140 d t 2 500
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α
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例8. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 , 今以 25cm3 s自顶部向容器内注水 , 试求当容器内水 位等于锥高的一半时水面上升的速度.
h 解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的 x 体积为 V , 则 π R2 3 3 1π R2h 1π r 2 (h x) = [ h (h x) ] 3 3 2 3h 两边对 t 求导 r h x = 2 dV π R V R h 2 dx 而 d = 25 (cm3 s) = 2 (h x) , h x dt dt h dt r= R 2 h dx 100 25h = 2 (cm s) , 故 2 2 dt π R π R (h x)
=
设 α 为切线倾角, 则
dy dy = dt dx dx dt
2 v1
+ (v2 gt)
y
α
2
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
o
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x
结束
抛射体轨迹的参数方程 速度的水平分量 速度的方向 在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为 ( ) , v2 α = arctan v1 达到最高点的时刻 t = v2 ,高度 g 落地时刻 抛射最远距离 垂直分量
两边对 x 求导
∴
1 ′ = cos x ln x + sin x y y x sin x sin x y′ = x (cos x ln x + ) x
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说明: 说明:
1) 对幂指函数 y = uv 可用对数求导法求导 :
注意: 注意
ln y = v lnu 1 u′v y′ = v′ lnu + y u u′v v y′ = u ( v′ lnu + ) u ′ = uv lnu v′ + vuv1 u′ y
按幂函数求导公式
按指数函数求导公式
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2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如, 例如 两边取对数 a ln y = xln + a[ lnb ln x ] +b[ ln x ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y′ = ln + b x x y
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例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导
确定的隐函数
得
dy 5y + 2 1 21x6 = 0 dx dx 6 dy 1+ 21x ∴ = 4 dx 5y + 2
4dy
因x=0时y=0, 故
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例2. 求椭圆
第四节 隐函数和参数方程求导 相关变化率
一,隐函数的导数
第二章
二,由参数方程确定的函数的导数 三,相关变化率
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一,隐函数的导数
若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此 函数为隐函数 . 隐函数 由 表示的函数 , 称为显函数 . 显函数 例如, 例如 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 隐函数求导方法 求导方法: 求导方法 两边对 x 求导 (含导数 y′ 的方程)
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(x 1)(x 2) 又如, 又如 y = (x 3)(x 4)
两边取对数
u′ ( ln u )′ = u
1 ln y = [ ln x 1 + ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
dx = 2(t +1) dt dy 2t = dt 1ε cos y
t dy dy dx = = dt (t +1)(1 ε cos y) dx dt
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三,相关变化率
为两可导函数 之间有联系 相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
y x ψ′′(t)′(t) ψ′(t)′′(t) x y = =返回 结束
注意 : 已知 例4. 设
×
d2 y = 1 f ′′(t) d x2
?
x = f ′(t) d2 y . , 且 f ′′(t) ≠ 0,求 2 y = t f ′(t) f (t) dx
′ ′ y′ = y1 + y2
= (sin x)
tan x
(sec x lnsin x +1)
2
1 3 x x 2x + ln x 3 ] 2 [ 1 2ln x 3(2 x) 3(2 + x) x (2 + x)
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3. 设
由方程
确定 , 求
解: 方程两边对 x 求导, 得
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 + y y′ = 0 8 9 3 9x ∴ y′ x=2 = x=2 = 4 16 y y=3 3 y=3 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 = (x 2) 2 4
即
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例3. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
d y t f ′′(t) =t, = 解: f ′′(t) dx
练习: 练习 P111 题8(1) 解:
dy 1 = ; dx t
d y = 2 dx
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2
1 t2
1 = 3 t t
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例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小: 速度的水平分量为 故抛射体速度大小 垂直分量为
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r
内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
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之间也有联系 称为相关变化率 相关变化率
例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 其速率为 140m m , 当气球高度为 500 m 时, 观察员 in 视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为α , h 则 tanα = 500 α 500 两边对 t 求导
思考题: 思考题 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以 100 m/min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
tanα = 500 提示: 提示 x
对 t 求导
2
500
x dα 500 dx sec α = 2 dt x dt dx dα =100m min , x = 500 m, 求 . 已知 dt dt
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′(t) ≠ 0时, 有
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且 可求二阶导数 .
x = (t) 利用新的参数方程 dy ψ ′(t) ,可得 = dx ′(t) d2 y d (dy) d dy dx = ( ) = 2 dx dx dt dx dt dx ψ′′(t)′(t) ψ′(t)′′(t) = ′(t) 2 ′ (t)
y
α o
v2 t= g 2v2 t= g
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x
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x = t 2 + 2t (0 < ε <1) 例6. 设由方程 2 t y + ε sin y =1
确定函数 y = y(x) , 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx = 2t + 2 dt dy dy 2t + ε cos y =0 dt dt
e y y′ + y + x y′ = 0
再求导, 得
① ②
′2 + (e y + x) y′′ +2y′ = 0 e y
y
当 x = 0 时, y = 1, 故由 ① 得 1 y′(0) = e 1 再代入 ② 得 y′′(0) = 2 e
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作业
P110 1(1) , (4) ; 2; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12
2 dy = 斜率 k = π dx θ =π 2 2 π ∴ 切线方程为 y = x + π 2
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2. 设 y = (sin x)
tan x
+
x x
ln x
3
y2 ′ ′ 提示: 提示 分别用对数微分法求 y1 , y2 .
答案: 答案:
y1
2 x , 求 y′. 2 (2 + x)
dα 1 dh sec α = dt 500 dt
2
h
sec2 α =1+ tan2 α
dh 已知 =140m min , h = 500m 时, tanα =1,sec2 α = 2 , dt dα 1 1 ( rad/ min ) = 140 d t 2 500
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α
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例8. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 , 今以 25cm3 s自顶部向容器内注水 , 试求当容器内水 位等于锥高的一半时水面上升的速度.
h 解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的 x 体积为 V , 则 π R2 3 3 1π R2h 1π r 2 (h x) = [ h (h x) ] 3 3 2 3h 两边对 t 求导 r h x = 2 dV π R V R h 2 dx 而 d = 25 (cm3 s) = 2 (h x) , h x dt dt h dt r= R 2 h dx 100 25h = 2 (cm s) , 故 2 2 dt π R π R (h x)
=
设 α 为切线倾角, 则
dy dy = dt dx dx dt
2 v1
+ (v2 gt)
y
α
2
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
o
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抛射体轨迹的参数方程 速度的水平分量 速度的方向 在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为 ( ) , v2 α = arctan v1 达到最高点的时刻 t = v2 ,高度 g 落地时刻 抛射最远距离 垂直分量
两边对 x 求导
∴
1 ′ = cos x ln x + sin x y y x sin x sin x y′ = x (cos x ln x + ) x
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说明: 说明:
1) 对幂指函数 y = uv 可用对数求导法求导 :
注意: 注意
ln y = v lnu 1 u′v y′ = v′ lnu + y u u′v v y′ = u ( v′ lnu + ) u ′ = uv lnu v′ + vuv1 u′ y
按幂函数求导公式
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2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如, 例如 两边取对数 a ln y = xln + a[ lnb ln x ] +b[ ln x ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y′ = ln + b x x y
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例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导
确定的隐函数
得
dy 5y + 2 1 21x6 = 0 dx dx 6 dy 1+ 21x ∴ = 4 dx 5y + 2
4dy
因x=0时y=0, 故
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例2. 求椭圆
第四节 隐函数和参数方程求导 相关变化率
一,隐函数的导数
第二章
二,由参数方程确定的函数的导数 三,相关变化率
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一,隐函数的导数
若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此 函数为隐函数 . 隐函数 由 表示的函数 , 称为显函数 . 显函数 例如, 例如 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 隐函数求导方法 求导方法: 求导方法 两边对 x 求导 (含导数 y′ 的方程)
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(x 1)(x 2) 又如, 又如 y = (x 3)(x 4)
两边取对数
u′ ( ln u )′ = u
1 ln y = [ ln x 1 + ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导