第9章 数学形态学原理(第2讲).

与二元腐蚀的定义类似，所有的结构元素将完全包 含在与被腐蚀的集合内。还应注意到公式 (9—51) 的形式与二维相关公式相似，只是用“最小”取代 求和，用减法代替乘积。
如果只有一个变量时，我们可以用一维的腐蚀 来说明公式(9—51)的原理。此时，表达式可简化 为:
( fb)(s) min{ f (s x) b(x) (s x) Df ;(x) Db}
下面我们将用一维函数来解释公式(9—49)中 的运算原理。对于仅有一个变量的函数，公式 (9—49)可以简化为：
( f b)(s) max{f (s x) b(x) (s x) Df ; x Db}
(9—50)
在卷积中，f(-x)仅是f(x)关于x轴原点的 映射，正象卷积运算那样，相对于正的s，函 数f(s-x)将向右移，对于-s，函数f(s-x)将向 左移。
与前边二值图像形态学处理理论不同的是在 以下的讨论中我们将处理数字图像函数而不是集 合。设 f(x,y) 是输入图像，b(x,y) 是结构元素， 它可被看作是一个子图像函数。如果Z表示实整 数的集合，同时假设(x,y) 是来自ZXZ的整数，f 和b是对坐标为 (x,y) 像素灰度值的函数（来自 实数集R的实数）。如果灰度也是整数，则Z可 由整数R所代替。
数字图像处理学
第9章 数学形态学原理
（第二讲）
9.4 灰度图像的形态学处理
前边针对二值图像的形态学处理的基本运算 作了系统的介绍，这些基本算法可方便地推广至 灰度图像的处理。这一节我们将讨论对灰度图像 的基本处理，即：膨胀、腐蚀、开运算、闭运算。 由此建立一些基本的灰度形态运算法则。
这一节的重点是运用灰度形态学提取描述和表示图 像的有用成分。特别是，我们将通过形态学梯度算 子开发一种边缘提取和基于纹理的区域分割算法。 同时，我们将讨论在预处理及后处理步骤中非常有 用的平滑及增强处理算法。
其中 D f 和 Db 分别是函数f和b的定义域， 和前面一样, b是形态处理的结构元素，不过在 这儿的b是一个函数而不是一个集合。
位移参数(s-x)和(t-y)必须包含在函数f的定义域 内，此时它模仿二值膨胀运算定义。在这里两个集 合必须至少有一个元素相交叠。还可以注意到，公 式(9—48)很类似与二维卷积公式，同时，在这里 用“最大”代替卷积求和并以“相加”代替相乘。
图 9—20 灰度腐蚀图例
正如公式(9—51)所示，腐蚀是在结构元素 定义的领域内选择(f-b)的最小值，因而，通常 对灰度图像的膨胀处理可得到两种结果：
（1）如果所有的结构元素都为正，则输出图像 将趋向比输入图像暗；
▪ （2）在比结构元素还小的区域中的明亮细节经腐 蚀处理后其效果将减弱。减弱的程度取决于环绕亮 度区域的灰度值以及结构元素自身的形状和幅值。
作开运算处理，可定义为 f b ，即：
f b ( fb) b
(9—54)
如果是二值图像的情况，开运算是b对f的 简单的腐蚀操作，接下来对腐蚀的结果再进行 膨胀操作。类似的，b对f的闭运算，定义
其条件是(s-x)必须在f的定义域内，x的值必须在b 的定义域内。这意味着f和b将相覆盖，即b应包含 在f内。这和二值图像膨胀定义要求的情形是类似 的，即俩个集合至少应有一个元素是相互覆盖的。 最后，与二值图像的情况不同，不是结构元素b而 是f平移。
公式(9—49)可以使b代替f写成平移的形式。 然而，如果 Db 比 D f 小（这是实际中常见的）， 公式(9—49)所给出的形式就可在索引项中加以 简化，并可以获得同样的结果。就概念而言，在 f上滑动b和在b上滑动f是没有区别的。
膨胀是可以代换的，因而f和b相互代换的方法运
用于公式(9—49)可以用来计算 b f ，结
果都是一样的，而且b是平移函数。相反，腐蚀是 不可交换的，因而，这种函数也是不可互换的。 膨胀的例子可参见图9—19。
9—19 灰度膨胀图例
由于膨胀操作是由结构元素形状定义的邻域 中选择f+b的最大值，因而通常对灰度图像的膨胀 处理方法可得到两种结果：（1）如果所有的结构 元素都为正，则输出图像将趋向比输入图像亮； （2）黑色细节减少或去除取决于在膨胀操作中结 构元素相关的值和形状。
与求补、映射相关的膨胀、腐蚀是有互补性的，
即：
( fb)c (x, y) ( f b)(x, y) （9—53）
其中:
f c f (x, y);
b (x, y)
9.4.1 膨胀 9.4.2 腐蚀 9.4.3 开和闭运算 9.4.4 灰度形态学的应用
灰度图像开运算和闭运算的表达式与二值 图像相比具有相同的形式。结构元素b对图像f
9.4.1 膨胀 9.4.2 腐蚀 9.4.3 开和闭运算 9.4.4 灰度形态学的应用
函数b对函数f进行灰度膨胀可定义 f b ，运 算式如下：
( f b)(s,t) max{f (s x,t y) b(x, y) (s x),(t y) Df ;(x, y) Db}
(9—49)
(9—52)
在相关情况下，当s为正时，函数f(s+x)将向 右平移，当s为负时，函数f(s+x)将移向左边，同
时，要求 (s x) ຫໍສະໝຸດ BaiduD f ， x Db 意味着b将包含在
f的范围内。这一点同二值图像腐蚀定义的情况 相似，所有的结构元素将完全包含在被腐蚀的集 合内。
不同于二值图像腐蚀定义，操作中是f在平 移,而不是结构元素b在平移。公式(9—51)可以 把b写成平移函数，由于f在b上滑动同b在f上滑 动在概念上是一致的。图9—20展示了通过图 9—20(b)的结构元素腐蚀图9—20(a)函数的结 果。
9.4.1 膨胀 9.4.2 腐蚀 9.4.3 开和闭运算 9.4.4 灰度形态学的应用
灰度图像的腐蚀定义为 fb ，其运算公式为：
( fb)(s,t) min{ f (s x,t y) b(x, y) (s x),(t y) Df ;(x, y) Db}
(9—51) 公式中 D f 和 Db 分别是 f 和 b 的定义域。平移参 数 (s+x) 和 (t+y) 必须包含在f的定义域内，