数字图像处理第9章 数学形态学原理(2)

与前边二值图像形态学处理理论不同的是在
以下的讨论中我们将处理数字图像函数而不是集
合。设 f(x,y) 是输入图像，b(x,y) 是结构元素，
它可被看作是一个子图像函数。如果Z表示实整
数的集合，同时假设(x,y) 是来自ZXZ的整数，f
和b是对坐标为 (x,y) 像素灰度值的函数（来自
实数集R的实数）。如果灰度也是整数，则Z可 由整数R所代替。
用于公式(9—49)可以用来计算
b f
，结
果都是一样的，而且b是平移函数。相反，腐蚀是
不可交换的，因而，这种函数也是不可互换的。
膨胀的例子可参见图9—19。
9—19 灰度膨胀图例
由于膨胀操作是由结构元素形状定义的邻域 中选择f+b的最大值，因而通常对灰度图像的膨胀
处理方法可得到两种结果：
（1）如果所有的结构元素都为正，则输出图像将 趋向比输入图像亮； （2）黑色细节减少或去除取决于在膨胀操作中结 构元素相关的值和形状。
(9—51) 公式中 D f 和 Db 分别是 f 和 b 的定义域。平移参
数 (s+x) 和 (t+y) 必须包含在f的定义域内，
与二元腐蚀的定义类似，所有的结构元素将 完全包含在与被腐蚀的集合内。还应注意到 公式 (9—51)的形式与二维相关公式相似， 只是用“最小”取代求和，用减法代替乘积。
对灰度图像的膨胀处理可得到两种结果：
（1）如果所有的结构元素都为正，则输出图像 将趋向比输入图像暗；
（2）在比结构元素还小的区域中的明亮细节 经腐蚀处理后其效果将减弱。减弱的程度取 决于环绕亮度区域的灰度值以及结构元素自 身的形状和幅值。
与求补、映射相关的膨胀、腐蚀是有互补性的， 即：
( fb) c ( x, y ) ( f b)(x, y )
公式 (9 — 49) 可以使 b 代替 f 写成平移的形式。 然而，如果 Db 比 D f 小（这是实际中常见的）， 公式(9 —49) 所给出的形式就可在索引项中加以 简化，并可以获得同样的结果。就概念而言，在 f上滑动b和在b上滑动f是没有区别的。
膨胀是可以代换的，因而f和b相互代换的方法运
“最大”代替卷积求和并以“相加”代替相乘。
下面我们将用一维函数来解释公式(9—49)中 的运算原理。对于仅有一个变量的函数，公式 (9—49)可以简化为：
( f b)( s ) max{ f ( s x) b( x) ( s x) D f ; x Db }
(9—50)
在卷积中， f(-x) 仅是 f(x) 关于 x 轴原点的 映射，如卷积运算那样，相对于正的 s，函数
其中:

（9—53）
f f ( x, y);
c
b ( x, y)

9.4.1 膨胀
9.4.2 腐蚀 9.4.3 开和闭运算 9.4.4 灰度形态学的应用
灰度图像开运算和闭运算的表达式与二值
数字图像处理学
第9章 数学形态学原理
（第二讲）
9.4 灰度图像的形态学处理
针对二值图像的形态学处理的基本运算作了系统 的介绍，这些基本算法可方便地推广至灰度图像 的处理。 讨论对灰度图像的基本处理，即：膨胀、腐蚀、 开运算、闭运算。由此建立一些基本的灰度形态
运算法则。
这一节的重点是运用灰度形态学提取描述和表示 图像的有用成分。特别是，我们将通过形态学梯 度算子开发一种边缘提取和基于纹理的区域分割 算法。同时，我们将讨论在预处理及后处理步骤 中非常有用的平滑及增强处理算法。
如果只有一个变量时，可以用一维的腐蚀来说 明公式(9—51)的原理。此时，表达式可简化为:
( fb)( s ) min{ f ( s x) b( x) ( s x) D f ; ( x) Db }
(9—52)
在相关情况下，当s为正时，函数f(s+x)将向 右平移，当s为负时，函数f(s+x)将移向左边，同 时，要求 (s x) D f ， x Db 意味着b将包含在 f的范围内。这一点同二值图像腐蚀定义的情况 相似，所有的结构元素将完全包含在被腐蚀的集 合内。
f(s-x)将向右移，对于-s，函数f(s-x)将向左
移。
其条件是 (s-x) 必须在 f 的定义域内， x 的值必须在 b
的定义域内。这意味着f和b将相覆盖，即b应包含在
f内。这和二值图像膨胀定义要求的情形是类似的， 即两个集合至少应有一个元素是相互覆盖的。最后， 与二值图像的情况不同，不是结构元素 b 而是 f 平移。
9.4.1 膨胀
9.4.2 腐蚀 9.4.3 开和闭运算 9.4.4 灰度形态学的应用
函数b对函数f进行灰度膨胀可定义
算式如下：
f
，运
( f b)( s, t ) max{ f ( s x, t y ) b( x, y ) ( s x), (t y ) D f ; ( x, y ) Db }
不同于二值图像腐蚀定义，操作中是f在平
移,而不是结构元素b在平移。公式(9—51)可以
把b写成平移函数，由于f在b上滑动同b在f上滑
动在概念上是一致的。图9—20展示了通过图
9—20(b)的结构元素腐蚀图9—20(a)函数的结
果。
图 9—20 灰度腐蚀图例
正如公式(9—51)所示，腐蚀是在结构元素 定义的领域内选择(f-b)的最小值，因而，通常
9.4.1 膨胀
9.4.2 腐蚀 9.4.3 开和闭运算 9.4.4 灰度形态学的应用
灰度图像的腐蚀定义为
fb
，其运算公式为：
( fb)( s, t ) min{ f ( s x, t y ) b( x, y ) ( s x), (t y ) D f ; ( x, y ) Db }
(9—49)
其中 D f 和
Db 分别是函数f和b的定义域，
和前面一样, b是形态处理的结构元素，不过在 这儿的b是一个函数而不是一个集合。
位移参数(s-x)和(t-y)必须包含在函数f的定义域
内，此时它模仿二值膨胀运算定义。在这里两个集
合必须至少有一个元素相交叠。还可以注意到，公
式(9—48)很类似于二维卷积公式，同时，在这里用