数字图像处理第9章数学形态学原理(2)

合集下载

数字图像处理要点简述详述

第一.二章.采样，量化，数字图像的表示基本的数字图像处理系统系统的层次结构I 应用程序 I 开发工具操作系统设备驱动程序I硬件I图像处理的主要任务：图像获取与数字化图像增强图像恢复图像重建图像变换图像编码与压缩图像分割特点：(1) 处理精度高。

(2) 重现性能好。

(3) 灵活性髙1•图像的数字化包括两个主要步骤：离散和量化2. 在数字图像领域，将图像看成是许多大小相同、形状一致的像素组成3. 为便于数字存储和计算机处理可以通过数模转换(A/D)将连续图像变为数字图像。

4•数字化包括取样和量化两个过程：取样：对空间连续坐标(x,y)的离散化量化：幅值f(x,y)的离散化(使连续信号的幅度用有限级的数码表示的过程。

)5.数字化图像所需的主要硬件：♦采样孔、图像扫描机构、光传感器、量化器、输岀存储体6•取样和量化的结果是一个矩阵 7.其中矩阵中的每个元素代表一个邃塞8•存储一幅图像的数据量又空间分辨率和幅度分辨率决定 9•灵敏度、分辨率、信噪比是三大指标第三章，傅里叶变换，DCT变换，WHT•余弦型变换：•傅里叶变换(DFT)和余弦变换(DCT)O•方波型变换：•沃尔什•哈达玛变换(DWT)1•二维连续傅里叶正反变换:F(u,v)= I f f(x.y)eJ_oc J_ocf g y)= \f F(u, v)ej27r(nA+vv)dwdvJ —oo J —oo二维离散傅里叶变换：M — 1 N — I=乏疋 Fgg 宀SS)if=o v=O。

F(u, v)即为f (x, y)的频谱。

频谱的直流成分说明在频谱原点的傅里叶变换尸(0,0)等于图像的平均灰度级卷积定理：/(x,y)*^(x, y)= ss /O, n)g(x 一 m, y~n)/?/=() n=02•二维离散余弦变换(DCT)一维离散余弦变换：EO)=%)岳gfg 芈严其中 c®=怜 ""DCT 逆变换为F(u.v)=1~MN A =0 y=02 A r -1/(«)=咅 C(0) + \1三工 F (gsn(2n +1)« ~~2N3•—维沃尔什变换核g （W ）：1 X_JL£（乂申）=丄口（一 1）®（”）為一】一心）＜N i=o• 厂、Cn 7V--1 ^T-l码3》=卡吝 /G 〉耳(—1)635—一 3«JC> =牙中 O )n (—O务i二维：•正变换: 1 N —l. N —!■H —1护(“*) = —X X /X%」)口( — 1)4(5—373$一_W] N 宜 U • JO■逆变换二1 AT-l JV-l 片_]/（X.y ）=丄 £ 乞疗（心巧口弟-i -心）JN 為 v=o ~。

数字图像处理第九章

(1)A是A B的子集。
(2)如果C是D的子集，
则C B是D B的子集。
(3)(A B) B=A B
则C B是D B的子集。
(3)(A B) B=A B
多次开操作或闭操作没有影响，只能用一次
二值形态学中的运算对象是集合。设A为图像集合，B为结构元/结构元素，数学形态学运算是用B对A进行操作。需要指出，实际上结构元素本身也是一个图像集合。对每个结构元素可以指定一个原点，它是结构元素参与形态学运算的参考点。应注意，原点可以包含在结构元素中，也可以不包含在结构元素中，但运算的结果常不相同。二值形态学中两个最基本的运算是腐蚀与膨涨开操作:先用B对A腐蚀，然后再用B对结果进行膨胀闭操作:先用B对A膨胀，然后再用B对结果进行腐蚀
使用3x3的结构元素:提取的边界宽度为1个像素使用5x5的结构元素:提取的边界宽度为2~3个像素
• 使用迭代法进行区域填充/孔洞填充：
X k X k 1 B Ac
区域填充
k = 1,2,3,... Xk=Xk-1，则算法在迭代的第k步结束
初始点条件膨胀：如果对上述公式的左部不加限制，则膨胀将填充整个区域。利用与Ac的交集将结果限制在感兴趣区域内，实现条件膨胀
多个目标孔洞的填充
第一个点填充的结果
难点:如何判断黑点是球体内部的点还是背景点? ——智能填充
连通分量的提取
令Y表示一个包含于集合A中的连通分量，并假设Y 中的一个点p是已知的。用下列迭代式生成Y的所有元素： Xk Xk1 B A
k 1,2,3,...
x0=p，如果Xk=Xk-1，算法收敛，令Y=Xk 区域填充：寻找背景点连通分量的提取：寻找前景点

数字图像处理_第九章_形态学图像处理

A X ( AB1 ) ( AcB2 )
B1在A内找到匹配 B2在AC中找到匹配根据腐蚀与膨胀间的对偶关系
A B ( AB1 ) ( Ac B2 )
以上3个公式叫形态学上的击中或击不中变换。
数字图像处理
Chapter 9 Morphological Image Processing
C A B D A B
AC {w | w A} A的补：
A B {w | w , A B} A BC
ˆ {w | w b, b B} 集合B的反对 B
集合A平移到点 z ( z1 , z 2 )
，表示为(A)z
(A)z {c | c a z, a A}
数字图像处理
Chapter 9 Morphological Image Processing
9.1 序言图9.1为集合论基本概念图示
数字图像处理
Chapter 9 Morphological Image Processing
9.1 序言图9.2为平移、反射图示
数字图像处理Байду номын сангаас
Chapter 9 Morphological Image Processing
数字图像处理
Chapter 9 Morphological Image Processing
9.5 一些基本的形态学算法
9.5.5 细化
A B=A-(A*B)=A (A*B)C {B}={B1 ,B2 ,B3 ...Bn }
Bi是Bi-1旋转后的形式更有用的形式： A {B}=((...((A B1 ) B2 )...) Bn
A B ( A B)B

数字图像处理复习提纲

3.数字图像处理的内容不包括（） A．图像数字化 B.图像增强 C.图像分割 D.数字图像存储
4. 图像分辨率的单位dpi表示单位长度（）上包含的像素数目。 A．米 B.厘米 C. 寸 D.英寸
5.一幅大小为16*16，灰度级为2的图像，像素点有（）个 A．256 B. 512 C. 1024
第2章 matlab软件 • 熟悉matlab界面：命令窗口、工作间、命令历史窗口、路
素少的灰度级，使灰度直方图均衡分布。
histeq,adapthisteq 2.直方图规定化：将直方图按照参考图像的直方图进行均衡化
[hgram,x]=imhist(I1);
J=histeq(I,hgram) ; • 图像增强：突出有用的特征，便于分析和处理。
方法：直方图均衡化、图像平滑、图像锐化和伪彩色处理
• hold on/off
• grid on/off • 格式化：title，text, legend, label • 特殊字符：: \pi, \omega, \Theta, ^2
第4章 matlab工具箱 • 浏览工具箱：菜单栏-主页-？-image processing toolbox • 图像类型：RGB图像，索引图像，灰度图像，二值图像 • 各种图像的数据结构 • 图像的数据类型：uint8,uint16,double,im2double • 图像类型转换：rgb2gray; ind2rgb, rgb2ind; ind2gray,
• Fourier, DFT，FFT
• fft2, ifft2 • fftshift的作用 • 傅里叶变换的幅度谱和相位谱 • fft高频和低频滤波，字符识别 • 为什么引入DCT?保持傅里叶变换的功能有减少数据量。 • DCT主要用于图像压缩。

第9章数学形态学原理第2讲教学案例

2020/9/19
与求补、映射相关的膨胀、腐蚀是有互补性的，即：
(f b)c(x,y)(f b)x (,y) （9—53）
其中:
fcf(x,y); b(x,y)
2020/9/19
9.4.1 膨胀 9.4.2 腐蚀 9.4.3 开和闭运算 9.4.4 灰度形态学的应用
2020/9/19
灰度图像开运算和闭运算的表达式与二值图像相比具有相同的形式。结构元素b对图像f
2020/9/19
2020/9/19
图 9—20 灰度腐蚀图例
正如公式(9—51)所示，腐蚀是在结构元素定义的领域内选择(f-b)的最小值，因而，通常对灰度图像的膨胀处理可得到两种结果：（1）如果所有的结构元素都为正，则输出图像将趋向比输入图像暗；
2020/9/19
• （2）在比结构元素还小的区域中的明亮细节经腐蚀处理后其效果将减弱。减弱的程度取决于环绕亮度区域的灰度值以及结构元素自身的形状和幅值。
(9—51) 公式中 D f 和 D b 分别是 f 和 b 的定义域。平移参数 (s+x) 和 (t+y) 必须包含在f的定义域内，
2020/9/19
与二元腐蚀的定义类似，所有的结构元素将完全包含在与被腐蚀的集合内。还应注意到公式 (9—51) 的形式与二维相关公式相似，只是用“最小”取代求和，用减法代替乘积。
2020/9/19
其条件是(s-x)必须在f的定义域内，x的值必须在b 的定义域内。这意味着f和b将相覆盖，即b应包含在f内。这和二值图像膨胀定义要求的情形是类似的，即俩个集合至少应有一个元素是相互覆盖的。最后，与二值图像的情况不同，不是结构元素b而是f平移。
2020/9/19

遥感数字图像处理-第9章感兴趣目标及对象提取

算都是以组合的方式出现，所以可以对图像进行闭-开运算或开-闭运算。
11
三、对象提取
遥感图像中的对象即遥感图像上具有相同特征（如光谱、纹理和空间组合关系等特征）的“同质均一”单元，“同质均一”不仅体现在光谱域上，也体现在空间域上。图像分割并经二值图像处理之后，虽然提取出了“同质均一”的各目标单元，但得到的结果仍然是二值图像，所有的目标单元像元值均为1。
当存在多个连通域时还需将各个连通域分开来单独分析其属性，因此需对各目标单元进行识别并赋以单独的编号（即贴标签）。同时，为了方便对对象的形态特征进行分析，还需将各目标单元进行矢量化，以提取各目标单元的封闭边界轮廓。
12
第9章
感兴趣目标及对象提取
感兴趣目标及对象提取
一、图像分割二、二值图像处理三、对象提取难点：形态学分水岭分割过程重点：图像分割方法
2
一、图像分割
图像分割是指从图像中将某个特定区域与其它部分进行分离并提取出来的处理，即把“前景目标”从“背景”中提取出来，通常也称之为图像的二值化处理，主要包括：阈值法、边界分割法、区域提取法、形态学分水岭分割。
同样，八连通是指当前目标像元在其八近邻中存在同类像元。所以，四连通成立的时候，八连通一定成立；但八连通成立，四连通不一定成立。
连通域（a）四连通；（b）八连通
9
二、二值图像处理
3）内部点和边界点在每个连通域中，与背景相邻接的点称为边界点，与背景
不邻接的点称为内部点。在四连通定义下，如果当前目标像元的八近邻像元中没有背景像元，则该像元为内部点；反之，为边界点。在八连通定义下，如果当前目标像元的四近邻像元中没有背景像元，则该像元为内部点；反之，为边界点。
分水岭分割示意图

胡学龙《数字图像处理(第二版)》课后习题解答

2
1．PHOTOSHOP：当今世界上一流的图像设计与制作工具，其优越性能令其产品望尘莫及。PHOTOSHOP 已成为出版界中图像处理的专业标准。高版本的 P扫描仪、数码相机等图像输入设备采集的图像。PHOTOSHOP 支持多图层的工作方式，只是 PHOTOSHOP 的最大特色。使用图层功能可以很方便地编辑和修改图像，使平面设计充满创意。利用 PHOTOSHOP 还可以方便地对图像进行各种平面处理、绘制简单的几何图形、对文字进行艺术加工、进行图像格式和颜色模式的转换、改变图像的尺寸和分辨率、制作网页图像等。
1.5 常见的数字图像处理开发工具有哪些？各有什么特点？答．目前图像处理系统开发的主流工具为 Visual C++（面向对象可视化集成工具）和 MATLAB 的图像处理工具箱（Image Processing Tool box）。两种开发工具各有所长且有相互间的软件接口。 Microsoft 公司的 VC++是一种具有高度综合性能的面向对象可视化集成工具，用它开发出来的 Win 32 程序有着运行速度快、可移植能力强等优点。VC++所提供的 Microsoft 基础类库 MFC 对大部分与用户设计有关的 Win 32 应用程序接口 API 进行了封装，提高了代码的可重用性，大大缩短了应用程序开发周期，降低了开发成本。由于图像格式多且复杂，为了减轻程序员将主要精力放在特定问题的图像处理算法上，VC++ 6.0 提供的动态链接库 ImageLoad.dll 支持 BMP、JPG、TIF 等常用 6 种格式的读写功能。 MATLAB 的图像处理工具箱 MATLAB 是由 MathWorks 公司推出的用于数值计算的有力工具，是一种第四代计算机语言，它具有相当强大的矩阵运算和操作功能，力求使人们摆脱繁杂的程序代码。MATLAB 图像处理工具箱提供了丰富的图像处理函数，灵活运用这些函数可以完成大部分图像处理工作，从而大大节省编写低层算法代码的时间，避免程序设计中的重复劳动。MATLAB 图像处理工具箱涵盖了在工程实践中经常遇到的图像处理手段和算法，如图形句柄、图像的表示、图像变换、二维滤波器、图像增强、四叉树分解域边缘检测、二值图像处理、小波分析、分形几何、图形用户界面等。但是，MATLAB 也存在不足之处限制了其在图像处理软件中实际应用。首先，强大的功能只能在安装有 MATLAB 系统的机器上使用图像处理工具箱中的函数或自编的 m 文件来实现。其次，MATLAB 使用行解释方式执行代码，执行速度很慢。第三，MATLAB 擅长矩阵运算，但对于循环处理和图形界面的处理不及 C++等语言。为此，通应用程序接口 API 和编译器与其他高级语言（如 C、 C++、Java 等）混合编程将会发挥各种程序设计语言之长协同完成图像处理任务。API 支持 MATLAB 与外部数据与程序的交互。编译器产生独立于 MATLAB 环境的程序，从而使其他语言的应用程序使用 MATLAB。

数学形态学原理(第2讲)

整理课件
图9—14(a)是一组用于细化的结构元素，图9—14(b)为用上述方法细化的集合A 。图 9—14(c)示出用 B 1 细化A得到的结果，图9— 14(d)-(k)为用其它结构元素细化的结果。当
第二次通过B 4时收敛。图9—14(k)示出细化的
结果。
整理课件
图 9—14 细化处理
整理课件
X k i ( X k i 1 B i) Ai 1 ,2 ,3 ,4k 1 ,2 ,3
其中
X
i 0
A 。现令
Di
Xi conv
,下标“conv”
表示当时收敛。那么，A的凸壳为
4
C(A) D i
i 1
(9—34)
整理课件
这个过程包括对A和B1重复使用击中（hit）或击不中（miss)变换；当没有进一步的变化发生时，求A和所谓的结果D1并集。对B2重复此过程直到没有进一步的变化为止。四个结果D的并构成了A的凸壳。
样。最后，X3 和 X1 的并生成了最后的结果：
X4 X1X3
正如图9—17(g)中所示。
整理课件
假定所有的非边界元素均标为0，我们把一个值1赋给P开始这个过程。下述过程将把这个区域用1来填充：
X k (X k 1 B ) A c k 1 ,2 ,3 ( 9—31)
其中，X0 P ，B为对称结构元素，如图所示。
当和
k A
迭代到 Xk Xk1 时，算法终止。集合X
的并集包括填充的集合和边界。
整理课件
9.3.1边缘提取算法
集合A的边界记为 (A)，可以通过下述算法提
取边缘：设B是一个合适的结构元素，首先令A被B 腐蚀，然后求集合A和它的腐蚀的差。如下式所示：

数字图像处理总复习(14)(1)

将M幅图像相加求平均利用了M幅图像中同一位置的M个像素的平均值，用一个n*n的模板进行平滑滤波利用了同一幅图像中的n*n个像素的平均值。因为参与的像素个数越多，消除噪声的能力越强，所以如果M>n*n，则前者消除噪声的效果较好，反之则后者消除噪声的效果较好。
2.图像锐化与图像平滑有何区别与联系？
第三章（不考计算题）频域滤波的物理含义傅立叶变换性质频域滤波的基本方法
第四章灰度基本变换（线形、非线性）直方图处理（定义、直方图规定化、均衡化）算术逻辑运算（帧差分，帧平均）空间滤波（均值、中值、KNN）同态滤波（滤波流程）边缘检测（一阶，二阶，循环卷积）图像锐化与图像平滑真彩色图像处理与伪彩色图像处理
第一章图像数字图像处理灰度图像的概念图像工程定义分类图像的表达图像文件格式bmp文件第二章视觉感知要素图像采样和量化颜色模型像素之间的基本关系邻接连通距离度量第三章不考计算题频域滤波的物理含义傅立叶变换性质频域滤波的基本方法第四章灰度基本变换线形非线性直方图处理定义直方图规定化均衡化算术逻辑运算帧差分帧平均空间滤波均值中值knn同态滤波滤波流程边缘检测一阶二阶循环卷积图像锐化与图像平滑真彩色图像处理与伪彩色图像处理第五章图像编码与压缩不考计算图像编码的基本概念图像编码的方法第六章图像恢复颜色模型第七章图像分割图像的阈值分割图像的梯度分割图像边缘检测第八章目标的表达和描述目标表达目标的描述第九章形态学运算膨胀腐蚀开运算闭运算?除电磁波谱图像外按成像来源进行划分的话常见的计算机图像还包三种类型
8. 直方图修正有哪两种方法？二者有何主要区别于联系？
方法：直方图均衡化和直方图规定化。
区别：直方图均衡化得到的结果是整幅图对比度的增强，但一些较暗的区域有些细节仍不太清楚，直方图规定化处理用规定化函数在高灰度区域较大，所以变换的结果图像比均衡化更亮、细节更为清晰。联系：都是以概率论为基础的，通过改变直方图的形状来达到增强图像对比度的效果。

第9章数学形态学原理

* 基于数学形态学的边缘信息提取处理优于基于微分运算的边缘提取算法，它不象微分算法对噪声那样敏感，同时，提取的边缘也比较光滑；
* 利用数学形态学方法提取的图像骨架也比较连续，断点少。
14
数学形态学的核心运算是击中与否变换（HM T），在定义了HMT及其基本运算膨胀（Dilation）和腐蚀(Erosion)后，再从积分几何和体视学移植一些概念和理论，根据图像分析的各种要求，构造出统一的、相同的或变化很小的结构元素进行各种形态变换。在形态算法设计中，结构元的选择十分重要，其形状、尺寸的选择是能否有效地提取信息的关键。
21
形态运算的质量取决于所选取的结构元和形态变换。结构元的选择要根据具体情况来确定，而形态运算的选择必须满足一些基本约束条件。这些约束条件称为图像定量分析的原则。
22
9.2.1 数学形态学定量分析原则 9.2.2 数学形态学的基本定义及
基本算法
23
集合论是数学形态学的基础，在这里首先对集合论的一些基本概念作一总结性的概括介绍。对于形态处理的讨论,将从两个最基本的模加处理和模减处理开始。它们是以后大多数形态处理的基础。
24
1. 基本的定义
1）集合具有某种性质的确定的有区别的事物的全
体。如果某种事物不存在，称为空集。集合常用大写字母 A, B, C, … 表示，空集用表示。
25
设 E 为一自由空间，(E) 是由集合空
间 E 所构成的幂集，集合 X , B (E) ，则
集合 X 和 B 之间的关系只能有以下3 种形式：
4
随后，J. Serra和 G. Matheron在法国共同建立了枫丹白露（Fontainebleau）数学形态学研究中心。在以后的几年的研究中，他们逐步建立并进一步完善了数学形态学的理论体系，此后，又研究了基于数学形态学的图像处理系统。

(2021年整理)遥感数字图像处理-要点

遥感数字图像处理-要点编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（遥感数字图像处理-要点）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为遥感数字图像处理-要点的全部内容。

遥感数字图像处理—要点1．概论遥感、遥感过程遥感图像、遥感数字图像、遥感图像的数据量遥感图像的数字化、采样和量化通用遥感数据格式（BSQ、BIL、BIP）遥感图像的模型：多光谱空间遥感图像的信息内容：遥感数字图像处理、遥感数字图像处理的内容遥感图像的获取方式主要有哪几种？如何估计一幅遥感图像的存储空间大小？遥感图像的信息内容包括哪几个方面?多光谱空间中,像元点的坐标值的含义是什么？与通用图像处理技术比较，遥感数字图像处理有何特点？遥感数字图像处理包括那几个环节?各环节的处理目的是什么?2。

遥感图像的统计特征2。

1图像空间的统计量灰度直方图：概念、类型、性质、应用最大值、最小值、均值、方差的意义2.2多光谱空间的统计特征均值向量、协方差矩阵、相关系数、相关矩阵的概念及意义波段散点图概念及分析主要遥感图像的统计特征量的意义两个重要的图像分析工具：直方图、散点图3。

遥感数字图像增强处理图像增强：概念、方法空间域增强、频率域增强3.1辐射增强：概念、实现原理直方图修正，线性变换、分段线性变换算法原理直方图均衡化、直方图匹配的应用3。

2空间增强邻域、邻域运算、模板、模板运算空间增强的概念平滑（均值滤波、中值滤波）原理、特点、应用锐化、边缘增强概念方向模板、罗伯特算子、索伯尔算子、拉普拉斯算子的算法和特点•计算图像经过下列操作后，其中心象元的值：–3×3中值滤波–采用3×3平滑图像的减平滑边缘增强–域值为2的3×1平滑模板–Sobel边缘检测–Roberts边缘检测–模板3.3频率域处理高频和低频的意义图像的傅里叶频谱频率域增强的一般过程频率域低通滤波频率域高通滤波同态滤波的应用3。

数学形态学

数字图像处理中的形态学（摘自某文献，因为贴图的数目有限制，后面的公式图片没有能够上，电脑重装后文档已经找不到了，囧）一引言数学形态学是一门建立在集论基础上的学科，是几何形态学分析和描述的有力工具。

数学形态学的历史可回溯到19世纪。

1964年法国的Matheron和Serra在积分几何的研究成果上，将数学形态学引入图像处理领域，并研制了基于数学形态学的图像处理系统。

1982年出版的专著《Image Analysis and Mathematical Morphology》是数学形态学发展的重要里程碑，表明数学形态学在理论上趋于完备及应用上不断深入。

数学形态学蓬勃发展，由于其并行快速，易于硬件实现，已引起了人们的广泛关注。

目前，数学形态学已在计算机视觉、信号处理与图像分析、模式识别、计算方法与数据处理等方面得到了极为广泛的应用。

数学形态学可以用来解决抑制噪声、特征提取、边缘检测、图像分割、形状识别、纹理分析、图像恢复与重建、图像压缩等图像处理问题。

该文将主要对数学形态学的基本理论及其在图像处理中的应用进行综述。

二数学形态学的定义和分类数学形态学是以形态结构元素为基础对图像进行分析的数学工具。

它的基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。

数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特征，并除去不相干的结构。

数学形态学的基本运算有4个：膨胀、腐蚀、开启和闭合。

它们在二值图像中和灰度图像中各有特点。

基于这些基本运算还可以推导和组合成各种数学形态学实用算法。

（1）二值形态学数学形态学中二值图像的形态变换是一种针对集合的处理过程。

其形态算子的实质是表达物体或形状的集合与结构元素间的相互作用，结构元素的形状就决定了这种运算所提取的信号的形状信息。

形态学图像处理是在图像中移动一个结构元素，然后将结构元素与下面的二值图像进行交、并等集合运算。

基本的形态运算是腐蚀和膨胀。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

与前边二值图像形态学处理理论不同的是在
以下的讨论中我们将处理数字图像函数而不是集
合。设 f(x,y) 是输入图像，b(x,y) 是结构元素，
它可被看作是一个子图像函数。如果Z表示实整
数的集合，同时假设(x,y) 是来自ZXZ的整数，f
和b是对坐标为 (x,y) 像素灰度值的函数（来自
实数集R的实数）。如果灰度也是整数，则Z可由整数R所代替。
用于公式(9—49)可以用来计算
b f
，结
果都是一样的，而且b是平移函数。相反，腐蚀是
不可交换的，因而，这种函数也是不可互换的。
膨胀的例子可参见图9—19。
9—19 灰度膨胀图例
由于膨胀操作是由结构元素形状定义的邻域中选择f+b的最大值，因而通常对灰度图像的膨胀
处理方法可得到两种结果：
（1）如果所有的结构元素都为正，则输出图像将趋向比输入图像亮；（2）黑色细节减少或去除取决于在膨胀操作中结构元素相关的值和形状。
(9—51) 公式中 D f 和 Db 分别是 f 和 b 的定义域。平移参
数 (s+x) 和 (t+y) 必须包含在f的定义域内，
与二元腐蚀的定义类似，所有的结构元素将完全包含在与被腐蚀的集合内。还应注意到公式 (9—51)的形式与二维相关公式相似，只是用“最小”取代求和，用减法代替乘积。
对灰度图像的膨胀处理可得到两种结果：
（1）如果所有的结构元素都为正，则输出图像将趋向比输入图像暗；
（2）在比结构元素还小的区域中的明亮细节经腐蚀处理后其效果将减弱。减弱的程度取决于环绕亮度区域的灰度值以及结构元素自身的形状和幅值。
与求补、映射相关的膨胀、腐蚀是有互补性的，即：
( fb) c ( x, y ) ( f b)(x, y )
公式 (9 — 49) 可以使 b 代替 f 写成平移的形式。然而，如果 Db 比 D f 小（这是实际中常见的），公式(9 —49) 所给出的形式就可在索引项中加以简化，并可以获得同样的结果。就概念而言，在 f上滑动b和在b上滑动f是没有区别的。
膨胀是可以代换的，因而f和b相互代换的方法运
“最大”代替卷积求和并以“相加”代替相乘。
下面我们将用一维函数来解释公式(9—49)中的运算原理。对于仅有一个变量的函数，公式 (9—49)可以简化为：
( f b)( s ) max{ f ( s x) b( x) ( s x) D f ; x Db }
(9—50)
在卷积中， f(-x) 仅是 f(x) 关于 x 轴原点的映射，如卷积运算那样，相对于正的 s，函数
其中:

（9—53）
f f ( x, y);
c
b ( x, y)

9.4.1 膨胀
9.4.2 腐蚀 9.4.3 开和闭运算 9.4.4 灰度形态学的应用
灰度图像开运算和闭运算的表达式与二值
数字图像处理学
第9章数学形态学原理
（第二讲）
9.4 灰度图像的形态学处理
针对二值图像的形态学处理的基本运算作了系统的介绍，这些基本算法可方便地推广至灰度图像的处理。讨论对灰度图像的基本处理，即：膨胀、腐蚀、开运算、闭运算。由此建立一些基本的灰度形态
运算法则。
这一节的重点是运用灰度形态学提取描述和表示图像的有用成分。特别是，我们将通过形态学梯度算子开发一种边缘提取和基于纹理的区域分割算法。同时，我们将讨论在预处理及后处理步骤中非常有用的平滑及增强处理算法。
如果只有一个变量时，可以用一维的腐蚀来说明公式(9—51)的原理。此时，表达式可简化为:
( fb)( s ) min{ f ( s x) b( x) ( s x) D f ; ( x) Db }
(9—52)
在相关情况下，当s为正时，函数f(s+x)将向右平移，当s为负时，函数f(s+x)将移向左边，同时，要求 (s x) D f ， x Db 意味着b将包含在 f的范围内。这一点同二值图像腐蚀定义的情况相似，所有的结构元素将完全包含在被腐蚀的集合内。
f(s-x)将向右移，对于-s，函数f(s-x)将向左
移。
其条件是 (s-x) 必须在 f 的定义域内， x 的值必须在 b
的定义域内。这意味着f和b将相覆盖，即b应包含在
f内。这和二值图像膨胀定义要求的情形是类似的，即两个集合至少应有一个元素是相互覆盖的。最后，与二值图像的情况不同，不是结构元素 b 而是 f 平移。
9.4.1 膨胀
9.4.2 腐蚀 9.4.3 开和闭运算 9.4.4 灰度形态学的应用
函数b对函数f进行灰度膨胀可定义
算式如下：
f
，运
( f b)( s, t ) max{ f ( s x, t y ) b( x, y ) ( s x), (t y ) D f ; ( x, y ) Db }
不同于二值图像腐蚀定义，操作中是f在平
移,而不是结构元素b在平移。公式(9—51)可以
把b写成平移函数，由于f在b上滑动同b在f上滑
动在概念上是一致的。图9—20展示了通过图
9—20(b)的结构元素腐蚀图9—20(a)函数的结
果。
图 9—20 灰度腐蚀图例
正如公式(9—51)所示，腐蚀是在结构元素定义的领域内选择(f-b)的最小值，因而，通常
9.4.1 膨胀
9.4.2 腐蚀 9.4.3 开和闭运算 9.4.4 灰度形态学的应用
灰度图像的腐蚀定义为
fb
，其运算公式为：
( fb)( s, t ) min{ f ( s x, t y ) b( x, y ) ( s x), (t y ) D f ; ( x, y ) Db }
(9—49)
其中 D f 和
Db 分别是函数f和b的定义域，
和前面一样, b是形态处理的结构元素，不过在这儿的b是一个函数而不是一个集合。
位移参数(s-x)和(t-y)必须包含在函数f的定义域
内，此时它模仿二值膨胀运算定义。在这里两个集
合必须至少有一个元素相交叠。还可以注意到，公
式(9—48)很类似于二维卷积公式，同时，在这里用