新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题
浙教版八年级上册数学第1章 三角形的初步知识含答案
浙教版八年级上册数学第1章三角形的初步知识含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图所示，矩形ABCD中，AE平分交BC于E，，则下面的结论：①是等边三角形；②；③；④，其中正确结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2、如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC．若∠A=60°，∠B=80°，则∠CDE 的度数是( )A.20°B.30°C.35°D.40°3、如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（）A.40°B.30°C.50°D.60°4、如图，点D,E分别在AB、AC上，BE,CD相交于点F，设S四边形EADF ＝S1， S△BDF ＝S2， S△BCF＝S3， S△CEF＝S4，则S1S3与S2S4的大小关系是( )A.不能确定B.S1S3＜S2S4C.S1S3＝S2S4D.S1S3＞S2S45、如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（）A.54°B.60°C.66°D.76°6、小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（）去．A.第1块B.第2块C.第3块D.第4块7、如图，在中，，，若将沿CD折叠，使B 点落在AC 边上的E处，则的度数是A.30 0B.40 0C.50 0D.55 08、含30°角的直角三角板与直线l1、l2的位置关系如图所示，已知l1∥l2，∠ACD=∠A，则∠1=（）A.70°B.60°C.40°D.30°9、如图，已知△ABC中，AD=BD，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）A. B.4 C.2 D.510、如图是李老师在黑板上演示的尺规作图及其步骤，已知钝角，尺规作图及步骤如下：步骤一：以点为圆心，为半径画弧；步骤二：以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点；步骤三：连接，交延长线于点．下面是四位同学对其做出的判断：小明说：；小华说：；小强说：；小方说：．则下列说法正确的是（）A.只有小明说得对B.小华和小强说的都对C.小强和小方说的都不对D.小明和小方说的都对11、如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠COD＝25°，则∠AOB等于（）A.50°B.75°C.100°D.120°12、如图，△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=8，DE=3，则△BCE的面积等于（）A.11B.8C.12D.313、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：6，则此三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判断14、如图，在△ABC中，∠A=α，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且∠1+∠2=120°，则∠EDF的度数为（）A.120°+αB.120°－αC.240°－αD.α-60°15、如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．若CD＝2，AB＝7，则△ABD的面积为（）A.3.5B.7C.14D.28二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=110°，则∠A=________°．17、如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=5，则点P到AB的距离是________．18、如图，点O是△ABC的外心，∠A=50°，则∠OBC=________°．19、如图所示，已知△ABC≌△DFE，AB=4cm，BC=6cm，AC=5cm，CF=2cm，∠A=70°，∠B=65°，则∠D=________°，∠F=________°，DE=________，BE=________．20、如图，若△OAD≌△OBC，且∠O=75o，∠C=10o，则∠OAD=________°.21、如图，已知直线与x轴、y轴分别交于两点，点P是以为圆心，2为半径的圆上一动点，连接，，则的面积最大值是________．22、如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使得点B落在AB边上的点D处，此时点A的对应点E恰好落在BC边的延长线上，若∠B＝50°，则∠A的度数为________．23、如图，已知△OAB≌△OCD，∠A=30°，∠AOB=105°，则∠D=________°．24、如图，点A，B，C在上，点D在内，则________．（填“>”，“=”或“<”）25、如图，AB∥CD，∠A=56°，∠C=27°，则∠E的度数为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简．27、甲、乙、丙、丁、戊五个人在运动会上分获百米、二百米、跳高、跳远和铅球冠军，有四个人猜测比赛结果：A说：乙获铅球冠军，丁获跳高冠军．B说：甲获百米冠军，戊获跳远冠军．C说：丙获跳远冠军，丁获二百米冠军．D说：乙获跳高冠军，戊获铅球冠军．其中每个人都只说对一句，说错一句．求五人各获哪项冠军．28、已知：如图，∠1+∠2=180°，∠3=100°，OK平分∠DOH，求∠KOH的度数．29、如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求证：BE=CD．30、如图所示，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF）左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，求∠ABC+∠DFE的度数。
浙教版八年级数学上册课件：专题1三角形的初步知识
题型四 全等三角形的概念与性质
典例 如图5，已知△ABE≌△ACD，则下列选项中不正确的等
式为 A．AB＝AC
( D)
B．∠BAE＝∠CAD
C．BE＝DC
D．AD＝DE
【点悟】 (1)全等三角形的对应边相 等，对应角相等；(2)找对应元素不要找错． 图5
变式跟进 4.如图6，△ABC≌△DEF，∠A＝50°，∠B＝
(2)∠DAE＝12(∠B－∠C)． 理由：由(1)可知∠DAE＝∠BAE－∠BAD， ∠BAE＝12∠BAC，∠BAD＝90°－∠B， ∴∠DAE＝12∠BAC－(90°－∠B) ＝12(180°－∠B－∠C)－(90°－∠B)＝12(∠B－∠C)．
【点悟】 (1)三角形的内角和等于180°与三角形的一个外角等 于和它不相邻两个内角的和是解决三角形的角度计算的基本根 据；(2)由此题得出一个重要的结论：从三角形的一个顶点作高 线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角的差的一 半．
法判定△AOC≌△BOC的是
( D)
A．∠3＝∠4 C．AO＝BO
图18 B．∠A＝∠B D．AC＝BC
变式跟进 11.在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的
是
(B )
A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F
B．AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠D
C．AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E
D．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF
图11
解：(1)证明：∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ECB， 在△DAC 和△ECB 中，A∠DD＝ACC＝ E，∠ECB，
AC＝CB，
∴△DAC≌△ECB(SAS)；
(2)∵CA平分∠BCD，
∴∠ECB＝∠DCA，且由(1)可知∠DAC＝∠ECB，
新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题
新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题本文介绍了八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》的知识点及典型例题。
其中，三角形按角分类分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边的关系可分为等腰三角形、等边三角形和普通三角形。
文章还介绍了三角形的内角和定理、角平分线、重要线段中线和高线的定义、命题和证明步骤。
此外，文章还讲解了全等三角形、尺规作图、线段垂直平分线和角平分线的性质，以及如何利用这些知识点计算角度和线段长度。
最后，文章列举了八个考点，包括判断三条线段能否组成三角形、求三角形的某一边长或周长的取值范围、证明三角形全等等。
例题部分也包括了两个问题的解答。
1、正确画出AC边上的高的是（C）。
2、工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（B）三角形具有稳定性。
3、不能唯一作出直角三角形的是（C）已知一锐角及其邻边。
4、已知AD、BE、CF是△ABC的三条中线，相交于点O，设△BDO面积为1，则S△ABC=（6）。
5、在图中，由于AB=CD。
AD=BC，所以△ABO≌△CDO，△ABO与△CDO的对应顶点分别为AO和CO，所以全等三角形的对数为1，选项A。
6、根据中线定理可知，DF=EF=BF=AF=1/2AC，所以四边形DCEF是平行四边形，面积为AC的一半，即22.5cm，选项B。
7、根据角平分线定理可知，BP/PC=AB/AC，所以BP/AB=PC/AC，由此可得△BPC与△ABC相似，所以∠BPC=2∠A，选项A。
8、由于BD是BC边上的垂直平分线，所以BD=DC=4，由勾股定理可得AD=3，所以AB=5，所以ΔABD的周长为12，选项D。
9、将三角形按照图中的方式编号，可以发现只有第3块的形状与原来的三角形相同，所以应该带第3块去。
10、以B为顶点的外角为∠ABC=180°-∠A=130°，以C为顶点的外角为∠ACB=180°-∠A=130°，由于外角和等于360°，所以两个外角的平分线的夹角为130°/2=65°，选项A。
浙教版八年级上册数学第1章 三角形的初步知识含答案(附解析)
浙教版八年级上册数学第1章三角形的初步知识含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、用A，B，C分别表示学校、小明家、小红家，已知学校在小明家的南偏东25°，小红家在小明家正东，小红家在学校北偏东35°，则∠ACB等于（）A.35°B.55°C.60°D.65°2、如图，∠MON=90°，点B在射线ON上且OB=2，点A在射线OM上，以AB为边在∠MON内部作正方形ABCD，其对角线AC、BD交于点P．在点A从O点出发，沿射线OM的运动过程中，下列说法正确的是（）A.点P始终在∠MON的平分线上，且线段OP的长有最小值等于B.点P始终在∠MON的平分线上，且线段OP的长有最大值等于C.点P不一定在∠MON的平分线上，但线段OP的长有最小值等于D.点P运动路径无法确定3、图中是形状、大小都相同的两个长方形，第一个长方形的阴影面积为m，第二个长方形的阴影面积为n，则m与n关系为（）A.m＞nB.m=nC.m＜nD.不确定4、如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO=GP，则的值是（）A. B. C. D.5、如图，点A，B，C在一次函数y=﹣2x+m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（）A.1B.3C.3（m﹣1）D.6、已知三角形的两边长分别为1和4，则第三边长可能是（）A.3B.4C.5D.67、如图，正方形ABCD边长为6，E是BC的中点，连接AE，以AE为边在正方形内部作∠EAF=45°，边交于点，连接，则下列说法中：① ；② ；③tan∠AFE=3；④ 正确的有( )A.①②③B.②④C.①④D.②③④8、如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，AB∥DE，∠B＝78º，∠C＝60º，则∠EDC的度数为（）A.78ºB.60ºC.42ºD.80º9、如图，中，是角平分线，是中的中线，若的面积是，，，则的面积是（）A.15B.12C.7.5D.610、如图，使△ABC≌△ADC成立的条件是（）A.AB=AD，∠B=∠DB.AB=AD，∠ACB=∠ACDC.BC=DC，∠BAC=∠DAC D.AB=AD，∠BAC=∠DAC11、如图，，是的直径，，是的弦，且，与交于点，连接，若，则的度数是（）A.20°B.30°C.40°D.50°12、如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（）A.2B.3C.5D.2.513、平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边x的取值范围为（）A.4＜x＜6B.2＜x＜8C.0＜x＜10D.0＜x＜614、已知等腰三角形的底边长为a，底边上的高为h，用直尺和圆规作这个等腰三角形时，甲同学的作法是：先作底边BC＝a，再作BC的垂直平分线MN 交BC于点D，并在DM上截取DA＝h，最后连结AB、AC，则△ABC即为所求作的等腰三角形；乙同学的作法是：先作高AD＝h，再过点D作AD的垂线MN，并在MN上截取BC＝a，最后连结AB、AC，则△ABC即为所求作的等腰三角形．对于甲乙两同学的作法，下列判断正确是（）A.甲正确，乙错误B.甲错误，乙正确C.甲、乙均正确D.甲、乙均错误15、对于任意三角形的高，下列说法错误的是（）A.锐角三角形有三条高B.直角三角形只有一条高C.任意三角形都有三条高D.钝角三角形有两条高在三角形的外部二、填空题(共10题，共计30分)16、如图， AB = 4cm ，AC = BD = 3cm . ∠CAB = ∠DBA ，点 P 在线段 AB 上以1cm / s 的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动.设运动时间为t(s) ，则当点Q 的运动速度为________cm / s 时， DACP 与DBPQ 全等.17、已知：如图，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于D，则下列结论：①∠C=72°；②BD是∠ABC的平分线；③△ABD是等腰三角形；④△BCD是等腰三角形，其中正确的有________18、如图，在中，为B上一点，AD=DC=BC，且∠A=30°,AD=5，则B=________．19、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠ADE＝________°．20、如图，矩形ABCD中，直线MN垂直平分AC，与CD，AB分别交于点M，N．若DM＝2，CM＝3，则矩形的对角线AC的长为________．21、如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥DA于Q，PQ＝3，EP＝1，则DA的长是________.22、如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=________°．23、如图，一副三角尺△ABC与△ADE的两条斜边在一条直线上，直尺的一边GF∥AC，则∠DFG的度数为________.24、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．则下面结论中①DA平分∠EDF；②AE=AF，DE=DF；③AD上的点到B、C两点距离相等；④图中共有3对全等三角形，正确的有：________ ．25、在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，则与∠C相邻的外角为________°．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图：△ABC中，BO、CO平分∠ABC和∠ACB，若∠A=50°，求∠BOC的度数．27、若一个三角形的两边分别为2和8,而第三边长为奇数,求此三角形的周长.28、如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝22°，∠2＝28°，求∠3的度数.29、如图，在和中，已知，求证：AD是的平分线．30、如图，点P在线段AB的垂直平分线上，PC⊥PA，PD⊥PB，AC=BD．求证：点P在线段CD的垂直平分线上．以下为证明过程，请在括号内填写出理论依据．∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PB=PA，（）∵PC⊥PA，PD⊥PB，∴∠DPB=∠CPA=90°．在R△DPB和Rt△CPA中，∴Rt△DPB≌Rt△CPA（）∴PD=PC（）∴点P在线段CD的垂直平分线．（）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、A3、B4、B5、B6、B7、D8、C9、C10、D12、B13、B14、A15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、28、29、30、。
浙教版八上数学第一章 三角形的初步知识 单元练习卷(含答案)
浙教版八上数学第一章一、单选题1．下列生活实例中，利用了“三角形稳定性”的是（ ）A．B．C．D．2．如图，△ABC≌△EBD，AB=4cm，BD=7cm，则CE的长度为（ ）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠A角平分线，DE⊥AB于点E，CD=2，BC=6，则BE=（ ）A．2B．22C．23D．64．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）作法：①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于1DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；2③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度，得到△ADE，且AD⊥BC．若∠CAE=45°，∠E=60°，则∠BAC的大小是（ ）A．60°B．65°C．75°D．95°6．如图，已知锐角∠AOB，根据以下要求作图．（1）在射线OA上取点C和点E，以点O为圆心，OC，OE的长为半径画弧，分别交射线OB于点D，F；（2）连接CF，DE交于点P．则下列结论错误的是（ ）A．CE＝DFB．点P在∠AOB的平分线上C．PE＝PFD．若∠AOB＝60°，则∠CPD＝120°7．三边长度都是整数的三角形称为整数边三角形，若一个三角形的最长边长为8，则满足条件的整数边三角形共有（ ）A．8个B．10个C．12个D．20个8．如图所示，在△ABC中，点O是∠BCA与∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离OD是（ ）A．1B．2C．3D．49．如右图，将△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，若∠1=129°，则∠2的度数为（ ）A．49°B．50°C．51°D．52°10．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90∘；②∠ADE=∠CDE；③DE=BE；④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（ ）A．①②④B．①②③C．③④D．①③二、填空题11．已知三角形的三边长分别是2、7、x，且x为奇数，则x= ．12．“两直线平行，同位角相等”是 命题（真、假）．13．如图，在△ABC中，∠BDC=125°，如果∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，那么∠A= 度．14．在△ABC中，BD平分∠ABC，如果AB=12，BC=8，△ABD的面积为24，则△CBD的面积为 15．如图，在Rt△ABC中，DE是斜边AB的垂直平分线，连接BD，若∠CBD=26°，则∠A= 度.16．如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC=7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 cm．三、解答题17．如图，在△ABC中，∠ADB＝∠ABD，∠DAC＝∠DCA，∠BAD＝32°，求∠BAC的度数．18．如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．19．如图，△ABC中，∠ABC=30°，∠ACB=50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）∠BAC的度数为______，∠DAF的度数为______；（2）若△DAF的周长为20，求BC的长．20．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D为AB的中点．点P在线段BC上以3cm/s 的速度由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段CA上以acm/s的速度由点C出发向终点A运动，设点P的运动时间为ts．（1）求CP的长；（用含t的式子表示）（2）若以C、P、Q为顶点的三角形和以B，D，P为顶点的三角形全等，且∠B和∠C是对应角，求t，a 的值．21．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的1，我们称这两个角互为“和谐角”，这个2三角形叫做“和谐三角形” .例如：在△ABC中，如果∠A=70°,∠B=35°，那么∠A与∠B互为“和谐角”，△ABC为“和谐三角形”.问题1：如图1，△ABC中，∠ACB=90°,∠A=60°，点D是线段 A BB 上一点（不与A、B 重合），连接CD（1）如图1，△ABC 是“和谐三角形”吗？为什么？（2）如图1，若CD⊥AB，则△ACD、△BCD是“和谐三角形” 吗？为什么？（3）问题2：如图2，△ABC 中，∠ACB＝60°，∠A＝80°，点 D 是线段AB 上一点（不与A、B 重合），连接CD，若△ACD 是“和谐三角形”，求∠ACD 的度数．22．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）23．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°.求证：DA=DC.思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题.结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明.（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC=60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请直接写出线段AB、CE、BC之间的数量关系.答案解析部分1．【答案】B2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】C8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】A11．【答案】712．【答案】真13．【答案】7014．【答案】1615．【答案】3216．【答案】2317．【答案】解：在三角形ABD中，（180°﹣32°）＝74°，∠ADB＝∠ABD＝12在三角形ADC中，∠ADB＝37°，∠DAC＝∠DCA＝12∴∠BAC＝∠DAC+∠BAD＝37°+32°＝69°．18．【答案】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠FBE=∠2+∠FBE，即∠ABE=∠CBF在△ABE与△CBF中，{AC=CB∠ABE=∠CBFBE=BF∴△ABE≌△CBF（SAS）．19．【答案】（1）100°，20°；（2）20．20．【答案】（1）CP =(8﹣3t )cm（2）t =43,a =154或t =1，a =321．【答案】（1）解：ΔABC 是“和谐三角形”，理由如下：∵∠ACB =90°，∠A =60°，∴∠B =30°，∴∠B =12∠A ，∴ΔABC 是“和谐三角形”；（2）解：ΔACD 、ΔBCD 是“和谐三角形”，理由如下：∵∠ACB =90°，∠A =60°，∴∠B =30°，∵CD ⊥AB ，∴∠ADC =∠BDC =90°，∴∠ACD =30°，∠BCD =60°．在ΔACD 中，∵∠A =60°，∠ACD =30°，∴∠ACD =12∠A ，∴ΔACD 为和谐三角形”；在ΔBCD 中，∵∠BCD =60°，∠B =30°，∴∠B =12∠BCD ，∴ΔBCD 为和谐三角形”；（3）解：若ΔACD 是“和谐三角形”，由于点D 是线段AB 上一点（不与A 、B 重合），则∠ACD =12∠A 或∠ACD =12∠ADC ．当∠ACD =12∠A 时，∠ACD =12∠A =40°；当∠ACD =12∠ADC 时，∠A +3∠ACD =180°，即3∠ACD =100°，∴∠ACD =100°3．综上，∠ACD 的度数为40°或100°3．22．【答案】（1）解：如图，∵∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D ，∠1+∠A+∠C=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°（2）解：∵∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F ，∠1+∠A+∠C+∠D=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°（3）解：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=180×5+180=1080°．23．【答案】（1）解：方法1：在 BC 上截 BM =BA ，连接 DM ，如图.∵BD 平分 ∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD .在 ΔABD 和 ΔMBD 中， {BD =BD∠ABD =∠MBD BA =BM ，∴ΔABD≌ΔMBD ，∴∠A =∠BMD ， AD =MD .∵∠BMD +∠CMD =180° ， ∠C +∠A =180° .∴∠C =∠CMD .∴DM =DC ，∴DA =DC .方法2：延长 BA 到点N ，使得 BN =BC ，连接 DN ，如图.∵BD 平分 ∠ABC ，∴∠NBD =∠CBD .在 ΔNBD 和 ΔCBD 中， {BD =BD∠NBD =∠CBD BN =BC ，∴ΔNBD≌ΔCBD .∴∠BND =∠C ， ND =CD .∵∠NAD +∠BAD =180° ，∠C +∠BAD =180° .∴∠BND =∠NAD ，∴DN =DA ，∴DA =DC .（2）解： AB 、 BC 、 BD 之间的数量关系为： AB +BC =BD . （或者： BD ―CB =AB ， BD ―AB =CB ）.延长 CB 到点P ，使 BP =BA ，连接 AP ，如图2所示.由（1）可知 AD =CD ，∵∠DAC =60° .∴ΔADC 为等边三角形.∴AC =AD ， ∠ADC =60° .∵∠BCD +∠BAD =180° ，∴∠ABC =360°―180°―60°=120° .∴∠PBA =180°―∠ABC =60° .∵BP =BA ，∴ΔABP 为等边三角形.∴∠PAB =60° ， AB =AP .∵∠DAC =60° ，∴∠PAB +∠BAC =∠DAC +∠BAC ，即 ∠PAC =∠BAD .在 ΔPAC 和 ΔBAD 中， {PA =BA∠PAC =∠BAD AC =AD ，∴ΔPAC≌ΔBAD .∴PC =BD ，∵PC =BP +BC =AB +BC ，∴AB +BC =BD .（3）BC ―AB =2CE。
浙教版-8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》1.1 认识三角形(2)-每日好题挑选
浙教版-8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》1.1认识三角形（二）-每日好题挑选【例1】已知P是△ABC内任意一点。
（1）如图1，求证：AB+AC>PB+PC；（2）如图2，连接PA，比较12（AB+AC+BC）与PA+PB+PC的大小关系。
【例2】利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出3种方法)?【例3】如图，A,B是边长为1的小正方形组成的网格中的两个格点，在格点中任意放置点C，恰好能使的ΔABC的面积为的2点的个数为。
【例4】如图,在△ABC中（AB>BC），AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长。
【例5】已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，（1）求∠BAC的度数；（2）△ABC是什么三角形。
【例6】（1）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD⊥BC于D，且AE平分∠BAC，求∠EAD的度数；（2）上题中若∠B=40°，∠C=80°改为∠C＞∠B，其他条件不变，请你求出∠EAD与∠B、∠C之间的数列关系？并说明理由。
【例7】在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求:（1）△ABC的面积；（2）CD的长；（3）作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积；（4）作出△BCD的边BC边上的高DF，当BD=11cm时，试求出DF的长。
【例8】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足为E，F，CG是AB边上的高线。
（1）试猜想线段DE，DF，CG之间存在着怎样的等量关系，并说明理由；（2）若点D在底边的延长线上，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由。
浙教八上数学期末复习一 三角形的初步知识
期末复习一三角形的初步知识一、必备知识1．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于．2．三角形的内角和为，外角和为；三角形的外角等于的两个内角之和．3．角平分线上的点到的距离相等；线段垂直平分线上的点到的距离相等．4 .两三角形全等的判定：SSS，SAS，ASA，.直角三角形特有的判定：．二、防范点1．三角形外角注意“不相邻”；2．全等注意“SAS”中，A为夹角；3．尺规作图时注意三角形的角平分线、中线、高线均为线段；钝角三角形高线不要画错．例题精析知识点一三角形边、角之间的关系例1 （1）下列各线段中，能组成三角形的是（）A．a＝6.3，b＝6.3，c＝12.6B．a＝1，b＝2，c＝3C．a＝2.3，b＝3，c＝5D．a＝6，b＝8，c＝16（2）在△ABC中，AB=3，BC=7，则AC的长x的取值范围是．（3）三角形两边长为3cm，7cm，且第三边为奇数，则三角形的最大周长是．（4）三角形的三边长分别为5，1+2x，8，则x的取值范围是．（5）已知a，b，c是三角形的三边长，化简：a-b+c-a-b-c= ．【反思】解题的关键是能正确运用三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．例2 （1）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，则∠A的度数为．（2）将一副三角尺按如图所示的方式叠放（两条直角边重合），则∠α的度数是．（3）如左下图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠A=37°，∠B的度数是.（4）如右上图，D 、E 、F 分别是△ABC 三边延长线上的点，则∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3= 度．【反思】掌握三角形内角和等于180°，一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．知识点二 三角形的角平分线、中线、高线的综合应用例3 （1）如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，CH 、CM 分别是斜边AB 上的高和中线，则下列结论正确的是（ ）A ．CM=BCB ．CB=21AB C ．∠ACM=30°D ．CH ·AB=AC ·BC（2）AE 是△ABC 的角平分线，AD ⊥BC 于点D ，若∠BAC=130°，∠C=30°，则∠DAE 的度数是 ．（3）已知AD 是△ABC 的中线，且△ABD 比△ACD 的周长大3cm ，则AB 与AC 的差为 ．（4）如图，△ABC 中，点D 在BC 上且BD=2DC ，点E 是AC 中点，已知△CDE 面积为1，那么△ABC 的面积为 ．【反思】角平分线、中线、高线是三角形中重要的线段，计算过程中往往要用到它们的性质． 角平分线可知两个角相等，角平分线上的点到角两边的距离相等；中线平分对边，也平分三角形的面积；高线往往可得角度为90°，并有时可用面积法解决问题．知识点三 定义与命题相关概念例4 （1）下列语句不是命题的是（ ）A ．对顶角相等B ．连结AB ，并延长至点CC ．内错角相等D ．同角的余角相等（2）将下列命题写成“如果……那么……”的形式．①一个锐角的补角大于这个角的余角；②异号两数相加得零．（3）判断下列命题是真命题还是假命题．①如果ab ＝0，那么a ＝0；②若a 是有理数，则a2＋1>0；③1是质数；④两条直线相交，只有一个交点；⑤同位角相等．【反思】命题是由条件和结论两部分组成，判断是否是命题不是看语句是否正确，而是看语句是否有判断． 说明一个命题是真命题要用证明的方法，而说明一个命题是假命题只要举一个反例即可．知识点四 三角形全等及全等的综合运用例5 在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B ，F ，C ，E 在同一直线上），并写出四个条件：①AB ＝DE ，②BF ＝EC ，③∠B ＝∠E ，④∠1＝∠2.请你从这四个条件中选出三个作为已知条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．已知条件： ．结论： （均填写序号）．证明：【反思】证明三角形全等要用到SSS ，SAS ，ASA ，AAS ，HL 这些方法，在运用这些方法证明的过程中要注意条件的合理性，不要乱用条件．例6 （重庆中考）在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝60°，点D 是线段BC 的中点，∠EDF ＝120°，DE 与线段AB 相交于点E ，DF 与线段AC （或AC 的延长线）相交于点F.（1）如图1，若DF ⊥AC ，垂足为F ，AB ＝4，求BE 的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF 绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于点F. 求证：BE ＋CF ＝21AB ； （3）如图3，将（2）中的∠EDF 继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交于点F ，作DN ⊥AC 于点N ，若DN ＝FN ，求证：BE ＋CF ＝3（BE －CF ）．【反思】从特殊到一般，第（2）小题以第（1）小题为启发，构造两三角形全等．旋转类题不变的是三角形全等．例7 如图，一次函数y ＝－32x ＋2的图象分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为边在第一象限内作等腰Rt △ABC ，∠BAC ＝90°.（1）求C 点坐标；（2）求过B 、C 两点直线的解析式；（3）在坐标平面内求一点D ，使△ABD 与△ABC 全等． 直接写出所有点D 的坐标；（4）在y 轴上求一点P ，使△APB 的面积与△ABC 的面积相等． 直接写出所有点P 的坐标．【反思】第（4）小题可以BP 为底，OA 为高，也可过C 作CP ∥AB ，求出CP 的解析式y ＝－32x ＋319，从而得P （0，319），再寻求另一点P （0，－37）． 校内练习1．若三角形三个内角的度数之比为2∶3∶5，则这个三角形一定是 三角形．2．如图，△ABC 中，点D 在BA 的延长线上，DE ∥BC ，如果∠BAC=65°，∠C=30°，那么∠BDE 的度数是 ．3． 如图，直线l 1∥l 2，且分别与△ABC 的两边AB 、AC 相交，若∠A=40°，∠1=45°，则∠2的度数为 ．4．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连结BD．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．5．在梯形ABCD中，AD∥BC，连结AC，且AC=BC，在对角线AC上取点E，使CE=AD，连结BE．（1）求证：△DAC≌△ECB；（2）若CA平分∠BCD，且AD=3，求BE的长．6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：（1）FC＝AD；（2）AB＝BC＋AD.7．平面直角坐标系中，如图1，直线AB交x轴于点B，交y轴于点A（0，2），∠ABO＝30°，直线AC与直线AB关于y轴对称．（1）分别求出直线AB、直线AC的解析式；（2）点E、F分别在线段AB、AC上，若∠EOF＝60°，计算BE＋CF的值；（3）若点E、F分别在射线BA、射线AC上，∠EOF＝60°，直接写出线段BE、CF、BC 三者的数量关系式．答案期末复习一 三角形的初步知识【必备知识与防范点】1. 第三边2. 180° 360° 与它不相邻3. 角两边 线段两端4. AAS HL【例题精析】例1 （1）C （2）4＜x ＜10 （3）19cm （4）1＜x ＜6 （5）2a-2b例2 （1）40° （2）75° （3）23° （4）180例3 （1）D （2）5° （3）3cm （4）6例4 （1）B （2）①如果一个角是锐角，那么这个角的补角大于这个角的余角． ②如果两个数异号，那么这两个数相加得零．（3）②④为真命题，①③⑤为假命题．例5 答案不唯一，如：已知条件：①，②，③结论：④证明：∵BF ＝CE ，∴BF ＋CF ＝EC ＋CF ，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴∠1＝∠2.例6 （1）1； （2）过D 作DG ⊥AB 于G ，DN ⊥AC 于N ，易证：∴△DEG ≌△DFN ，故EG ＝FN ，∴BE ＋CF ＝BG ＋GE ＋CN －NF ＝2BG ＝BD ＝21AB ； （3）过D 作DG ⊥AB 于G ，易证：∴△DEG ≌△DFN ，故EG ＝FN ，∴BE ＋CF ＝BG ＋GE ＋NF －CN ＝2EG ，BE －CF ＝BG ＋GE －NF ＋CN ＝2BG ，又∵DN ＝FN ，∴EG ＝DG ＝3BG ，即BE ＋CF ＝3（BE －CF ）．例7 （1）C （5，3）； （2）y ＝51x ＋2； （3）D （2，5）或D （－2，－1）或D （1，－3）；（4）P （0，319）或（0，－37）． 【校内练习】1. 直角2. 95°3. 95°4.（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD ，∴∠BAD=∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB=AC ，∠BAD=∠CAE ，AD=AE ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ）．（2）BD=CE ，BD ⊥CE ，理由如下：由（1）知，△BAD ≌△CAE ，∴BD=CE ；∵△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD=∠ACE ，∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，则BD ⊥CE ．5.（1）∵AD ∥BC ，∴∠DAC=∠ECB ，在△DAC 和△ECB 中，AD=CE ，∠DAC=∠ECB ，AC=BC ，∴△DAC ≌△ECB （SAS ）；（2）∵CA 平分∠BCD ，∴∠ECB=∠DCA ，且由（1）可知∠DAC=∠ECB ，∴∠DAC=∠DCA ，∴CD=DA=3，又∵由（1）可得△DAC ≌△ECB ，∴BE=CD=3．6.（1）证△AED ≌△FEC （AAS ），∴FC ＝AD ；（2）证△ABE ≌△FBE （SAS ）得AB ＝BF ＝BC ＋CF ＝BC ＋AD.7. （1）由A （0，2），∠ABO ＝30°，得BO ＝23，B （－23，0），直线AB ：y ＝33x ＋2. 由对称性得C （23，0），直线AC ：y ＝－33x ＋2.（2）过O 作OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，由对称性可得OA 是∠BAC 的平分线，∴∠BAO ＝∠OAC ＝60°，OM ＝ON ，∴∠MON ＝60°，∵∠EOF ＝60°，∴∠EOM ＝∠FON ，而∠OME ＝∠ONF ＝90°，∴△OME ≌△ONF ，∴EM ＝NF ，∴BE ＋CF ＝BM ＋CN ，∵∠ABO ＝30°，BO ＝23，∴BM ＝3，同理CN ＝3，∴BE ＋CF ＝6.（3）当F 在线段AC 上时，BE ＋CF ＝6＝23BC ，故BE ＋CF ＝23BC ，当F 在线段AC 延长线上时，如图2，∵∠EOF ＝60°，容易证得△OME ≌△ONF ，∴BE ＝BM ＋ME ＝BM ＋NF ＝BM ＋CN ＋CF ＝3＋3＋CF ，∴BE －CF ＝6＝23BC ，故BE －CF ＝23BC.。
8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》1.3证明(2)与三角形外角性质有关的证明
浙教版-8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》1.3证明（2）与三角形外角性质有关的证明【知识点-部分】一、三角形的内角和定理及推论：1、三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；推论：由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论；推论可以当做定理使用。
2、三角形内角和定理的推论：推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
二、辅助线：1、当问题的条件不够用、不够集中时，需添加辅助线，构造新图形，形成新关系，找到已知与未知的联系，把问题转化成已经会解的情况，我们把在原图上添加的线叫做辅助线。
注：（1）辅助线通常画为虚线；（2）添加辅助线往往结合学习过的定理或概念。
【典型例题-精选部分】【例1】如图所示，∠A，∠1，∠2的从大到小关系是。
【例2】如图，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，则∠E的度数为。
【例3】如图，在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE的平分线交于点O，且∠BOC＝40°，则∠A的度数为。
【例4】将一把直尺与一块三角尺如图放置，若∠1＝45°，则∠2的度数为。
【例5】将一副三角尺如图叠放，则图中∠α＝°。
【例6】如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在外的处，折痕为DE。
如果，，，那么下列式子中正确的是（）A、B、C、D、【例7】已知：如图，∠ADE＝∠A＋∠B，求证：DE∥BC。
【例8】如图，已知四边形ABDC，求证：∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C。
【例9】如图,∠B=36∘,∠D=50∘，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，AM交BC于点R，CM交AD于点Q，BC与AD交于点P，求∠M的度数。
【例10】如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB=∠ABC。
（1）图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB、BE于D、F两点，求证：∠EFD=∠ADC；（2）图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB、BE的延长线于D、F两点，试探究（1）中结论是否仍成立?为什么?【例11】已知：如图一：△ABC 中，BO 平分∠ABC，CO 平分外角∠ACD。
浙教版八年级上册数学第一章三角形的初步知识知识点及典型例题.docx
三角形的初步知识1百度文库- 让每个人平等地提升自我浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题知识框图锐角三角形朱国林三角形的分类按角分类直角三角形钝角三角形边的关系任意两边之和第三边；任意两边之差第三边性质三角形的内角和等于；三角形的一个外角和它不相邻的两个内角的和角的关系三角形的一个外角和它不相邻的任意一个内角角平分线交点的位置重要线段中线将一个三角形分成面积相等的两部分高线三角形高线的位置定义真命题命题假命题判断命题是假命题，只需要举一个相关概念基本事实定理推论三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和就是由三角形的内角和定理推出来的一般型证明只需要在“证明：”中写出推理过程证明（1）按题意画出图形文字型证明的步骤（2）结合图形，写出已知和求证（3）在“证明：”中写出推理过程性质用来求线段、角度全等三角形判定SSSSASASA AAS要特别注意：是否有公共角及公共边基本作图作一条线段等于已知线段尺规作图作一个角等于已知角作角的平分线理论依据： SSS 定理作线段的垂直平分线作三角形根据 SSS、 SAS、ASA 作三角形线段垂直平分线的性质理论依据： SAS 定理相关知识角平分线的性质理论依据： AAS 定理百度文库 - 让每个人平等地提升自我考点一、判断三条段能否成三角形考点二、求三角形的某一或周的取范考点三、判断一句是否命，以及改成“如果⋯⋯那么⋯⋯”的形式考点四、利用角平分、垂（90°角）、三角形的外角、内角和、全等三角形来算角度考点五、利用垂直平分的性、角平分的性、全等三角形来算段度考点六、明三角形全等，以及在三角形全等的基之上一步明段、角度之的数量关系考点七、画三角形的高、中、角平分，以及基本形的尺作法考点八、方案，求河等、例 1 已知两条段的分是3cm、 8cm ，要想拼成一个三角形，且第三条段 a 的奇数，第三条段取多少厘米？1、某一三角形的两分是 3 和 5，三角形的周的取范（）A、 10≤ a＜16 B 、10＜ a≤16 C 、10＜ a＜ 16 D 、2＜ a＜ 82、能把一个三角形分成面相等的两部分是三角形的（）A、中 B 、高C、角平分 D 、一的中点且和条垂直的直3、已知一个三角形的三条高的交点不在个三角形的内部，个三角形（）A. 必定是角三角形B.必定是直角三角形C.必定是角三角形D.不可能是角三角4、△ ABC的三个不相外角的比2： 3： 4，△ ABC的三个内角的度数分。
浙教版8年级上册《三角形初步知识》复习
D CB A《三角形的初步认识》复习讲义知识点1：认识三角形。
1、三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三角形的顶点：三个顶点。
3、三角形的边：组成三角形的三条线段。
4、三角形的内角：每两条边所组成的角（简称三角形的角）。
三角形的顶点、边和角为三角形的三要素。
【例1】（1）如图1，点D在△ABC中，写出图中所有三角形：；（2）如图1，线段BC是△和△的边；（3）如图1，△ABD的3个内角是，三条边是。
【例2】如图2，D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中∠C所对的边是，在△ACD中∠C所对的边是，在△ABD中边AD所对的角是，在△ACD中边AD所对的角是。
知识点2：三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边【例3】判断：哪组线段首尾相接可以组成三角形？① 3cm ,4cm，5cm ② 8cm，7cm ,15cm ③ 12cm ,12cm，20cm ④ 5cm，5cm ,11cm知识点3、三角形内角和 :定理：三角形内角和等于180°。
【例4】一个三角形的三个内角分别为x，x-10，x+10（x>10°），•则这个三角形三个内角的度数分别为多少？【例5】在△ABC中，∠A：∠B=5：7，∠C-∠A=10°，则∠C=________ DBA知识点4、三角形外角定理：1、一般地，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
2、三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。
【例6】如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列正确的有（）①∠5=∠1+∠4 ②∠3=∠1+∠6 ③∠1+∠4+∠6=180°④∠2+∠3+∠5=360°⑤∠3=∠1+∠7 ⑥∠2+∠3+∠7=360°⑦∠2=∠4+∠6 ⑧∠2=∠4+∠7第6题图第7题图第8题图【例7】如图，∠1、∠2、∠3的大小关系为（）【例8】如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∠A的度数是（）【学生练习题1】1、如图，在△ABC中，∠C=30°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于 .2、有四条线段，它们的长分别是2cm、3cm、4cm、5cm，以其中的三条线段为边长，共可组成几种不同的三角形.3、在长方形ABCD 中，如图，E 为AB 上一点，连结DE 、EC ，∠ADE=40°，∠BCE=60°，求∠1、∠2、∠3的度数.知识点6：三角形角平分线、中线和高的概念 1、三角形中的三条线段的概念：三角形中的量重要线段概念图形表示法三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。
【浙教版】八年级数学上第1章《 三角形的初步知识》期末复习(含答案)
期末复习(一) 三角形的初步知识01 知识结构三角形的初步知识⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧三角形的概念⎩⎪⎨⎪⎧三边关系内角和定理及其推论三角形的中线、高线、角平分线定义与命题⎩⎪⎨⎪⎧命题的组成命题的分类全等图形→全等三角形⎩⎪⎨⎪⎧全等三角形的性质全等三角形的判定角平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理尺规作图02 重难点突破重难点1 三角形的三边关系【例1】 (萧山区期中)已知等腰三角形两条边的长分别是3和6，则它的周长是( B ) A.12 B.15 C.12或15 D.15或18 【方法归纳】 判断给定的三条线段能否组成三角形，只需判断两条较短线段的和是否大于最长线段.在已知等腰三角形的两边长求其周长时，需注意：(1)一定要利用分类讨论思想列举出三角形的三边长；(2)一定要利用三角形的三边关系检验列举出的三边长是否能围成三角形.1.(海宁新仓中学期中)两根木棒的长分别是5 cm 和7 cm ，要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形，则第三根木棒长的取值可以是( B )A.2 cmB.4 cmC.12 cmD.13 cm重难点2 三角形形内角和定理及其推论 【例2】 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ，则∠D 等于( A)A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°【方法归纳】在计算与三角形有关的角度时，首先应判断出要求角与所在三角形中已知角之间的关系，再合理选用三角形的内角和定理或外角的性质求角度，同时在解题时要注意角平分线的定义.平行线的性质等知识的运用.2.如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为( C )A.28°B.38°C.48°D.88°重难点3三角形的三条重要线段【例3】如图，AD是△ABC的中线，点E为AD的中点，点F为BE的中点，S△ABC＝41，则S△BFC＝41 4.【思路点拨】根据三角形面积公式得S△BFC＝S△EFC，S△AEC＝S△DEC，S△AEB＝S△DEB，S△ABD＝S△ADC，从而S△BFC＝14S△ABC.3.在△ABC中，AC＝5 cm，AD是△ABC中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2 cm，则BA＝7_cm.4.(1)如图所示，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数；(2)在(1)中，若∠A＝α，∠B＝β(α≠β)，其他条件不变，求∠CDF的度数.(用含α和β的代数式表示)解：(1)根据题意，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，所以∠ACB＝68°.因为CE平分∠ACB，所以∠ACE＝34°.所以∠CED＝∠A＋∠ACE＝74°.因为CD⊥AB，DF⊥CE，且∠ECD为公共角，所以∠CDF＝∠CED＝74°.(2)由(1)可知，∠CDF ＝∠CED ＝∠A ＋∠ACE ，∠ACE ＝180°－α－β2.所以∠CDF ＝180°＋α－β2.重难点4 线段垂直平分线与角平分线的性质【例4】 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，交AC 于点E ，DE 垂直平分AB 于点D ，求证：BE ＋DE ＝AC .证明：∵∠ACB ＝90°， ∴AC ⊥BC .∵ED ⊥AB ，BE 平分 ∠ABC ， ∴CE ＝DE ，∵DE 垂直平分AB ， ∴AE ＝BE .∵AC ＝AE ＋CE ，∴BE ＋DE ＝AC . 【方法归纳】 在利用线段垂直平分线的性质求线段长度时，通常是根据线段垂直平分线的性质得到线段相等，再根据相等线段之间的转换，得到所求线段的长.5.如图，在△ABC 中，∠BAC >90°，AB 的垂直平分线MP 交BC 于点P ，AC 的垂直平分线NQ 交BC 于点Q ，连结AP ，AQ ，若△APQ 的周长为20 cm ，则BC 为20cm .第5题图 第6题图6.如图，△ABC 的三条角平分线交于O 点，已知△ABC 的周长为20，OD ⊥AB ，OD ＝5，则△ABC 的面积为50.重难点5 全等三角形的性质与判定【例5】 已知△ABN 和△ACM 的位置如图所示，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2.(1)求证：BD ＝CE ； (2)求证：∠M ＝∠N .【思路点拨】 (1)要证BD ＝CE ，可通过转化证△ABD ≌△ACE ，根据“SAS ”得证；(2)要证∠M ＝∠N ，可通过转化证△ACM ≌△ABN ，由(1)可知∠C ＝∠B .因为∠2＝∠1，所以∠CAM ＝∠BAN .再结合AB ＝AC ，即可根据“ASA ”得证.证明：(1)在△ABD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE (SAS ). ∴BD ＝CE .(2)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAE ＝∠2＋∠DAE ， 即∠BAN ＝∠CAM .由(1)，得△ABD ≌△ACE ， ∴∠B ＝∠C .在△ACM 和△ABN 中，⎩⎨⎧∠C ＝∠B ，AC ＝AB ，∠CAM ＝∠BAM ，∴△ACM ≌△ABN (ASA ). ∴∠M ＝∠N .【方法归纳】 三角形全等的证明思路：已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS找另一边→SSS已知一边和一角 ⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS已知两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA找任一角的对边→AAS7.(成都中考)如图，△ABC ≌△A ′B ′C ′，其中∠A ＝36°，∠C ＝24°，则∠B ＝120°.第7题图第8题图8.(杭州大江东区期中)如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：AE＝AF或∠EDA＝∠FDA或∠AED＝∠AF D.03备考集训一.选择题(每小题3分，共30分)1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( C )A.1，2，4B.4，5，9C.4，6，8D.5，5，112.(嵊州校级期中)下列语句不是命题的是( B )A.两直线平行，同位角相等B.作直线AB垂直于直线CDC.若|a|＝|b|，则a2＝b2D.同角的补角相等3.如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是( D )A.AB＝ACB.∠BAE＝∠CADC.BE＝DCD.AD＝DE第3题图第4题图4.(杭州大江东区期中)如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是( C )A.BC＝EC，∠B＝∠EB.BC＝EC，AC＝DCC.BC＝EC，∠A＝∠DD.∠B＝∠E，∠A＝∠D5.如图，将两根钢条AA′.BB′的中点O连在一起，使AA′.BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是( A )A.边角边B.角边角C.边边边D.角角边第5题图第6题图6.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB边的垂直平分线，分别交A B.AC于点D.E，△BEC 的周长是14 cm，BC＝5 cm，则AB的长是( B )A.14 cmB.9 cmC.19 cmD.12 cm7.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是( A )A.3B.4C.6D.5第7题图第8题图8.如图所示，在△ABC中，∠BAC∶∠ABC∶∠BCA＝3∶4∶5，BD，CE分别是边AC，AB 上的高，BD，CE相交于点H，则∠BHC的度数为( B )A.120°B.135°C.125°D.130°9.(嵊州期末)如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有( C )A.1个B.2个C.3个D.4个第9题图第10题图10.(杭州大江东区期中)如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A.D.C三点，且a∥b∥c.若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是( B )A.70B.74C.144D.148二.填空题(每小题4分，共24分)11.如图，在△ABC中，∠A＝58°，∠B＝63°，则外角∠ACD＝121度.第11题图第12题图12.如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为3.13.如图，已知△ABC的周长为27 cm，AC＝9 cm，BC边上中线AD＝6 cm，△ABD周长为19 cm，AB＝8_cm.14.(杭州萧山区月考)已知三角形的两条边长分别是3 cm和4 cm，一个内角为40°，那么满足这一条件且彼此不全等的三角形共有4个.15.当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”.如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为18°或36°.16.如图，在四边形ABCD中，给出了下列三个论断：①对角线AC平分∠BAD；②CD＝BC；③∠D＋∠B＝180°.在上述三个论断中，若以其中两个论断作为条件，另外一个论断作为结论，则可以得出3个正确的命题.三.解答题(共46分)17.(10分)如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE ＝40°，求∠ADB的度数.解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－50°－30°＝100°.18.(12分)如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝BC，且AD把△ABC的周长分成3和4的两部分，求AC边的长.解：设AB＝BC＝2x，∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴BD＝CD＝x.若△ABD的周长是3＋AD，则2x＋x＝3，解得x ＝1.∴AC ＝4－1＝3.若△ABD 的周长是4＋AD ，则2x ＋x ＝4， 解得x ＝43.∴AC ＝3－43＝53.综上，AC 边的长为3或53.19.(12分)如图，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，点D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE ＝BD ，连结AE .DE .DC .(1)求证：△ABE ≌△CBD ；(2)若∠CAE ＝30°，求∠BDC 的度数.解：(1)证明：在△ABE 和△CBD 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ＝90°，BE ＝BD ，∴△ABE ≌△CBD (SAS ).(2)∵在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°， ∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°. ∵△ABE ≌△CBD ， ∴∠AEB ＝∠BDC .∵∠AEB 为△AEC 的外角，∴∠AEB ＝∠ACB ＋∠CAE ＝45°＋30°＝75°. ∴∠BDC ＝75°.20.(12分)(杭州青春中学期末)如图1，AB ＝4 cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝BD ＝3 cm .点P 在线段AB 上以1 cm /s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动.它们运动的时间为t (s ).(1)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t ＝1时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；(2)如图2，将图1中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB ”改为“∠CAB ＝∠DBA ＝60°”，其他条件不变.设点Q 的运动速度为x cm /s ，是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x .t 的值；若不存在，请说明理由.解：(1)当t ＝1时，AP ＝BQ ＝1，BP ＝AC ＝3，在△ACP 和△BPQ 中，⎩⎨⎧AP ＝BQ ，∠A ＝∠B ＝90°，AC ＝BP ，∴△ACP ≌△BPQ (SAS ). ∴∠ACP ＝∠BPQ .∴∠APC ＋∠BPQ ＝∠APC ＋∠ACP ＝90°. ∴∠CPQ ＝90°， 即线段PC 与线段PQ 垂直. (2)①若△ACP ≌△BPQ ， 则AC ＝BP ，AP ＝BQ ，⎩⎨⎧3＝4－t ，t ＝xt ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，x ＝1. ②若△ACP ≌△BQP ，则AC ＝BQ ，AP ＝BP ， ⎩⎨⎧3＝xt ，t ＝4－t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，x ＝32.综上所述，存在⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，x ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，x ＝32，使得△ACP 与△BPQ 全等.。
数学(浙教版) 八上 1.1 三角形的初步认识 知识点+典型例题+同步练习(学生版)
一、认识三角形三角形：由不在同一条直线上的三点依次连结形成的图形叫做三角形表示：例△ABC 读作“三角形ABC”三角形的内角：由相邻两边的组成的夹角称为三角形的内角内角和180°三角形的基本性质两边之和大于第三边两边之差小于第三边三角形的外角等于不相邻两内角之和锐角三角形：三内角均为锐角三角形的分类直角三角形：有一内角为直角，即两锐角和为90°钝角三角形：有一内角为钝角三线角平分线中线高线性质：∠BAD=∠CAD BD=DC AD⊥BC 角平分线上的点到角两边的距离相等二、接触证明题知识讲解三角形的初步认识定义：一般的，能清楚规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或者术语的定义命题：判断某一件事情的句子叫命题条件：在“如果——那么——”中，“如果”开始的部分叫做条件结论：在“如果——那么——”中，“那么”后面的部分叫做结论真命题：正确的命题假命题：错误的命题定理：用推论的方法的判断为正确的命题叫定理证明：判断一个命题是真命题的推理过程叫证明三、全等三角形全等图形：能够重合的两个图形对于一对全等三角形，互相重合的角叫对应角；互相重合的边角对应边全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等边边边三角形全等的判断边角边角边角角角边垂直平分线，简称中垂线：过已知线段中点作垂线，该垂线叫做已知线段的中垂线性质：线段中垂线上的点到线段两端的距离相等四、尺规作图尺规作图：在几何作图中，外面把没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图%%角、角平分线、中垂线%%例1在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少?例2已知三角形的三边长分别是3，8，x，若x的值为偶数，则x的值有( D )．A．6个B．5个C．4个D．3个例3△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠FCD 的度数.例4如图：已知AC是线段BD的垂直平分线. 求证：△ABC≌△ADC典型例题例5已知：线段a和∠α，∠β. 求作：△ABC，使∠A=∠α,∠B=∠β,BC=a．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）一、选择题1、一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶5，这个三角形一定是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形2、下面不是平行线的判定定理的是( )A．在同一平面内，没有公共点的两条直线叫做平行线B．同位角相等，两直线平行C．内错角相等，两直线平行D．同旁内角互补，两直线平行3、如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为( )A．20°B．30°C．35°D．40°4.、如图，图中锐角三角形的个数是( )同步练习A．2个B．3个C．4个D．5个5、如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E的度数是( )A．30°B．40°C．60°D．70°6、如图，△ABC的平分线AD与中线BE交于点O，有下列结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线，下列说法正确的是( )A．①②都正确B．①不正确，②正确C．①②都不正确D．①正确，②不正确7、下列说法正确的是( )A．三个角对应相等的两个三角形全等B．两角对应相等，且一条边也对应相等的两个三角形全等C．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D．有两个角与一边对应相等的两个三角形不一定全等8、如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是( )A ．8B ．9C ．10D ．119、如图，给出下列四组条件：①AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ；②AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ；③∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∠C ＝∠F ；④AB ＝DE ，AC ＝DF ，∠B ＝∠E.其中能使△ABC ≌△DEF 的条件共有( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组10、如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC ＝7，DE ＝2， AB ＝4，则AC 的长是( )A ．3B ．4C ．6D ．511、如图，在锐角三角形ABC 中，直线l 为BC 的中垂线，射线m 为∠ABC 的角平分线，直线l 与m 相交于点P.若∠BAC ＝60°，∠ACP ＝24°，则∠ABP 的度数是( )A ．24°B ．30°C ．32°D ．36°12、两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD＝CD ，AB ＝CB.小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC ⊥BD ；②AO ＝CO ＝12AC ；③△ABD ≌△CBD.其中正确的结论有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个13、如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是( )A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS二、填空题14、如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，若∠1＝50°，∠2＝110°，则∠A＝____．15、如图，△ADB≌△ECB，若∠CBD＝40°，BD⊥EC，则∠D的度数为____．16、有下列语句：①画线段AB＝CD；②互补的两个角是邻补角；③延长MN到点Q；④三角形的一边与另一边的延长线组成的角是三角形的外角吗？其中为命题的是_____．(填序号)17、如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB 长为半径作弧，两弧交于点D，连结AD，CD，若∠B＝65°，则∠ADC的度数为______．18、要说明命题“若a·b＝0，则a＋b＝0”是假命题，可举反例．19、如图，AC与BD相交于点O，∠A＝∠D，请你补充一个条件，使得△AOB≌△DOC，你补充的条件是．20、如图，在四边形ABCD中，给出了下列三个论断：①对角线AC平分∠BAD；②CD＝BC；③∠D＋∠B＝180°.在上述三个论断中，若以其中两个论断作为条件，另外一个论断作为结论，则可以得出___个正确的命题．21、将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的条件和结论：（1）三条边对应相等的两个三角形全等；（2）三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．22、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连结DF.求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE.23、已知△ABC的三边长分别为a，b，c，请化简代数式|a－b－c|＋|a＋b－c|.24、如图，△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F.（1）当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为____；（2）若∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC的度数．25、如图，∠AOD＝∠BOC，∠A＝∠C，O是AC的中点．求证：△AOB≌△COD.26、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.。
最新浙教版八年级数学上册《三角形的初步认识》单元检测题及答案解析(精品试题).docx
《第1章三角形的初步知识》一、选择题1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．2cm、2cm、4cm B．2cm、6cm、3cm C．8cm、6cm、3cm D．11cm、4cm、6cm2．下列说法：①三角对应相等的两个三角形全等；②三边对应相等的两个三角形全等；③两角与一边对应相等的两个三角形全等；④两边与一角对应相等的两个三角形全等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，三角形的外角是（）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠44．若三角形的一个外角小于和它相邻的内角，则这个三角形为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定5．关于三角形的内角，下列判断不正确的是（）A．至少有两个锐角B．最多有一个直角C．必有一个角大于60°D．至少有一个角不小于60°6．下列四组中一定是全等三角形的是（）A．两条边对应相等的两个锐角三角形B．面积相等的两个钝角三角形C．斜边相等的两个直角三角形D．周长相等的两个等边三角形7．若AD是△ABC的中线，则下列结论错误的是（）A．AD平分∠BAC B．BD=DC C．AD平分BC D．BC=2DC8．如果三角形的一个内角等于其它两个内角的差，这个三角形是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．斜三角形9．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线交AC于点D，已知AB=3，AC=7，BC=8，则△ABD的周长为（）A．10 B．11 C．15 D．1210．已知一个三角形的三条高的交点不在这个三角形的内部，则这个三角形（）A．必定是钝角三角形B．必定是直角三角形C．必定是锐角三角形D．不可能是锐角三角形二、填空题11．在△ABC中，AB=3，BC=7，则AC的长x的取值范围是；等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为．12．如图，AD是△ABC的中线，△ABC的面积为100cm2，则△ABD的面积是cm2．13．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是．14．如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，若∠A=70°，则∠BOC= °．15．如图，△ABC中，高BD、CE相交于点H，若∠A：∠ABC：∠ACB=3：2：4，则∠BHC= ．16．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（填SSS，SAS，AAS，ASA中的一种）．三、解答题17．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，按要求完成下列画图，并用适当的符号在图中表示（可以不写作法，必须写出结论）：①△ABC的角平分线AD②AC边上的高③AB边上的中线．18．尺规作图：已知线段a，b和∠α．求作：△ABC，使BC=a，AC=b，∠C=∠α（画出图形，保留作图痕迹，不写作法，写出结论）19．如图：已知△ABC中，AD⊥BC于D，AE为∠BAC的平分线，且∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数．20．如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，试说明△ABD与△ACE全等．21．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：OB=OD．22．如图．在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件．请你在其中选三个作为已知条件，余下的一个作为结论，写出一个正确的结沦，并说明理由．①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF．（填写序号即可）已知：；结沦：；理由：23．如图，点E、A、B、F在同一条直线上，AD与BC交于点O，已知∠CAE=∠DBF，AC=BD．说出∠CAD=∠DBC的理由．24．求作一点P，使点P到∠A两边的距离相等，且点P到点D和点E的距离相等．（保留作图痕迹）《第1章三角形的初步知识》参考答案与试题解析一、选择题1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．2cm、2cm、4cm B．2cm、6cm、3cm C．8cm、6cm、3cm D．11cm、4cm、6cm【考点】三角形三边关系．【分析】利用三角形三边关系判断即可，两边之和＞第三边＞两边之差．【解答】解：A、2+2=4，故不选；B、2+3=5＜6，故不选；C、3+6=9＞8＞6﹣3=3，符合条件．D、4+6=10＜11，故不选．综上，故选；C．【点评】利用三边关系判断时，常用两个较小边的和与较大的边比较大小．两个较小边的和＞较大的边，则能组成三角形，否则，不可以．2．下列说法：①三角对应相等的两个三角形全等；②三边对应相等的两个三角形全等；③两角与一边对应相等的两个三角形全等；④两边与一角对应相等的两个三角形全等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】全等三角形的判定．【分析】根据三角形全等的判定方法分别对四个命题进行判断．【解答】解：三角对应相等的两个三角形不一定全等，所以①错误；三边对应相等的两个三角形全等，所以②正确；两角与一边对应相等的两个三角形全等，所以③正确；两边与它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以④错误．故选B．【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．3．如图，三角形的外角是（）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4【考点】三角形的外角性质．【分析】根据三角形外角的定义解答．【解答】解：根据三角形外角的定义可知，∠3是此三角形的外角．故选C．【点评】本题考查三角形外角的定义．分析时要严格按照定义进行，要看清是一条边的延长线与它邻边的夹角才是三角形的外角．4．若三角形的一个外角小于和它相邻的内角，则这个三角形为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定【考点】三角形的外角性质．【分析】三角形的一个外角＜与它相邻的内角，故内角＞相邻外角；根据三角形外角与相邻的内角互补，故内角＞90°，为钝角三角形．【解答】解：如图，∵∠1＜∠B，∠1=180°﹣∠B，∴∠B＞90°．∴△ABC是钝角三角形．故选：C．【点评】本题考查了三角形外角的性质．三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，可见外角与相邻的内角互补．5．关于三角形的内角，下列判断不正确的是（）A．至少有两个锐角B．最多有一个直角C．必有一个角大于60°D．至少有一个角不小于60°【考点】三角形内角和定理．【分析】可以利用反证的方法来判定各个命题是否正确．【解答】解：根据三角形的内角和定理，不正确的是：必有一个角大于60°．因为当三角形是等边三角形时三个角都相等，都是60度．故选C．【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的内角和是180度．6．下列四组中一定是全等三角形的是（）A．两条边对应相等的两个锐角三角形B．面积相等的两个钝角三角形C．斜边相等的两个直角三角形D．周长相等的两个等边三角形【考点】全等三角形的判定．【分析】两边相等，面积相等，一边相等的直角三角形或者角相等的三角形都不能证明三角形全等．【解答】A、错误，两边相等，但锐角三角形的角不一定相等；B、错误，面积相等但边长不一定相等；C、错误，直角三角形全等的判别必须满足直角边相等；D、正确，等边三角形的三边一定相等，又周长相等，故两个三角形的边长分别对应相等．故选D．【点评】本题考查的全等三角形的判定；全等三角形的判别要求严格，条件缺一不可．做题时要结合已知与判定方法逐个验证排除．7．若AD是△ABC的中线，则下列结论错误的是（）A．AD平分∠BAC B．BD=DC C．AD平分BC D．BC=2DC【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据三角形的中线的概念：连接三角形的顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线．【解答】解：A、AD平分∠BAC，则AD是△ABC的角平分线，故本选项错误；AD是△ABC的中线，则有BD=DC，AD平分BC，BC=2DC，故B、C、D正确．故选A．【点评】本题主要考查三角形的中线的概念，并能够正确运用几何式子表示是解本题的关键．8．如果三角形的一个内角等于其它两个内角的差，这个三角形是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．斜三角形【考点】三角形内角和定理．【分析】三角形三个内角之和是180°，三角形的一个角等于其它两个角的差，列出两个方程，即可求出答案．【解答】解：设三角形的三个角分别为：α、β、γ，则由题意得：，解得：α=90°故这个三角形是直角三角形．故选C．【点评】本题考查的是三角形内家和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．9．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线交AC于点D，已知AB=3，AC=7，BC=8，则△ABD的周长为（）A．10 B．11 C．15 D．12【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】要求△ABD的周长，现有AB=3，只要求出AD+BD即可，根据线段垂直平分线的性质得BD=CD，于是AD+BD=AC，答案可得．【解答】解：∵DE垂直且平分BC∴CD=BD．AD+BD=AD+CD=7∴△ABD的周长：AB+BD+AD=10．故选A【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等），难度一般．对线段进行等效转移是正确解答本题的关键．10．已知一个三角形的三条高的交点不在这个三角形的内部，则这个三角形（）A．必定是钝角三角形B．必定是直角三角形C．必定是锐角三角形D．不可能是锐角三角形【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高所在的直线的交点是三角形的直角顶点．【解答】解：一个三角形的三条高的交点不在这个三角形的内部，则这个三角形不可能是锐角三角形．故选D．【点评】通过三角形的形状可以判断三角形高线的位置，反之，通过三条高线交点的位置可以判断三角形的形状．二、填空题11．在△ABC中，AB=3，BC=7，则AC的长x的取值范围是4＜x＜10 ；等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为17 ．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】（1）根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则第三边的长度应是大于两边的差，而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．（2）因为边为3和7，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：（1）根据三角形的三边关系，得AC的长x的取值范围是7﹣3＜x＜7+3，即4＜x＜10．（2）分两种情况：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；当3为腰时，其它两边为3和7，3+3=6＜7，所以不能构成三角形，故舍去，所以等腰三角形的周长为17．故答案为：4＜x＜10；17．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．12．如图，AD是△ABC的中线，△ABC的面积为100cm2，则△ABD的面积是50 cm2．【考点】三角形的面积．【分析】根据等底等高的三角形面积相等可知，中线能把一个三角形分成两个面积相等部分．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积为100cm2，∴△ABD的面积是S△ABC=50cm2．【点评】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的中线把一个三角形分成两个面积相等部分．13．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是75°．【考点】三角形内角和定理．【分析】根据三角板的常数以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1的度数，再根据直角等于90°计算即可得解．【解答】解：如图，∠1=45°﹣30°=15°，∠α=90°﹣∠1=90°﹣15°=75°．故答案为：75°【点评】本题考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟知三角板的度数是解题的关键．14．如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，若∠A=70°，则∠BOC= 125 °．【考点】三角形内角和定理．【分析】先求出∠ABC+∠ACB的度数，根据平分线的定义得出∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=110°，∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=55°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣55°=125°．故答案为：125．【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于180°．15．如图，△ABC中，高BD、CE相交于点H，若∠A：∠ABC：∠ACB=3：2：4，则∠BHC= 120°．【考点】三角形内角和定理．【分析】先设∠A=3x，∠ABC=4x，∠ACB=5x，再结合三角形内角和等于180°，可得关于x的一元一次方程，求出x，从而可分别求出∠A，∠ABC，∠ACB，在△ABD中，利用三角形内角和定理，可求∠ABD，再利用三角形外角性质，可求出∠BHC．【解答】解：∵在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：2：4，故设∠A=3x，∠ABC=2x，∠ACB=4x．∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴3x+2x+4x=180°，解得x=20°，∴∠A=3x=60°．∵BD，CE分别是边AC，AB上的高，∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，∴在△ABD中，∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠A=180°﹣90°﹣60°=30°，∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=30°+90°=120°．故答案为：120°【点评】本题考查了了三角形内角和定理、三角形外角的性质．三角形三个内角的和等于180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．16．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是SSS （填SSS，SAS，AAS，ASA中的一种）．【考点】全等三角形的判定；作图—基本作图．【专题】计算题；三角形．【分析】利用全等三角形的判定方法判断即可．【解答】解：用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是SSS，故答案为：SSS．【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．三、解答题17．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，按要求完成下列画图，并用适当的符号在图中表示（可以不写作法，必须写出结论）：①△ABC的角平分线AD②AC边上的高③AB边上的中线．【考点】作图—基本作图．【分析】①直接利用角平分线的作法得出AD；②直接利用垂线的作法得出BF即可；③首先得出AB的中点，进而得出答案．【解答】解：如图所示：①AD即为所求；②BF即为所求；③CE即为所求．【点评】此题主要考查了基本作图，正确掌握角平分线以及垂线的作法是解题关键．18．尺规作图：已知线段a，b和∠α．求作：△ABC，使BC=a，AC=b，∠C=∠α（画出图形，保留作图痕迹，不写作法，写出结论）【考点】作图—复杂作图．【分析】先作∠C=∠α，再在角的两边作AC=a，BC=b，连接即可．【解答】解．【点评】本题考查了三角形的一些基本画法．19．如图：已知△ABC中，AD⊥BC于D，AE为∠BAC的平分线，且∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数．【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．【专题】计算题．【分析】首先根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠EAC的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠DAC的度数，进而求∠DAE的度数．【解答】解：∵∠B=35°，∠C=65°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣35°﹣65°=80°．∵AE为∠BAC的平分线，∴∠EAC=∠BAC=×80°=40°．∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，在△ADC中，∠DAC=180°﹣∠ADC﹣∠C=180°﹣90°﹣65°=25°，∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣25°=15°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、垂直的定义等知识．20．如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，试说明△ABD与△ACE全等．【考点】全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】由∠1=∠2，可得∠CAE=∠BAD，进而利用两边夹一角，证明全等．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠CAE=∠BAD，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE．【点评】本题考查了全等三角形的判定；能够熟练掌握三角形的判定方法来证明三角形的全等问题，由∠1=∠2得∠CAE=∠BAD是解决本题的关键．21．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：OB=OD．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据ASA证△ABC≌△ADC，推出AB=AD，根据等腰三角形的性质三线合一定理求出即可．【解答】证明：在△ABC和△ADC中，∵，∴△ABC≌△ADC（ASA），∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，且∠1=∠2，∴OB=OD．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和三线合一定理等知识点，注意：等腰三角形顶角的平分线平分底边．22．如图．在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件．请你在其中选三个作为已知条件，余下的一个作为结论，写出一个正确的结沦，并说明理由．①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF．（填写序号即可）已知：①②④；结沦：③；理由：【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；开放型．【分析】本题考查的是全等三角形的判定，要根据全等三角形判定条件中的SAS，AAS，ASA，SSS等条件，来判断选择哪些条件可得出三角形全等，得出全等后又可得到什么等量关系．【解答】解：已知：①②④结论：③证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC．∴BC=EF．△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）．∴∠ABC=∠DEF．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．23．如图，点E、A、B、F在同一条直线上，AD与BC交于点O，已知∠CAE=∠DBF，AC=BD．说出∠CAD=∠DBC的理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】本题可通过全等三角形来证得．三角形CAB和DBA中，已知的条件有AC=BD，公共边AB，只要再证得这两组对应边的夹角相等即可得出三角形全等的结论，我们已知了∠CAE=∠DBF，那么他们的补角就应该相等，即∠CAB=∠DBA，这样就构成了两三角形全等的条件（SAS），就能得出两三角形全等了，也就得出∠CAD=∠DBC．【解答】证明：∵∠CAE=∠DBF（已知），∴∠CAB=∠DBA（等角的补角相等）．在△ABC和△DBA中AC=BD（已知），∠CAB=∠DBA，AB=BA（公共边），∴△ABC≌△DBA（SAS）．∴∠ABC=∠BAD（全等三角形的对应角相等）．∴∠CAB﹣∠BAD=∠DBA﹣∠ABC．即：∠CAD=∠DBC．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；此题证明角相等，可以通过全等三角形来证明，要注意利用此题中的图形条件，等角的补角相等．24．求作一点P，使点P到∠A两边的距离相等，且点P到点D和点E的距离相等．（保留作图痕迹）【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】先作出∠BAC的平分线AF，再作出线段DE的垂直平分线GH，则AF与GH 的交点P即为所求．【解答】解：如图所示，点P即为所求．【点评】本题主要考查了尺规作图中的复杂作图，解决问题的关键是掌握角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法．。
浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题
浙教版⼋年级上册数学第⼀章《三⾓形的初步知识》知识点及典型例题浙教版⼋年级上册数学第⼀章《三⾓形的初步知识》知识点及典型例题考点⼀、判断三条线段能否组成三⾓形考点⼆、求三⾓形的某⼀边长或周长的取值范围考点三、判断⼀句话是否为命题，以及改成“如果……那么……”的形式考点四、利⽤⾓平分线、垂线（90°⾓）、三⾓形的外⾓、内⾓和、全等三⾓形来计算⾓度考点五、利⽤垂直平分线的性质、⾓平分线的性质、全等三⾓形来计算线段长度考点六、证明三⾓形全等，以及在三⾓形全等的基础之上进⼀步证明线段、⾓度之间的数量关系考点七、画三⾓形的⾼线、中线、⾓平分线，以及基本图形的尺规作图法考点⼋、⽅案设计题，求河宽等问题例1、已知两条线段的长分别是3cm 、8cm ，要想拼成⼀个三⾓形，且第三条线段a 的长为奇数，问第三条线段应取多少厘⽶？1、某⼀三⾓形的两边长分别是3和5，则该三⾓形的周长的取值范围为（） A 、10≤a ＜16 B 、10＜a ≤16 C 、10＜a ＜16 D 、2＜a ＜82、能把⼀个三⾓形分成⾯积相等的两部分是三⾓形的（）A 、中线B 、⾼线C 、⾓平分线D 、过⼀边的中点且和这条边垂直的直线 3、已知⼀个三⾓形的三条⾼的交点不在这个三⾓形的内部，则这个三⾓形（）A. 必定是钝⾓三⾓形B. 必定是直⾓三⾓形C. 必定是锐⾓三⾓形D. 不可能是锐⾓三⾓4、△ABC 的三个不相邻外⾓的⽐为2：3：4，则△ABC 的三个内⾓的度数分别为。
例2、如图，已知△ABC 中，BE 和CD 分别为∠ABC 和∠ACB 的平分线，且BD=C E ，∠1=∠2。
说明BE=CD 的理由。
【设计意图】本例主要考察了⾓平分线和三⾓形全等的条件和性质，要说明两条线段相等的⽅法可以通过说明三⾓形全等来解决。
例3、已知AE ，AD 分别为△ABC 中BC 边上的中线和⾼线，且AB=7cm ，AC=5cm ，则△ACE 和△ABE 的周长之差为多少厘⽶？△ACE 和△ABE 的⾯积之⽐为多少？【设计意图】本例主要考察了三⾓形中线、⾼线的性质，重在格式的书写上。
最新浙教版八年级数学上册第1章三角形的初步知识PPT
A
B
C
4、三角形的边
组成三角形的三条线段叫做三角形的边。
A
如图，三角形ABC有几条边？它们分别是 __A__B_，__A__C__，__B_C。
B
C
△ABC的三边,有时也用a，b，c来表示。
一般地，顶点A所对的边记作a,顶点B所对的边记作b, 顶点C所对的边记作c。
5、三角形的角:
(1)三角形相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三
D
C
（2）说出哪条线段是ΔABC的哪条边上的中线；
把刚才的锐角三角形换成直角三角形或钝角三角形，结果 又怎么样呢？
三角形的三条中线在三角形的内部交于一点
∵AD是△ ABC的中线 ∴BD=CD= 12BC
A
●
F
E O
B
●
C
D
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心；
三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作
∵CF是△ABC的角平分线
B ∴∠ACB=2_∠__A_C_F_=2_∠__B_C_F_
E
O
D
C
三角形的中线
在三角形中，连结三角形的一个顶点与该顶 点对边中点的线段，叫做这个三角形的中
A
●
线．
如图：线段AD叫做ΔABC的边BC上的 F ● 中线。
●E
●
●
●
●
（1）画出ΔABC的另外两边上的中线； B
A
B
C
例 说出图中有多少个三角形,用符号“△”表示,并指出每 一个三角形的三条边.
EP
F
G
Q
H
练习:读出图中的各个三角形. A E B
D C
3、三角形的顶点
浙教版8年级(上册)《三角形初步知识》复习
DCBA《三角形的初步认识》复习讲义 知识点1：认识三角形。
1、三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三角形的顶点：三个顶点。
3、三角形的边：组成三角形的三条线段。
4、三角形的内角：每两条边所组成的角（简称三角形的角）。
三角形的顶点、边和角为三角形的三要素。
【例1】（1）如图1，点D 在△ABC 中，写出图中所有三角形： ； （2）如图1，线段BC 是△ 和△ 的边；（3）如图1，△ABD 的3个内角是 ，三条边是 。
【例2】如图2，D 是△ABC 的边BC 上的一点，则在△ABC 中∠C 所对的边是 ， 在△ACD 中∠C 所对的边是 ，在△ABD 中边AD 所对的角是 ， 在△ACD 中边AD 所对的角是 。
知识点2：三角形三边的关系： 三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边 【例3】判断：哪组线段首尾相接可以组成三角形？① 3cm ,4cm ，5cm ② 8cm ，7cm ,15cm ③ 12cm ,12cm ，20cm ④ 5cm ， 5cm ,11cm知识点3、三角形内角和 :定理：三角形内角和等于180°。
【例4】一个三角形的三个内角分别为x ，x-10，x+10（x>10°），•则这个三角形三个内角的度数分别为多少？【例5】在△ABC 中，∠A ：∠B=5：7，∠C-∠A=10°，则∠C=________知识点4、三角形外角定理：DCBA1、一般地，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
2、三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。
【例6】如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列正确的有（）①∠5=∠1+∠4 ②∠3=∠1+∠6 ③∠1+∠4+∠6=180°④∠2+∠3+∠5=360°⑤∠3=∠1+∠7 ⑥∠2+∠3+∠7=360°⑦∠2=∠4+∠6 ⑧∠2=∠4+∠7第6题图第7题图第8题图【例7】如图，∠1、∠2、∠3的大小关系为（）【例8】如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∠A的度数是（）【学生练习题1】1、如图，在△ABC中，∠C=30°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于 .2、有四条线段，它们的长分别是2cm、3cm、4cm、5cm，以其中的三条线段为边长，共可组成几种不同的三角形.3、在长方形ABCD中，如图，E为AB上一点，连结DE、EC，∠ADE=40°，∠BCE=60°，求∠1、∠2、∠3的度数.知识点6：三角形角平分线、中线和高的概念1、三角形中的三条线段的概念：三角形中的量重要线段概念图形表示法三角形的角平分线在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。
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浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题考点一、判断三条线段能否组成三角形考点二、求三角形的某一边长或周长的取值范围考点三、判断一句话是否为命题，以及改成“如果……那么……”的形式 考点四、利用角平分线、垂线（90°角）、三角形的外角、内角和、全等三角形来计算角度 考点五、利用垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形来计算线段长度考点六、证明三角形全等，以及在三角形全等的基础之上进一步证明线段、角度之间的数量关系 考点七、画三角形的高线、中线、角平分线，以及基本图形的尺规作图法 考点八、方案设计题，求河宽等问题例1、已知两条线段的长分别是3cm 、8cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段a 的长为奇数，问第三条线段应取多少厘米？1、某一三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长的取值范围为（ ） A 、10≤a ＜16 B 、10＜a ≤16 C 、10＜a ＜16 D 、2＜a ＜82、能把一个三角形分成面积相等的两部分是三角形的（ ）A 、中线B 、高线C 、角平分线D 、过一边的中点且和这条边垂直的直线 3、已知一个三角形的三条高的交点不在这个三角形的内部，则这个三角形（ ）A. 必定是钝角三角形B. 必定是直角三角形C. 必定是锐角三角形D. 不可能是锐角三角4、△ABC 的三个不相邻外角的比为2：3：4，则△ABC 的三个内角的度数分别为 。
例2、如图，已知△ABC 中，BE 和CD 分别为∠ABC 和∠ACB 的平分线，且BD=CE ，∠1=∠2。
说明BE=CD 的理由。
【设计意图】本例主要考察了角平分线和三角形全等的条件和性质，要说明两条线段相等的方法可以通过说明三角形全等来解决。
例3、已知AE ，AD 分别为△ABC 中BC 边上的中线和高线，且AB=7cm ，AC=5cm ，则△ACE 和△ABE 的周长之差为多少厘米？△ACE 和△ABE 的面积之比为多少？【设计意图】本例主要考察了三角形中线、高线的性质，重在格式的书写上。
21 EDCBAABE CAC D例3. 如图，在某市效的空旷平地上有一个较大的土丘，经分析判断很可能是一座王储陵墓，请你应用所学的知识设计一种方案，能用尺量出不能达到的A 、B 两点的距离。
（只要求说明设计方案和这种方案设计的根据，并画出草图，不要求数据计算） 【解析】：在地面上找一个能同时看到A 、B 两点的点O ，分别在AO 、BO 的延长线上取点C 、D 使CO=AO ，DO=BO ，只需量出CD 的长度即为A 、B 两点的距离．理由：△AOB 与△COD 中， CO=AO ，DO=BO ， 又∠AOB=∠COD ， ∴△AOB ≌△COD ， ∴AB=CD ，量出CD 的长度即为A 、B 两点的距离．练习一、选择题1、下列各图中，正确画出AC 边上的高的是( )A 、B 、C 、D 、2、如图，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定长方形门框ABCD ，使其不变形，这样做的根据是( )A 、两点之间的线段最短；B 、三角形具有稳定性；C 、长方形是轴对称图形；D 、长方形的四个角都是直角。
3、下列各条件中，不能唯一作出直角三角形的是（ ）A ．已知两条直角边B ．已知两个锐角C ．已知一锐角及其邻边D ．已知一锐角及其对边4、如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线，相交于点O ，S △BDO 面积=1，则S △ABC =（ ） A.1 B.3 C. 6 D. 无法计算5、如图,AC 与BD 相交于点O,已知AB=CD,AD=BC,则图中全等三角形的对数有( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)46、如图, ΔABC 的两条中线相交于点F,若ΔABC 的面积是45cm 2,则四边形DCEF 的面积是( )(A) 30cm 2(B) 15 cm 2(C)20 cm 2(D)不能确定7、ΔABC 中的两条角平分线BD,CE 相交于点P,若∠A=α ,则∠BPC 的度数是( ) (A)2∠α (B)2900α-(C)2900α+(C)α21800-8、如图,在ΔABC 中,BC 边上的垂直平分线交AC 于点D, 已知AB=3,AC=7,BC=8,则ΔABD 的周长为( )(A)10 (B)11 (C)15 (D)12A AB B B BC C C CE E E EABCD E9、小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图3所示的四块(图中所标1、2、3、4)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带()去 A 、第1块； B 、第2块；C 、第3块；D 、第4块；10、在△ABC 中，∠A=50°，那么以点B 、C 为顶点的外角的平分线的夹角为（ ） A 、65°或115° B 、65° C 、75° D 、75°或115° 11、下列语句不是命题的是（ ）A ．两直线平行，同位角相等B ．作直线AB 垂直于直线CDC ．若|a|=|b|，则a 2=b 2D ．同角的补角相等 二、填空题1、把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ADE= 度．2、已知三角形三条边的长度为3，x ，9，化简：321433-+-x x = . 3、如图在△ABC 中，AB=AC=10，AB 的垂直平分线交AC 于G ，BC=7，则△GBC 的周长是_________.4、如图,在ΔABC 中, ∠C=90O,BD 平分∠ABC,交AC 于D, 若AB=5,CD=2,则ΔABD 的面积是 .5、如图, ΔABC 中,DE ⊥BC 于E,AF ⊥BC 于F.已知ΔBCD 与ΔABC 的面积之比为1:3,DE=3cm,则AF= .6、如图，能用AAS 来判断△ACD ≌△ABE 需要添加的条件可以是7、如图，已知∠ABC=∠DCB ，现要说明△ABC ≌△DCB ，则还要补加一个条件是_____________或________________或_______________；8、如图，△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，BD 、CE 交于点O ，且AD=AE ，连结AO ，则图中共有_________对全等三角形第5题D EA CB 1 3 4 2 AD BC9、已知AD 是△ABC 中BC 边上的高线，∠BAD=70°，∠CAD=20°，那么∠BAC=_______________10、把“同角的补角相等”写成“如果……那么……的形式： 11、把“等角的补角相等”写成“如果……那么……的形式：12、把“对顶角相等”写成“如果……那么……的形式： 三、计算与证明题1、如图：已知△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AE 为∠A 的平分线，且∠B=35°，∠C=65°求∠DAE 的度数。
2、如图,已知ΔABE 与ΔCDA 中, ∠C=∠CAE=900,AB=CD,AE=AC,问这两个直角三角形的斜边AD 与EB 之间有何关系?说明理由(几何图形的线段关系包括大小关系与位置关系).3、请你找一个长方形的纸片，按以下步骤进行动手操作：步骤一：在CD 上取一点P ，将角D 和角C 向上翻折，这样将形成折痕PM 和PN ，如图20所示；步骤二：翻折后，使点D 、C 落在原长方形所在的平面内，即点D ′和C ′，细心调整折痕PN 、PM 的位置使PD ′，PC ′重合如图21，设折角∠MPD ′=α，∠NPC ′=β (1)猜想∠MPN 的度数；(2)若重复上面的操作过程，并改变α的大小，猜想：随着α的大小变化，∠MPN 的度数怎样变化？并说明你猜想的正确性。
ABE CA B CDMP NC ′D ′ α β4、某产品的商标如图15所示，O 是线段AC 、DB 的交点，且AC=BD ，AB=DC ，小华认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是：∵AC=DB ，∠AOB=∠DOC ，AB=AC ， ∴△ABO ≌△DCO你认为小华的思考过程对吗？如果正确，指出他用的是判别三角形全等的哪个条件， 如果不正确，请你更换一个条件，并写出你的思考过程。
5、如图，在△ABC 中，∠C=2∠B ，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=∠1，ED=EB ，求证：AB=AC+CD6、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于点D ，BE ⊥MN 于点E 。
（1）当直线MN 绕点C 旋转到图①的的位置时，求证：△ADC ≌△CEB ，DE=AD+BE ；（2）当MN 绕点C 旋转到图2的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想，并加以证明； （3）当MN 绕点C 旋转到图3的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想，并加以证明．ABCDO四、作图题1、我们已经学过用量角器或圆规与直尺画一个已知角的平分线,小红同学只利用三角板也能画出一个角的平分线,她是这样画的:(如图1) ①、利用三角板在∠AOB 的两边上分别量取OD=OC; ②、连结CD,利用三角板画出CD 的中点E; ③、画射线OE.④、则射线OE 就是∠AOB 的角平分线.(一)你认为她的画法正确吗?若正确,请说明理由;(二)请你也设计一种只用三角板画已知∠AOB 的角平分线的画法,并写出画法.2、如图△ABC ，请用不同的分法将△ABC 的面积4等分，请你给出不同的方案？3、如图，用直尺和圆规按下列要求作图：(1)作出△ABC 的角平分线CD ； (2)作出△ABC 的中线BE ； (3)作出△ABC 的高AF 和BG(要求有明显的作图痕迹，不写作法)4、如图，直线123l l l 、、表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A ．1处 B ．2处 C ．3处 D ．4处B C B CBC BC B CB ACl 1l 2l 3。