数学形态学原理共80页文档
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第六章数学形态学原理
两图像集合A和B的公共点组成的点的集合称为两集合的交 : A B {a / a A且a B} 两集合A和B所组成的集合称为两集合的并集 : A B {a / a A或a B} 对于一幅图像A,图像A区域以外的所有点构成的集合 : Ac {a / a A}
(3)击中( Hit )与击不中( Miss ) : 设两幅图像A和B, 如果A B , 那么称B击中A 记为B A (4)平移与反射 : 设A是一幅数字图像而b是一个点, 那么定义A被b 平移后的结果为 : A[b] {a b / a A} A关于图像原点的反射结果为 : A {a / a A}
5、数学形态学的核心问题： 核心运算是击中与否变换（HMT），在定义了HMT及其 基本运算膨胀（Dilation）和腐蚀（Erosion）后，从积分 几何和体视学移植一些概念和理论，根据图像分析的各种 要求，构造出统一的、相同的或变化很小的结构元素进行 各种形态变换。 结构元选择原则： 1）几何上必须比原图像简单，且有界。当选择性质相同 或相似的结构元时，以选择极限情况为益。 2）选择结构元为凸子集。
膨胀(dilation)可以看做是腐蚀的对偶运算，其定 义是： 把结构元素B平移a后得到Ba，若Ba击中X，我们 记下这个a点。所有满足上述条件的a点组成的集 合称做X被B膨胀的结果。用公式表示为：
D( X ) {a / Ba X } X B
图中X是被处理的对象，B是结构元素，不难知道， 对于任意一个在阴影部分的点a，Ba击中X，所以 X被B膨胀的结果就是那个阴影部分。阴影部分包 括X的所有范围，就象X膨胀了一圈似的，这就 是为什么叫膨胀的原因。 同样，如果B不是对称的，X被B膨胀的结果和X 被 Bv膨胀的结果不同。 让我们来看看实际上是怎样进行膨胀运算的。
(3)击中( Hit )与击不中( Miss ) : 设两幅图像A和B, 如果A B , 那么称B击中A 记为B A (4)平移与反射 : 设A是一幅数字图像而b是一个点, 那么定义A被b 平移后的结果为 : A[b] {a b / a A} A关于图像原点的反射结果为 : A {a / a A}
5、数学形态学的核心问题： 核心运算是击中与否变换（HMT），在定义了HMT及其 基本运算膨胀（Dilation）和腐蚀（Erosion）后，从积分 几何和体视学移植一些概念和理论，根据图像分析的各种 要求，构造出统一的、相同的或变化很小的结构元素进行 各种形态变换。 结构元选择原则： 1）几何上必须比原图像简单，且有界。当选择性质相同 或相似的结构元时，以选择极限情况为益。 2）选择结构元为凸子集。
膨胀(dilation)可以看做是腐蚀的对偶运算，其定 义是： 把结构元素B平移a后得到Ba，若Ba击中X，我们 记下这个a点。所有满足上述条件的a点组成的集 合称做X被B膨胀的结果。用公式表示为：
D( X ) {a / Ba X } X B
图中X是被处理的对象，B是结构元素，不难知道， 对于任意一个在阴影部分的点a，Ba击中X，所以 X被B膨胀的结果就是那个阴影部分。阴影部分包 括X的所有范围，就象X膨胀了一圈似的，这就 是为什么叫膨胀的原因。 同样，如果B不是对称的，X被B膨胀的结果和X 被 Bv膨胀的结果不同。 让我们来看看实际上是怎样进行膨胀运算的。
第9章数学形态学原理第2讲教学案例
2020/9/19
与求补、映射相关的膨胀、腐蚀是有互补性的， 即：
(f b)c(x,y)(f b)x (,y) （9—53）
其中:
fcf(x,y); b(x,y)
2020/9/19
9.4.1 膨胀 9.4.2 腐蚀 9.4.3 开和闭运算 9.4.4 灰度形态学的应用
2020/9/19
灰度图像开运算和闭运算的表达式与二值 图像相比具有相同的形式。结构元素b对图像f
2020/9/19
2020/9/19
图 9—20 灰度腐蚀图例
正如公式(9—51)所示，腐蚀是在结构元素 定义的领域内选择(f-b)的最小值，因而，通常 对灰度图像的膨胀处理可得到两种结果： （1）如果所有的结构元素都为正，则输出图像 将趋向比输入图像暗；
2020/9/19
• （2）在比结构元素还小的区域中的明亮细节经腐 蚀处理后其效果将减弱。减弱的程度取决于环绕亮 度区域的灰度值以及结构元素自身的形状和幅值。
(9—51) 公式中 D f 和 D b 分别是 f 和 b 的定义域。平移参 数 (s+x) 和 (t+y) 必须包含在f的定义域内，
2020/9/19
与二元腐蚀的定义类似，所有的结构元素将完全包 含在与被腐蚀的集合内。还应注意到公式 (9—51) 的形式与二维相关公式相似，只是用“最小”取代 求和，用减法代替乘积。
2020/9/19
其条件是(s-x)必须在f的定义域内，x的值必须在b 的定义域内。这意味着f和b将相覆盖，即b应包含 在f内。这和二值图像膨胀定义要求的情形是类似 的，即俩个集合至少应有一个元素是相互覆盖的。 最后，与二值图像的情况不同，不是结构元素b而 是f平移。
2020/9/19
与求补、映射相关的膨胀、腐蚀是有互补性的， 即：
(f b)c(x,y)(f b)x (,y) （9—53）
其中:
fcf(x,y); b(x,y)
2020/9/19
9.4.1 膨胀 9.4.2 腐蚀 9.4.3 开和闭运算 9.4.4 灰度形态学的应用
2020/9/19
灰度图像开运算和闭运算的表达式与二值 图像相比具有相同的形式。结构元素b对图像f
2020/9/19
2020/9/19
图 9—20 灰度腐蚀图例
正如公式(9—51)所示，腐蚀是在结构元素 定义的领域内选择(f-b)的最小值，因而，通常 对灰度图像的膨胀处理可得到两种结果： （1）如果所有的结构元素都为正，则输出图像 将趋向比输入图像暗；
2020/9/19
• （2）在比结构元素还小的区域中的明亮细节经腐 蚀处理后其效果将减弱。减弱的程度取决于环绕亮 度区域的灰度值以及结构元素自身的形状和幅值。
(9—51) 公式中 D f 和 D b 分别是 f 和 b 的定义域。平移参 数 (s+x) 和 (t+y) 必须包含在f的定义域内，
2020/9/19
与二元腐蚀的定义类似，所有的结构元素将完全包 含在与被腐蚀的集合内。还应注意到公式 (9—51) 的形式与二维相关公式相似，只是用“最小”取代 求和，用减法代替乘积。
2020/9/19
其条件是(s-x)必须在f的定义域内，x的值必须在b 的定义域内。这意味着f和b将相覆盖，即b应包含 在f内。这和二值图像膨胀定义要求的情形是类似 的，即俩个集合至少应有一个元素是相互覆盖的。 最后，与二值图像的情况不同，不是结构元素b而 是f平移。
2020/9/19
数学形态学原理共80页文档
数学形态学原理
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
42、只有在人群中间，才能认识自 己。—ห้องสมุดไป่ตู้德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
42、只有在人群中间，才能认识自 己。—ห้องสมุดไป่ตู้德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
数学形态学讲解
第九章 数学形态学
主要内容：
9.1 引言 9.2 二值形态学
数学形态学又称图像代数，其基本思想：用具 有一定形态的结构元素去量度和提取图像中的 对应形状以达到对图像分析和识别目的。
数学形态学的数学基础和所用语言是集合论， 即用集合来描述图像目标，描述图像各部分 之间关系，描述目标的结构特点。
数学形态学是由一组形态学的代数运算子组 成，基本运算有：膨胀(或扩张)、腐蚀(或侵 蚀)、开启和闭合。
结构元素参与形态学运算的参考点。 参考点可包含在结构元素中，也可不包含在结构元 素中。但运算结果会不同。
选取结构元素的遵循原则：
结构元素必须在几何上比原图像简单，且有界。 一般，结构元素的尺寸要明显小于目标图像的尺寸。 当选取性质相同或相似结构元素时，以选取图像某些 特征的极限情况为宜。
结构元素的形状最好具有某种凸性，如圆形、 十字架形、方形等。
+ ++ ++ + + +
+++ +++ +++
+
解：图(c)中阴影部分表示结构元素 S的映射。
图(d)中阴影部分，蓝色部分表示集合 A；红色部分 表示为膨胀 (扩大)部分。则蓝色和红色部分合起来 就为集合 A? S。
例2：膨胀运算示例
图(a)中阴影部分为集合 A。白色部分代表灰度值为 低(一般为 0) 区域。图 (b) 中阴影部分为结构元素 S(标有“+”处为结构元素的参考点 )。 求用结构元素 S来膨胀A所得到的集合。
位移：A用x=(x1,x2)位移，记为 (A)x,定义为：
(A)x ? {y | y ? a ? x,a ? A}
主要内容：
9.1 引言 9.2 二值形态学
数学形态学又称图像代数，其基本思想：用具 有一定形态的结构元素去量度和提取图像中的 对应形状以达到对图像分析和识别目的。
数学形态学的数学基础和所用语言是集合论， 即用集合来描述图像目标，描述图像各部分 之间关系，描述目标的结构特点。
数学形态学是由一组形态学的代数运算子组 成，基本运算有：膨胀(或扩张)、腐蚀(或侵 蚀)、开启和闭合。
结构元素参与形态学运算的参考点。 参考点可包含在结构元素中，也可不包含在结构元 素中。但运算结果会不同。
选取结构元素的遵循原则：
结构元素必须在几何上比原图像简单，且有界。 一般，结构元素的尺寸要明显小于目标图像的尺寸。 当选取性质相同或相似结构元素时，以选取图像某些 特征的极限情况为宜。
结构元素的形状最好具有某种凸性，如圆形、 十字架形、方形等。
+ ++ ++ + + +
+++ +++ +++
+
解：图(c)中阴影部分表示结构元素 S的映射。
图(d)中阴影部分，蓝色部分表示集合 A；红色部分 表示为膨胀 (扩大)部分。则蓝色和红色部分合起来 就为集合 A? S。
例2：膨胀运算示例
图(a)中阴影部分为集合 A。白色部分代表灰度值为 低(一般为 0) 区域。图 (b) 中阴影部分为结构元素 S(标有“+”处为结构元素的参考点 )。 求用结构元素 S来膨胀A所得到的集合。
位移：A用x=(x1,x2)位移，记为 (A)x,定义为：
(A)x ? {y | y ? a ? x,a ? A}
数学形态学讲解
X ? S ? {y | y ? x ? s, x ? X , s ? S } X ? S ? {x | ( x ? s)? X , s ? S }
例8：用向量运算实现膨胀示例： 对于图(a)以左上角位置为 (0,0)，结构元素以“ +” 位置为参考点 (0,0)。纵向为 x轴，横向为 y轴。
(0,0)
+ + ++ + ++ +
++ + ++
解：腐蚀结果如图 (c)所示。阴影部分中，蓝色部 分表示腐蚀掉消失部分；红色部分表示为腐蚀后留 下的部分。
则图(c)红色部分就为集合 A S。
(3) 原点(即结构元素参考点 )不包含在结构元素中 时的膨胀和腐蚀
当原点不包含在结构元素中时，相应结果有所不同。 ? 对膨胀运算来说，只有 1种可能，即 A? A? S。 ? 对腐蚀运算来说，有 2种可能，或 A S? A，
例7 ：原点不包含在结构元素中时的腐蚀运算
当原点不属于结构元素 S时，腐蚀结果 A S? A。 图(a)中阴影部分为集合 A。图(b)中阴影部分为结构 元素 S(标有“ + ”处为结构元素的参考点，参考点不 在结构元素 S中)。求用结构元素 S腐蚀A所得的集合。
++
+ ++ +
+ ++ +
？
++
(c)图中红色部 分表示 (a) 图中 阴影部分集合 A 经过腐蚀后留下 的部分，即腐蚀 的最终结果。
? 位移运算 若将 X、S均看作向量，则：
膨胀的位移运算公式：
X?
S
?
例8：用向量运算实现膨胀示例： 对于图(a)以左上角位置为 (0,0)，结构元素以“ +” 位置为参考点 (0,0)。纵向为 x轴，横向为 y轴。
(0,0)
+ + ++ + ++ +
++ + ++
解：腐蚀结果如图 (c)所示。阴影部分中，蓝色部 分表示腐蚀掉消失部分；红色部分表示为腐蚀后留 下的部分。
则图(c)红色部分就为集合 A S。
(3) 原点(即结构元素参考点 )不包含在结构元素中 时的膨胀和腐蚀
当原点不包含在结构元素中时，相应结果有所不同。 ? 对膨胀运算来说，只有 1种可能，即 A? A? S。 ? 对腐蚀运算来说，有 2种可能，或 A S? A，
例7 ：原点不包含在结构元素中时的腐蚀运算
当原点不属于结构元素 S时，腐蚀结果 A S? A。 图(a)中阴影部分为集合 A。图(b)中阴影部分为结构 元素 S(标有“ + ”处为结构元素的参考点，参考点不 在结构元素 S中)。求用结构元素 S腐蚀A所得的集合。
++
+ ++ +
+ ++ +
？
++
(c)图中红色部 分表示 (a) 图中 阴影部分集合 A 经过腐蚀后留下 的部分，即腐蚀 的最终结果。
? 位移运算 若将 X、S均看作向量，则：
膨胀的位移运算公式：
X?
S
?
第9章数学形态学原理第2讲
X1A{B}(9-45)
{B}表示结构元序列，包含两个不同的结构， 每一个结构将对全部八个元素作90°的旋转，图 中的“×”表示“不用考虑”的情况，在某种意 义上，不管该位置上的值是0还是1都毫无关系。 40
许多图形学文献记载的结果都是基于类似于图9— 17(b)中单一结构的运用基础之上的，不过不同的 是，在第一列中多了“不用考虑”的状态而已。这 样的处理是不完善的。例如，这个元素将标识图 9—17(a)位于第八排，第四列作为最后一点的点， 如果减去该元素将破坏这一笔的连接性。
14
图中（a）集A包含 一个连接部分Y和 初始点P；(b)是结 构元；(c)第一次迭 代结果；(d)第二次 迭代结果；(e)最终 结果。
X k (X k 1 B ) Ak 1 ,2 ,3 ,
图 9—12 连接部分提取算法
15
9.3.4 凸壳算法（看做边界）
集合的凸壳是一个有用的图像描述工具。在 此提出一种获得集合A凸壳C(A)的简单形态学算 法。设 Bi ， i= 1,2,3,4,代表四个结构元素。 这个处理过程由下述公式实现：
30
9.3.7 骨骼化算法
利用形态学方法提取一个区域的骨格可以用腐蚀
和开运算表示。即A的骨骼记为S(A)，骨骼化可以表
示如下：
K
S(A) Sk(A)
和
K
k0
S(A ) {(A kB)[(A kB) B]}
(9—40) (9—41)
k0
其中B是结构元素， (Ak B)表示对A连续腐蚀k次；
即 A k B ( ( ( A B ) B ) ) B
41
(a)是原像，(b)和(c)是结构元素（d）细化三次的结果，
（e）端点，(f)在（a）的条件下端点的膨胀，（g）裁
{B}表示结构元序列，包含两个不同的结构， 每一个结构将对全部八个元素作90°的旋转，图 中的“×”表示“不用考虑”的情况，在某种意 义上，不管该位置上的值是0还是1都毫无关系。 40
许多图形学文献记载的结果都是基于类似于图9— 17(b)中单一结构的运用基础之上的，不过不同的 是，在第一列中多了“不用考虑”的状态而已。这 样的处理是不完善的。例如，这个元素将标识图 9—17(a)位于第八排，第四列作为最后一点的点， 如果减去该元素将破坏这一笔的连接性。
14
图中（a）集A包含 一个连接部分Y和 初始点P；(b)是结 构元；(c)第一次迭 代结果；(d)第二次 迭代结果；(e)最终 结果。
X k (X k 1 B ) Ak 1 ,2 ,3 ,
图 9—12 连接部分提取算法
15
9.3.4 凸壳算法（看做边界）
集合的凸壳是一个有用的图像描述工具。在 此提出一种获得集合A凸壳C(A)的简单形态学算 法。设 Bi ， i= 1,2,3,4,代表四个结构元素。 这个处理过程由下述公式实现：
30
9.3.7 骨骼化算法
利用形态学方法提取一个区域的骨格可以用腐蚀
和开运算表示。即A的骨骼记为S(A)，骨骼化可以表
示如下：
K
S(A) Sk(A)
和
K
k0
S(A ) {(A kB)[(A kB) B]}
(9—40) (9—41)
k0
其中B是结构元素， (Ak B)表示对A连续腐蚀k次；
即 A k B ( ( ( A B ) B ) ) B
41
(a)是原像，(b)和(c)是结构元素（d）细化三次的结果，
（e）端点，(f)在（a）的条件下端点的膨胀，（g）裁
第9章 数学形态学
LOGO
1.序言-形态学图像处理概念
MM是一门综合了多学科知识的交叉科学，尽管其理论基础 很艰深，但基本概念却比较简单。体现了逻辑推理与数学演绎 的严谨性，又具备与实践紧密相关的实验和计算技术。它涉及 微分几何、积分几何、测度论、泛函分析和随机过程等许多数 学理论，其中积分几何和随机集论是其基石。 由于描述MM的语言是集合论，可以提供一个统一而强大的 工具来处理图像分析中的问题。用MM对物体几何结构分析的 过程就是主客体相互逼近的过程，通过MM的几个基本概念和 运算，可将结构元灵活地组合、分解，并根据所得形态变换序 列达到分析得目的。
LOGO
3. 二值形态学基本算法
边界抽取 (boundary extraction) 区域填充 (region filling) 连接分量提取 (extraction of connected components) 凸壳算法 (convex hull) 细化 (thinning) 粗化 (thickening) 骨架 (skeletons) 修剪 (pruning)
尽管逻辑操作与集合操作间存在一一对应的关系，但逻辑操作只 是针对二值图像。
LOGO
逻 辑 操 作 图 形 表 示
LOGO
2. 二值形态学基本运算
膨胀 (dilation) 腐蚀 (erosion) 开和闭 (opening and closing) 击中与否变换 (hit-or-miss)
数字图像处理
武汉大学电子信息学院
LOGO
第9章 数学形态学原理
一：序言
二：基本形态运算
三：基本形态学算法
四：灰度级图像扩展
五：总结
LOGO
1.序言
形态学：通常指生物学中对动植物的形状和结构进行处理的一
1.序言-形态学图像处理概念
MM是一门综合了多学科知识的交叉科学，尽管其理论基础 很艰深，但基本概念却比较简单。体现了逻辑推理与数学演绎 的严谨性，又具备与实践紧密相关的实验和计算技术。它涉及 微分几何、积分几何、测度论、泛函分析和随机过程等许多数 学理论，其中积分几何和随机集论是其基石。 由于描述MM的语言是集合论，可以提供一个统一而强大的 工具来处理图像分析中的问题。用MM对物体几何结构分析的 过程就是主客体相互逼近的过程，通过MM的几个基本概念和 运算，可将结构元灵活地组合、分解，并根据所得形态变换序 列达到分析得目的。
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3. 二值形态学基本算法
边界抽取 (boundary extraction) 区域填充 (region filling) 连接分量提取 (extraction of connected components) 凸壳算法 (convex hull) 细化 (thinning) 粗化 (thickening) 骨架 (skeletons) 修剪 (pruning)
尽管逻辑操作与集合操作间存在一一对应的关系，但逻辑操作只 是针对二值图像。
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逻 辑 操 作 图 形 表 示
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2. 二值形态学基本运算
膨胀 (dilation) 腐蚀 (erosion) 开和闭 (opening and closing) 击中与否变换 (hit-or-miss)
数字图像处理
武汉大学电子信息学院
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第9章 数学形态学原理
一：序言
二：基本形态运算
三：基本形态学算法
四：灰度级图像扩展
五：总结
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1.序言
形态学：通常指生物学中对动植物的形状和结构进行处理的一
数学形态学原理
大为S+x，这就是膨胀运算，记为X S。若用集合语言，
它的定义为
X S = {x| S+x∪x≠ }
图中X是被处理的对象，B是结构元素，对于任意一个在 阴影部分的点a，Ba击中X，所以X被B膨胀的结果就是那个阴 影部分。阴影部分包括X的所有范围，就象X膨胀了一圈似的， 这就是为什么叫膨胀的原因。
6.2.6 由于开、闭运算是在腐蚀和膨胀运算的基础上定义的， 根据 腐蚀和膨胀运算的代数性质，我们不难得到下面的性质。
1） 对偶性 (XC○S)C = X●S ， (XC●S)C = X○S
2）扩展性（收缩性） X○S X X●S
即开运算恒使原图像缩小，而闭运算恒使原图像扩大
3） 单调性 如果X Y，
数学形态学的数学基础和所用语言是集合论，因此它 具有完备的数学基础，这为形态学用于图像分析和处理、形 态滤波器的特性分析和系统设计奠定了坚实的基础。
数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本 的形状特性，并除去不相干的结构。
数学形态学方法利用一个称作结构元素的“探针”收集 图像的信息，当探针在图像中不断移动时， 便可考察图像各 个部分之间的相互关系，从而了解图像的结构特征。
X S {x|Sx X }
X用S腐蚀的结果是所有使S平移x后仍在X中的x的集合。
换句话说，用S来腐蚀X得到的集合是S完全包括在X中时S的
原点位置的集合。
对于任意一个在阴影部分的点a，Ba 包含于X，所以X被B 腐蚀的结果就是那个阴影部分。阴影部分在X的范围之内，且 比X小，就象X被剥掉了一层似的，这就是为什么叫腐蚀的原因
二值 图像
腐蚀
膨胀
图 腐蚀与膨胀示意图
6.2.4 １．开运算
先腐蚀后膨胀称为开 对图像X及结构元素S，用符号X○S表示S对图像X作开运算
它的定义为
X S = {x| S+x∪x≠ }
图中X是被处理的对象，B是结构元素，对于任意一个在 阴影部分的点a，Ba击中X，所以X被B膨胀的结果就是那个阴 影部分。阴影部分包括X的所有范围，就象X膨胀了一圈似的， 这就是为什么叫膨胀的原因。
6.2.6 由于开、闭运算是在腐蚀和膨胀运算的基础上定义的， 根据 腐蚀和膨胀运算的代数性质，我们不难得到下面的性质。
1） 对偶性 (XC○S)C = X●S ， (XC●S)C = X○S
2）扩展性（收缩性） X○S X X●S
即开运算恒使原图像缩小，而闭运算恒使原图像扩大
3） 单调性 如果X Y，
数学形态学的数学基础和所用语言是集合论，因此它 具有完备的数学基础，这为形态学用于图像分析和处理、形 态滤波器的特性分析和系统设计奠定了坚实的基础。
数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本 的形状特性，并除去不相干的结构。
数学形态学方法利用一个称作结构元素的“探针”收集 图像的信息，当探针在图像中不断移动时， 便可考察图像各 个部分之间的相互关系，从而了解图像的结构特征。
X S {x|Sx X }
X用S腐蚀的结果是所有使S平移x后仍在X中的x的集合。
换句话说，用S来腐蚀X得到的集合是S完全包括在X中时S的
原点位置的集合。
对于任意一个在阴影部分的点a，Ba 包含于X，所以X被B 腐蚀的结果就是那个阴影部分。阴影部分在X的范围之内，且 比X小，就象X被剥掉了一层似的，这就是为什么叫腐蚀的原因
二值 图像
腐蚀
膨胀
图 腐蚀与膨胀示意图
6.2.4 １．开运算
先腐蚀后膨胀称为开 对图像X及结构元素S，用符号X○S表示S对图像X作开运算
第八章数学形态学原理
对于图像A，点a在A区域内，则a是A的元素，记为a∈A。
b a
A (a)
B
A
(b)
2. 交集、 并集和补集
A∩B A
B
A∪B
B A
AC
B A
3. 被处理的图像称为目标图像。为了确定目标图像的结构， 必须逐个考察与检验图像各部分之间的关系，最后得到一个 各部分之间关系的集合。 在考察目标图像各部分之间的关系时，需要设计一种 “结构元素”。在图像中不断移动结构元素，就可以考察图 像 之间各部分的关系。
(X○S)●S或(X●S)○S等。
形态学滤波示意图
{X [ (S ) S ] S } S(X S )● S
8.1.5 细化
在文字识别、地质构造识别、工业零件形状识别或图像 理解中，先对被处理的图像进行细化有助于突出形状特点和 减少冗余信息量。
将图像沿其中心轴线将其细化成一个像素宽的线条。 步骤： 1. 循环读取二值图像所有像素F(i,j); 2.定义函数：
Else
Picture2.PSet (i, j), RGB(0, 0, 0)
End If
Next i
Next j
8.1.3 开、闭运算
1. 膨胀和腐蚀不互为逆运算，可以级连结合使用，构造出
形态学运算族，它由膨胀和腐蚀两个运算的复合与集合操作 组合成的所有运算构成。
例如，可先对图像进行腐蚀然后膨胀其结果，称为 开运算,或先对图像进行膨胀然后腐蚀其结果,称为闭运算。 开运算和闭运算是形态学运算族中两个最为重要的组合运算。
程序演示
For x = -n \ 2 To n \ 2
If pic(i + x, j + y, 0) = 0 Then m = 1
b a
A (a)
B
A
(b)
2. 交集、 并集和补集
A∩B A
B
A∪B
B A
AC
B A
3. 被处理的图像称为目标图像。为了确定目标图像的结构， 必须逐个考察与检验图像各部分之间的关系，最后得到一个 各部分之间关系的集合。 在考察目标图像各部分之间的关系时，需要设计一种 “结构元素”。在图像中不断移动结构元素，就可以考察图 像 之间各部分的关系。
(X○S)●S或(X●S)○S等。
形态学滤波示意图
{X [ (S ) S ] S } S(X S )● S
8.1.5 细化
在文字识别、地质构造识别、工业零件形状识别或图像 理解中，先对被处理的图像进行细化有助于突出形状特点和 减少冗余信息量。
将图像沿其中心轴线将其细化成一个像素宽的线条。 步骤： 1. 循环读取二值图像所有像素F(i,j); 2.定义函数：
Else
Picture2.PSet (i, j), RGB(0, 0, 0)
End If
Next i
Next j
8.1.3 开、闭运算
1. 膨胀和腐蚀不互为逆运算，可以级连结合使用，构造出
形态学运算族，它由膨胀和腐蚀两个运算的复合与集合操作 组合成的所有运算构成。
例如，可先对图像进行腐蚀然后膨胀其结果，称为 开运算,或先对图像进行膨胀然后腐蚀其结果,称为闭运算。 开运算和闭运算是形态学运算族中两个最为重要的组合运算。
程序演示
For x = -n \ 2 To n \ 2
If pic(i + x, j + y, 0) = 0 Then m = 1
第9章数学形态学原理
* 基于数学形态学的边缘信息提取处理优于基于 微分运算的边缘提取算法，它不象微分算法对噪声 那样敏感，同时，提取的边缘也比较光滑；
* 利用数学形态学方法提取的图像骨架也比较连 续，断点少。
14
数学形态学的核心运算是击中与否变换（HM T），在定义了HMT及其基本运算膨胀（Dilation） 和腐蚀(Erosion)后，再从积分几何和体视学移植一 些概念和理论，根据图像分析的各种要求，构造出 统一的、相同的或变化很小的结构元素进行各种形 态变换。在形态算法设计中，结构元的选择十分重 要，其形状、尺寸的选择是能否有效地提取信息的 关键。
21
形态运算的质量取决于所选取的结构元和形 态变换。结构元的选择要根据具体情况来确定， 而形态运算的选择必须满足一些基本约束条件。 这些约束条件称为图像定量分析的原则。
22
9.2.1 数学形态学定量分析原则 9.2.2 数学形态学的基本定义及
基本算法
23
集合论是数学形态学的基础，在这里首先对 集合论的一些基本概念作一总结性的概括介绍。 对于形态处理的讨论,将从两个最基本的模加处 理和模减处理开始。它们是以后大多数形态处理 的基础。
24
1. 基本的定义
1）集合 具有某种性质的确定的有区别的事物的全
体。如果某种事物不存在，称为空集。集合常 用大写字母 A, B, C, … 表示，空集用 表示。
25
设 E 为一自由空间，(E) 是由集合空
间 E 所构成的幂集，集合 X , B (E) ，则
集合 X 和 B 之间的关系只能有以下3 种形式：
4
随后，J. Serra和 G. Matheron在法国共同建立了枫 丹白露（Fontainebleau）数学形态学研究中心。在 以后的几年的研究中，他们逐步建立并进一步完善 了数学形态学的理论体系，此后，又研究了基于数 学形态学的图像处理系统。
* 利用数学形态学方法提取的图像骨架也比较连 续，断点少。
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数学形态学的核心运算是击中与否变换（HM T），在定义了HMT及其基本运算膨胀（Dilation） 和腐蚀(Erosion)后，再从积分几何和体视学移植一 些概念和理论，根据图像分析的各种要求，构造出 统一的、相同的或变化很小的结构元素进行各种形 态变换。在形态算法设计中，结构元的选择十分重 要，其形状、尺寸的选择是能否有效地提取信息的 关键。
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形态运算的质量取决于所选取的结构元和形 态变换。结构元的选择要根据具体情况来确定， 而形态运算的选择必须满足一些基本约束条件。 这些约束条件称为图像定量分析的原则。
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9.2.1 数学形态学定量分析原则 9.2.2 数学形态学的基本定义及
基本算法
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集合论是数学形态学的基础，在这里首先对 集合论的一些基本概念作一总结性的概括介绍。 对于形态处理的讨论,将从两个最基本的模加处 理和模减处理开始。它们是以后大多数形态处理 的基础。
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1. 基本的定义
1）集合 具有某种性质的确定的有区别的事物的全
体。如果某种事物不存在，称为空集。集合常 用大写字母 A, B, C, … 表示，空集用 表示。
25
设 E 为一自由空间，(E) 是由集合空
间 E 所构成的幂集，集合 X , B (E) ，则
集合 X 和 B 之间的关系只能有以下3 种形式：
4
随后，J. Serra和 G. Matheron在法国共同建立了枫 丹白露（Fontainebleau）数学形态学研究中心。在 以后的几年的研究中，他们逐步建立并进一步完善 了数学形态学的理论体系，此后，又研究了基于数 学形态学的图像处理系统。
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6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
数学形态学原理
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
数学形态学原理
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左